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文檔簡介
1、1第四章 扭轉(zhuǎn)4-1 工程實際中的受扭桿4-2 受扭桿的內(nèi)力扭矩 扭矩圖4-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)4-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變4-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)分析4-6 圓軸扭轉(zhuǎn)時的破壞現(xiàn)象4-7 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度與剛度計算*4-8 非圓截面桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形24-1 工程實際中的受扭桿變形特點: . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動; . 桿表面的縱向線變成螺旋線; . 實際構(gòu)件在工作時除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外, 還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。受力特點: 一對轉(zhuǎn)向相反、作用在垂直于桿軸線的兩個平面內(nèi)的外力偶。mm圓軸扭轉(zhuǎn)變形3工程實例:如:機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿、鉗工用雙手轉(zhuǎn)動絲錐攻螺紋時的絲錐桿
2、、汽車方向盤下的軸等。4生活中的受扭桿件5工程中的受扭桿件678 本章研究桿件發(fā)生除扭轉(zhuǎn)變形外,其它變形可忽略的情況,并且以圓截面(實心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對象。此外,所研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。n主動輪從動輪葉片主軸Me94-2 外力偶矩的計算 扭矩及扭矩圖. 傳動軸的外力偶矩 作用在軸上的外力偶之矩通常不是直接給出的,往往要由軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速來計算。 如上圖,設(shè)動力經(jīng)主動輪輸入、然后由從動輪輸出。若已知軸的轉(zhuǎn)速為n(r/min),主動輪的輸入功率為 (Kw) 則在t秒內(nèi)輸入的功為 。)(mkNtNWkkN10602tnmtNk 260nNmk 輸入的功由
3、帶輪以力偶(其矩為m )的形式作用于軸上。外力偶m在t秒鐘所作的功,應(yīng)等于帶輪輸給軸的功,即由此求出計算外力偶矩m 的公式為其中:P 功率,千瓦(kW) n 轉(zhuǎn)速,轉(zhuǎn)/分(r/min))(55. 9 mkNnNk11 主動輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相同,而從動輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相反。第四章 扭轉(zhuǎn)12. 扭矩及扭矩圖 傳動軸橫截面上的扭矩Mn 可利用截面法來計算。第四章 扭轉(zhuǎn)mMn13 扭矩的正負(fù)可按右手螺旋法則確定:扭矩矢量離開截面為正,指向截面為負(fù)。第四章 扭轉(zhuǎn))(nM)(nM14例1已知:一傳動軸, n =300r/min,主動輪輸入 NK1=500kW,從動輪
4、輸出 NK2=150kW,NK3=150kW,NK4=200kW,試?yán)L制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4解:計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.55N55. 9K11nmm)(kN 78.43001509.5555.9232nNmmKm)(kN 37. 63002009.55N55. 9K44nm15nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩(扭矩按正方向設(shè))mkN78. 4 0M , 022n1mMmmnxmkN56. 9)78. 478. 4( , 0322322mmMmmMnnmkN37. 6 , 0M 434n3mMmn16繪制扭矩圖mkN 56
5、. 9maxnMBC段為危險截面。nA B C Dm2 m3 m1 m49.56x4.786.37nM)(mkN 扭矩圖簡潔畫法扭矩圖簡潔畫法17mADABCmBmCmD351 Nm702 Nm468 NmnM作內(nèi)力圖要求:作內(nèi)力圖要求:1 . 正確畫出內(nèi)力沿桿軸分布規(guī)律182 .標(biāo)明特殊截面的內(nèi)力數(shù)值4 . 注明單位3 . 標(biāo)明正負(fù)號mADABCmBmCmD351 Nm702 Nm468 NmnM19薄壁圓筒:壁厚0101r(r0:為平均半徑)1、變形現(xiàn)象的觀察實驗前:繪縱向線,圓周線;4-3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)施加一對外力偶 m。薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)2021實驗后:圓周線不變;縱向線變
6、成斜直線。結(jié)論:圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變,只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度 。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。2 2、橫截面上的應(yīng)力、橫截面上的應(yīng)力22 方向:對軸線的矩與扭矩一致。 垂直于計算點所在半徑;假設(shè) 沿壁厚均勻分布mnM23nAMrA0d由薄壁圓筒橫截面上剪應(yīng)力的計算公式:AnArMd0AnMArd0 , 于是有mmmxr0 dA20002)2(rMrrMnn根據(jù)應(yīng)力分布可知243、剪應(yīng)力互等定理: 0zm上式稱為剪應(yīng)力互等定理。dxABCDdyz該定理表明:在單元體相互垂直的兩個平面上,剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn),且數(shù)值相等,方向共同指
