方差分析(ANOVA)

1、方差分析方差分析（ANOVAANOVA） 1Y1n 2Y2n3Y3n4Y4n例子：例子：某研究者在某單位工作人員中進(jìn)行了體重指數(shù)（BMI）抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取不同年齡組男性受試者各16名，測(cè)量了被調(diào)查者的身高和體重值，由此按照BMI=體重/身高2公式計(jì)算了體重指數(shù)，請(qǐng)問(wèn)，不同年齡組的體重指數(shù)有無(wú)差異。項(xiàng)目項(xiàng)目18歲歲30歲歲4560歲歲21.6527.1520.2820.6628.5822.8818.8223.9326.49樣本量樣本量161616平均值平均值22.0725.9425.49標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差8.978.117.19一、方差分析的基本思想一、方差分析的基本思想5 5組間變異組間變異總變異

2、總變異組內(nèi)變異組內(nèi)變異思想來(lái)源：思想來(lái)源： 觀察值總變異可以分解為組間變異和組內(nèi)變異觀察值總變異可以分解為組間變異和組內(nèi)變異 6 61. 總變異總變異(Total variation): 全部測(cè)量值全部測(cè)量值Xij與總與總均數(shù)均數(shù) 間的差異間的差異 2. 組間變異組間變異(between group variation ): 各組的各組的均數(shù)均數(shù) 與總均數(shù)與總均數(shù) 間的差異間的差異3. 組內(nèi)變異組內(nèi)變異（within group variation )：每組的：每組的每個(gè)測(cè)量值每個(gè)測(cè)量值 與該組均數(shù)與該組均數(shù) 的差異的差異可用可用離均差平方和離均差平方和反映變異的大小反映變異的大小 XiXXi

3、jXiX1. 1. 總變異總變異: : 所有測(cè)量值之間總的變異所有測(cè)量值之間總的變異程度程度，SS總1N總kinjijTiXXSS112)( 2 2組間變異：組間變異：各組均數(shù)與總均數(shù)的離各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和，均差平方和， SS組間1a組間SSSS組間組間反映了各組均數(shù)反映了各組均數(shù) 的變異程度的變異程度組間變異隨機(jī)誤差組間變異隨機(jī)誤差+ +處理因素效應(yīng)處理因素效應(yīng) 21)(XXnSSikiiTRiXNa組內(nèi)3 3組內(nèi)變異：組內(nèi)變異：用各組內(nèi)各測(cè)量值用各組內(nèi)各測(cè)量值Xij與與其所在組的均數(shù)差值的平方和來(lái)表示，其所在組的均數(shù)差值的平方和來(lái)表示，SSSS組內(nèi)組內(nèi)SSSS組內(nèi)組內(nèi)反映反映隨

4、機(jī)誤差隨機(jī)誤差的影響（個(gè)體差異和測(cè)量誤差）。的影響（個(gè)體差異和測(cè)量誤差）。211)(ikinjijeXXSSi 均方差，均方均方差，均方(mean square，MS) 1n2n3nVSVS1n2n3n1Y2Y3Y2Y3Y1Y1n2n3n1n2nVSVS3Y1Y2Y2Y3Y1Y組間均方與組內(nèi)均方比值越小，樣本越可能來(lái)組間均方與組內(nèi)均方比值越小，樣本越可能來(lái)源于同一個(gè)總體，比值越大，樣本越可能不是源于同一個(gè)總體，比值越大，樣本越可能不是來(lái)源于一個(gè)總體來(lái)源于一個(gè)總體 二、二、F F 值與值與F F分布分布，如果各組樣本的總體均數(shù)相等（H0成立），即各處理組的樣本來(lái)自相同總體，無(wú)處理因素的作用，則組

5、間變異同組內(nèi)變異一樣，只反映隨機(jī)誤差作用的大小。組間均方與組內(nèi)均方的比值稱(chēng)為F統(tǒng)計(jì)量 F值接近于1，就沒(méi)有理由拒絕H0；反之，F(xiàn)值越大，拒絕H0的理由越充分。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論證明，當(dāng)H0成立時(shí)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量服從F分布。 MSFMS組間組內(nèi)1組間2組內(nèi)F F 分布曲線分布曲線10,10215, 1215, 52122121122/22/12121121)(222)(FFFf回憶回憶t t分布和分布和t t檢驗(yàn)檢驗(yàn)17171818F F 界值表界值表二、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析二、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析( (單因素方差分析單因素方差分析) )關(guān)于因素與水平關(guān)于因素與水平因素也稱(chēng)為處理因素（因素也稱(chēng)為處理因素（

