ChapSec數(shù)值積分與數(shù)值微分n

1、楊東武機(jī)電工程學(xué)院上節(jié)課內(nèi)容回顧1. 什么是三次樣條插值什么是三次樣條插值？常用的邊界條件類型有哪常用的邊界條件類型有哪些？些？3. 已知下面數(shù)據(jù)表對(duì)應(yīng)的函數(shù)形式近似為：已知下面數(shù)據(jù)表對(duì)應(yīng)的函數(shù)形式近似為：f(x)=ax+bx3，請(qǐng)通過最小二乘擬合確定函數(shù)請(qǐng)通過最小二乘擬合確定函數(shù)f(x).153352210100-11-1f(x)x2. 請(qǐng)給出矛盾方程請(qǐng)給出矛盾方程組的法方程組的法方程：1424623531142yxyxyxyx主要內(nèi)容 數(shù)值積分的意義 插值積分公式的構(gòu)造 插值積分公式的精度 龍貝格積分公式主要內(nèi)容 數(shù)值積分的意義 插值積分公式的構(gòu)造 插值積分公式的精度 龍貝格積分公式 在微

2、積分里，按Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式求定積分為什么要數(shù)值積分？x12345f(x)44.5688.5210 xedx10(arctan)x x dx可采用數(shù)據(jù)插值方法獲得f(x)的近似函數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式有有作作拉拉格格朗朗日日插插值值個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)點(diǎn)點(diǎn)（由由，個(gè)個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上有有設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間), 2 , 1 , 0()(,11,1210nkxfxnbxxxxxanbakknn)()()(0knkknxfxlxp各插值點(diǎn)函數(shù)值（常量常量） bankkkbanbandxxfxldxxpdxxfxfxp0)()()()()()(nkbakkdxxfxl0)()( n

3、kkbakxfdxxl0)()(nkkkxfA0)(由插值節(jié)點(diǎn)決定，與f(x)無(wú)關(guān),記為Ak插值求積公式插值求積公式，Ak為求積系數(shù)求積系數(shù)(可事先求出可事先求出)數(shù)值積分就是將定積分計(jì)算簡(jiǎn)化為計(jì)算被積函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的線性組合。求積系數(shù)的確定以及求積公式的誤差分析成為數(shù)值積分研究的主要內(nèi)容。 用過點(diǎn)用過點(diǎn)A(a, f(a) 和和B(b, f(b)的線段的線段近似代替曲線近似代替曲線y=f(x), x a, b.( )( )( )()f bf ayf axaba 1. 梯形公式梯形公式: ( ) ( )( ).2babaf x dxf af b f(x)abf(a)f(b)兩節(jié)點(diǎn)插值（一次

4、插值）兩節(jié)點(diǎn)插值（一次插值）( ) ( )4 ()( ).62babaabf x dxf aff b 設(shè)設(shè)x1為為a和和b的中間點(diǎn)，的中間點(diǎn)，用過點(diǎn)用過點(diǎn)A(a, f(a)， C(x1, f(x1) 和和B(b, f(b)的拋物線的拋物線近似代替曲線近似代替曲線y=f(x), x a, b.2. 辛甫生公式辛甫生公式: 注：注： Simpson公式公式又叫又叫拋物線公式拋物線公式。三節(jié)點(diǎn)插值（拋物線插值、二次插值）三節(jié)點(diǎn)插值（拋物線插值、二次插值） （五節(jié)點(diǎn)插值）（五節(jié)點(diǎn)插值）將將a,b分成四份分成四份，xk=a+(b-a)k/4 (k=0,1,2,3,4)，類似于前面的推導(dǎo)過程，可以得到類似

