復旦大學大學物理力學課件Ch4_part_I-1

1、牛頓第二定律牛頓第二定律外力的作用，質點產(chǎn)生加速度，運動外力的作用，質點產(chǎn)生加速度，運動狀態(tài)發(fā)生變化。狀態(tài)發(fā)生變化。力的作用需要持續(xù)一段時間，或者需要持續(xù)一段距離，力的作用需要持續(xù)一段時間，或者需要持續(xù)一段距離，這就是這就是力對時間的累積作用力對時間的累積作用和和力對空間的累積作用力對空間的累積作用。第四章第四章 質點系質點系 動量動量 角動量角動量動量變化定理動量變化定理和和動量守恒動量守恒1動量和沖量的概念動量和沖量的概念2動量定理動量定理 3平均沖力的計算平均沖力的計算 4質點系的動量定理質點系的動量定理5動量守恒定律動量守恒定律 6變質量體系運動方程變質量體系運動方程動量變化定理和動量

2、守恒動量變化定理和動量守恒一、沖量一、沖量沖量是表征力持續(xù)作用一段時間沖量是表征力持續(xù)作用一段時間的累積效應；的累積效應； 矢量：矢量： 大小和方向；大小和方向；過程量過程量1, 若質點受恒力的作用， 在t 時間內所受的沖量為：tFItFFt1t2)(tFt2t1tn2, 若質點受變力的作用， 在t1t2 時間內所受的沖量為：21ttnntFI21ttdtFI積分形式微分形式dtFId2、動量、動量 定義：物體的質量與速度的乘積叫做物體的動量定義：物體的質量與速度的乘積叫做物體的動量 vmP 動量是矢量，大小為動量是矢量，大小為 mv，方向就是速度的方向；，方向就是速度的方向； 表征了物體的運

3、動狀態(tài)表征了物體的運動狀態(tài), 是個瞬時量。是個瞬時量。 dtPdvmdtddtvdmamF)(牛頓第二定律牛頓第二定律amF牛頓第二定律的另外一種表示方法牛頓第二定律的另外一種表示方法 dtPdF3、動量定理、動量定理2 21 12 21 1 t tt tP PP PI IF Fd dt t 在給定的時間間隔內，外力作用在質點上的沖量，等于在給定的時間間隔內，外力作用在質點上的沖量，等于該質點在此時間內動量的增量該質點在此時間內動量的增量動量定理動量定理 2121ttPPdtFPddtFPd dtPdF t1t2)(tF1v2v說明說明沖量的方向不是與動量的方向相同，而是與動量增沖量的方向不是

4、與動量的方向相同，而是與動量增量的方向相同量的方向相同動量定理說明質點動量的改變是由外力和外力作用動量定理說明質點動量的改變是由外力和外力作用時間兩個因素，即沖量決定的時間兩個因素，即沖量決定的動量定理的分量表示動量定理的分量表示zztzzyytyyxxtxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI121212 動量定理的成立條件動量定理的成立條件慣性系。慣性系。 利用動量定理計算平均沖力利用動量定理計算平均沖力 12vm-vm PdtFI tPF 應用：應用： 利用沖力：利用沖力： 增大沖力，減小作用時間增大沖力，減小作用時間 沖床沖床 避免沖力：避免沖力： 減小沖力，增大作用時間減

5、小沖力，增大作用時間 輪船靠岸時的緩沖輪船靠岸時的緩沖 dtFttF)(12例例1、質量為質量為2.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s的速率的速率飛來，被板推擋后，又以飛來，被板推擋后，又以20m/s的速率飛的速率飛出。設兩速度在垂直于板面的同一平面內，出。設兩速度在垂直于板面的同一平面內，且它們與板面法線的夾角分別為且它們與板面法線的夾角分別為45o和和30o，求：（求：（1）乒乓球得到的沖量；（）乒乓球得到的沖量；（2）若撞）若撞擊時間為擊時間為0.01s，求板施于球的平均沖力的求板施于球的平均沖力的大小和方向。大小和方向。45o 30o nv2v145o 30o nv2v1Oxy解：取擋