6、factor）每一處理因素至少有兩個(gè)水平每一處理因素至少有兩個(gè)水平(level)（也稱(chēng)（也稱(chēng)“處理組處理組”）。）。完全隨機(jī)設(shè)計(jì)：完全隨機(jī)設(shè)計(jì)： 將實(shí)驗(yàn)對(duì)象隨機(jī)分配到不同處理組的單因素設(shè)計(jì)方法。針對(duì)一個(gè)處理因素，通過(guò)比較該因素不同水平組均值，推斷該處理因素不同水平組的均值是否存在統(tǒng)計(jì)學(xué)差異。例例 在評(píng)價(jià)某藥物耐受性及安全性的I期臨床試驗(yàn)中，對(duì)符合納入標(biāo)準(zhǔn)的30名健康自愿者隨機(jī)分為3組每組10名，各組注射劑量分別為0.5U、1U、2U，觀察48小時(shí)部分凝血活酶時(shí)間（s）試問(wèn)不同劑量的部分凝血活酶時(shí)間有無(wú)不同？ 方差分析步驟方差分析步驟 ： （1 1）提出檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)）提出檢驗(yàn)假設(shè)，確定

7、檢驗(yàn)水準(zhǔn) H0:1=2=3 H1:1，2，3不全相同 a=0.05 （2 2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F F 值值 （3 3）確定）確定P P值，做出推斷結(jié)論值，做出推斷結(jié)論 F0.05(2，26) =2.52，F(xiàn)F0.05(2，26) ，P0.05，拒絕 H0。 三種不同劑量48小時(shí)部分凝血活酶時(shí)間 不全相同。例子：某研究者在某單位工作人員中進(jìn)行了體重指數(shù)（BMI）抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取不同年齡組男性受試者各16名，測(cè)量了被調(diào)查者的身高和體重值，由此按照BMI=體重/身高2公式計(jì)算了體重指數(shù)，請(qǐng)問(wèn)，不同年齡組的體重指數(shù)有無(wú)差異。項(xiàng)目項(xiàng)目18歲歲30歲歲4560歲歲21.6527.1520.

8、2820.6628.5822.8818.8223.9326.49樣本量樣本量161616平均值平均值22.0725.9425.49標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差8.978.117.19方差分析適合于任何多組獨(dú)立均衡可比的數(shù)據(jù)方差分析適合于任何多組獨(dú)立均衡可比的數(shù)據(jù)基本步驟基本步驟（1 1）建立假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)）建立假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：三個(gè)總體均數(shù)相等，即三組工作人員的體重指數(shù)總體均數(shù)相等H1：三個(gè)總體均數(shù)不等或不全相等a=0.05（2 2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F F值值變異來(lái)源變異來(lái)源SSSS自由度（自由度（dfdf）MSMSF F組間143.406271.7038.87組內(nèi)363.86458.

9、09總變異507.3647（3 3）確定）確定p p值，作出統(tǒng)計(jì)推斷值，作出統(tǒng)計(jì)推斷P2,45=3.20-3.218.87，本次F值處于F界值之外，說(shuō)明組間均方組內(nèi)均方比值屬于小概率事件，因此拒絕H0，接受H1，三個(gè)總體均數(shù)不等或不全相等方差分析的關(guān)鍵條件方差分析的關(guān)鍵條件第一、各組服從正態(tài)分布！第一、各組服從正態(tài)分布！第二、各組符合方差齊性！第二、各組符合方差齊性！第三、獨(dú)立性第三、獨(dú)立性方差齊性檢驗(yàn)方差齊性檢驗(yàn)Bartlett檢驗(yàn)法Levene F 檢驗(yàn)最大方差與最小方差之比3，初步認(rèn)為方差齊同。問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 不符合條件怎么辦？不符合條件怎么辦？第一招：數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換第一招：數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 方差齊性轉(zhuǎn)

