圓周運動中的臨界問題和周期性問題圓周運動問題的解題步驟

1、圓周運動中的臨界問題和周期性問題一、圓周運動問題的解題步驟：1、確定研究對象2、畫出運動軌跡、找出圓心、求半徑3、分析研究對象的受力情況，畫受力圖4、確定向心力的來源2-V2.2二、2一,、5、由牛頓第二TE律Fn=man=m=mccr=m()r列萬程求解rT二、臨界問題常見類型：1、按力的種類分類：(1)、與彈力有關(guān)的臨界問題：接觸面間的彈力：從有到無，或從無到有繩子的拉力：從無到有，從有到最大，或從有到無(2)、與摩擦力有關(guān)的彈力問題：從靜到動，從動到靜，臨界狀態(tài)下靜摩擦力達到最大靜摩擦2、按軌道所在平面分類：(1)、豎直面內(nèi)的圓周運動(2)、水平面內(nèi)的圓周運動三、豎直面內(nèi)的圓周運動的臨界

2、問題1、單向約束之繩、外軌道約束下的豎直面內(nèi)圓周運動臨界問題：特點：繩對小球，軌道對小球只能產(chǎn)生指向圓心的彈力臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用：mg=mv2/R-v 臨界=寸 Rg(可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好轉(zhuǎn)不過的速度)即此時小球所受重力全部提供向心力能過最高點的條件：v，Rg,當(dāng) v,；Rg 時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力.不能過最高點的條件：vvV 臨界(實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道做斜拋運動)例 1、繩子系著裝有水的木桶，在豎直面內(nèi)做圓周運動，水的質(zhì)量 m=0.5kg,繩子長度為求：(g 取10m/s2)A、最高點水不留出的最小速度？B、設(shè)水在最高點速度為 V=3m/s,

3、求水對桶底的壓力？答案：(1)6m/s(2)2.5Nl=60cm,變式 1、如圖所示，一質(zhì)量為 m 的小球，用長為 L 細繩系住，使其在豎直面內(nèi)作圓周運動.（1）若過小球恰好能通過最高點，則小球在最高點和最低點的速度分別是多少？小球的受力情況分別如何？（2）若小球在最低點受到繩子的拉力為 10mg,則小球在最高點的速度及受到繩子的拉力是多少？2、單向約束之內(nèi)軌道約束下（拱橋模型）的豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題:汽車過拱形橋時會有限速，是因為當(dāng)汽車通過半圓弧頂部時的速度v=Vgr時，汽車對弧頂?shù)膲毫?FN=0,此時汽車將脫離橋面做平拋運動,因為橋面不能對汽車產(chǎn)生拉力.例 2、半徑為 R 的光滑半圓

4、球固定在水平面上，頂部有一小物體，如圖所示。今給小物體一個水平初速度3 回則小物體將（A.沿球面下滑至 M 點B.先沿球面下滑至某點 N,然后便離開斜面做斜下拋運動C.按半徑大于 R 的新的圓弧軌道做圓周運動D.立即離開半圓球做平拋運動3、雙向約束之輕桿、管道約束下的豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題物體（如小球）在輕桿作用下的運動，或在管道中運動時，隨著速度的變化，桿或管道對其彈力發(fā)生變化.這里的彈力可以是支持力，也可以是壓力，即物體所受的彈力可以是雙向的，與輕繩的模型不同.因為繩子只能提供拉力，不能提供支持力；而桿、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中運動，物體速度較大時可對上壁產(chǎn)生壓力

5、，而速度較小時可對下壁產(chǎn)生壓力.在彈力為零時即出現(xiàn)臨界狀態(tài).（一）輕桿模型._一力如圖所示，輕桿一端連一小球，在豎直面內(nèi)作圓周運動./+（1）能過最高點的臨界條件是：v=0.這可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好不0能轉(zhuǎn)過最高點的臨界條件，此時支持力N=mg.、一（2）當(dāng)0v，而時，0Nmg,N 仍為支持力，且 N 隨 v 的增大而減小，管道模型質(zhì)點(小球)在光滑、豎直面內(nèi)的圓管中作圓周運動(圓管截面半徑 r 遠小于球的圓周運動的半徑 R),如圖所示.小球達到最高點時對管壁的壓力有三種情況：(1)剛好對管壁無壓力，此時重力為向心力，臨界速度為v二底.(2)當(dāng)vJRg時，對下管壁有壓力，此時N=mg-m,故0