6、板和球為研究對象，由于作用解：取擋板和球為研究對象，由于作用時間很短，忽略重力影響。設擋板對球時間很短，忽略重力影響。設擋板對球的沖力為的沖力為F則有：則有：12vmvmdtFI tFmvmvdtFItFmvmvdtFIyyyxxx 45sin30sin45cos)(30cos12122.5g m/s20 m/s10 0.01s21 m vvtN14. 6 N7 . 0 N1 . 622 yxyxFFFFF 為為 I 與與x方向的夾角。方向的夾角。 1148.0tg xyII Ns1014. 6222 yxIIINs007. 0 Ns061. 0 yxII6.54 質點系的動量定理質點系的動量

7、定理1、兩個質點的情況、兩個質點的情況 20222212101111212121vmvmdtFFvmvmdtFFtttt )()(20210122112112212121vmvmvmvmdtFFdtFFtttt 2112FF )()(20210122112121vmvmvmvmdtFFtt 作用在兩質點組成的系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內兩質作用在兩質點組成的系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內兩質點動量之和的增量，即系統(tǒng)動量的增量。點動量之和的增量，即系統(tǒng)動量的增量。2、多個質點的情況、多個質點的情況iFjFijFjiF0jiijFF211tniitIFdt外外221111()0ttnnijiiiit

8、tIFdtFFdtj內內2、多個質點的情況、多個質點的情況 niiiniiittniittniivmvmdtFdtF101112121內內外外 niiF00內內 niiiniiittvmvmdtF10121外力外力0PPI作用在系統(tǒng)的合外力的沖量等于作用在系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量系統(tǒng)動量的增量質點系的動質點系的動量定理量定理000zzzyyyxxxPPIPPIPPI牛頓定律牛頓定律動量定理動量定理力的效果力的效果 力的力的瞬時瞬時效果效果力對時間的力對時間的積累積累效果效果關系關系牛頓定律是動量定理牛頓定律是動量定理的的微分微分形式形式動量定理是牛頓定律的動量定理是牛頓定律的積分積

9、分形式形式適用對象適用對象 質點質點質點、質點、質點系質點系適用范圍適用范圍 慣性系慣性系慣性系慣性系解題分析解題分析必須研究必須研究質點在每時質點在每時刻刻的運動情況的運動情況只需研究質點（系）只需研究質點（系）始始末兩狀態(tài)末兩狀態(tài)的變化的變化動能定理和動量定理的比較動能定理動量定理kEWPI力對時間的累積作用力對時間的累積作用力對空間的累積作用力對空間的累積作用標量矢量慣性系慣性系內力作功不一定為零內力沖量為零合外力為零， 作功不一定為零合外力為零， 總的沖量一定為零都是從牛頓定律推出都是從牛頓定律推出動量守恒定律動量守恒定律當系統(tǒng)所受合外力為零時，即當系統(tǒng)所受合外力為零時，即F外外=0時

10、，系統(tǒng)的動量的增量時，系統(tǒng)的動量的增量為零，即系統(tǒng)的總動量保持不變?yōu)榱?，即系統(tǒng)的總動量保持不變0 0 0 zzizizyyiyiyxxixixFCvmpFCvmPFCvmP恒矢量恒矢量 niiivmP1PvmvmdtFniiiniiitt10121外力0外力F0P動量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向為零）動量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向為零）說明說明守恒的意義：守恒的意義：動量守恒是指系統(tǒng)的總動量的矢量和不變，動量守恒是指系統(tǒng)的總動量的矢量和不變，而不是指某一個質點的動量不變。而不是指某一個質點的動量不變。守恒的條件：守恒的條件：系統(tǒng)所受的合外力為零。系統(tǒng)所受的合外力為零。