10、換；正態(tài)性轉(zhuǎn)換方差齊性轉(zhuǎn)換；正態(tài)性轉(zhuǎn)換第二招：特別分析方法第二招：特別分析方法 非參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)三、多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較三、多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較方差分析能說(shuō)明什么問(wèn)題？方差分析能說(shuō)明什么問(wèn)題？不拒絕不拒絕H H0 0，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足足 分析終止分析終止 拒絕拒絕H H0 0，接受，接受H H1 1, , 表示總體均數(shù)不全相等表示總體均數(shù)不全相等 哪兩兩均數(shù)之間相等？哪兩哪兩兩均數(shù)之間相等？哪兩兩均數(shù)之間不等？?jī)删鶖?shù)之間不等？ 需要進(jìn)一步作多重比較需要進(jìn)一步作多重比較能否用T檢驗(yàn)?zāi)禺?dāng)有k個(gè)均數(shù)需作兩兩比較時(shí)，比較的次數(shù)共有c= k!/(2!(

11、k-2)!)=k(k-1)/2設(shè)每次檢驗(yàn)所用類(lèi)錯(cuò)誤的概率水準(zhǔn)為，累積類(lèi)錯(cuò)誤的概率為，則在對(duì)同一實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行c次檢驗(yàn)時(shí)，在樣本彼此獨(dú)立的條件下，根據(jù)概率乘法原理，其累積類(lèi)錯(cuò)誤概率與c有下列關(guān)系： 1(1)c 例如，設(shè)0.05，c=3(即k=3)，其累積類(lèi)錯(cuò)誤的概率為1(1-0.05)3 =1-(0.95)3 = 0.143多重比較的方法：多重比較的方法：SNK檢驗(yàn)（q 檢驗(yàn)）：探索性研究，進(jìn)行兩兩比較。LSD-t 檢驗(yàn)：證實(shí)性檢驗(yàn)，可認(rèn)為L(zhǎng)SD法是最靈敏的Turkey 檢驗(yàn)方法，探索性研究，要求樣本量相同。Duncan 檢驗(yàn)方法，探索性研究Dunnet 檢驗(yàn)方法，證實(shí)性檢驗(yàn)，常用于多個(gè)試驗(yàn)組與一

12、個(gè)對(duì)照組間的比較。 例例1 在腎缺血再灌注過(guò)程的研究中，將在腎缺血再灌注過(guò)程的研究中，將36只雄性大鼠隨機(jī)等只雄性大鼠隨機(jī)等分成三組，分別為正常對(duì)照組、腎缺血分成三組，分別為正常對(duì)照組、腎缺血60分組和腎缺血分組和腎缺血60分再灌注組，測(cè)得各個(gè)體的分再灌注組，測(cè)得各個(gè)體的NO數(shù)據(jù)見(jiàn)數(shù)據(jù)文件數(shù)據(jù)見(jiàn)數(shù)據(jù)文件no.sav，試，試問(wèn)各組的問(wèn)各組的NO平均水平是否相同？平均水平是否相同？單因素方差分析單因素方差分析分析：分析：對(duì)于單因素方差分析，其資料在對(duì)于單因素方差分析，其資料在SPSS中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)由中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)由兩列數(shù)據(jù)構(gòu)成，其中一列是觀察指標(biāo)的變量值，另一列是用兩列數(shù)據(jù)構(gòu)成，其中一列是觀察

13、指標(biāo)的變量值，另一列是用以表示分組變量。實(shí)際上，幾乎所有的統(tǒng)計(jì)分析軟件，包括以表示分組變量。實(shí)際上，幾乎所有的統(tǒng)計(jì)分析軟件，包括SAS，STATA等，都要求方差分析采用這種數(shù)據(jù)輸入形式，等，都要求方差分析采用這種數(shù)據(jù)輸入形式，這一點(diǎn)也暗示了方差分析與線性模型間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。這一點(diǎn)也暗示了方差分析與線性模型間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。單因素方差分析單因素方差分析 預(yù)分析（重要）：檢驗(yàn)其應(yīng)用條件預(yù)分析（重要）：檢驗(yàn)其應(yīng)用條件單因素方差分析單因素方差分析選擇選擇data 中的中的split file，出現(xiàn)如下對(duì)話(huà)框：，出現(xiàn)如下對(duì)話(huà)框：?jiǎn)我蛩胤讲罘治鰡我蛩胤讲罘治鰡我蛩胤讲罘治鰡我蛩胤讲罘治鰡我蛩胤讲罘治鰡我?/p>

