函數(shù)的性質(zhì)——奇偶性、單調(diào)性、周期性知識點及題型歸納

1、函數(shù)的性質(zhì)一一奇偶性、單調(diào)性、周期性知識點及題型歸納知識點精講函數(shù)奇偶性定義設y f(x),x D(D為關于原點對稱的區(qū)間)，如果對于任意的 x D ,都有f( x) f (x),則稱函數(shù)y f(x)為偶函數(shù)；如果對于任意的x D,都有f( x) f(x),則稱函數(shù)y f(x)為奇函數(shù).性質(zhì)(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)f (x)是偶函數(shù)函數(shù)f (x)的圖象關于y軸對稱；函數(shù)f(x)是奇函數(shù)函數(shù)f(x)的圖象關于原點中心對稱.若奇函數(shù)y f(x)在x 0處有意義，則有f(0) 0；偶函數(shù)y f(x)必滿足f(x) f(|x|).(4)偶函數(shù)在

2、其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，則函數(shù) f(x)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記一 11g(x) 21f(x) f ( x) , h(x) 21f(x) f( x),則 f (x) g(x) h(x).(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如 f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x).對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶

3、=奇；偶()偶=偶.(7)復合函數(shù)y fg(x)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.函數(shù)的單調(diào)性定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間M D ,若對于任意的x1,x2 M ,當x1 x2時，都有f(xi)f(x2)(或f(xj f(xz),則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間M上是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的，區(qū)間 M為函數(shù)f(x)的一個增(減)區(qū)間.注：定義域中的?2 M具有任意性，證明時應特別指出對于任意的xi,x2 M”.單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間討論的.熟練掌握增、減函數(shù)的定義，注意定義的如下兩種等價形式：設 x1,x2 M a,b且 x1x2，則f(Xi) f(x2)0 f (x)在a,b上

4、是增函數(shù)過單調(diào)遞增函數(shù)圖象上任意不同兩點的割線的斜率恒大于零f(xi) f(x2)x1 x2xix2(xi x2)f(xi) f(x2) 0.f (x)在a, b上是減函數(shù)過單調(diào)遞減函數(shù)圖象上任意不同兩點的割線的斜率恒小于零(xi x2)f(xi) f(x2) 0.性質(zhì)對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：在公共區(qū)間上，增+增=增；減+減=減；增-減二增；減-增=減.1，一一般地，對于乘除運算沒有必然的結(jié)論 .如揩Xt曾二增"不一定成立； 若f(x)為增函數(shù)，則為減函數(shù)f(x)11也是錯誤的.如f (x) x(x R,x 0),則y 為減函數(shù)是不正確的，但若具備如下特殊要求, f(x) x則結(jié)論成

5、立：1若f(x)為增函數(shù)，且f(x) 0(或f(x) 0),則為減函數(shù).f(x)1若f(x)為減函數(shù)，且f(x) 0(或f(x) 0),則為增函數(shù).f(x)復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)的單調(diào)性遵從 同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增(減)函數(shù)，復合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減(增)函數(shù)，復合函數(shù)是減函數(shù).函數(shù)的周期性定義設函數(shù)y f(x)(x D),如存在非零常數(shù) 使得對任何x D,x T D,且f(x T) f(x),則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個周期.若在所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，則這個最小的正數(shù)叫做最小正周期.注：函數(shù)

6、的周期性是函數(shù)的整體”性質(zhì)，即對于定義域 D中的任何一個x ,都滿足f(x T) f(x)；若f(x)是周期函數(shù)，則其圖像平移若干整數(shù)個周期后，能夠完全重合 性質(zhì)若f (x)的周期為則nT(n Z,n 0)也是函數(shù)f(x)的周期，并且有f (x nT) f (x).有關函數(shù)周期性的重要結(jié)論(如表所示)函數(shù)式滿足關系(x R)周期f(x T) f(x)Tf(x T) f(x)2T,1,1f(x T)；f(x T) f(x)f(x)2Tf(x T) f(x T)2Tf (x T) f(x T)4Tf(a x) f(a x) f (b x) f (b x)2(b a)f (a x) f(a x) f