5、于前面的推導(dǎo)過程，可以得到3. 柯特斯公式柯特斯公式: babadxxpdxxf)()(4)(7)(32)(12)(32)(790321bfxfxfxfafabCotes公式通常求積區(qū)間a,b上的已知節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)都4，而高次插值公式的精度高次插值公式的精度不見得就好，類似于分段低次插值的概念，我們通常使用復(fù)化復(fù)化的求積公式求積公式1.復(fù)化梯形公式每個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為個(gè)等分子區(qū)間構(gòu)成，則由設(shè)nba,Nabh/ )( h稱為步長(zhǎng)), 2 , 1 , 0(1nkkhaxnk 個(gè)節(jié)點(diǎn)為記:)(,1的積分值上函數(shù)得到總區(qū)間的積分值相加子區(qū)間上應(yīng)用梯形公式并將各在每個(gè)子區(qū)間xfbaxxkk2)()(2)()(2

6、)()()(12110nnbaxfxfhxfxfhxfxfhdxxf11)()(2)(2Nkkbfxfafh復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式，有時(shí)也簡(jiǎn)稱為梯形公式特點(diǎn)：所有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的2倍加首末節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的和，乘以步長(zhǎng)除以2。2.復(fù)化辛甫生公式區(qū)間長(zhǎng)度個(gè)等分子區(qū)間構(gòu)成，子由nba,Nabh/ )( ), 2 , 1 , 0(1nkkhaxnk 個(gè)節(jié)點(diǎn)為，則則且且其其中中點(diǎn)點(diǎn)為為又又劃劃分分為為兩兩個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間，若若每每個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間211,kkkxxx)()(2)(4)(6)(111021bfxfxfafhdxxfNkkNkkba復(fù)化辛甫生公式復(fù)化辛甫生公式,4321411kkkkkxxxx

7、x次次記記為為又又分分為為四四等等份份，內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)依依若若每每個(gè)個(gè)子子區(qū)區(qū)間間3.復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式10211041)(12)(32)(790)(NkkNkkbaxfxfafhdxxf)(7)(14)(32111043bfxfxfNkkNkk主要內(nèi)容 數(shù)值積分的意義 插值積分公式的構(gòu)造 插值積分公式的精度 龍貝格積分公式問題：?jiǎn)栴}：當(dāng)區(qū)間當(dāng)區(qū)間 a,ba,b為為8 8個(gè)等分子區(qū)間個(gè)等分子區(qū)間時(shí)，我時(shí)，我們?cè)撊绾芜x用求積公式？哪一個(gè)求積公式的們?cè)撊绾芜x用求積公式？哪一個(gè)求積公式的精度更高呢？精度更高呢？結(jié)果會(huì)一樣嗎？8個(gè)子區(qū)間分別應(yīng)用梯形公式構(gòu)成復(fù)化梯形求積公式個(gè)子區(qū)間分別

8、應(yīng)用梯形公式構(gòu)成復(fù)化梯形求積公式4個(gè)子區(qū)間分別應(yīng)用辛甫生公式構(gòu)成復(fù)化辛甫生求積公式個(gè)子區(qū)間分別應(yīng)用辛甫生公式構(gòu)成復(fù)化辛甫生求積公式2個(gè)子區(qū)間分別應(yīng)用柯特斯公式構(gòu)成復(fù)化柯特斯求積公式個(gè)子區(qū)間分別應(yīng)用柯特斯公式構(gòu)成復(fù)化柯特斯求積公式例例5.1：計(jì)算計(jì)算12041dxx 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502結(jié)論：結(jié)論：相同節(jié)點(diǎn)個(gè)相同節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，辛甫生求積數(shù)時(shí)，辛甫生求積公式的精度更高公式的精度更高插值積分公式的截?cái)嗾`差分析bank

9、kxnbanbandxxxnfdxxRdxxLxffR0) 1()()!1()()()()(插值積分公式的截?cái)嗾`差插值積分公式的截?cái)嗾`差,)(2880)4(4bafhabfRS，復(fù)化辛甫生公式復(fù)化辛甫生公式,)(4945)(2)6(6bafhabfRC，復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式,)(122bafhabfRT ，復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式似乎沒有可比性似乎沒有可比性怎么辦？哪個(gè)公式的精度更高呢？代數(shù)精度的概念代數(shù)精度的概念定義定義5.1: 若某個(gè)求積公式對(duì)若某個(gè)求積公式對(duì) f(x)=xk (k=0,1,m) 精確成立，但精確成立，但對(duì)對(duì) f(x)=xm+1不精確成立，則稱此求積公式的不精確成立