6、N，廂時，N 隨v的增大而增大，且 N 為拉力指向圓心，例 3、如圖所示，有一長為 L 的細線，細線的一端固定在 O 點，另一端拴一質(zhì)量為 m 的小球，現(xiàn)使小球恰好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動。已知水平地面上的 C 點位于 O 點正下方，且到 O 點的距離為 1.9L。不計空氣阻力。(1)求小球通過最高點 A 時的速度VA；(2)若小球通過最低點 B時，細線對小球的拉力 T 恰好為小球重力的 6 倍，且小球經(jīng)過 B 點的瞬間讓細線斷裂，求小球落地點到 C 點的距離。解：(1)小球恰好能做完整的圓周運動，則小球通過 A 點時細線的拉力剛好為零，根據(jù)向心力公mg=L解得：VAnJgL。(2)小球在

7、 B 點時根據(jù)牛頓第二定律有VBT-mg=mL/7777T777777777777777777777777其中 T=6mg解得小球在 B 點的速度大小為 vB=J5gL細線斷裂后，小球從 B 點開始做平拋運動，則由平拋運動的規(guī)律得gt豎直方向上 1.9L-L=2(2 分)水平方向上 x=vBt解得:x=3L即小球落地點到 C 點的距離為 3L。(2 分)(2 分)答案:(1)gL(2)3L2v（3）當(dāng)vRg時，對上管壁有壓力，此時N=mmg。R實際上，輕桿和管道兩種約束情況可化歸為同類的物理模型，即雙向約束模型.例 4、一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為 R（比細管的半徑大得多

8、），圓管中有兩個直徑與細管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點）。A 球的質(zhì)量為 mB 球的質(zhì)量為 m2。它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為 V0。設(shè) A 球運動到最低點時，球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么 mi,m2,R 與 vo應(yīng)滿足關(guān)系式是c解：首先畫出小球運動達到最高點和最低點的受力圖，如圖 4-1 所示。A 球在圓管最低點必受向上彈力 Ni,此時兩球?qū)A管的合力為零，m2必受圓管向下的彈力 N2,且 Ni=N2。據(jù)牛頓第二定律 A 球在圓管的最低點有：22N1mg=m1同理 m2在最高點有：N2+mg=m2RR1212m2球由取局點到取低點機械能寸恒：2

9、m2gR+m2Vl=-m2Vo22Ni=N2【小結(jié)】比較復(fù)雜的物理過程，如能依照題意畫出草圖，確定好研究對象，逐一分析就會變?yōu)楹唵螁栴}。找出其中的聯(lián)系就能很好地解決問題。四、水平面內(nèi)圓周運動中的臨界問題:解決圓周運動中臨界問題的一般方法1、對物體進行受力分析2、找到其中可以變化的力以及它的臨界值3、求出向心力（合力或沿半徑方向的合力）的臨界值4、用向心力公式求出運動學(xué)量（線速度、角速度、周期、半徑等）的臨界值例 5、水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為 m 的物快，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為 r 時,若物塊始終相對轉(zhuǎn)盤靜止,物塊和轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是正壓力的科倍，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的最大角速度是多大？解：由mg=m-2r由

10、上述方程可得：v0(5m2mi)gRm2-m1得：點評：提供的向心力的臨界值決定了圓周運動角速度的臨界值變式 5、物體與圓筒壁的動摩擦因數(shù)為科，圓筒的半徑為 R,若要物體不滑下，圓筒的角速度至少為多少?解:2.FN=m，r得FN=mg例 6、如圖所示，兩繩系一質(zhì)量為 m=0.1kg 的小球，上面繩長 L=2m,兩端都拉直時與軸的夾角分別為 30與 45,問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊，當(dāng)角速度為 3rad/s 時，上、下兩繩拉力分別為多大？解：當(dāng)漸大，AC 繩與桿夾角變大，但 BC 繩還沒拉直。當(dāng) AC 繩與桿夾角為 30。時，BC 繩處在虛直狀態(tài)。之后 3 再增大,2mgtan30=

11、m0Lsin30BC 繩上也會有拉力。所以*。,BC 繩上有拉力。分析小球，由牛頓第二定律:TACcos30TBecos45，=mg2_TACsln30TBCsin45=m2Lsln3032二TAC:TBC=mg22=212,TBC=mL221TAC2AC1017.2-,6N20變式 6-1:如圖，長為 L 的繩子，下端連著質(zhì)量為 m 的小球,上端接于天花板上，當(dāng)把繩子拉直時，繩與豎直方向夾角 0=60。此時小球靜止于光滑水平面上。一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之,一條長度為 L 的繩（質(zhì)量不計），一端的位置固定在圓錐體的頂點 O 處,另一端拴著一個質(zhì)量為 m