14、素方差分析v 這里僅取其中一組結(jié)果，表明該資料符合這里僅取其中一組結(jié)果，表明該資料符合分組正態(tài)性的條件。分組正態(tài)性的條件。單因素方差分析單因素方差分析注意分組檢驗(yàn)正態(tài)性后，要先回到注意分組檢驗(yàn)正態(tài)性后，要先回到data菜單下的菜單下的split file ，如下操作取消拆分后才能進(jìn)行后續(xù)的方差分析：如下操作取消拆分后才能進(jìn)行后續(xù)的方差分析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治鰡我蛩胤讲罘治鰡我蛩胤讲罘治鰡我蛩胤讲罘治鲞x入分組變量選入分組變量選入因變量選入因變量給出各組間樣本給出各組間樣本均數(shù)的折線圖均數(shù)的折線圖指定進(jìn)行方差指定進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)齊性檢驗(yàn)單因素方差分析單因素方差分析結(jié)果分析結(jié)果分析單因素方差分析單因素方

15、差分析（1） 方差齊性檢驗(yàn)方差齊性檢驗(yàn)v Levene方法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為方法檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為3.216，其，其P值為值為0.053，可，可認(rèn)為樣本所來(lái)自的總體滿(mǎn)足方差齊性的要求。認(rèn)為樣本所來(lái)自的總體滿(mǎn)足方差齊性的要求。Test of Homogeneity of Variancesno3.216233.053Levene Statisticdf1df2Sig.單因素方差分析單因素方差分析結(jié)果分析結(jié)果分析（2） 方差分析表方差分析表v 第第1列為變異來(lái)源，第列為變異來(lái)源，第2、3、4列分別為離均差平方和、自列分別為離均差平方和、自由度、均方，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由度、均方，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值為值為5.564，P0.

16、008，組間均數(shù)，組間均數(shù)差別統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，可認(rèn)為各組的差別統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，可認(rèn)為各組的NO不同。不同。ANOVAno46925.950223462.9755.564.008139157.6334216.898186083.635Between GroupsWithin GroupsTotalSum ofSquaresdfMean SquareFSig.變變異異來(lái)來(lái)源源單因素方差分析單因素方差分析結(jié)果分析結(jié)果分析（3） 各組樣本均數(shù)折線圖各組樣本均數(shù)折線圖Means plots 選項(xiàng)給出，更直觀。選項(xiàng)給出，更直觀。注意注意：當(dāng)分組變量體現(xiàn)出順序的趨勢(shì)時(shí)，繪制這種折線圖可以提示：當(dāng)分組變量體現(xiàn)出順序的

17、趨勢(shì)時(shí)，繪制這種折線圖可以提示我們選擇正確的趨勢(shì)分析模型。我們選擇正確的趨勢(shì)分析模型。通過(guò)以上分析得到了拒絕通過(guò)以上分析得到了拒絕H H0 0的結(jié)論，但實(shí)際上單因素方差分的結(jié)論，但實(shí)際上單因素方差分析并不這樣簡(jiǎn)單。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往仍需要回答多個(gè)析并不這樣簡(jiǎn)單。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往仍需要回答多個(gè)均數(shù)間到底是哪些存在差異。雖然結(jié)論提示不同組別個(gè)體的均數(shù)間到底是哪些存在差異。雖然結(jié)論提示不同組別個(gè)體的NONO量不同，但研究者并不知道到底是三者之間均有差別，還量不同，但研究者并不知道到底是三者之間均有差別，還是某一組與其他兩組有差別。這就應(yīng)當(dāng)通過(guò)兩兩比較（多重是某一組與其他兩組有差別。這就應(yīng)當(dāng)

18、通過(guò)兩兩比較（多重比較）進(jìn)行考察。比較）進(jìn)行考察。均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法直接校正檢驗(yàn)水準(zhǔn)直接校正檢驗(yàn)水準(zhǔn) （相對(duì)粗糙）（相對(duì)粗糙）專(zhuān)用的兩兩比較方法：專(zhuān)用的兩兩比較方法：計(jì)劃好的多重比較（計(jì)劃好的多重比較（Planned Comparisons）非計(jì)劃的多重比較（非計(jì)劃的多重比較（PostHoc Comparisons）均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法Contrasts按鈕按鈕Post Hoc按鈕按鈕點(diǎn)擊單因素方差分析主對(duì)話(huà)框中的點(diǎn)擊單因素方差分析主對(duì)話(huà)框中的Post Hoc按鈕，總共按鈕，總共有有14種兩兩比較的方法，如下：種兩兩比較的方法，如下：均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法L

