《數(shù)學分析3》課程教學大綱

1、數(shù)學分析3課程教學大綱課程名稱數(shù)學分析3課程編碼131500008課程類型學科基礎(chǔ)課程庫適用范圍院級課程學分數(shù)4先修課程初等數(shù)學學時數(shù)64其中實驗學時其中實踐學時考核方式考試制定單位數(shù)學與信息科學學院執(zhí)筆者 審核者一、教學大綱說明（一）課程的性質(zhì)、地位、作用和任務(wù)數(shù)學分析是綜合性大學數(shù)學類各專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，是從初等數(shù)學到高等數(shù)學過渡的橋梁。本課程所占學分多，跨度大（計劃共四個學期），是一門內(nèi)容豐富而整體性強、思想深刻而方法基本的課程。本課程以經(jīng)典微積分為主體內(nèi)容，其中，極限的思想貫穿全課程，它不僅為許多后繼課程提供必要的基礎(chǔ)知識和基本技能的訓練，而且對全面培養(yǎng)學生的現(xiàn)代數(shù)學素質(zhì)以及

2、運用數(shù)學思想和方法解決問題的能力起著十分重要的作用。本課程的任務(wù)是使學生系統(tǒng)地掌握極限理論、一元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)與多元函數(shù)微積分學等方面的知識，使學生獲得數(shù)學思想，使學生獲得數(shù)學的邏輯性、嚴密性方面的嚴格訓練，使學生掌握近代數(shù)學的方法、技巧，使學生獲得初步應用的能力,為后續(xù)課程的學習乃至畢業(yè)后能勝任相應的實際工作奠定堅實的基礎(chǔ)。（二）教學目的和要求本課程教學目的是通過系統(tǒng)的學習和嚴格的訓練，使學生全面掌握數(shù)學分析的基本理論知識，初步掌握現(xiàn)代數(shù)學的觀點與方法，使學生具備靈活、快捷的運算能力與技巧，培養(yǎng)學生嚴格的邏輯思維能力與推理論證能力，簡潔、清晰運用數(shù)學符號和語言的表達能力，提高建立數(shù)學

3、模型，并應用微積分這一工具解決實際應用問題的能力。在教學基本要求上分為三個檔次，即了解、理解和掌握。1、掌握能聯(lián)系幾何與物理的直觀背景，從正反兩方面理解基本概念；熟練運用基本理論進行推理論證和分析問題；熟練運用基本方法、靈活運用基本技巧進行運算和解決應用問題。包括實數(shù)與函數(shù)、各類極限、連續(xù)、（偏）導數(shù)、（全）微分、各類正常積分、數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)有關(guān)概念、性質(zhì)、計算及應用。2、理解能從正面理解基本概念；能應用和了解如何證明基本理論；能掌握基本方法解決問題，但不要求很熟練和技巧性。包括泰勒公式、函數(shù)圖像的討論、實數(shù)完備性基本定理、一般有理函數(shù)的不定積分及萬能變換、非正常積分、歐拉變換、隱函數(shù)定理的

4、證明、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、各類斂散問題中的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法、傅里葉級數(shù)、斯托克斯公式。3、了解要求能應用基本理論，不要求掌握證明方法；對基本方法一般要求會做，不要求靈活技巧。包括各類近似計算問題、上、下極限問題、可積性理論及積分在物理中的應用、數(shù)項級數(shù)的拉貝判別法，傅里葉級數(shù)的收斂定理的證明、n重積分與反常二重積分、復變量的指數(shù)函數(shù)與歐拉公式、場論初步，流形上的微積分。（三）課程教學方法與手段本課程的教學以課堂教學為主，輔以習題練習與自學?；緝?nèi)容由老師講授，通過習題課鞏固，其余部分主要是*號部分由學生自學提高。由于本課程具有強烈的幾何背景，結(jié)合培養(yǎng)目標，教學過程可恰當?shù)厥褂矛F(xiàn)

5、代教育技術(shù)手段，把傳統(tǒng)的板書與現(xiàn)代化手段相結(jié)合，重要的定理、圖表、圖像制成多媒體，利用黑板進行問題分析與推理。另外由于本課程與數(shù)學應用聯(lián)系密切，課程的教學中可適當介紹數(shù)學實驗以及數(shù)學建模的基礎(chǔ)內(nèi)容，提高學生應用數(shù)學建模方法來解決各種實際問題的能力。（四）課程與其它課程的聯(lián)系數(shù)學分析是綜合性大學數(shù)學類各專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是從初等數(shù)學到高等數(shù)學過渡的橋梁。因此要學習本課程，需先修初等數(shù)學，而本課程的多元微積分部分需運用空間平面、直線等有關(guān)知識，故需先修空間解析幾何知識。而后繼課程包括：常微分方程、復變函數(shù)、實變函數(shù)、泛函分析、點集拓撲、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、物理學及其他應用數(shù)學相關(guān)課程。（五）