10、，則稱此求積公式的代數(shù)精度代數(shù)精度為為m 。代入代入 P0 = 1： baabdx1112ba =代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222babaxdx 2baab 3323babax dx 222baab 如梯形公式：如梯形公式：代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1。容易驗(yàn)證:梯形公式梯形公式 1 次精度次精度辛甫生公式辛甫生公式 3 次精度次精度柯特斯公式柯特斯公式 5 次精度次精度主要內(nèi)容 數(shù)值積分的意義 插值積分公式的構(gòu)造 插值積分公式的精度 龍貝格積分公式實(shí)際問題：1、對(duì)于f(x)在區(qū)間a,b上定積分的計(jì)算，如何知道該劃分出多少個(gè)子區(qū)間才能得到精確解行嗎？計(jì)算用截?cái)嗾`差估

11、計(jì)式NfR求不出。通常太復(fù)雜，而且可能不行 fR常用做法：常用做法：判斷判斷 |T2N-TN|是否足夠小，即是否足夠小，即NNTT2實(shí)際問題：2、如果已經(jīng)計(jì)算出劃分為n個(gè)子區(qū)間時(shí)的積分值TN，并且發(fā)現(xiàn)該計(jì)算結(jié)果不夠精確，在計(jì)算TN+1時(shí)，是否能利用上一次的計(jì)算結(jié)果TN 以避免重復(fù)計(jì)算（減少計(jì)算工作量）呢？需要尋求T2N與TN之間的遞推關(guān)系梯形公式的遞推關(guān)系)(21)(21)(1bfafabT全區(qū)間全區(qū)間二等份二等份四等份四等份2k等份等份)2(22112abafabTT) 34() 14(42124abafabafabTT只計(jì)算新增節(jié)只計(jì)算新增節(jié)點(diǎn)給出的補(bǔ)償點(diǎn)給出的補(bǔ)償量量121122) 12

12、(2221kikkkkiabafabTT前面不是說(shuō)梯形公式的精度不夠高嗎？那豈不是要多計(jì)算好多節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值嗎？龍貝格求積公式突出貢獻(xiàn)：突出貢獻(xiàn)：給出了由低精度求積公式到高精度求積公給出了由低精度求積公式到高精度求積公式轉(zhuǎn)換時(shí)的組合系數(shù)。式轉(zhuǎn)換時(shí)的組合系數(shù)。1441mml1412ml梯形公式到辛甫生公式（梯形公式到辛甫生公式（m=1）121141144TTS242141144TTSkkkTTS2122141144T1為a,b上的直接求積結(jié)果T2為a,b二等份后的求積結(jié)果T4為a,b四等份后的求積結(jié)果T2k為a,b 2k等份后的求積結(jié)果梯形公式的遞推關(guān)系已知，于是遞推的同時(shí)又能提高積分精度龍貝格求

13、積公式龍貝格求積公式突出貢獻(xiàn)：突出貢獻(xiàn)：給出了由低精度求積公式到高精度求積公給出了由低精度求積公式到高精度求積公式轉(zhuǎn)換時(shí)的組合系數(shù)。式轉(zhuǎn)換時(shí)的組合系數(shù)。1441mml1412ml辛甫生公式到柯特斯公式（辛甫生公式到柯特斯公式（m=2）122221141144SSC224222141144SSCkkkSSC2212222141144龍貝格求積公式突出貢獻(xiàn)：突出貢獻(xiàn)：給出了由低精度求積公式到高精度求積公給出了由低精度求積公式到高精度求積公式轉(zhuǎn)換時(shí)的組合系數(shù)。式轉(zhuǎn)換時(shí)的組合系數(shù)?？绿厮构降烬堌惛窆剑绿厮构降烬堌惛窆剑╩=3）1441mml1412mlkkkCCR2312332141144龍貝格求積的計(jì)算過程k區(qū)間等份數(shù)N=2k梯形公式T2k辛甫生公式S2k柯特斯公式C2k龍貝格公式R2