12、的小物體（物體可看質(zhì)點），物體以速率速圓周運動。當(dāng) v=時，求繩對物體的拉力；當(dāng) v=時，求繩對物體的拉力。解：物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，由重力 G、拉力 T、支持力很小時，物體在圓錐體上運動。2vTsin二-Ncos1-mLsMTcosrNsin二-mgTmg-Nsin-由( (2)得：COs?由此可得，當(dāng) v 增大時，N 減少。，當(dāng)大到一定值時，物體將離開錐面，繩與豎直方向的夾角將變大。N=0,30）時的線速度值為物體的臨界速度。對球分析，由牛T=2mv2頓第二定律:3T二5g（1） 當(dāng)小球以做圓錐擺運動時，繩子張力多大？桌面支持力多大?（2） 當(dāng)小球以做圓周運動時，繩子張力多大？桌面

13、受到的壓力多大?答案:(1)T=mg匚1FN=-mg2(2)T=4mgFN=0代入（1）得:mgtan-N(tanssin,cos-)=m-Lsin二變式 6-2、如圖所示,間的夾角為。=30顯然當(dāng)球與錐面虛接觸（即v 繞圓錐體的軸線做水平勻T=2mg例 7、如圖所示，細繩一端系著質(zhì)量 M=0.6kg 的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量 m=0.3kg 的物體，M 的中與圓孔距離為 0.2m,并知 M 和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度在什么范圍 m 會處于靜止?fàn)顟B(tài)？(g=10m/s2)33rad/s515rad的范圍是：332.9rad/svw

14、0。1TC+NSine=mgNmg-Tcos由(2sin丁代入(1)得:2ViT(sin【cotcos【)-mgcot【-mLsin二mgcot1sincot二cos1mgL1mg,36L萬一，山mg1.03mg13.36223gL2v0N=0,但夾角變大，不為 302v二mLsin二(5)Tcos-=mg(6)2一sin-cosT)皿cos二3gLgLgLsin二mg(7),代入(5)得：cosa二mLsin工/s0rm0M82J10rad/s答案：（1）3325rad/s變式 8:如圖，勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放置用細線相連的質(zhì)量均為m 的 A、B 兩個小物塊。A 離軸心的距離 r

15、1=20cm,B 離軸心白距離 r2=30cm,A 和 B 與盤面間相互作用的最大靜摩擦力均為重力的 0.4 倍，求：(1)若細線上沒張力，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度應(yīng)該滿足什么條件?O變式 7:在以角速度 3 勻速轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)臺上放著一質(zhì)量為 M 的物體，通過一條光滑的細繩，由轉(zhuǎn)臺中央小孔穿下，連接著一 m 的物體，如圖所示。設(shè) M 與轉(zhuǎn)臺平面間的最大靜摩擦力為壓力的 k 倍，且轉(zhuǎn)臺不轉(zhuǎn)時 M 不能相對轉(zhuǎn)臺靜止。求：(1)如果物體 M 離轉(zhuǎn)臺中心的距離保持 R 不變，其他條件相同，則轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度 3 滿足什么條件，物體 M才能隨轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動？(2)物體 M 隨轉(zhuǎn)臺一起以角速度勻速轉(zhuǎn)動時，物體離轉(zhuǎn)臺中心的最

16、大距離和最小距離。.-.30rad/s答案：（1）325rad/s例 8、如圖所示，在水平轉(zhuǎn)臺上放有 A、B 兩個小物塊，它們距離軸心 O 分別為A=0.2m,2B=0.3m,它們與臺面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的 0.4 倍，取g=10m/s。(1)當(dāng)轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動時，要使兩物塊都不發(fā)生相對于臺面的滑動，求轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的角速度的范圍；(2)要使兩物塊都對臺面發(fā)生滑動，求轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動角度速度應(yīng)滿足的條件。在時間 t 內(nèi)，盤轉(zhuǎn)過的角度 0=n-2%,又因為 0=cotn2二g則轉(zhuǎn)盤角速度：3=t=2n 兀2h(n=1,2,3)【總結(jié)】上題中涉及圓周運動和平拋運動這兩種不同的運動，這兩種不同運動規(guī)律在