11、 在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間極短的過程在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間極短的過程 中，往中，往往可忽略外力（外力與內力相比小很多）往可忽略外力（外力與內力相比小很多） - 近似守恒條件近似守恒條件。內力的作用：內力的作用：不改變系統(tǒng)的總動量，但可以引起系統(tǒng)內動不改變系統(tǒng)的總動量，但可以引起系統(tǒng)內動量分布的變化量分布的變化動量守恒定律動量守恒定律是物理學中最普遍、最基本的定律之一。是物理學中最普遍、最基本的定律之一。 雖然是由牛頓定律導出，但是比牛頓定律更普遍。雖然是由牛頓定律導出，但是比牛頓定律更普遍。解題步驟：解題步驟：1選好系統(tǒng)，分析要研究的物理過程；選好系統(tǒng)，分析要研究的物理過程；

12、2進行受力分析，判斷守恒條件；進行受力分析，判斷守恒條件；3確定系統(tǒng)的初動量與末動量；確定系統(tǒng)的初動量與末動量；4建立坐標系，列方程求解；建立坐標系，列方程求解；5必要時進行討論。必要時進行討論。注意：注意： 動量守恒是相對于同一個慣性系而言的，動量守恒是相對于同一個慣性系而言的， 因此所有的因此所有的物理量都要轉化為同一個慣性系里的量。物理量都要轉化為同一個慣性系里的量。例題：水平光滑鐵軌上有一車，長度為例題：水平光滑鐵軌上有一車，長度為l，質量為質量為m2，車的一端有一人（包括所騎，車的一端有一人（包括所騎自行車），質量為自行車），質量為m1，人和車原來都靜，人和車原來都靜止不動。當人從車

13、的一端走到另一端時，止不動。當人從車的一端走到另一端時，人、車各移動了多少距離？人、車各移動了多少距離？ 解：以人、車為系統(tǒng)，在水平方向上不受外力作用，動量守恒。解：以人、車為系統(tǒng)，在水平方向上不受外力作用，動量守恒。建立如圖所示的坐標系，有建立如圖所示的坐標系，有m1v1-m2v2=0 或或 v2=m1v1/m2人相對于車的速度人相對于車的速度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2設人在時間設人在時間t 內從車的一端走到另一端，則有內從車的一端走到另一端，則有 tttdtvmmmdtvmmmudtl01221012210在這段時間內人相對于地面的位移為在這段時間內人相對于地面的位移為 l

14、mmmdtvxt212011小車相對于地面的位移為小車相對于地面的位移為 lmmmxlx21112 例例 一炮彈發(fā)射后在其運行軌道上的最高點一炮彈發(fā)射后在其運行軌道上的最高點 h19.6 m 處炸裂成處炸裂成質量相等的兩塊。其中一塊在爆炸后質量相等的兩塊。其中一塊在爆炸后 1 秒鐘落到爆炸點正下方秒鐘落到爆炸點正下方的地面上，設此處與發(fā)射點的距離的地面上，設此處與發(fā)射點的距離S1100米米, 問另一塊落地點問另一塊落地點與發(fā)射點的距離是多少？（空氣阻力不計，與發(fā)射點的距離是多少？（空氣阻力不計，g = 9.8m/s2)解：解：已知第一塊方向豎直向下已知第一塊方向豎直向下2112hvtgt st

15、1為第一塊落地時間為第一塊落地時間1114.7/yvvm s v2yhxv1hS1爆炸中（爆炸中（忽略重力忽略重力）系統(tǒng)動量守恒）系統(tǒng)動量守恒炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射后后到到最最高高點點用用時時為為t2211211022xxyymvmvmvmvmv1/2mv2/2mvx22100/xxvvm s2114.7/yyvvm s v2yhxv1hS11xSv t50/xvm s12100tsSm第二塊作斜拋運動第二塊作斜拋運動mv1/2mv2/2mvx可得第二塊碎片落地點的水平位置：可得第二塊碎片落地點的水平位置：2500 xm21222222212xyxSv tyhv tgt落地時落地時，2220,42y

