43平面向量的數(shù)量積

1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積2019考綱考題考情潴綱藝求考麵舉例考向標(biāo)簽】.陽斛半血向械歌肚股的含義圧其軻虔童豈文丁辭平面向盤的盤章帆與向量投事的董扁s.電擁藪w機(jī)的*插衣達(dá)成處進(jìn)存護(hù)面向4.能遠(yuǎn)RlSUit職左朮除牛向欣的犬期金川航城機(jī)唧希氏仝閉創(chuàng)邑山也梓按堆些肪o的平面兒河問題L魚用向攤片址解決諾單的力學(xué)問匿與其相七實(shí)醞軻謄M1S全用磁向址枕捷和運(yùn)算)Ji.->i-l丨i.mb.-iii:i'.2017*U*Tir(平曲向童Sc杞的汕詁亍國簷何秋飾JJL舛意乂2DH-全國檜.*TJ向酣散檢機(jī)的出柿活和t乎面向怙冊(cè)敦計(jì)RjEW2.端詵布瓷冋毗側(cè)K:唱、凳陽岷直RS饕心索養(yǎng)獨(dú)學(xué)迄譚 -

2、基礎(chǔ)微檢理知1R必備固檢科JICMUWEISHULI亠亠亠“y-O微知識(shí)*小題練O平面向量的數(shù)量積(1)向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a和b作OA=a,OB=b,貝U/AOB就是向量a與b的夾角。 范圍：設(shè)B是向量a與b的夾角，貝U0°w其180°共線與垂直：若A0°則a與b同向共線：若6=180°，則a與b反向共線：若6=90°則a與b垂直。(2)平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為6,貝擻量|a|b|cos6叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab,即ab=|a|b|cos6,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=

3、0。 幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos6的乘積。平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(禺，),b=(x2,y2),6為向量a,b的夾角。(1) 數(shù)量積：ab=|a|b|cos6=X1X2土山丫2。模：|a|=aa='x1+y?。亠宀abX1X2+y$2夾角：cos注乖，x2+y1、.x2+y兩非零向量a丄b的充要條件：ab=0?X1X2+yiy?0。(5)|ab|w|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)a/b時(shí)等號(hào)成立)?|xiX2+yiy2$px1+y2px2+y2。平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)ab=ba(交換律)。?ab=Xab)a(?b)(結(jié)合律)。(

4、3)(a+b)c=ac+bc(分配律)。1. 常記結(jié)論a在b方向上的投影與b在a方向上的投影不是一個(gè)概念，要加以區(qū)別。2. 對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b,由于當(dāng)60°寸，ab>0,所以ab>0是兩個(gè)向量a,b夾角為銳角的必要不充分條件；ab=0也不能推出a=0或b=0,因?yàn)閍b=0時(shí)，有可能a丄b。3. 在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若a,bR，則|ab|=|a|b|;若ab=ac(a0),則b=c。但對(duì)于向量a,b卻有|ab|<|a|b|；若ab=ac(a0),則b=c不一定成立。4. 向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共

5、線的向量，而a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線。一題組微熱身水題演塚提知籬1. TIZUWEIKESXHNj"""一、走進(jìn)教材(必修4Pio8A組T6改編)已知ab=-12.2,|a|=4,a和b的夾角為135°則|b|為()C.33D.3解析ab=|a|b|cos135°122，所以|b|=T2.24X答案B（必修4Pio4例1改編）已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角6=120°則向量b在向量a方向上的投影為。解析由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos6=4Xcos120°2。2. 答案

6、2二、走近高考(2018全國卷H)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=1,則a(2ab)=()A.4B.3C.2解析答案D.0a(2ab)=2a2ab=2(1)=3。故選B。B（2017全國卷I）已知向量a=（1,2）,b=（m,1）。若向量a+b與a垂直，則m=。解析由題得，a+b=（m1,3）,因?yàn)閍+b與a垂直，即（a+b）a=0,所以有一（m1）+3x2=0,解得m=7。答案7（2016天津高考）已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則AFBC的值為（）51A.-8B.8解析11D-百BC=AC-AB,aF=AD+D

