博弈論作業(yè)及答案浙江財經(jīng)大學(xué)張老師作業(yè)答案

1、1、考慮一個工作申請的博弈。兩個學(xué)生同時向兩家企業(yè)申請工作，每家企業(yè)只有 一個工作崗位。工作申請規(guī)則如下：每個學(xué)生只能向其中一家企業(yè)申請工作； 如果一家 企業(yè)只有一個學(xué)生中請，該學(xué)生獲得工作；如果一家企業(yè)有兩個學(xué)生申請，則每個學(xué)生 獲得工作的概率為1/2。現(xiàn)在假定每家企業(yè)的工資滿足： W1/2<W2<2W1 ,則問：a.寫出以上博弈的戰(zhàn)略式描述b.求出以上博弈的所有納什均衡(包括 混合策略均衡)2、設(shè)古諾模型中有n家廠商。qi為廠商i的產(chǎn)量，Q q q2 L qn為市場總 產(chǎn)量。P為市場出清價格，且已知P P(Q) a Q (當(dāng)Q a時，否則 P 0)。假設(shè)廠商i生產(chǎn)產(chǎn)量qi的總成

2、本為Ci Ci(qi) cqi,也就是說沒有 固定成本且各廠的邊際成本都相同， 為常數(shù)c(c a)。假設(shè)各廠同時選擇產(chǎn)量，該模 型的納什均衡是什么？當(dāng)趨向于無窮大時博弈分析是否仍然有效？3、兩個廠商生產(chǎn)一種完全同質(zhì)的商品，該商品的市場需求函數(shù)為Q 100 P ,設(shè)廠商1和廠商2都沒有固定成本。若他們在相互知道對方邊際成 本的情況下，同時作出產(chǎn)量決策是分別生產(chǎn) 20單位和30單位。問這兩個廠商的邊際成 本各是多少？各自的利潤是多少？4、五戶居民都可以在一個公共的池塘里放養(yǎng)鴨子。每只鴨子的收益V是鴨子總數(shù)N的函數(shù)，并取決于N是否超過某個臨界值N ；如果N N ,收益問:v v(N) 50 N ；如

3、果N N時，v(N) 0。再假設(shè)每只鴨子的成本為c 2元。若所有居民同時決定養(yǎng)鴨的數(shù)量，問該博弈的納什均衡是什么？5、三對夫妻的感情狀態(tài)可以分別用下面三個得益矩陣對應(yīng)的靜態(tài)博弈來表示。 這三個博弈的納什均衡分別是什么？這三對夫妻的感情狀態(tài)究竟如何？矩陣1:妻子活著死了1, 1-1, 0死了0,-10, 0矩陣2:妻子死了0, 01, 0死了0, 10, 0矩陣3:妻子死了-1, -11, 0死了0, 10, 06、兩個個體一起參加某項工程，每個人的努力程度e 0,1 (i 1,2),成本為c(e)(i 1,2),該項目的產(chǎn)出為f(e,s2)。個體的努力程度不影響到項目的分 配方法，項目的產(chǎn)出在

4、2個體之間均分。試回答以下問題：222_2/11、如果f (ei，e2)3062,c(e)0 (i1,2)，試求此博弈的的Nash均衡(即兩個個體選擇的最優(yōu)努力程度)。2、如果f (0,%)4962,c(e)e(i1,2),試求此博弈的的Nash均衡。第2次作業(yè)1、企業(yè)甲和企業(yè)乙都是彩電制造商，都可以選擇生產(chǎn)低檔產(chǎn)品或高檔產(chǎn)品，每個 企業(yè)在四種不同的情況下的利潤如以下得益矩陣所示。如果企業(yè)甲先于企業(yè)乙進行產(chǎn)品選擇并投入生產(chǎn)，即企業(yè)乙在決定產(chǎn)品時已經(jīng)知道企業(yè)甲的選擇， 而且這一點雙方都清 楚。(1)用擴展型表示這一博弈。(2)這一博弈的子博弈完美納什均衡是什么?企業(yè)乙企業(yè)甲高檔低檔高檔500,

