常微分方程Ch3圖文

1、1/12常微分方程求下列方程的解求下列方程的解221. (2)0yxy dxx dy2. (cos)cos0yyxydxxdyxx223.yx yxyy4.dyxydxxy2/12常微分方程 (1) (1) 齊次方程齊次方程/Homogeneous /Homogeneous Equation/Equation/ (2) (2) 可化為齊次方程的方程類型可化為齊次方程的方程類型 /Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/2 2 可化為變量分離方程的類型可化為變量分離方程的類型/Classifications of V

2、ariable Separated Equation/Classifications of Variable Separated Equation/3/12常微分方程(1) (1) 齊次方程齊次方程/Homogeneous Equation/Homogeneous Equation/形式形式：)(xygdxdy g (u)為 u 的連續(xù)函數(shù)一般方程的右端函數(shù)一般方程的右端函數(shù) f (x,y) 是是x，y 的零次齊次式的零次齊次式。特點特點：解法解法: :作變量變換作變量變換 uxy 即即 y=ux)(1uugxdxdu劃為變量可分離方程劃為變量可分離方程4/12常微分方程 可化為齊次方程的類型

3、可化為齊次方程的類型 /Classifications of Homogenous/Classifications of Homogenous/形式：222111cybxacybxadxdy(2.5) 2 , 1,icbaiii均為常數(shù)， 且c12+c220，即不同時為零. 1.若02211baba 即2121bbaa設(shè) kbbaa21212121,kbbkaa則原方程可化為:)()(22222122ybxafcybxacybxakdxdy5/12常微分方程令ybxau22dxdybadxdu22)(22ufbadxdu（變量分離方程，即可求解） 2.若02121bbaa則00222111cy

4、bxacybxa.(2.6)有唯一的解:),(令yYxX)()(22222122ybxafcybxacybxakdxdyYyXx 或6/12常微分方程則方程 (2.5) 化為：dXdY為齊次方程, 即可求解。)(2211XYgYbXaYbXadXdYdxdy222111)()()()(cYbXacYbXa)()(2222211111cbaYbXacbaYbXa7/12常微分方程(1) 解代數(shù)方程組 00222111cybxacybxa.(2.6)其解為:yx,(2) 作變換 YyXx,將方程(2.5)化為齊次方程YbXaYbXadXdY2211(3) 再作變換XYU 將其化為變量分離方程即當時

5、，方程(2.5)的求解方法02121bbaa(4) 求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可得原 方程的解。8/12常微分方程類似的方法，可求解更廣泛的方程 P.26)(222111cybxacybxafdxdy例例4 4 求解方程31yxyxdxdy.(2.17)解解 解方程組0301yxyx得 x = 1, y = 2 令21YyXxYXYXdXdY.(2.18)9/12常微分方程再令 uXYXYu即YXYXdXdY.(2.18)即(2.18)可化為:duuuuXdX2211兩邊積分，得:cuuX12lnln22因此ceuuX22) 12(udXduXdXdY uuudXduX11 uuu

6、uuuudXduX1)1 (111 )21 ()21 (2122uuduu記1cec并代回原變量，得:122) 12(cuuX10/12常微分方程并代回原變量，得:1222cXXYY122) 1()2)(1(2)2(cxyxy此外，容易驗證:0122 uu即0222XXYY也是方程(2.18)的解。cxyxxyy26222 其中 c 為任意常數(shù)。 因此原方程(2.17)的通解為:11/12常微分方程變量分離方程與變量變換 可化為齊次方程的類型齊次方程可化為變量分離的類型舉例解法特點變量分離方程本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)/Conclusion/Conclusion/通解的形式及其中任意常數(shù)的意義。注意注意/Note/Note/：12/12常微分方程)( 22xyfdxdyx)( 42xyxfdxdy課堂練習(xí)課堂練習(xí)/Exercise/Exercise/yxpdxdy)( 1yxedxdy 22)(1 3yxdxdyyyyxxxyxdxdy32232332 4思考思考以下方程的求解方法)( 1cbyaxfdxdy0)()( 3dy