7、 (x)為偶函數(shù)2af (a x) f (a x) f(b x) f(b x)2(b a)f (a x) f (a x) f (x)為奇函數(shù)2af (a x) f (a x)f (b x) f (b x)4(b a)f (a x) f(a x) f (x)為奇函數(shù)4af (a x) f (a x) f (x)為偶函數(shù)4a函數(shù)的的對稱性與周期性的關系(1)若函數(shù)y f(x)有兩條對稱軸x a,x b(a b),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且 T 2(b a);(2)若函數(shù) y f(x)的圖象有兩個對稱中心(a, c), (b, c)(a b),則函數(shù) y f(x)是周期函數(shù)，且T 2(b a)；(

8、3)若函數(shù)y f(x)有一條對稱軸x a和一個對稱中心(b,0)(a b),則函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且 T 4(b a).題型歸納及思路提示題型1 函數(shù)的奇偶性思路提示：判斷函數(shù)的奇偶性，常用以下兩種方法：(1)定義法.首先看定義域是否關于原點對稱；若 f( x) f(x),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；若f( x) f(x),則函數(shù)f (x)為偶函數(shù).(2)圖像法.根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性進行判斷，若函數(shù)f(x)的圖像關于原點中心對稱，則f(x)為奇函數(shù);若函數(shù)f(x)的圖像關于y軸對稱，則f(x)為偶函數(shù).【例2.25】判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) f(x).36 x2|x 3| 3(4) f (

9、x)(5) f (x)解析(1)由 f (x).36 x2 »36 x2 0可知|x 3| 3 |x 3| 3 06x6 皿叱、廠，故函數(shù)f(x)的定義域為x 0且 x6(2) f (x)也 x2當 x 0時，x 0, f ( x) x x f (x)；當 x 0時，x 0, f( x) x x f(x)f(x)為奇函數(shù).評注 利用定義判斷函數(shù)的奇偶性要注意以下幾點:首先必須判斷 f (x)的定義域是否關于原點對稱.若不關于原點對稱，則是非奇非偶函數(shù).若關于原點對 稱，則對定義域任意 x說明滿足定義.若否定奇偶性只需有一個自變量不滿足Jx2 1 ; f (x) log2(x Vx2

10、1);2log2(1 x )|x 2| 22_x x(x 0)2_x x(x 0)x| 6 x 0或0 x 6,定義域不關于原點對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).2(2)由12、x21 x 1,故函數(shù)f(x)的定義域為 1,1,關于原點對稱，故f (x) 0,所x2 1 0以 f( x) f(x)f (x),所以函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)因為對任意實數(shù)x都有x Vx2 1 x | x| 0 , 故定義域為 R.且f ( x) log 2 ( . x2 1 x)，1、10g2(2),x 1 x1og2(vx2 1 x) f(x),故 f(x)為奇函數(shù).(4)由1 x2 0|x 2| 2 0

11、1,定義域關于原點對稱,22、log 2 (1 x ) 1og2 (1 x )f (x),所以f(x)為奇函數(shù).此時，f(x) 2L ,故有 f( x)|x 2| 2x有些函數(shù)必須根據(jù)定義域化簡解析式后才可判斷，否則可能無法判斷或判斷錯誤，如本例(2),若不化簡可能誤判為偶函數(shù)，而本例(4)可能誤判為非奇非偶函數(shù) .本例(3)若用奇偶性的等價形式，則f(x) f(x) log2(Jx2 1 x) log2(Jx2 1 x) log21 0,即f ( x) f(x),故f(x)為奇函數(shù)，顯然，等價形式的整理較定義法更為容易.這提醒我們，在函數(shù)解析式較復雜時，有時使用等價形式來判斷奇偶性較為方便

12、變式1:判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) f(x) (x。|;(2)f(x)3 |x 3|4 x2(3)f(x)x 2(x0( 1 xx 2(x1)1);1)(4) f (x) |x 2| |x 2|.變式2:已知函數(shù)f (x)lg(x J2 x2) 1g V2，試判斷其奇偶性a【例2.26】已知函數(shù)f (x) x2 a(x 0,x R),試判斷其奇偶性. x分析利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.解析 當a 0時，f (x) x2,滿足f(x) f (x),故f (x)為偶函數(shù)；當a 0時，f (x) x2 a, f ( x) x2 a，假設f ( x)f(x)對任意x R, x 0恒成立，則此時xxa