6、教材與教學參考書教材：華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析(第四版)(上、下冊)，高等教育出版社，2010年教學參考書：1、鄧東皋、尹小玲，數(shù)學分析簡明教程（第2版）（上、下冊），高等教育出版社，2010年2、陳紀修，數(shù)學分析（第二版）（上、下冊），高等教育出版社，2004年3、菲赫金哥爾茨，微積分學教程（第1卷）（第8版）、微積分學教程（第2卷）（第8 版）、微積分學教程（第3卷）（第8版），高等教育出版社，2006年4、James Stewart，微積分（第5版）（上、下冊），高等教育出版社，2004年5、毛羽輝、韓士安、吳畏，數(shù)學分析學習指導書（第四版）（上、下冊），高等教育出版社，2011年裴

7、禮文，數(shù)學分析中的典型問題與方法（第2版），高等教育出版社，2006年二、課程的教學內(nèi)容、重點和難點第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)教學內(nèi)容：函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的概念、判別與性質(zhì)。重點：函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的概念（注：對于不以實變函數(shù)為后繼課程的非師范類學生可作為一般內(nèi)容），函數(shù)項級數(shù)一致收斂的M判別法，一致收斂的函數(shù)列的極限函數(shù)與函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性、可積性與可導性。難點：一致收斂性的概念，一致收斂函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性、可積性與可導性。第十四章 冪級數(shù)教學內(nèi)容：冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域與和函數(shù)，冪級數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在x 處的冪級數(shù)展開。重點：冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域的

8、求法，冪級數(shù)的主要性質(zhì)，利用逐項積分與逐項求導求某些冪級數(shù)的和函數(shù)，幾個重要函數(shù)的冪級數(shù)展開式，將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法。難點：冪級數(shù)的收斂區(qū)間端點處的性質(zhì)，初等函數(shù)冪級數(shù)展開式收斂性的證明。第十五章 傅里葉級數(shù)教學內(nèi)容：正交函數(shù)系與三角級數(shù)，函數(shù)展開成各類型的傅里葉級數(shù)及其收斂性。重點：函數(shù)在區(qū)間 上展開成傅里葉級數(shù)與在 上展開成正、余弦級數(shù)及其收斂情況。難點：收斂性定理及其證明。第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)教學內(nèi)容：R 空間上的完備性定理，二元函數(shù)與多元函數(shù)，二重極限與累次極限，二元函數(shù)的連續(xù)性與有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。重點：鄰域與區(qū)域的概念，二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的極限求法，二

9、元函數(shù)極限存在性的證明，重極限與累次極限的關(guān)系。難點：R 空間上的完備性定理，二元函數(shù)重極限存在判別及求法。第十七章 多元函數(shù)微分學教學內(nèi)容：多元函數(shù)的可微性與全微分，偏導數(shù)與高階偏導數(shù)，多元復合函數(shù)求偏導數(shù)的鏈式法則，方向?qū)?shù)與梯度，二元函數(shù)的中值公式與中值定理，泰勒公式，二元函數(shù)的極值問題，多元函數(shù)的最值問題。重點：二元函數(shù)的可微性、全微分概念，一階全微分形式不變性，二元函數(shù)的偏導數(shù)及高階偏導數(shù)的概念及求法，方向?qū)?shù)的概念與求法，梯度的概念及意義，二元函數(shù)的極值與判定，曲面的切平面與法線。難點：全微分概念與可微性判定，二元函數(shù)的中值公式與中值定理，泰勒公式。第十八章 隱函數(shù)定理及應用教學內(nèi)容：隱函數(shù)、隱函數(shù)組、反函數(shù)組的概念、存在性與求（偏）導法，平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，條件極值問題。重點：隱函數(shù)、隱函數(shù)組、反函數(shù)組的存在條件與求（偏）導法，雅可比行列式，平面曲線的切線與法線，曲面的切平面與法線，用拉格朗日乘數(shù)法解條件極值問題。難點：隱函數(shù)、隱函數(shù)組、反函數(shù)組的概念，反函數(shù)組與坐標變換的關(guān)系，條件極值的概念。三、學時分配教學內(nèi)容各教學環(huán)節(jié)學時分配采用何種多媒體教學手段章節(jié)主要內(nèi)容學時分配講授實驗討論習題實踐