7、F=2ab+3DE=+3aC,所以BCAF=(ACAB)1AB+3AC=24丿.113131x1x1x2=4+42-8=8。答案B三、走出誤區(qū)微提醒：搞錯(cuò)向量的夾角求錯(cuò)數(shù)量積；向量的夾角。1 x1x1x11+332244不會(huì)用夾角公式計(jì)算6.已知ABC的三邊長(zhǎng)均為1,且AB=c,BC=a,ab+bc+ac=解析因?yàn)閍,b=b,c=a,c>=1,所以ab=bc=ac=1x1xcos120°=120°12，所以ab+bc|a匸|b匸|c|7.已知非零向量的余弦值為(7A.7B.C.D.14則a與2ab夾角1, a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,)二85.714a2+b

8、2+2ab=2+解析不妨設(shè)|a|=|b|=|a+b|=1,則|a+b|252ab=1，所以ab=2，所以a(2ab)=2a2ab=2，又|a1=|2a-b|=y/(2a-b)2=寸4a24ab+b2=寸7,所以a與2a-b5_夾角的余弦值為a2ab)_2_5曲|a|2a-b|_1X：7_14。答案D考占一J八、斗微苦點(diǎn)人課說«平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【例1】若點(diǎn)M,(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB|=6,|AD|=4,則AMNM等于()N滿足BM=3MC,DN=2NC,B. 15C.9（2018天津高考）在如圖的平面圖形中，/MON=120°BM=2MA,CN=2NA

9、,已知OM=1,ON=2,則BCOM的值為()A.-15B.9C. -6D.3解析(1)AM=AB+4AD,NM=CM-CN1AD+1B,所以11AMNM=4(4AB+3AD)11(4AB-3AD)=48(16AB2-9AD2)=屆(16x62-9X42)_9。故選CTT由BM=2MA，可知|BM|T|MA|T知字2,|NA|TT所以即=|NA|T所以號(hào)=|MA|TTT3。由CN=2NA,可3,T故JBA!=CAJ=TT|MA|NA|TTT3,連接MN，貝UBC/TTTMN且|BC|=3|MNI。所以BC=3MN=3(ON-OM),所以BCOM=TTTTTTT1. 3(ON-OM)OM=3(O

10、NOM-OM2)=3(|ON|OM|cos120-|OM|2)=6。故選C答案(1)C(2)C平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab=|a|b|cosa,b。2. 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a=(xi,yi),b=(X2,y2)，貝yab=X1X2+yiy2。3. 利用數(shù)量積的幾何意義求解?！咀兪接?xùn)練】如圖，在梯形ABCD中，AB/CD,CD=2,ZTTTTTTnBAD=4,若ABAC=2ABAD，貝UADAC=。TTTTTTTTTT解析因?yàn)锳BAC=2ABAD，所以ABAC-ABAD=ABAD，所n以ABDC=ABAD。因?yàn)锳B/CD,C

11、D=2，/BAD=4，所以TTTTTTTTT2AB|=|AB|AD|cosn，化簡(jiǎn)得AD|=22。故ADAC=AD(AD+DC)TTT=|AD|2+ADDC=(22)2+22X28寸=12。TIf卒旭遂可班用認(rèn)下才盜解析：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy。依題意，可設(shè)點(diǎn)D(m，m)，C(m+2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0,TTTT則由ABAC=2ABD，得(n,0)(m+2,m)=2(n,0)(m,m)，所以TTn(m+2)=2nm,化簡(jiǎn)得m=2。故ADAC=(m,m)(m+2,m)=2m2+2m=12。答案12考點(diǎn)二解決有關(guān)向量的長(zhǎng)度、夾角、垂直問題微點(diǎn)小專題方向1:長(zhǎng)

