利用相關點法巧解對稱問題

1、. 利用相關點法巧解對稱問題對稱問題在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，常見的有中心和軸對稱兩種。盡管試題年年翻新，情境不斷變化，甚至不落俗套，但經(jīng)研究可以發(fā)現(xiàn)，其解法的普遍規(guī)律還是可以歸納總結的。筆者認為，圖象對稱的原始基礎是圖象上點與點之間的對稱，因此，抓住對稱點之間的數(shù)量關系及其內(nèi)在聯(lián)系，可將幾何對稱語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標、方程語言。代數(shù)化地展開研究是解決對稱問題的有效方法，亦簡稱相關點法。下面通過一些實例加以說明。一. 函數(shù)中的對稱問題例1 （2001年高考）設是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線對稱。證明是周期函數(shù)。證明：設（x，y）為圖象上任意一點，則其關于的對稱點可求得：，于是根據(jù)函數(shù)關系有：，又

2、因為是定義在R上的偶函數(shù)，故有：，因此結合上式有：，故由知：是周期函數(shù)，。例2 （1997年高考文）設是定義在R上的函數(shù)，則函數(shù)與的圖象關于（ ）A. 直線對稱 B. 直線對稱C. 直線對稱 D. 直線對稱解：可設（x1，y）為上任意一點，則有；若（x2，y）為上一點，也有，一般地，由可知：，所以，即（x1，y）與（x2，y）關于直線對稱，故選（D）。評注：例1是一個函數(shù)圖象本身內(nèi)在對稱問題，例2是兩個函數(shù)圖象之間的對稱問題，盡管問題情境不同，但解法有相通之處，均可抓住對稱點（即相關點）加以討論。二. 三角函數(shù)中的對稱問題例3 （2003年高考江蘇卷）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點對稱，

3、且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的值。解：由是偶函數(shù)，得即所以對任意x都成立，且，所以得依題設，所以解得，這時由的圖象關于點M對稱，可設P（x，y）是其圖象上任意一點，P點關于的對稱點可求得為：即有，（*）取x0，得，所以，所以所以當時，上是減函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)；當時，上不是單調(diào)函數(shù)；所以，綜合得評注：本題是三角函數(shù)中含有中心對稱問題，抓住對稱點之間的中心對稱關系，利用中點坐標公式求出對稱點（或稱相關點），尋求兩相關點（對稱點）之間的函數(shù)等量關系（見*）是解決問題的關鍵。三. 解析幾何中的對稱問題例4 （1998年高考理）設曲線C的方程是，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C

4、1（I）寫出曲線C1的方程；（II）證明曲線C與C1關于點對稱；（I）解：曲線C1的方程為：（II）證明：在曲線C上任取一點B1（x1，y1）。設B2（x2，y2）是B1關于點A的對稱點，則有：所以代入曲線C的方程，得x2和y2滿足方程：可知點在曲線C1上反過來，同樣可以證明，在曲線C1上的點關于點A的對稱點在曲線C上。因此，曲線C與C1關于點A對稱。例5 （1997年高考文）橢圓C與橢圓C1：關于直線對稱，橢圓C的方程是（ ）A. B. C. D. 解：設（x，y）是橢圓C上任意一點，則其關于直線的對稱點可求得為，該點在橢圓C1上，故其坐標適合橢圓C1的方程，將其代入有：，化簡后知選A。從以上幾個方面的研究可以發(fā)現(xiàn)，相關點法是解決數(shù)學對稱問題的有效方法，因為它抓住了圖象對稱的基本元素（即圖象上點與點之間的一一對應的對稱關系）和核心，并且將幾何問題代數(shù)化的基本數(shù)學思想得到很好地體現(xiàn)運用。此外，相關點法在解決幾何中才被得以提出并加以運用于解決對稱問題