16、tsts （舍去舍去） 例 質量為M的人，手里拿著質量為m的物體，此人用與地平線成 的速度v0 向前跳去，當他到達最高點時，把物體以相對于自己以速度u向后拋出，問由于物體的拋出，他跳過的距離與不拋物體時相比可增加多少？m MRR+RxyuVO人不向后拋出物體，所跳過的距離：解 取地面坐標系，用動量守恒定律求解 人在最高點向后拋出物體的過程動量守恒定律：202sincosvRg0()()cosMVm VumM vm MRR+RxyuVO拋出物體后人的速度： 0cosmuVvmM比不拋出物體時速度增加了：muVmM拋出物體后多跳過的距離：0sinvmumMg2TRV tV 例長 L、質量 M 的平

17、板放在光滑水平面上，質量 m 的小木塊以水平初速 v0 滑入平板上表面，兩者間摩擦系數(shù)為，試求小木塊恰好未能滑離平板上表面的條件。mv0M, L小木塊運動到平板右端時與平板速度相同0)(mvvmM過程中 m 與 M 間一對摩擦力作功mgLW地面慣性系中動能定理2021221)(mvvmMWgLMmMv220解：解：變質量體系問題變質量體系問題2007年年10月月24日，嫦娥一號日，嫦娥一號2010年年10月月1日，嫦娥二號日，嫦娥二號2011年年9月月29日天宮一日天宮一號號一、火箭運動的微分方程一、火箭運動的微分方程在在t 時刻，時刻，火箭與燃料的總質量火箭與燃料的總質量為為M，速度為，速度

18、為v；在在tt+t時間間隔內，有質量為時間間隔內，有質量為m的燃料變?yōu)闅怏w，并以速度的燃料變?yōu)闅怏w，并以速度u相對火箭噴射出去。相對火箭噴射出去。在時刻在時刻t+t火箭相對選定的慣性參火箭相對選定的慣性參考系的速度為考系的速度為v+v，而燃燒氣體，而燃燒氣體粒子相對選定的慣性參考系的速度粒子相對選定的慣性參考系的速度則為則為v-u。 vMtp p p t tt tM Mm mv vv vm m v vu u p pp p t tt tp p t tM Mv vu um m dtdmudtvdMdtpd dtdMdtdm dtdMudtvdMdtpd dtdMudtvdMdtpdF dtdMuF

19、dtvdM dtdMu叫作火箭發(fā)動機的推力叫作火箭發(fā)動機的推力 p pp p t tt tp p t tM Mv vu um m 二、火箭運動的速度公式二、火箭運動的速度公式對于在遠離地球大氣層之外，星際空間中飛行的火箭，可對于在遠離地球大氣層之外，星際空間中飛行的火箭，可以認為系統(tǒng)不受外力作用，即以認為系統(tǒng)不受外力作用，即F=0dMuvMddtdMudtvdM MMvvMdMuvd00MMuMMuvv000lnln MMuvv00lnM0/M叫做質量比叫做質量比dtdMuFdtvdM 三、多級火箭三、多級火箭nnnNuvvNuvvNuvlnlnln121211 質量比質量比Ni =M0/M)

20、ln )lnlnln2121nnnNNNuNNNuv（ 但級數(shù)越多，技術越復雜。一般采用三級火箭。但級數(shù)越多，技術越復雜。一般采用三級火箭。變質量體系運動方程變質量體系運動方程mdmvvdtFtmdmvdvtdt動量定理：動量定理：PddtF)()(vdmvmvdvdmmdmvdmvvmddtdmvvFdtvmd)(dtdmuFdm0，表示質量增加。d0，表示質量降低。vvu()()()()d mvmdvvdmd mvmdvvdmd mvdmd mvdmFvFvdtdtdtdt 例 一柔軟鏈條長為l，單位長度的質量為。鏈條放在桌上，桌上有一小孔，鏈條一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周圍。由于