12、度問題【例2】(1)已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a/b,則|a-2b|=()45B.90C.35D.310已知向量OA,OB滿足|OA|=|OB|=2,OAOB=2,若OC=QA+QB（入讓R），且TH尸1，則|OCI的最小值為（C.2D.3解析(1)因?yàn)閍/b,所以m+6=0，解得m=6,貝Ub=(2,6),所以a2b=(3,9)，所以|a2b|=寸(3)2+92=310。故選D。TTTTT|OC|2=(AOA+QB)2=QA+(1為OB2=4長(zhǎng)+4(1?)2+TTTTT2(1?)OAOB,因?yàn)镺AOB=2，所以|OC|2=4長(zhǎng)+4(1?)2+2廠(p1t?)2=4?24+4

13、=4,222+3,當(dāng)=2時(shí)，|OC|取得最小值y3。1. 答案(1)D(2)D方法am利用數(shù)量積求解向量模的問題常用的公式：（1）a2=aa=|a|2或|a|=aa；|aib|=aib2=1,|b|=寸，則a+2b與b的夾角是（）a2±>ab+b2;（3）若a=（x,y），則|a|=x2+y2。2. 最值問題是在變化中求得一個(gè)特殊情況，在此情況下求解目標(biāo)達(dá)到最值，因此函數(shù)方法是最基本的方法之一。方向2:夾角問題n3, 【例3】（2019成都質(zhì)檢）已知平面向量a,b的夾角為3,且|a|5n6C.解析3nT因?yàn)閨a+2b|X1X2+y$2,'x2+y2.x2+y2。注意：&

14、lt;a,b0,n。方向3:垂直問題【例4】已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1)，且(2a-3b)丄c,則實(shí)數(shù)k=()9A.-B.0C.3解析因?yàn)?a-3b=(2k-3,-6),(2a-3b)丄c,所以(2a-3b)c=|a|2+4|b|2+4ab=1+1+4X1x2x。0寸=1冗1113=4+1=4,所以cos<a+2b，b(a+2b)b4|a+2b陽=p3，所所以|a+2b|=3。又(a+2b)b=ab+2|b|2=1xxC0S3+2x41. 以a+2b與b的夾角為n答案A求向量夾角問題的方法當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角6,需求出ab及|a|,|b|或得出

15、它們之間的關(guān)系。152若已知a=(X1,yj與b=(X2,曲，則cos<a,b=2(2k3)6=0,解得k=3。故選C答案C兩個(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，即：a=(xi,yi),b=(X2，y2)，貝Ua丄b?ab=0?xx+y$2=0。應(yīng)認(rèn)識(shí)到此充要條件對(duì)含零向量在內(nèi)的所有向量均成立，因?yàn)榭梢暳阆蛄颗c任意向量垂直?！绢}點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1.(方向1)平面向量a與b的夾角為60°a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=()A.6B.36C.23D.12解析因?yàn)閍=(2,0)，所以|a|=2,又|b|=1,向量a與向量b的夾角為60°,所以|a+2b|2=(a

16、+2b)2=a2+4ab+4b2=4+4X2X1Xcos60°4=12,所以|a+2b|=2萌。故選C。3本趣還矽認(rèn)飛用認(rèn)下方比：解析：2. 如圖，作出AB=a,AD=2b,則以AB,AD為鄰邊作平行四邊形tABCD，可得AC=a+2b,所以|a+2b|=AC,由題意知/DAB=60°,AB=AD=2，所以在厶ABC中，AB=BC=2,/ABC=120°,故AC2=AB2+BC22ABBCcos120°=4+42X2X2X-=12,貝V|a+2b|=AC=23。故選C答案C（方向2）已知單位向量a,b滿足|a+b|=|ab|,貝Ua與b-a的夾角是（)n