5、5001000, 700低檔700, 1000600, 6002、兩個寡頭企業(yè)進行價格競爭博弈，企業(yè) 1的利潤函數(shù)是22.1(p aq c) q ,企業(yè)2的利潤函數(shù)是 2(q b) p,其中p是企業(yè)1的價格，q是企業(yè)2的價格。求：(1)兩個企業(yè)同時決策的純策略納什均衡；(2)企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡；(3)企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡；(4)是否存在參數(shù)a,b,c的特定值或范圍，使兩個企業(yè)都希望自己先決策？3、考慮如下的雙寡頭市場戰(zhàn)略投資模型：企業(yè) 1和企業(yè)2目前情況下的生產(chǎn)成本 都是c 2。企業(yè)1可以引進一項新技術(shù)使單位成本降低到 c 1,該項技術(shù)需要投 資f。在企業(yè)1作出是否投

6、資的決策(企業(yè) 2可以觀察到)后，兩個企業(yè)同時選擇產(chǎn) 量。假設(shè)市場需求函數(shù)為 p(q) 14 q ,其中p是市場價格，q是兩個企業(yè)的總 產(chǎn)量。問上述投資額f處于什么水平時，企業(yè)1會選擇引進新技術(shù)？4、在市場進入模型中，市場逆需求函數(shù)為 p=13-Q,進入者和在位者生產(chǎn)的邊際 成本都為1,固定成本為0,潛在進入者的進入成本為4。博弈時序為：在位者首先決 定產(chǎn)量水平；潛在進入者在觀察到在位者的產(chǎn)量水平之后決定是否進入；如果不進入， 則博弈結(jié)束，如果進入，則進入者選擇產(chǎn)量水平。求解以上博弈精煉納什均衡。5、在三寡頭的市場中，市場的逆需求函數(shù) p a Q,Q為三家產(chǎn)量之和，每家企業(yè) 的不變邊際成本為c

7、,固定成本為00如果企業(yè)1首先選擇產(chǎn)量，企業(yè)2和企業(yè)3觀察 到企業(yè)1的產(chǎn)量后同時選擇產(chǎn)量，則均衡時的市場價格。第3次作業(yè)1、兩個人合作開發(fā)一項產(chǎn)品，能否成功與兩個人的工作態(tài)度有關(guān)，設(shè)成功概率如利益。問該博弈無限次重復(fù)博弈的均衡是什么？2、兩寡頭古諾產(chǎn)量競爭模型中廠商的利潤函數(shù)為iqi(ti qj qi),i 1,2。若t1 1是兩個廠商的共同知識，而12則是廠商2的私人信息，廠商1只 知道t2 3/4或12 4/5 ,且12取這兩個值的概率相等。若兩個廠商同時選擇產(chǎn) 量，請找出該博弈的純策略貝葉斯均衡。3 、兩個廠商生產(chǎn)相同產(chǎn)品在市場上進行競爭性銷售。第1個廠商的成本函數(shù)為C1 q1，其中q1

8、為廠商1的產(chǎn)量。第2個廠商的成本函數(shù)為c eq2,其中q2為廠商2 的產(chǎn)量，c為其常數(shù)邊際成本。兩個廠商的固定成本都為零。廠商 2的邊際成本c是廠 商2的“私人信息”，廠商1認為c在；,% 上呈均勻分布。設(shè)市場需求函數(shù)為P 4。q2,其中P為價格，兩個廠商都以其產(chǎn)量為純戰(zhàn)略，問純戰(zhàn)略貝葉斯均衡 為何？。4、兩個企業(yè)同時決定是否進入一個市場， 企業(yè)i的進入成本i 0,)是私人信 息，i是服從分布函數(shù)F( i)的隨機變量以及分布密度f( i)嚴格大于零，并且1和 2兩者獨立。如果只有一個企業(yè)進入，進入企業(yè) i的利潤函數(shù)為 m i ;如果兩個企 業(yè)都進入，則企業(yè)i的利潤函數(shù)為 di ;如果沒有企業(yè)進

9、入，利潤為零。假定 m和d是共同知識，且 m> d >0,試計算此博弈的貝葉斯均衡。博弈論第1次作業(yè)答案1、a.寫出以上博弈的戰(zhàn)略式描述學(xué)生B企業(yè)1企業(yè)2學(xué)生A企業(yè)1企業(yè)2的均略 為2）,b.求出以上博弈所有納什均衡（包括混合策略衡）存在兩個純戰(zhàn)納什均衡：分別（企業(yè)1,企業(yè)收益為（W1,W2）。（企業(yè)2,企業(yè)1）,收益為（W2,W1） o存在一個混合策略均衡：令學(xué)生 A選擇企業(yè)1的概率為p ,選擇企業(yè)2的概率為1 p ；學(xué)生B選擇企業(yè)1的概率為q ,選擇企業(yè)2的概率 為1 q 。當(dāng)學(xué)生A以（p,1 p）的概率選擇時，學(xué)生B選擇企業(yè)1的期望收益應(yīng)該與選擇企業(yè)2的期望收益相等，即：2W

