專題六 GARCH類模型PPT精選文檔

1、1專題六 GARCH類模型2專題內(nèi)容 ARCH模型及其參數(shù)估計 GARCH模型及其參數(shù)估計 EGARCH模型 TGARCH模型 GARCH-M模型 案例分析3ARCH模型 ARCH模型。由Engle(1982)引入。, 2 , 1, 2 , 1, 0, 0)(, 2 , 1,)var(, 0)()(01)()var(, 0)(),(0022222211022221222110tqiqARCHARCHqtEqARzzzPARExxxPARpxttittttttqtqtttttpptttttttt；為它滿足：的分布是受約束的，因注意：白噪聲過程。一般還假設(shè)。過程，記作階的服從則稱獨(dú)立同分布，且有其

2、中，過程服從，它的平方若一個隨機(jī)過程外。所有的根都在單位圓之的特征根多項(xiàng)式過程是一穩(wěn)定過程，它。過程，且為獨(dú)立同分布的白噪聲其中，如果階的自回歸表示形式有一個隨機(jī)變量4ARCH模型2211022122210222102212),|(1)()(10, 001qtqtqttttqtttqiqqtEARCHtARCHEqARCHzzz公式計算。干擾的函數(shù)，可由遞推隨機(jī)過程的條件方差時過去，的方法。在每一個時刻件方差出了計算時間序列的條模型的重要特征是：給為一常數(shù)。的無條件方差為，那么這樣，若成立，則等價于。若的所有根均在單位圓外根方程為一個平穩(wěn)過程，特征為了確保5ARCH模型：ML估計服從非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

3、分布。）（服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；）（考慮兩種情況：模型的參數(shù)估計，這里。其中，可以表示為：值。中可以包括滯后的為已知的回歸變量，其模型中的。，。估計所用數(shù)據(jù)為已知，并記個觀察值的前一般假設(shè)。為了計算方便起見，針對如下模型：ttqtqtttttttttTqqtttttvvARCHhvhqARCHyXyyyyyyqyqARCHXy21,)(,)(22222110210216ARCH模型：ML估計。這里同理：。這里的分布如下：因此。進(jìn)一步這里服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則的分布，由于觀察第一個樣本。令。其中：服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布針對如下模型222222111021211211220010112111111121121

4、12200101212122010111111011011)()()(,2)(exp21),|()()()(,2)(exp21),|()()()(), 0(,)(,)(XyXyXyhhXyhYXyfXyXyXyhhXyhYXyfyXyXyXyhhhNvyXXXXyyyyYqARCHXyvqtqtqttttttttttttqqqqqqqqqttqttttttt7ARCH模型：ML估計)( ,)( , 1 )(,0/)(2221)()(121)(ln21);Y,|(ln)(/)(21)ln(21)2ln(2);,|(ln)(:,)(,)(22111222221t12111101XyXyzhXzXh

5、hhhXyXyhhXyflhXyhTYXyfLqARCHXyvqtqttttttttqjjtjtjttttttttttttttTttttTttTttttqtttt這里令然函數(shù)回歸模型的條件對數(shù)似。，和要估計的參數(shù)包括。其中：服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布針對如下模型8ARCH模型：ML估計的解。為方程：的最大似然估計參數(shù)向量0)(ln0/)(2)(121)()(121)(ln21)(ln)(ln)()(ln112212221LhXzXhhhhXyXyhhLLlLTtttttqjjtjtjtttTtttttttttTtt9ARCH模型：ML估計TttttttTtjtjttjtqjjtttttddhTIXLET

6、IXXhhXXTIXLETIINTINT1212122121211)()z(z21Y,|)(ln121Y,|)(ln1,), 0()(), 0()(，其一致估計值為，其一致估計值為這里態(tài)的極限分布：在一定的條件下，有正是一致的估計，和計值通過計算可以得到，估10ARCH模型式更加復(fù)雜。的一階和二階偏微分形。其中需要估計的參數(shù)為其對數(shù)似然函數(shù)為：這里密度函數(shù)可寫成：有條件方差過程。相應(yīng)于樣本分布的服從有如果。其中：服從非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布針對如下模型)(ln,)2()(1ln21)ln(21)2(2/2/ ) 1(ln);,|(ln)(ln,)2(1 )2(2/2/ ) 1()(,)()t()(,)(