13、 0,與前提矛盾；假設f( x) f(x)對任意x R, x 0恒成立，則此時2x2 0,即x 0,與條件定義域x | x Q x R矛盾.綜上所述，當a 0時，f(x)為偶函數(shù)；當a 0時，函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù).評注 函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f (x) f( x) 0；函數(shù)f(x)是偶函數(shù)f (x) f ( x) 0 .奇偶函數(shù) 的前提是函數(shù)的定義域關于原點對稱若要說明一個函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，可以舉一個反例本題的結(jié)論還可以借用運算函數(shù)的的奇偶性的規(guī)律獲得，已知函數(shù)是一個由X2與旦通過加法法則運算X2a得到的函數(shù)，而 y x為偶函數(shù)，y (a 0)為奇函數(shù)，故當a 0時，f(x)為 偶+奇”

14、形式，故為非 x奇非偶函數(shù)；當a 0時，則f(x) x2為偶函數(shù).2 、變式1：函數(shù)F(x) (1 一) f(x)是偶函數(shù)，并且 f(x)不等于零，則 “刈是()21A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)變式2：對于函數(shù)y f(x),x R, y |f(x)|的圖象關于y軸對稱”是“f(x)是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【例2.27】定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x),對任意x,y R都有f(x y) f (x y) 2f(x)f(y),且f (0) 0,試判斷f(x)的奇偶性.分析 對于抽象函數(shù)的奇偶性判斷通常利用賦值法得到

15、“刈與£( x)的關系.2解析由函數(shù)定義域為 R可知定義域關于原點對稱.依題意可令x 0, y 0,得2f(0) 2f(0),因為f (0) 0,所以 f(0) 1.令 x 0,可得 f(y) f( y) 2f(y),即 f(y) f(y),所以 f(x) f(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù).評注 對于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，常通過賦值法(如令 x 0,1, 1等)湊成含有 “*)與£( x)的關系的式子，然后進行判斷.變式1：已知函數(shù)f (x)在R上有定義，且對任意 x, y R都有f(x y) f (x) f(y),試判斷f(x)的奇偶性.變式2：若定義在R上的函數(shù)f(x)

16、滿足對任意x1,x2R有f(x1x2)f(x1)f (x2)1,則下列說法正確的是()A. f(x)是奇函數(shù)B. f (x)是偶函數(shù)C. f(x)+1為奇函數(shù) D. f(x)+1為偶函數(shù)變式3：已知函數(shù)f(x)在(1,1)上有定義，且對任意 x,y ( 1,1)都有f(x) f(y) f ("y),試判斷 1 xy函數(shù)f(x)的奇偶性.變式4：已知f(x), g(x)在R上有定義，對任意的 x, y R,有f(x y) f (x)g(y) g(x)f(y),且f(1) 0.求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)若 f(1)f(2),求 g(1) g( 1)的值.【例2.28 已知偶函數(shù)f (

17、x) (1 a)x3 mx2 1的定義域為(m2 3m 8,m),則m 2a .分析定義域關于原點對稱是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件解析因為f(x)為偶函數(shù)，故其定義域必關于原點對稱，所以 m2 3m 8 0,且m2 3m 8 m ,解得m 4.由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)得x3的系數(shù)為0,則1 a 0,即a 1,故m 2a 6.x變式1：若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則 a ()(2x 1)(xa)1 23_A.1B.2C,-D.12 34變式2：若函數(shù)f(x) loga(x Vx2 2a2)是奇函數(shù)，則a .1 變式3：右f (x) a是奇函數(shù)，則a.2 1k 2x .變式4：函數(shù)f (x)x(k為常數(shù))

18、為其定義域上的奇函數(shù)，則 k.1 k 2x變式5：函數(shù)f(x)loga(ix)(a 1)為其定義域上的奇函數(shù)，則k x 1,0)時，f (x) x x4,則當 x (0,)時,【例2.29已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x (f(x)=解析 當 x 0 時，則 x 0, f ( x) ( x) ( x)4x x4 ,因為f (x)是偶函數(shù)，所以44f (x) f( x) x x ,故當 x (0,)時，f(x) x x .評注 解此類題分三步：第一步將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；第2步將2x ,求函數(shù)f (x)的解析式.轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；第3步利用

19、函數(shù)的奇偶性求出解析式 .變式1 ：已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且當 x 0時，f(x) x【例2.30已知f(x)為定義域是關于原點對稱區(qū)間上的函數(shù)，求證：f(x)一定可以寫成一個奇函數(shù)與個偶函數(shù)之和的形式.分析 先設f(x)能寫成一個函數(shù) g(x)和一個偶函數(shù)h(x)之和，再利用奇偶函數(shù)的定義列方程組，解方 程組即得.解析 先假設存在f(x) g(x) h(x) 其中g(x)為奇函數(shù)，h(x)是偶函數(shù)，則f ( x) g ( x) h( x) g(x) h(x)由+得，h(x)f(x一LCl,由-得，g(x)f(x) f( x)2由此，我們得出結(jié)論，對定義域關于原點對稱的函數(shù)f (x)