10、2 W1W1 W2解得：2W1 W2 , p1W1 W2 , 同理求出： 解得：2W2 W1W1 W2所以，混合策略納什均衡為：學(xué)生A、B均以（2W1 W2 2W2 W1W1 W2 , W1 W2概率選擇企業(yè)1,企業(yè)2。2、該模型的納什均衡是什么？當(dāng)趨向于無窮大時博弈分析是否仍然有 效？各廠商的利潤函數(shù)為：求解：對其求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0,解得反應(yīng)函數(shù)為：*納什均衡（q1 ,q2,qJ，必是n條反應(yīng)函數(shù)的交點* a cq1 q2. qn丁 ,且為唯一的納什均衡當(dāng)趨向于無窮大時博弈分析無效。* lim qi n.a lim°,此時為完全競爭市場，此時博弈分析無效。3、問這兩個廠商的邊際成本各

11、是多少？各自的利潤是多少?設(shè)：邊際成本不變，為C1 , c2。計算得市場出清價格為：兩個廠商的利潤函數(shù)為：求解：對其求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0,解得反應(yīng)函數(shù)為： *納什均衡（qi ,q2）,即（20,30 ）為兩條反應(yīng)函數(shù)的交點 得到：G 30, C2 20。此時：Ui 400,比 900。4、若所有居民同時決定養(yǎng)鴨的數(shù)量，問該博弈的納什均衡是什么? 設(shè)居民i選擇的養(yǎng)鴨數(shù)目為ni （i 1,2,3,4,5）,則總數(shù)為5Nni。i 1假設(shè)：居民的得益函數(shù)為：計算：得到反應(yīng)函數(shù)： *5、反應(yīng)函數(shù)的交點（1,門2,門3,門4,門5）是博弈的納什均衡。 * 、將（】，n2,門3,門4,門5）帶入反應(yīng)函數(shù)，得：

12、*ni但Q%8。此時：Ui64。此時，N40然后討論下N若 N 40 ,N ,上述博弈成立。N55、問：這三個博弈的納什均衡分別是什么？這三對夫妻的感情狀態(tài)究 竟如何？矩陣1:（活著，活著）（死了，死了）可以看出這對夫妻間感情十分深厚。這對夫妻同生共死，一個死了， 則另一個也選擇死去。如果一個死了，一個活著，那么活著的將生不如死。矩陣2:（活著，活著）（活著，死了）（死了，活著）可以看出這對夫妻間感情一般。這對夫妻共同活著沒有收益，一個死了，對于另一個來說反而更好。矩陣3:（活著，死了）（死了，活著）可以看出這對夫妻間感情很梢糕。這對夫妻共同活著對雙方來說是生不如死。一個死了，對于另一個來說反

13、而更好。26、 如果f（0臺）3q0 , c（q） q （i 1,2）,試求此博弈的 Nash均衡（即兩個個體選擇的最優(yōu)努力程度）。(2)如果f Be) 4062, c(e) e(i 1,2),試求此博弈的 Nash均衡。(1)收益為：得出反應(yīng)函數(shù)為：*納什士衡(3,62)為兩條反應(yīng)函數(shù)的交點，代入得出：兩個人都不會努力的(2)收益為：分別求偏導(dǎo)：此時，兩個人的努力程度都與對方的努力程度有關(guān)一 1 一向0，a)時，博弈一方越努力，另一方就選擇努力程度為0,此時納什均衡為(0,0)11 1、向 3時，雙方收益均達到最大值，此時納什均衡為 (2,2).1 (2,1時，博弈一方越努力，另一方選擇努力

14、程度為 1,此時納什均衡為(1,1 )第2次作業(yè)答案1, (1)用擴展型表示這一博弈。(2)這一博弈的子博弈完美納什均衡是什么？運用逆向法，由乙先來選擇，在兩個子博弈中，乙選擇紅色所示的路徑。再由甲選擇，在(高檔，低檔)，(低檔，低檔)之間選擇。甲選擇綠色所示路徑, 最終的子博弈完美納什均衡是(高檔，低檔)，雙方的收益為(1000,700)2、(1)兩個企業(yè)同時決策的純策略納什均衡；同時決策時，兩個企業(yè)都為了各自利潤最大化分別對各自利潤求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為 0解得：p aq c 1 bq b '2 ab c此時，兩個企業(yè)同時決策的純策略納什均衡為企業(yè) 1,2的價格為(aq c,b)(2)企