7、1212/111222221102/ )1(22/12/111LkkhXykhkkkTYXyfLhkhhkkkfhyyqARCHkqARCHXyvTttttTttTttttqtqtttkttttttTttttt11GARCH模型.)()()(,q,3 , 2 , 1),1 , 0()()(12022110之后多項(xiàng)式的商它可表示成兩個有限階為無窮階滯后多項(xiàng)式：這里，異方差可表示為：條件過程的階數(shù)。令獨(dú)立同分布，且有中，過程假設(shè)在模型引入。為了彌補(bǔ)這一弱點(diǎn)，估計方法的效率會降低參數(shù)估計中迭代過大，在樣本有限時，模型的階數(shù)若的結(jié)構(gòu)：決定于條件異方差模型jjjtttttttqtqttttttLLLLh

8、ARCHTtNvvvhqARCHGARCHqARCHhhvhqARCH12GARCH模型為白噪聲過程。時，；當(dāng)時，當(dāng)。過程，記過程，簡稱該過程即為廣義的其中的常數(shù)項(xiàng)的上述形式下：實(shí)際上，在的根都在單位圓之外。的特征方程：其中，滯后多項(xiàng)式如下：后多項(xiàng)式的商可表示成兩個有限階滯tttrqtqttrtrtttrrrrqqqrqARCHrr,qGARCHGARCHARCHkhhhkhLzzzLLLLLLLLLLL0)(0)()1 ()(01)(1 (1)(1)()(,)(021022222112211022122122113GARCH模型證明略。其中的充分必要條件為和，并有過程是穩(wěn)定的隨機(jī)過程定義的上

9、述重要定理：qiiqiittttstkEqrGARCHh11s10) 1 (,) 1 (1) 1 () 1 ()(0),(cov)1 () 1 (1 ()(D, 0)(),(14GARCH模型。為是穩(wěn)定過程的充分條件根據(jù)前述定理，。參數(shù)滿足如下條件：獨(dú)立同分布，且有其中，過程表示為：金融學(xué)中有很多應(yīng)用。別是在濟(jì)學(xué)的許多領(lǐng)域中，特盡管形式簡單，但在經(jīng)過程。的一種過程。該過程是最簡單1) 1 , 1 (0; 0; 0),1 , 0(;) 1 , 1 () 1 , 1 (11110211110GARCHkNvvhkhvhGARCHGARCHGARCHttttttttt15GARCH模型ML估計 ,

10、, 1 ) 1 , 0(GARCH2121021222211210rqrtttqttttqiitiriitittttttttkhhhzhkhNvvhXy估計。令模型的參數(shù)的極大似然回歸模型：考慮16GARCH模型ML估計，就可得到一致估計只需估計的信息矩陣則參數(shù)注意到：其中，到的一階和二階微分，得求關(guān)于先對示為模型的對數(shù)似然函數(shù)表tttttTttttttriitittTttttttTttttttTtttttTtttTtTttthYXLETIYXhhhhEhzhhhhhhhhhLhhhLLhhTlLGARCH,|)(ln10,| 21) 1()(2121) 1()(ln) 1(21)(ln)(l

11、n21)ln(21)2ln(2)()(ln121112112211221211121117GARCH模型ML估計qjitiqjjtjtjtTttttttTtttttTttttttTttttTtttttTttttTtttTtTttthXhhhhhhXhhhhhXXhLhhhhXLLhhTlLGARCH1111212122112121111211221) 1(221)(ln) 1(21)(ln)(ln21)ln(21)2ln(2)()(ln其中，到的一階和二階微分，得求關(guān)于先對示為模型的對數(shù)似然函數(shù)表18GARCH模型ML估計)ln(), 0()(t21tdfENT有正態(tài)的極限分布：時，當(dāng)19不對

12、稱的GARCH模型 針對股票價格變動，可以經(jīng)常觀察到，信息沖擊下，向下波動性要強(qiáng)于向上波動性。為了解釋這種想象，Engle and Ng (1993) 采用如下曲線來表述不對稱的信息影響特征20不對稱的GARCH模型 不對稱的GARCH模型類型多樣，這里主要介紹兩種： EGARCH TGARCH21EGARCH模型 EGARCH or Exponential GARCH model 由奈爾遜 (Nelson，1991)提出的。過程服從則稱過程中，在EGARCHvgvEvhvDvEvhARCHtjjtjtjtjtttttt10|)ln(, 1)(, 0)(22EGARCH模型 EGARCH模型中