21、某種擾動,鏈條因自身重量開始落下。求鏈條下落速度與落下距離之間的關系。設鏈與各處的摩擦均略去不計，且認為鏈條軟得可以自由伸開。 解 考慮豎直懸掛的鏈條m1m2Oyy()()()()0 0d mvdyvdyd mvdyvdydtdydtdtdydtdmdmFygFygdtdt ()()d mvdmd mvdmFvFvdtdtdtdt 22232223112112()()233233yvd yvy gdyy vgyvgyyvd yvy gdyy vgyvgy例 柔體的提升桌面上有一段柔軟的繩子，被勻速地提升，試求提升力。設繩質量線密度為（kg/m），上升速度為v0。OyFv0解：變質量系統(tǒng)，離開桌

22、面部分動量改變率為：2 2000000()()()()d mvddyd mvddyyvvvyvvvdtdtdtdtdtdt垂直線段y受外力有：提升力F和重力-yg()()d mvdmd mvdmFvFvdtdtdtdt 變質量運動方程：2 20 02 20 000 v vvFFygvFFygFygvFygv 例 一根完全柔軟的質量均勻分布的繩子豎直的懸掛著，其下端剛與地面接觸.此時放開繩子，從靜止狀態(tài)開始下落.已知繩子質量為M,長為l，求下落到所剩長度為z時，地面對這段繩子的作用力.zOzzl 22 ()3 ()MMFvg lzllMFNmgNlzglMNg lzlzOzzl 繩子上端的下落速

23、度為 2 2v vg gl lz z 以地面上的繩子為研究對象：v=0 M Mm ml lz zl ld d m mM Mv vd d t tl l dtdmvvFdtvmd)(變質量體系運動方程變質量體系運動方程0mdvdt接觸階段：接觸階段： 兩球對心接近運動兩球對心接近運動形變產(chǎn)生階段：形變產(chǎn)生階段：兩球相互擠壓，最后兩球速度相同兩球相互擠壓，最后兩球速度相同動能轉變?yōu)閯菽軇幽苻D變?yōu)閯菽苄巫兓謴碗A段：形變恢復階段：在彈性力作用下兩球速度逐漸不同而分在彈性力作用下兩球速度逐漸不同而分開運動開運動勢能轉變?yōu)閯幽軇菽苻D變?yōu)閯幽芊蛛x階段：分離階段： 兩球分離，各自以不同的速度運動兩球分離，各自以

24、不同的速度運動兩兩體碰撞體碰撞碰撞符合動量守恒定律的適用條件碰撞符合動量守恒定律的適用條件完全彈性碰撞：完全彈性碰撞： 系統(tǒng)動能守恒系統(tǒng)動能守恒非彈性碰撞：非彈性碰撞： 系統(tǒng)動能不守恒系統(tǒng)動能不守恒完全非彈性碰撞：完全非彈性碰撞： 系統(tǒng)以相同的速度運動系統(tǒng)以相同的速度運動分類：分類：由動量守恒守恒和總動能守恒：彈性碰撞彈性碰撞如圖所示這是 彈性碰撞所應遵循的兩個一般關系12121122m vm vm vm v2211221122m vm v2211221122mvm vm22v1vm11 v2 v一維彈性碰撞一維彈性碰撞兩球兩球m1，m2對心碰撞，碰撞對心碰撞，碰撞前速度分別為前速度分別為v1

25、0 、v20，碰撞，碰撞后速度變?yōu)楹笏俣茸優(yōu)関1、v2由上面兩式可得由上面兩式可得(3) 22021011vvmvvm(4) 222202210211vvmvvm動量守恒動量守恒(1) 2021012211vmvmvmvm(2) 2121212122022101222211vmvmvmvm動能守恒動能守恒(4)/(3)得得(5) 122010202101vvvvvvvv碰撞前兩球相互趨近的相對速度（碰撞前兩球相互趨近的相對速度（v10-v20 ）等于碰撞后兩球相）等于碰撞后兩球相互分開的相對速度（互分開的相對速度（v2-v1 ）由（由（3）、（）、（5）式可以解出）式可以解出 21101201