17、解決同一問題時，常常用“時間”這一物理量把兩種運動聯(lián)系起來。變式 9-1:如圖所示，小球 Q 在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，當(dāng)(2)欲使 A、B 與盤間不發(fā)生相對滑動，圓盤轉(zhuǎn)動的最大角速度為多少?(3)當(dāng) A 即將滑動時，燒斷細線，A、B 運動狀態(tài)如何？2j30rad/s答案：（1）34rad/s(3)A 繼續(xù)做圓周運動，B 做離心運動五、圓周運動的周期性問題：利用圓周運動的周期性把另一種運動(例如勻速直線運動、平拋運動)聯(lián)系起來。圓周運動是一個獨立的運動，而另一個運動通常也是獨立的，分別明確兩個運動過程，注意用時間相等來聯(lián)系。在這類問題中，要注意尋找兩種運動之間的聯(lián)系，往往是通過時間相等來建立

18、聯(lián)系的。同時，要注意圓周運動具有周期性，因此往往有多個答案。例 9:如圖所示，半徑為 R 的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動，其正上方h 處沿 OB 方向水平拋出一個小球，要使球與盤只碰一次，且落點為 B,則小球的初速度 v=,圓盤轉(zhuǎn)動的角速度 3=。【審題】小球做的是平拋運動，在小球做平拋運動的這段時間內(nèi)，圓盤做了定角度的圓周運動。i解：小球做平拋運動，在豎直方向上：h=2gt2T則運動時間t=1g又因為水平位移為 R,所以球的速度Q 球轉(zhuǎn)到圖示位置時,Rv=t=R,有另一小球 P 在距圓周最高點為 h 處開始自由下落.要使兩球在圓周最高點相碰，則 Q 球的角速度 3 應(yīng)滿足什么條件？【審題

19、】下落的小球 P 做的是自由落體運動，小球 Q 做的是圓周運動，若要想碰，必須滿足時間相等這個條件。解：設(shè) P 球自由落體到圓周最高點的時間為 t,由自由落體可得12h2gt2=h 求得 t=gQ 球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點的時間也是 t,但做勻速圓周運動，周期為 T,有T2支2n2ht=(4n+1)4(n=0,1,2,3)兩式聯(lián)立再由 T=8 得(4n+1)6g久戶所以=2(4n+1)2h(n=0,1,2,3)【總結(jié)】由于圓周運動每個周期會重復(fù)經(jīng)過同一個位置，故具有重復(fù)性。在做這類題目時，應(yīng)該考慮圓周運動的周期性六、圓周運動中的臨界問題練習(xí):1、如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為 m 的物塊，當(dāng)物塊

20、到轉(zhuǎn)軸的距離為 r 時,連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直(繩上張力為零)。物體和轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是其下壓力的科倍。求：當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度 31=、上胃時，細繩的拉力 T1。當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度32=、區(qū)9時，細繩的拉力 T2。1,mg答案：( (1)0(2)22、如圖二及所示.在工乙區(qū)個相同的水平園盤匕分別沿步格方向放置川長思相可的細淺相連、責(zé)量均為m的小物體A位于轉(zhuǎn)軸處，BfHC.D.它們與圓盤之間的動事擦因數(shù)柜等.當(dāng)甲,乙的角速度緩緩增大到A和B、C和D恰好將娶相對酗范節(jié)動時.f 列說法正確A,若突然剪斷細線,A仍靜止.B向外滑動艮若突然剪斷細線,。仍靜止.D向外滑動若突然剪斷細線,C、D均向外滑動D.當(dāng)角速度繼續(xù)增加時,C、D將向外滑動3、輕繩連接.整個裝腎能繞過CL）中點的軸。0轉(zhuǎn)動.已知兩物塊質(zhì)量相等,桿CD對物塊A,B的最大靜摩擦力大小相等一開始時繩子處于自然尺度（繩戶恰好伸有但九辨力）.物塊B到軸0（丫的鹿寓為物塊八到軸（X，的距離的兩倍.現(xiàn)讓該裝設(shè)從靜止開始轉(zhuǎn)動,使轉(zhuǎn)速逐漸增大,在從繩子處于自然長度到兩物塊A.B即將甜動的過程中,卜列說法正確的是（）A.A受到的舒摩擦力不可能為零中B.E受到的靜蕈擦力先增大比保持不變cl1CH-|DCA受到的靜摩擦力先增大后減小LJD.A受到的合外力一直在增大產(chǎn)(BD)圓周