20、,都可以寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和變式1：已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x) g(x) ax a x 2(a 0,a 1).若g(2) a,則 f(2)=()A.2C.174D.a2變式2：設函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(A. f(x) |g(x)|是偶函數(shù)B.f(x) |g(x)|是奇函數(shù)C.|f(x)| g(x)是偶函數(shù)D.|f(x) g(x)是奇函數(shù)【例 2.31函數(shù) f (x) xax bsin x 4(a,b R) , f (lg(log210) 5,則 f(lg(lg 2)( sin x 1(x R),若 f(a

21、) 2 ,則 f ( a)的值為()A.3B.0 C. 1 D. 2分析 函數(shù)f (x) x3 sin x 1中y x3 sin x為奇函數(shù)，借助奇函數(shù)的性質(zhì)求解解析 令 g(x) x3 sinx,得 f(x) g(x) 1,依題意得，g(a) 1 2,所以 g(a) 1.由 y g(x)為f(x)為奇函數(shù)時,奇函數(shù)，故g( a) g(a) 1,所以f( a) g( a) 1 0,故選B.評注 本題中雖然函數(shù)整體沒有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是當f ( x) f (x) 0 ,特別地 f (x)min f(x)max 0.變式1 ：對于函數(shù)f(x) asin x bx c (其中a

22、,bR,c Z),選取a,b,c的一組計算 "1)和£( 1),變式2:已知函數(shù)f (x)A. 5 B. 5C.3D.4所得出的正確結(jié)果一定不可能是()A.4 和 6B.3 和 1C.2 和 4D.1 和 2(x 1) sin x變式3:設函數(shù)f (x) 2的最大值為 M ,最小值為 m ,則M nx 1題型2 函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)思路提示判斷函數(shù)的單調(diào)性一般有四種方法：定義法、圖像法、復合函數(shù)單調(diào)性法和導數(shù)法【例2.32】求證：函數(shù)f(x) x a(a 0)在Ja,)上是增函數(shù). x分析利用函數(shù)單調(diào)性白定義來證明.的兩個實數(shù)x1, x2 Ta, )且x1 x2f(Xi)

23、f(X2) (Xi X2)(XiX2)(1).因為 Xi,X2 Va,)，所以 X1X2 a ,XiX2X1X21-a0,XiX20,f(Xi)f(X2)0f(Xi)f(X2),故 f(X)在ja,)上是增函數(shù).X1X2評注 利用函數(shù)單調(diào)性的定義判定時，其步驟為：(i)取值；(2)作差比較；(3)定量；(4)判斷.解題時注意所設的Xi,X2在區(qū)間內(nèi)須具有任意性.若否定函數(shù)單調(diào)性時，只要取兩個特殊自變量說明不滿足即可.變式i：已知函數(shù)f(X)對任意X,y R,滿足f(X) f(y) f (x y) 2,當X 0時，f(X) 2,求 證：f (x)在R上是增函數(shù).變式2：定義在 R上的函數(shù) y f

24、(x), f(0) 0,當x 0時，f(x) i ,且對任意的 a,b R,有 f(a b) f(a) f(b).(i)求證：f(0) i；(2)求證：對任意的 X R,恒有f(x) 0;(3)證明：f (x)是R上的增函數(shù)；(4)若f (x) f (2x X【例2.33】設(，a)是函數(shù)y X 4|x| 5的一個減區(qū)間，則實數(shù) a的取值范圍是()A. 2,)B.(, 2C.2,)D.(,2分析 作出函數(shù)的圖象，找出遞減區(qū)間，從而確定a的取值范圍.解析 由y x2 4|x| 5得，f( x) f(x),知y f(x)為偶函數(shù)，其圖象關于 y軸對稱.只要畫出當X 0時的圖象，然后作出其關于y軸對