7、向或共同背離兩平面的交線。dydx )( 故dxdy )(25 單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用,這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。dxABCDdy264、剪切虎克定律: acddxbdy27)( ) 2( 00nrLtAM 剪切虎克定律:當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(p),剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。)( pGmMn28 式中:G是材料的一個彈性常數(shù),稱為剪切彈性模量,因 無量綱,故G的量綱與 相同,不同材料的G值可通過實驗確定,鋼材的G值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料,這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系 可見,在三個彈性
8、常數(shù)中,只要知道任意兩個,第三個量就可以推算出來。)1 ( 2EG29)(s思考題:圖示薄壁圓筒,其截面厚度 ,求橫截面上的剪應(yīng)力。)(stt 作業(yè):4-7304-4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力強度條件. 橫截面上的應(yīng)力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應(yīng)變的變化規(guī)律橫截面上應(yīng)力變化規(guī)律應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(問題的物理方面)內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系橫截面上應(yīng)力的計算公式(問題的靜力學(xué)方面)31321. 表面變形情況:(a) 相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動,但它們的大小和形狀未變,小變形情況下它們的間距也未變;(b) 縱向線傾斜了一個角度g 。平面假設(shè)等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時橫截面如同剛性平面繞桿的軸
9、線轉(zhuǎn)動,小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。推知:桿的橫截面上只有剪應(yīng)力,且垂直于半徑。(1) 幾何方面332. 橫截面上一點處的切應(yīng)變隨點的位置的變化規(guī)律:即xdd34xdd 式中 相對扭轉(zhuǎn)角 沿桿長的變化率,常用 (或u)來表示,對于給定的橫截面為常量。xdd 可見,在橫截面的同一半徑 的圓周上各點處的剪應(yīng)變 均相同; 與 成正比,且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。第四章 扭轉(zhuǎn)35xGGdd(2)物理方面由剪切胡克定律 G 知 可見,在橫截面的同一半徑 的圓周上各點處的剪應(yīng)力 均相同,其值 與 成正比,其方向垂直于半徑。36ppIMGIMGnn(3) 靜力學(xué)方面其中 稱為橫截面的極慣性矩Ip,它是
10、橫截面的幾何性質(zhì)。AAd2 dnAMA從而得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)時,橫截面上任一點處剪應(yīng)力計算公式pddGIMxnAAId2p以 代入上式得:nAMAxGddd 2即37pppmaxWMrIMIrMnnnpIMnnMmaxmaxd式中Wp稱為抗扭截面模量,其單位為 m3。橫截面周邊上各點處( r)的最大剪應(yīng)力為nMmaxmaxdD38實心圓截面:32d24203dd圓截面的極慣性矩Ip和抗扭截面模量Wp162/3ppddIWAAId2p39思考:對于空心圓截面, ,其原因是什么?(33p116DW空心圓截面:(DdDdDAIDdA其中44442232p13232 d2d(4344pp11
11、6162/DDdDDIW40 例題4-2 實心圓截面軸(圖a)和空心圓截面軸(圖b) ( )除橫截面不同外,其它均相同。試求兩種圓軸在橫截面上最大剪應(yīng)力相等的情況下,D2與d1之比以及兩軸的重量比。8 . 0/22Dd4131e1pe1p1max, 116dMWMWMn(432e2pe2p2max, 2116DMWMWMn解:(4322p311p116,16DWdW194. 18 . 0113412dD由1,max=2,max,并將 0.8代入得42兩軸的重量比即為其橫截面面積之比:(512. 08 . 01194. 1144222122221222212dDddDAA空心圓軸的自重比實心圓軸
12、輕。實際應(yīng)用中,尚需考慮加工等因素。43. 強度條件max此處為材料的許用剪應(yīng)力。對于等直圓軸亦即pmaxWMn 鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉(zhuǎn)時雖沿斜截面因拉伸而發(fā)生脆性斷裂,但因斜截面上的拉應(yīng)力與橫截面上的剪應(yīng)力有固定關(guān)系,故仍可以剪應(yīng)力和許用剪應(yīng)力來表達(dá)強度條件。低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗開始44低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗結(jié)束低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口 45鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗過程46鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口47 例題4-3 圖示階梯狀圓軸,AB段直徑d1=120 mm,BC段直徑d2=100 mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA =22 kNm,MB =36 kNm,MC =14 kNm,材料的許用剪應(yīng)力 80 MPa。試校核該軸的強度。48