15、業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡；企業(yè)1先決策，則企業(yè)2會在知道企業(yè)1的決策后，尋求自身利潤最大化 所以：將q b帶入 1(p aq c)2 q (p ab c)2 b此時，babc ,跟同時決策時的納什均衡相同。c, b)企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡為企業(yè)1,2的價格為(ab(3)企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡；企業(yè)2先決策，則企業(yè)1會在知道企業(yè)2的決策后，尋求自身利潤最大化 所以：22將 p aq c帶入 2(q b) p (q b) aq c此時，2企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡為企業(yè) 1,2的價格為(旦b, ab c) 24(4)是否存在參數(shù)a,b,c的特定值或范圍，使兩個企業(yè)都

16、希望自己先決策?企業(yè)在先決策時得到的利潤大于后決策時的利潤時，會希望先決策企業(yè)1希望先決策：a2ab c ab c 0 a 0,c ab4，企業(yè)2希望先決策：-_ab a b 0 a 0,b萬2 ，a 0,b a結(jié)論：2 , c ab3、(1)企業(yè)1沒有引入新技術(shù)求兩個企業(yè)的利潤最大化，只要對利潤函數(shù)求偏導(dǎo)，并另偏導(dǎo)為 0得到：。4, q2 41 16, 2 16(2)企業(yè)1引入新技術(shù)求兩個企業(yè)的利潤最大化，只要對利潤函數(shù)求偏導(dǎo)，并另偏導(dǎo)為 01411得到：q1q2 -3 3t ,17此時，p 3引入新技術(shù)使得企業(yè)1的利潤不少于沒有引入新技術(shù)前的利潤，所以 得到時，企業(yè)1會選擇引進新技術(shù)。52

17、4、(1)企業(yè)1的產(chǎn)量qi,企業(yè)2以產(chǎn)量q2進入市場企業(yè)2后進入市場，則企業(yè)2會在知道企業(yè)1的決產(chǎn)量后，尋求自身利潤最大化 所以：1將q2 6 25帶入 1(12 。q2)q1 ,得此時，q1 6, q2 31 18, 2 5(2)企業(yè)1的產(chǎn)量q1,企業(yè)2以產(chǎn)量q2進入市場時利潤為0,覺得不進入市場企業(yè)2后進入市場，則企業(yè)2會在知道企業(yè)1的決產(chǎn)量后，尋求自身利潤最大化 所以：-1將q2 6 2q1帶入 2(12 q1 q2)q240,得1 32 ,此時，企業(yè)2不進入市場。5、三個企業(yè)的利潤函數(shù)為：i (p c)q (a q1 q2 q3 c)q(i 1,2,3)企業(yè)2和企業(yè)3觀察到企業(yè)1的產(chǎn)量

18、后同時選擇產(chǎn)量企業(yè)2和3均為了各自利潤最大化選擇產(chǎn)量，求解出各個的反應(yīng)函數(shù)：a q1 c q2 q1 q3 % ,將反應(yīng)函數(shù)帶入企業(yè) 1的利潤函數(shù)，得3對其求偏導(dǎo)，求解出企業(yè)1利潤最大時的產(chǎn)量q2 q3,a c此時：P a ( 2a c a c) a 5c666第三次作業(yè)答案1、兩個人的得益矩陣如下:BA努力偷懶努力偷懶一次博弈納什均衡為(偷懶，偷懶)，無法實現(xiàn)帕累托最優(yōu)(努力，努力)。無限 次博弈時，對于A,第一階段選擇努力,(1)若前t-1時刻選擇均為努力，t時刻也選擇努力94(1)A lim -(1 t 42 2) t時刻選擇偷懶，則前面的行為均為偷懶達到(努力，努力)這個均衡，使 A A ,即,米取觸發(fā)策略。、均衡為(努力，努力)，合作產(chǎn)生。2、假設(shè)：廠商2在t2 3/4時，產(chǎn)量為q2 ,利潤為2 ；廠商2在t24/5時，產(chǎn)量為q2 ,利潤為2對于廠商2來說，分別具有50%的概率得到以下的利潤C，3仁仁、2 q2 (二 q q2)44、2q2 (5q1q2 )對于廠商1來說，利潤為L 11e 1 二q1(1 q1 q2)二q(1 q1 q2