25、稱的圖形即可得到 X 0部分的圖象，如圖所示.可知，若(，a)為函數(shù)f(x)的減區(qū)間，則a2.故選B.) i ,求X的取值范圍.變式1：下列區(qū)間中，函數(shù) f(x) 11n(2 x) |在其上為增函數(shù)的是()4-3A.(,1B. 1,-C.叱)D.1,2)32變式2： (2012上海理7)已知函數(shù)f(x) e|xa|(a為常數(shù)).若f(x)在區(qū)間1,)上是增函數(shù)，則a的取 值范圍是.變式3：定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x) f(2 x),若f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，則f(x) ( )A.在區(qū)間2,1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)B.在區(qū)間2, 1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是

26、減函數(shù)C.在區(qū)間2,1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)D.在區(qū)間2, 1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)、，"(3a 1)x 4a(x 1) =-叱.，工口變式4：已知f(x)是R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是()10gax(x 1)一八1八 11-1A.(0,1)B.(0,-)C.-,-)D.- ,1)37 37題型3 函數(shù)的周期性 思路提示(1) f (x a) f (x) T |a|(a 0)； f (x a) f(x b) T |a b|(a b)；(2) f (x a) f(x) T 2|a|(a 0)；f(x a) f(x b) T2|a b|(a b)；(3)【例解

27、析所以變式f(x a) f(x b) c T 21a b|(a b,c 0).f(x) f(x2.34】已知函數(shù)a) f (x 2a),T 6|a|(a 0).f(x)對任意實數(shù)x都滿足f(x,1f(x 1) ,f(xf (x)1) f(x) 1 ,有 f(x1)1),1f(2014)f(0) f1：函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x都滿足f(x 2)【例 2.35 已知函數(shù)f (x)滿f(1)f (2010)解析令y1,4f(x)f(1)f (x 1)f(x1)f(x 1)f(x) f(x4f(1)f(0)f(1) f(1),所以f (0)【例2.36】xf (xA.0分析f(2)1 升,右 f(x)

28、f(x 2)，若 f(1)11,4f(x)f(y)4f(x) f(x 1)f(1) 8,則 f (2014)1 ,所以 f (x) f(x 2),故 Tf (xf(x以 f(2010) f (0)1 .12，f(2010) 2已知函數(shù) f(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒等于零的偶1) (1 x)f(x),一 5則f (-)的值是(2則 f(f(5)y) f (xy)(x, y1)函數(shù),2,令 x 1, y且對任意實數(shù)x都有1 B.-2C.15 D.-2f (x)為偶函數(shù)，有xf (x 3.50,f(3) 0,f(? °,1) (1故選A.x) f (x),只能從1即 x 時2評注 本題

29、也可以從另外一方面解答，先構(gòu)造一個函數(shù)，當x則 g(x 1)上93 x 1g(x 1) g(x)1 x或者x 0時入手.112fq111f( 2) 2f(2)Z時，上(-x 1f(x)人 . 、.令 g(x) xf(x)x0.111111151f(2)f(2) 5-f (-)- f ( -) - f (-),f (-)0.因為g()g(),即一F2-2-0.故f()22222222251222變式1：已知a為非零常數(shù)，x R且f(x a) 1一垣) ,試判斷f (x)的周期性.1 f(x)題型4 函數(shù)性質(zhì)的綜合思路提示(1)奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其要重視利用偶函數(shù)(或軸對稱函數(shù))與單調(diào)性綜

30、合解不等式和比較 大小.(2)奇偶性、單調(diào)性、周期性綜合解題，尤其要注意對稱性與周期性之間的關系，周期是兩條對稱軸(或?qū)ΨQ中心)之間距離的2倍，是對稱中心與對稱軸之間距離的4倍.如函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)中心對稱，可得 T 21a b|(a b).f (x) f(2a x), f (x) f (2b x),所以 f(2a x) f (2b x),可得 T 21a b|.如函數(shù) f(x)的圖象關于直線 x a和直線 x b軸對稱，可得 T 2|a b|(a b) . f (x) f (2a x), f (x) f (2b x),所以 f(2a x) f (2b x),可得

31、 T 2|a b|.如函數(shù) f(x)關于點(a,0)中心對稱，且關于直線x b軸對稱，可得 T 4|a b|(a b) . f (x) f(2a x), f (x) f(2b x),所以 f(2a x) f (2b x),故 f (4b 4a x) f(x), T 4|a b|.2.37 定義在 R 上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1,x2 (,0(x1 x2),有(x x2)f(x) f(x2) 0 ,則當 n N 時，有()A.f ( n)f(n 1)f (n 1)B. f (n1)f ( n)f (n 1)C.f(n 1)f ( n)f (n 1)D.f (n1)f (n 1)f (