13、BC段內(nèi)(MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max, 2WMnAB段內(nèi)(MPa8 .64Pa108 .64 m1012016mN102263331p1max, 1WMn解:1. 繪扭矩圖 2. 求每段軸的橫截面上的最大剪應(yīng)力493. 校核強度 需要指出的是,階梯狀圓軸在兩段的連接處仍有應(yīng)力集中現(xiàn)象,在以上計算中對此并未考核。 2,max 1,max,但有2,max = 80MPa,故該軸滿足強度條件。504-5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形剛度條件. 扭轉(zhuǎn)時的變形 等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角(相對角位移) 來度量。MeADB CMe51 當(dāng)
14、等直圓桿相距 l 的兩橫截面之間,扭矩T及材料的切變模量G為常量時有pGIlMn 由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率(亦稱單位長度扭轉(zhuǎn)角)為 可知,桿的相距 l 的兩橫截面之間的相對扭轉(zhuǎn)角為pddGIMxnlnlxGIM0pdd52解: 1. 各段軸的橫截面上的扭矩:mN637M ,mN95521nnM 例題4-4 圖示鋼制實心圓截面軸,已知:M1=1 592 Nm,M2 = 955 Nm,M3 = 637 Nm,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,鋼的切變模量G = 80 GPa。試求橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角CB(這里相對扭轉(zhuǎn)角的下角標(biāo)的注法與書上不同,以
15、下亦如此)。53(rad1069. 1m107032Pa1080m10500mN63734393P2GIlMACnCA3. 橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角:(rad1017. 0rad1069. 1rad1052. 1333CAABCB(rad1052. 1m107032Pa1080m10300mN95534393P1GIlMABnAB2. 各段軸的兩個端面間的相對扭轉(zhuǎn)角:54. 剛度條件式中的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角的常用單位是()/m。此時,等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的剛度條件表示為:對于精密機器的軸0.150.30 ()/m;對于一般的傳動軸2 ()/m。max180pmaxGIMn55解: 1. 按強度條件
16、求所需外直徑D(有由因 ,161516116pmaxmax343pWMDDWnm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33nMD 例題4-5 由45號 鋼制成的某空心圓截面軸,內(nèi)、外直徑之比 = 0.5 。已知材料的許用剪應(yīng)力 = 40 MPa,切變模量G= 80 GPa。軸的橫截面上扭矩的最大者為Mnmax = 9.56 kNm,軸的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角=0.3 ()/m。試選擇軸的直徑。562. 按剛度條件求所需外直徑D(有由因180 ,161532132pmax444pGIMDDInm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN
17、1056. 9321180161532393max44GMDnmm75.62d3. 空心圓截面軸所需外直徑為D125.5 mm(由剛度條件控制),內(nèi)直徑則根據(jù) = d/D = 0.5知57思考: 從圖a所示受扭圓桿中取出的分離體如圖b所示。根據(jù)橫截面上剪應(yīng)力沿直徑CD的分布規(guī)律,由剪應(yīng)力互等定理可知徑向截面ABCD上沿圓軸的半徑方向亦有如圖所示分布的剪應(yīng)力。試問此徑向截面上剪應(yīng)力所構(gòu)成的合力偶矩是與什么力偶矩平衡的?58作業(yè):4-8,4-9,4-16594-7 等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形. 等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特點 橫截面不再保持為平面而發(fā)生翹曲。平面假設(shè)不再成立。 自由扭轉(zhuǎn)(純
18、扭轉(zhuǎn))等直桿,兩端受外力偶作用,端面可自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度完全相同,橫截面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力。60 約束扭轉(zhuǎn)非等直桿,或非兩端受外力偶作用,或端面不能自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度不同,橫截面上除剪應(yīng)力外還有附加的正應(yīng)力。第四章 扭轉(zhuǎn)61. 矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的彈性力學(xué)解一般矩形截面等直桿狹長矩形截面等直桿62(1) 一般矩形截面等直桿橫截面上的最大剪應(yīng)力在長邊中點處:Wt扭轉(zhuǎn)截面系數(shù),Wt=bb3,b 為與m=h/b相關(guān)的因數(shù)(表3-1)。tmaxWMn橫截面上短邊中點處的剪應(yīng)力: nmaxn 為與m=h/b相關(guān)的因數(shù)(表3-1)。單位長度扭轉(zhuǎn)角: It相當(dāng)極慣性矩, , 為與m = h/b 相關(guān)的因數(shù)(表3-1)。tGIMn4tbI表4-1 矩形截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的因數(shù),b 和 nm=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 bn
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