19、SD法：法：最靈敏最靈敏，會(huì)犯假陽(yáng)性錯(cuò)誤；，會(huì)犯假陽(yáng)性錯(cuò)誤；Sidak法：比法：比LSD法保守；法保守；Bonferroni法：比法：比Sidak法更為保守一些；法更為保守一些；Scheffe法：多用于進(jìn)行比較的兩組間樣本含量不等時(shí)；法：多用于進(jìn)行比較的兩組間樣本含量不等時(shí)；Dunnet法：常用于多個(gè)試驗(yàn)組與一個(gè)對(duì)照組的比較；法：常用于多個(gè)試驗(yàn)組與一個(gè)對(duì)照組的比較；S-N-K法：尋找同質(zhì)亞組的方法；法：尋找同質(zhì)亞組的方法；Turkey法：最遲鈍，要求各組樣本含量相同；法：最遲鈍，要求各組樣本含量相同；Duncan法：與法：與Sidak法類(lèi)似。法類(lèi)似。均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法仍以例仍以例

20、1為例，為例，LSD法的輸出格式：法的輸出格式：均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法結(jié)果分析結(jié)果分析仍以例仍以例1為例，為例，SNK法的輸出格式：法的輸出格式：結(jié)果分析結(jié)果分析均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法v 該方法的目的是尋找同質(zhì)子集，故各組在表格的縱向上，均該方法的目的是尋找同質(zhì)子集，故各組在表格的縱向上，均數(shù)按大小排序，然后根據(jù)多重比較的結(jié)果將所有的組分為若干數(shù)按大小排序，然后根據(jù)多重比較的結(jié)果將所有的組分為若干個(gè)子集，子集間有差別，子集內(nèi)均數(shù)無(wú)差別。個(gè)子集，子集間有差別，子集內(nèi)均數(shù)無(wú)差別。 當(dāng)各組樣本含量不同，選擇當(dāng)各組樣本含量不同，選擇S Scheffecheffe法，得結(jié)果：法，得結(jié)

21、果：均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法結(jié)果分析結(jié)果分析Multiple ComparisonsDependent Variable: noScheffe13.6125026.51068.877-54.338981.563982.48167*26.51068.01414.5303150.4330-13.6125026.51068.877-81.563954.338968.86917*26.51068.046.9178136.8205-82.48167*26.51068.014-150.4330-14.5303-68.86917*26.51068.046-136.8205-.9178(J) grou

22、p231312(I) group123MeanDifference(I-J)Std. ErrorSig.Lower BoundUpper Bound95% Confidence IntervalThe mean difference is significant at the .05 level.*. 假設(shè)在調(diào)查的設(shè)計(jì)階段，就計(jì)劃好了第二組和第一組，以及第三假設(shè)在調(diào)查的設(shè)計(jì)階段，就計(jì)劃好了第二組和第一組，以及第三組和第一組的比較，可以使用主對(duì)話(huà)框中的組和第一組的比較，可以使用主對(duì)話(huà)框中的contrast contrast 按鈕按鈕實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)。v 在在coefficients后面的框中輸入后面的

23、框中輸入1，-1，0，每次輸入后點(diǎn)擊，每次輸入后點(diǎn)擊add，就，就可以比較第一組和第二組的可以比較第一組和第二組的NO；再點(diǎn)擊；再點(diǎn)擊next按鈕，繼續(xù)輸入下一個(gè)組按鈕，繼續(xù)輸入下一個(gè)組合，即合，即0，-1，1。均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法均數(shù)兩兩比較方法結(jié)果分析結(jié)果分析可見(jiàn)，第一個(gè)組合無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而第二個(gè)組合有顯著性差異?？梢?jiàn)，第一個(gè)組合無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，而第二個(gè)組合有顯著性差異。Contrast Coefficients1-1010-1Contrast12123groupContrast Tests13.6125 26.51068.51333.61182.4817 26.

24、510683.11133.00413.6125 22.16579.61421.981.54582.4817 28.306862.91418.900.009Contrast1212Assume equal variancesDoes not assume equalvariancesnoValue ofContrast Std. ErrortdfSig. (2-tailed)四、多因素方差分析四、多因素方差分析多因素方差分析多因素方差分析一個(gè)因素（水平間獨(dú)立）單因素方差分析兩個(gè)因素（水平間獨(dú)立或相關(guān)）多(兩)因素方差分析一個(gè)個(gè)體多個(gè)測(cè)量值重復(fù)測(cè)量資料的方差分析目的：用這類(lèi)資料的樣本信息來(lái)推斷各處理組間多個(gè)總體均數(shù)的差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。（一）隨機(jī)區(qū)組方差分析（水平間獨(dú)立兩因