32、n)分析 偶函數(shù)關于y軸對稱，關于y軸對稱的兩部分圖象單調(diào)性相反.解析 由 xnx2 (,0,有(X x2)f(xj f (x2) 0可得 x (,0時，f (x)單調(diào)遞增，因為 f (x).因為為偶函數(shù)，所以當 x (0,)時，f(x)單調(diào)遞減，所以自變量絕對值越小，所對應的的函數(shù)值越大0 n 1 n n 1,所以 f(n 1) f (n) f( n) f (n 1),故選 C.變式1：已知定義域為 R的函數(shù)f (x)在區(qū)間(8,)上減函數(shù)，且函數(shù)yf(x 8)為偶函數(shù)，則(A.f(6)f(7)B.f(6) f C.f f(9)D.f (7) f (10)變式2：已知偶函數(shù)f (x)在區(qū)間0

33、,)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x 1)1f()的x的取值范圍是(31 2A.(3,3)1 2C.(2,3)1 2”3)變式3：設函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，并且在 R上為增函數(shù)，若0時,2f (msin ) f (1m) 0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(A.(0,1)B.(,0)C.(,2)D.(,1)變式4:設函數(shù)f (x) (x 3)31,an是公差不為0的等差數(shù)歹U,f(a1)f。).f(ay) 14,則 a a2a7A. 0B. 7C. 14D. 21【例2.38函數(shù)f (x)的定義域為R,若f(x 1)與f(x 1)都是奇函數(shù)，則(A. f(x)是偶函數(shù)B. f(x)是奇函數(shù) C. f(x)

34、 f(x 2) D. f(x 2)是奇函數(shù)分析由奇偶性對稱性 周期性.由 f (x 1)解析 因為f(x 1)為奇函數(shù)，所以f( x 1) f (x 1),故(1,0)為函數(shù)f(x)的對稱中心,為奇函數(shù)，同理(1,0)也為函數(shù)f (x)的對稱中心，利用結(jié)論知函數(shù)f (x)的周期為f (x 3) f (x 1),所以f(x 3)為奇函數(shù).故選D.變式1：定義在 R上的偶函數(shù) f(x)滿足f(x 1)f (x),且在1,0上單調(diào)遞增，設 af(3)，b f(J2),c f(2),則a,b,c的大小關系是A.a b cB.a c bC.b c aD.c b a變式2：已知定義在 R上奇函數(shù)f (x)

35、滿足f(x 4)f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則(A.f ( 25) f (11) f (80)B.f (80) f (11) f ( 25)C.f(11)f(80) f( 25)D.f( 25) f (80) f (11)【例2.39】定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)，則f (1)f(4)f(7)=(A. 1B.0C.1D.4解析 因為f(x)的T=2 , 且是定義在 R 上的奇函數(shù)，f(1) f(4) f(7) f f (0) f( 1) 0,故選 B.變式1 :已知f (x)是R上最小正周期為 2的周期函數(shù)，且當0 X2時，f (X)X,貝U函數(shù)f(x)的

36、圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點的個數(shù)為()A.6B.7C.8D.9【例2.40函數(shù)f(x)的定義域為D,若對任意的 斗區(qū) D ,當x x2時，都有f(x1)f(xz),則稱函數(shù)f (x)在D上為非減函數(shù)，設函數(shù) f(x)在0,1上為非減函數(shù)，且滿足以下3個條件：f (0) 0;,1,1f(x),則 f(1) f(-)(38x 1 _ ,、. f () f(x)； f (1 x) 1323 12A.-B.-C.1D-4 23一r 11f(x)可得f(一),所以 22，111所以可由一得，9 8 6111. 一 1111.斛析 f () f (1) ,也可信 f () f (),由 f (1 x) 132292341111f (-) - f (-) 一.因為當 0 x1 x2 1 時都有 f (x1)f(x2),622411111113f (-)f(-)f(一),即 f(一)一,所以 f(一) f(-)一.故選 A.98684384變式1:定義在R上的函數(shù)滿足f(0) 0, f (x) f (1 x) 1,x 1f (-) f(x),且當 0 X1 X2 321時,f(x1)一、 一1f(X2),則 f (痂)變式2：設g(x)是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f (x)x g(x)在區(qū)間3,4上的值域為2,5,則f (x)在區(qū)間10,10上的值域為