17、nA.-6B.3n3nC.4D.4解析因?yàn)閨a+b|=|ab|,所以(a+b)2=(ab)2,整理得ab=0在平面直角坐標(biāo)系中作出a,b,ba，如圖，易知a與ba的n夾角是才。故選D。答案D（方向3）設(shè)非零向量a,b滿足|2a+b|=|2ab|,則（）A.a丄bB.|2a|=|b|C.a/bD.|a|<|b|解析因?yàn)閨2a+b|=|2ab|,所以（2a+b）2=（2ab）2,化簡(jiǎn)得ab=0,所以a丄b。故選A。1矽QtBSOft用1JVF如*FT雄n解析：記c=2a,則由|2a+b|=|2ab|得|c+b|=|cb|,由平行四邊形法則知，以向量c,b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線相等，所以該

18、四邊形為矩形，故c丄b即a丄b。故選A答案A匾教師備用題1.（配合例1使用）如圖，平面四邊形ABCD中，/ABC=ZADC=90°BC=CD=2,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，AC=4,AE=1,則EBED的值為（）A.17B.13C.5D.1解析因?yàn)?ABC=ZADC=90°BC=CD=2,AC=4,所以AB=AD=2©，/BAC=ZDAC=30°所以EBED=(EA+AB)(EA+AD)=EA2+EAAD+EAAB+ABAD=1+1X23xcos150+1x2.3xcos150+2:.3x2l3xcos60=133+6=1。故選D。答案D2.(配合例2使用)已

19、知GABC所在平面上一點(diǎn)，且GA+GB+GC=0,ZA=60°ABAC=2，則AG|的最小值為。一T1解析由題意得點(diǎn)G為厶ABC的重心，則AG=3(AB+AC)，所以ag2=TTTiTTTT+AC2+2ABAC)=1(AB2+AC2+4)。因?yàn)锳BAC=TTTTT21TT|AB|AC|cos60=2,所以|AB|AC|=4，所以AG2>§(2|AB|AC|+4)=12,當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|AC|=2時(shí)，等號(hào)成立，所以AG|穿，T23即|AG|的最小值為23-。2. 答案233(配合例3使用)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=BC=AB1=2DC=2,點(diǎn)E,F分別為線段

20、AB,BC的三等分點(diǎn)，0為DCTT的中點(diǎn)，貝ycosFE,OF=。解析以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接OB,可得BOC為等邊三角形，易知A(-1,3),B(1,3),C(2,0)，貝yEI-3，V3F善，譽(yù)。所以O(shè)F=律，233J,FE=53,故cosFE,TOFTTFEOFTT|FE|OF|1答案2乎面向量的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)于平面向量在平函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面的應(yīng)用。平面向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)在平行四邊形ABCD中，AD=1,ZBAD=60°E平面向量具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系，所以平面向量的應(yīng)用非常廣泛，面幾何、類型

21、一【例1】為CD的中點(diǎn)。若ACBE=1，貝UAB=。(2)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+XAB+AC),宏(0,+)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過厶ABC的()A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心解析(1)在平行四邊形ABCD中，BE=BC+CE=AD-1AB,TAB)aD-1ABT21TTT=AD22ADAB+ADAB-2AB2=|AD|2+1|AD又因?yàn)锳C=AD+AB,所以ACBE=(AD+所以1-|AB|2TTXAB+AC),根|AB|cos60-1|AB|2=1+1X2|ab|-2|AB|AB|=0,又AB|m0,所以|AB|=2。TTTTT

22、(2)由原等式，得OPOA=XAB+AC)，即AP=TTT據(jù)平行四邊形法則，知AB+AC=2AD(D為BC的中點(diǎn))，所以點(diǎn)P的軌跡必過ABC的重心。故選Co1答案(1)2(2)C向量與平面幾何綜合問題的解法坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決。2.基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解?！咀兪接?xùn)練】已知O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上TT不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+ABTAC疋（0,+），則（）|AB|cosB|AC|cosCA.動(dòng)點(diǎn)P

23、的軌跡一定通過厶ABC的重心動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過厶ABC的內(nèi)心動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過厶ABC的外心D.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過厶ABC的垂心(tT、TTABAC丨TT解析因?yàn)镺P=OA+乙+|,所以O(shè)P-OA=|AB|cosB|AC|cosCfTAB,k+|AB|cosBACT。|AC|cosCT即AP=fTT、AB丄AC'TT|AB|cosB|AC|cosC因?yàn)锳PTBC=TABTtAC|AB|cosBT|AC|cosCTBC=i'TTTT、(TTTT)IABBCACBC_l|AB|BC|coSn-B)|AC|BC|coSCl_入T+TT+T=AB|cosB|AC|cosCAB|c

