隨機(jī)波動(dòng)率與股票價(jià)格的波動(dòng)率

1、隨機(jī)波動(dòng)率與股票價(jià)格的波動(dòng)率隨機(jī)波動(dòng)率與股票價(jià)格的波動(dòng)率引言 隨機(jī)波動(dòng)率（SV）模型產(chǎn)生于數(shù)理金融學(xué)和金融計(jì)量學(xué)。SV模型的幾種變形來(lái)源于對(duì)不同問(wèn)題的研究：Clark認(rèn)為資產(chǎn)收益率是信息到達(dá)這一隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)，這種所謂的產(chǎn)生了資產(chǎn)收益率的時(shí)變波動(dòng)率模型；Tauchen和Pitts提出了資產(chǎn)收益率與信息到達(dá)短暫的混合分布模型；Hull和White提出資產(chǎn)價(jià)格服從擴(kuò)散過(guò)程，其波動(dòng)率為正擴(kuò)散過(guò)程等。瞬時(shí)波動(dòng)率 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過(guò)程）定義如下： 設(shè) 代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度， 代表變量z在時(shí)間 內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的具有兩種特征： 特征1： 和 的關(guān)系滿(mǎn)足（1）： （1）

2、其中， 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。 特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 , 的值相互獨(dú)立 考察變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形，我們可得： （2） 當(dāng) 時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： （3）tBlack-Scholes模型 假設(shè)： 股票價(jià)格遵循Ito（伊藤）過(guò)程； 沒(méi)有交易成本、稅收和賣(mài)空限制，不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； 標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期時(shí)間之前不支付股息和紅利； 市場(chǎng)交易是連續(xù)的，價(jià)格波動(dòng)也是連續(xù)的； 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r 為常數(shù)，且對(duì)所有的到期日都相等。期權(quán)價(jià)格：隨機(jī)波動(dòng)期權(quán)定價(jià)模型 由于B-S模型的一些假設(shè)在實(shí)際中并不成立，特別是假設(shè)波動(dòng)為常

3、數(shù)，因此Hull和White提出了隨機(jī)波動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)公式，該模型假設(shè)： Hull和White期權(quán)定價(jià)公式 如果假定期權(quán)價(jià)格服從Hull-White公式，就會(huì)產(chǎn)生兩類(lèi)隱含波動(dòng)：瞬時(shí)隱含波動(dòng)和平均隱含波動(dòng)。 假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中心概率分布屬于一個(gè)參數(shù)族，產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)表達(dá)式： 期權(quán)隱含波動(dòng)模型首先由Latane和Rendlema在1976年提出。其基本原理是根據(jù)B-S期權(quán)定價(jià)公式從期權(quán)價(jià)格倒推出市場(chǎng)波動(dòng)性。 由于期權(quán)價(jià)格反映的是市場(chǎng)未來(lái)的波動(dòng)性， 因此應(yīng)用該模型可以預(yù)測(cè)波動(dòng)。隱含平均波動(dòng)率 1、肥尾：尖峰肥尾，利用峰度來(lái)衡量，有大量的文章利用肥尾的獨(dú)立同分布，為資產(chǎn)收益建模 。 2、波動(dòng)率群集：對(duì)金融時(shí)間序

4、列的任何觀測(cè)都表明了高或低波動(dòng)率時(shí)段的聚集，即大的波動(dòng)后面跟著一個(gè)大的波動(dòng)，小的波動(dòng)后面跟著一個(gè)小的波動(dòng)。事實(shí)上，波動(dòng)率群集和資產(chǎn)收益肥尾是密切相關(guān)的，后者事實(shí)上是一個(gè)靜態(tài)的解釋?zhuān)鳤RCH模型的主要作用是給出了動(dòng)態(tài)（條件）波動(dòng)率行為和（無(wú)條件）肥尾間的正式聯(lián)系。由Engle提出的，并且此后獲得大量擴(kuò)展的ARCH模型和SV模型，主要就是用于模擬波動(dòng)率群集的。文獻(xiàn)廣泛討論的還有ARCH效應(yīng)隨著時(shí)頻歸并而消失。 波動(dòng)率的一些特征事實(shí) 3、杠桿效應(yīng)：此現(xiàn)象是指股票價(jià)格和波動(dòng)率呈負(fù)相關(guān)。因?yàn)橄碌墓善眱r(jià)格暗示公司財(cái)務(wù)杠桿提高，人們相信這意味著更多的不確定性及更高的波動(dòng)率。一般杠桿效應(yīng)自身作用太小，不足

5、以解釋股票價(jià)格中發(fā)現(xiàn)的不對(duì)稱(chēng) 。 4、信息到達(dá)：隨著時(shí)間的變化，信息到達(dá)是不均勻的，并且經(jīng)常不能被直接觀測(cè)到。（交易量、報(bào)價(jià)到達(dá)、可預(yù)測(cè)事件，例如股利通告或者宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布、隔夜和周末市場(chǎng)關(guān)閉） 5、長(zhǎng)期記憶和持續(xù)性：一般來(lái)說(shuō)，波動(dòng)率是高度持續(xù)性的。特別是對(duì)于高頻率數(shù)據(jù)，證據(jù)表明條件方差過(guò)程具有接近單位根的行為。 6、波動(dòng)率的協(xié)同運(yùn)動(dòng)：投機(jī)市場(chǎng)的跨國(guó)協(xié)同作用。 7、隱含波動(dòng)率的相關(guān)性：在金融期權(quán)定價(jià)模型中，從實(shí)際交易中獲得期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)，可以倒算推導(dǎo)出暗含在期權(quán)價(jià)格、持有期限、執(zhí)行價(jià)格等條件下波動(dòng)率的值，即為隱含波動(dòng)率。人們認(rèn)為隱含（平均）波動(dòng)率包含了未來(lái)波動(dòng)率的信息，因此，可以預(yù)測(cè)未來(lái)波動(dòng)率。通常對(duì)該假設(shè)的檢驗(yàn)是用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率對(duì)過(guò)去的隱含波動(dòng)率做回歸。 8、隱含波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu)：B-S模型所預(yù)測(cè)波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu)是平緩的。事實(shí)上，當(dāng)短期波動(dòng)率很低的時(shí)候，實(shí)價(jià)期權(quán)的隱含波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu)是向上傾斜的，反之則向下傾斜（見(jiàn)Stein,202X)。 9、微笑效應(yīng)：價(jià)格失真，指隱含波動(dòng)率在不同執(zhí)行價(jià)格時(shí)產(chǎn)生的U型模型。 U形模式當(dāng)處于接近實(shí)值的期權(quán)時(shí)取其最小值。 波動(dòng)率的微笑作為函數(shù)常是但不總是對(duì)稱(chēng)的。 到期期限越短，微笑的幅度增長(zhǎng)越快。 隨機(jī)