13、的一個重要特征是在條件方差中引入了參數(shù)g，這使得條件方差在隨機(jī)干擾項(xiàng)取值為正、負(fù)值時有不同程度的變化，從而能更準(zhǔn)確地描述金融產(chǎn)品價格波動的情況。 比如，在股票市場中，若將利好消息看作是對股價的正干擾，將利空信息看作是負(fù)干擾，人們注意到，股價往往對同樣程度的副干擾的反應(yīng)更加強(qiáng)烈。23EGARCH模型 這種正負(fù)干擾的不對稱反映的不對稱性可以有EGARCH模型來描述。 若參數(shù)g取值為負(fù)數(shù)，且大于-1時，那么一個負(fù)干擾所引起的條件方差的變化，比相同程度的正干擾引起條件方差的變化則更大； 若g大于0，同樣程度的正干擾引起條件方差的變化則更大； 若g=0，則條件方差對于正負(fù)干擾的變化是對稱的。24EGAR

14、CH模型 參數(shù)。由于EGARCH條件方差有指數(shù)形式表示，所以無論參數(shù)取何實(shí)數(shù)，條件方差總大于0。這樣在對EGARCH參數(shù)估計時，不需要對進(jìn)行約束。為一穩(wěn)定的隨機(jī)過程。過程成立時，模型中，如下條件：EGARCH12tjjEGARCH25EGARCH模型|lnlnln)(ln1)(1)()()(1)()(2222111122110221221qtqtqtqttttttrtrtttrrqqvgvEvvgvEvvgvEvhhhkhLLLLLLLLLLLL從而，的比，即和有限階的滯后多項(xiàng)式表示成兩個窮階的滯后多項(xiàng)式在一般情況下，可將無26EGARCH模型服從均勻分布。時，隨機(jī)干擾項(xiàng)當(dāng)參數(shù)尾部；服從較正態(tài)

15、分布更薄的時，隨機(jī)干擾項(xiàng)當(dāng)參數(shù)尾部；服從較正態(tài)分布更厚的時，隨機(jī)干擾項(xiàng)當(dāng)參數(shù)服從正態(tài)分布；時，隨機(jī)干擾項(xiàng)當(dāng)參數(shù)被稱為尾部厚度參數(shù)。均為常數(shù)，其中，密度函數(shù)為服從廣義誤差分布，其建議隨機(jī)干擾有更廣泛的應(yīng)用，為了使然方法估計。模型的參數(shù)可由極大似ttttcccctttvcvcvcvccccccvcvfvEGARCHEGARCH222)/3()/1 (20 ;)/1 (2|/|21exp)(Nelson2/1/2/ )1(27EGARCH模型 EVIEWS中使用的模型與Nelson模型有差異。 EVIEWS中使用的模型如下：qiititiititipjjtjttttttttttthhhkhqpEGA

16、RCHhhhkhorvvhkhEGARCH110111111110111110|)ln()ln(),(|)ln()ln(|)ln()ln() 1 , 1 (模型如下：模型如下：28TGARCH模型 正干擾和負(fù)干擾的非對稱的后果也可通過對線性GARCH框架的簡單修正給出。 TGARCH(Threshold ARCH)模型由 Zakoian (1990)以及Glosten, Jaganathan, and Runkle (1993)提出。29TGARCH模型信息影響是不對稱的。如果杠桿效應(yīng)存在如果響為：好消息，負(fù)干擾下的影響為：好消息，正干擾下的影即方差會有不同的效應(yīng)，好消息和壞消息對條件，那么非

17、負(fù)條件成立。，且如果模型如下：模型如下：0,;0,00),(.0,01) 1 , 1 (11111211210111121211110ttqjjtjpiititttttttttdhkhqpTGARCHotherwisedandifdwheredhkhTGARCH30TGARCH和EGARCH模型31ARCH-M模型 在前面討論中，ARCH、GARCH、EGARCH過程主要是描述模型的干擾項(xiàng)的條件方差，一般與yi的條件期望無關(guān)。 但實(shí)際中人們注意到，條件方差的變化往往直接影響到條件期望的值，ARCH-M模型對回歸模型的條件期望和條件方差都作了描述，是對前面討論的ARCH和GARCH模型的推廣。 ARCH-in-Mean (ARCH-M) model (Engle, Lilien, Robins, 1987)。32ARCH-M模型ttttttttttttttttthhghhghgqrGARCHqARCHhhhgNvvvhhgXyMARCH)(2)(1)(EVIEWS.),()()();1 , 0(.,d . i . i ,