同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)課后習(xí)題答案(12)

1、.習(xí)題7-5 1. 求過點(diǎn)(3, 0, -1)且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法線向量為n=(3, -7, 5), 所求平面的方程為 3(x-3)-7(y-0)+5(z+1)=0, 即3x-7y+5z-4=0. 2. 求過點(diǎn)M0(2, 9, -6)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)M0的線段OM0垂直的平面方程. 解 所求平面的法線向量為n=(2, 9, -6), 所求平面的方程為 2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0, 即2x+9y-6z-121=0. 3. 求過(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三點(diǎn)的平面方程. 解 n1=(1,

2、-1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3), n1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0), 所求平面的法線向量為 ,所求平面的方程為 -3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0, 即x-3y-2z=0. 4. 指出下列各平面的特殊位置, 并畫出各平面: (1)x=0; 解 x=0是yOz平面. (2)3y-1=0; 解 3y-1=0是垂直于y軸的平面, 它通過y軸上的點(diǎn). (3)2x-3y-6=0; 解 2x-3y-6=0是平行于z軸的平面, 它在x軸、y軸上的截距分別是3和-2. (4); 解 是通過z軸的平面, 它在xOy面上的投影的斜率為.

3、(5)y+z=1; 解 y+z=1是平行于x軸的平面, 它在y軸、z軸上的截距均為1. (6)x-2z=0; 解 x-2z=0是通過y軸的平面. (7)6x+5-z=0. 解 6x+5-z=0是通過原點(diǎn)的平面. 5. 求平面2x-2y+z+5=0與各坐標(biāo)面的夾角的余弦. 解 此平面的法線向量為n=(2, -2, 1). 此平面與yOz面的夾角的余弦為 ; 此平面與zOx面的夾角的余弦為 ; 此平面與xOy面的夾角的余弦為 . 6. 一平面過點(diǎn)(1, 0, -1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b=(1, -1, 0), 試求這平面方程. 解 所求平面的法線向量可取為 , 所求平面的方程為

4、(x-1)+(y-0)-3(z+1)=0, 即x+y-3z-4=0. 7. 求三平面x+3y+z=1, 2x-y-z=0, -x+2y+2z=3的交點(diǎn). 解 解線性方程組 得x=1, y=-1, z=3. 三個(gè)平面的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, -1, 3). 8. 分別按下列條件求平面方程: (1)平行于zOx面且經(jīng)過點(diǎn)(2, -5, 3); 解 所求平面的法線向量為j =(0, 1, 0), 于是所求的平面為 0×(x-2)-5(y+5)+0×(z-3)=0, 即y=-5. (2)通過z軸和點(diǎn)(-3, 1, -2); 解 所求平面可設(shè)為Ax+By=0. 因?yàn)辄c(diǎn)(-3, 1, -2)在此平面上, 所以 -3A+B=0, 將B=3A代入所設(shè)方程得 Ax+3Ay=0, 所以所求的平面的方程為 x+3y=0, (3)平行于x軸且經(jīng)過兩點(diǎn)(4, 0, -2)和(5, 1, 7). 解 所求平面的法線向量可設(shè)為n=(0, b, c). 因?yàn)辄c(diǎn)(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)與n是垂直的, 即 b+9c=0, b=-9c , 于是 n=(0, -9c, c)=-c(0, 9, -1). 所求平面的方程為 9(y-0)-(z+2)=0, 即9y