26、22212021021122mmvmvmmvmmvmvmmv 若若v20=021101221102112mmvmvmmvmmv討論討論若若m m1 1=m=m2 2，則，則v v1 1=v=v2020，v v2 2=v=v1010，兩球碰撞時交換速度兩球碰撞時交換速度。若若m m2 2mm1 1，且，且v v2020= =0 0，則，則v v1 1vv1010，v v2 22v2v1010，即一個質量很大的球體，當它的與質量很小的球即一個質量很大的球體，當它的與質量很小的球體相碰時，它的速度不發(fā)生顯著的改變，但是質體相碰時，它的速度不發(fā)生顯著的改變，但是質量很小的球卻以近似于兩倍于大球體的速度

27、運動量很小的球卻以近似于兩倍于大球體的速度運動。若若v v2020= =0 0，m m1 1mm2 2，則，則v v1 1 - v - v1010，v v2 2= =0 0，m m1 1反彈，反彈，即質量很大且原來靜止的物體，在碰撞后仍保持即質量很大且原來靜止的物體，在碰撞后仍保持不動，質量小的物體碰撞后速度等值反向不動，質量小的物體碰撞后速度等值反向。完全彈性碰撞完全彈性碰撞（五個小球質量全同）（五個小球質量全同）完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運動碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運動 v1 1= =v2 2= =v動量守恒動量守恒 vmmvmvm21202101 21202101m

28、mvmvmv 動能損失為動能損失為 220102111221220221012 212121vvmmmmvmmvmvmE 非完全彈性碰撞非完全彈性碰撞恢復系數(shù)恢復系數(shù)牛頓提出碰撞定律：碰撞后兩球的分離牛頓提出碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度速度v2-v1與碰撞前兩球的接近速度與碰撞前兩球的接近速度v10-v20之比為一定值，比值由兩球材料得性質之比為一定值，比值由兩球材料得性質決定。該比值稱為決定。該比值稱為恢復系數(shù)恢復系數(shù)。201012vvvve 21101201222120210211)1()1(mmvmevemmvmmvmevemmv 完全非彈性碰撞：完全非彈性碰撞：e=0，v2=v1完全

29、彈性碰撞：完全彈性碰撞：e=1， v2-v1 = v10-v20 非完全彈性碰撞：非完全彈性碰撞：0e1動量守恒動量守恒 例例 通常用沖擊擺來測量通常用沖擊擺來測量 高速高速運動物體的速度運動物體的速度。MlM+m碰撞前后，水平方向動量守恒：碰撞前后，水平方向動量守恒：細繩張力始終垂直于其位移方向，不作功；細繩張力始終垂直于其位移方向，不作功；只有重力作功只有重力作功機械能守恒！機械能守恒！入射物體的速度：入射物體的速度：只需測量復擺所擺動的最大角度即可。只需測量復擺所擺動的最大角度即可。2()sin(/ 2)mMvglM21()()(1cos)2mMumMglumMmv)( uvm碰撞后，兩

30、者一起運動，速度為碰撞后，兩者一起運動，速度為umvmhMk 例例 考察如圖示兩考察如圖示兩物體間的完全非彈性碰撞碰物體間的完全非彈性碰撞碰撞撞，求彈簧對地面的最大壓力。，求彈簧對地面的最大壓力。(注意勢能零點選擇注意勢能零點選擇)mhMkM+m解：解：由于豎直方向上有重力、彈性力的作用，動量由于豎直方向上有重力、彈性力的作用，動量 不嚴格守恒。不嚴格守恒。 由于碰撞過程時間很短，與沖擊力相比，上述由于碰撞過程時間很短，與沖擊力相比，上述作用力的沖量可忽略不計。則作用力的沖量可忽略不計。則碰撞時豎直碰撞時豎直方向近似動量守恒方向近似動量守恒碰撞后的機械能守恒碰撞后的機械能守恒勢能零點勢能零點1xMkl0mhMkM+m2x豎直方向動量守恒豎直方向動量守恒對地面壓力：對地面壓力：2()Nfkx00()2mvMm Vvgh碰撞后的機械能守恒碰撞后的機械能守恒2()1()hkNMm gmgMm g2211222111()()() ()2210()() ()2()Mm V