24、osB|AC|cosCTTk-|BC|+|BC|)=0o所以點(diǎn)P在BC邊的高線上，即P的軌跡一定通過ABC的垂心。答案D類型二平面向量與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用【例2】設(shè)。是兩個(gè)非零向量a,b的夾角，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t,|a+tb|的最小值為1,則下列判斷正確的是（）A.若|a確定，則。唯一確定B.若|b|確定，則。唯一確定c.若。確定，則|b|唯一確定D.若。確定，則|a|唯一確定解析設(shè)g(t)=(a+tb)2=b2t2+2tab+a2,當(dāng)且僅當(dāng)t=-2a-=2b22-時(shí)，g(t)取得最小值1,所以b2x噌_L2abx邑器+a2=1,化簡(jiǎn)得a2sin20=1，所以當(dāng)。確定時(shí)，|a|唯一確定。答案D

25、通過向量的數(shù)量積運(yùn)算把向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，再結(jié)合函數(shù)、不等式的知識(shí)解決，同時(shí)也要注意平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在這方面的應(yīng)用?！咀兪接?xùn)練】(2019福州四校聯(lián)考)已知向量a,b為單位向量，1且ab=2向量c與a+b共線，則|a+c|的最小值為()1B.2c3C.4解析以a+c=(t+1)a+tb，所以(a+c)2=(t+1)2a2+2t(t+1)ab+t2b2，D晅2因?yàn)橄蛄縞與a+b共線，所以可設(shè)c=t(a+b)(tR)，所1因?yàn)橄蛄縜，b為單位向量，且ab=-，所以(a+c)2=(t+1)2-t(t+1)+12=t2+1+1>3，所以|a+護(hù)三3,所以|a+c|的最小值3為"2

26、"。故選D。r本艇還可以來認(rèn)下古注解析：因?yàn)橄蛄縜,b為單位向量，且ab=-舟，所以向量a,b的夾角為120°°在平面直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)向量a=(1,0),b=2,，則a+b=2"2，因?yàn)橄蛄縞與a+b共線，所i22丿/2J以可設(shè)c=t；,¥(tR)，所以a+c=1+2，乎t所以|a+c|=、/1+2?"+普=712+t+1，所以|a+©的最小值為書。故選D。答案D類型三平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用【例3】已知在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b,c,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),mn=

27、sin2C。(1)求角C的大??；TTT若sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,且CA(ABAC)=18,求c。解(1)mn=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),對(duì)于ABC,A+B=n-C,0<C<n,所以sin(A+B)=sinC,所以mn=sinC,又mn=sin2C,1所以sin2C=sinC,cosC=q，又因?yàn)镃(0,n,所以C=3。由sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列，可得2sinC=sinA+sinB,由正弦定理得2c=a+b。TTTTT因?yàn)镃A(ABAC)=18,所以CACB=18,即abcosC=18,ab=36。1. 由余弦定理得c2=a2

28、+b22abcosC=(a+b)23ab,所以c2=4c23X36,c2=36，所以c=6解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決。2. 還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識(shí)?！咀兪接?xùn)練】(2019惠州模擬)若OABC所在平面內(nèi)任-TTTTT點(diǎn)，且滿足(OBOC)(OB+OC2OA)=0,則厶ABC的形狀為()B.直角三角形D.等腰直角三角形A.等腰三角形C.等邊三角形TTT即CB(AB+AC)=0,TTTTT解析因?yàn)?OBOC)(OB+OC2OA)=0,TTTTTT(ABAC)(AB+AC)=0，即|AB|=AC|，所以ABC是等腰三角形。故選A。答案A類型四平面向量與解析幾何的綜合應(yīng)用【例4】