一元線性回歸模型

1、第二章第二章 經典單方程計量經濟學模型：經典單方程計量經濟學模型：一元線性回歸模型一元線性回歸模型 回歸分析概述回歸分析概述 一元線性回歸模型的參數估計一元線性回歸模型的參數估計 一元線性回歸模型檢驗一元線性回歸模型檢驗 一元線性回歸模型預測一元線性回歸模型預測 實例實例2.1 2.1 回歸分析概述回歸分析概述一、變量間的關系及回歸分析的基本概念一、變量間的關系及回歸分析的基本概念二、總體回歸函數（二、總體回歸函數（PRFPRF）三、隨機擾動項三、隨機擾動項四、樣本回歸函數（四、樣本回歸函數（SRFSRF）一、變量間的關系及回歸分析的基本概念一、變量間的關系及回歸分析的基本概念1. 變量間的關

2、系變量間的關系（1）確定性關系確定性關系或函數關系函數關系：研究的是確定現象非隨機變量間的關系。2,半徑半徑圓面積f（2）統(tǒng)計依賴）統(tǒng)計依賴或相關關系：相關關系：研究的是非確定現象隨機變量間的關系。施肥量陽光降雨量氣溫農作物產量,f 對變量間對變量間統(tǒng)計依賴關系統(tǒng)計依賴關系的考察主要是通過的考察主要是通過相關相關分析分析(correlation analysis)或或回歸分析回歸分析(regression analysis)來完成的來完成的 正相關 線性相關 不相關 相關系數：統(tǒng)計依賴關系 負相關 11XY 有因果關系 回回歸歸分分析析 正相關 無因果關系 相相關關分分析析 非線性相關 不相關

3、 負相關 注意注意不線性相關并不意味著不相關。有相關關系并不意味著一定有因果關系?；貧w分析回歸分析/相關分析相關分析研究一個變量對另一個（些）變量的統(tǒng)計依賴關系，但它們并不意味著一定有因果關系。相關分析相關分析對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機的?；貧w分析回歸分析對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是。 1. 經濟變量間的相互關系經濟變量間的相互關系 確定性的函數關系確定性的函數關系 不確定性的統(tǒng)計關系不確定性的統(tǒng)計關系相關關系相關關系 (為隨機變量為隨機變量) 沒有關系沒有關系 一、回歸與相關一、回歸與相關 （對

4、統(tǒng)計學的回顧）（對統(tǒng)計學的回顧）()Yf X()Yf X2.2.相關關系相關關系 相關關系的描述相關關系的描述 相關關系最直觀的描述方式相關關系最直觀的描述方式坐標圖坐標圖（散布圖）散布圖） YX2.2.相關關系相關關系 相關關系的描述相關關系的描述 相關關系最直觀的描述方式相關關系最直觀的描述方式坐標圖坐標圖（散布圖）散布圖） YX 從變量相關的程度看從變量相關的程度看. 完全相關完全相關 不相關不相關 不完全相關不完全相關 3.3.相關程度的度量相關程度的度量相關系數相關系數 總體線性相關系數總體線性相關系數： 其中：其中： X 的方差；的方差； Y的方差的方差 X和和Y的協(xié)方差的協(xié)方差樣

5、本線性相關系數樣本線性相關系數： 其中：其中： 和和 分別是變量分別是變量 和和 的樣本觀測值的樣本觀測值 和和 分別是變量分別是變量 和和 樣本值的平均值樣本值的平均值Cov(,)Var()Var()X YXYVar()XVar( )YCov(, )X Y_22()()()()iiXYiiXXYYXXYY_YiXiYXXYXY （一） 復相關系數 復相關系數是指在具有多元相關關系的變量中，用來測定因變量y與一組自變量 之間相關程度的指標。 復相關系數的計算公式為：xxxxm321 復相關系數的取值是介于-1和+1之間，和簡單相關系數一樣，也是用其絕對值的大小來判斷相關的密切程度。22123,

6、)()(1yyyyrcmy （二） 偏相關系數 偏相關系數是在多個變量中，當其他變量保持不變的情況下，測定任意兩個變量之間的相關程度的指標。偏相關系數取值是介于-1和+1之間，和簡單相關系數一樣，也是用其數值的大小來判斷相關的密切程度。 設有三個變量 ，如果在這三個變量中，剔除 的影響，可計算 ， 對 偏相關系數，記作 ，其計算公式為：xxx321,x3x1x2x3r3,12223 ,12)(1)xxxxxxxxxrrrrrr ，如果在這三個變量中，剔除 的影響，可計算 ， 對 偏相關系數，記作 ，其計算公式為：x3x1x2r3,12x2r2,13222,13)(1)

7、(12321232131xxxxxxxxxxrrrrrr 如果在這三個變量中，剔除 的影響，可計算 ， 對 偏向關系數，記作 ，其計算公式為： x1x2x3x1r1 ,23221 ,23)(1)(11312131232xxxxxxxxxxrrrrrr 相關系數的特點: 1.相關系數取值為-11 2.當r=0時,表明X與Y沒有線性相關關系 3.當0|r|0稱為正相關,否則稱為負相關 4.當|r|=1時,表明完全線性相關.r=1完全正相關,r=-1完全負相關. 利用相關系數判斷相關關系的密切程度，通常認為： 相關系數的值直線相關程度=0完全不相關0 0.3微弱相關0.3 0.5低度相關0.5 0.

8、8顯著相關0.8 1高度相關=1完全相關 和和 都是相互對稱的隨機變量都是相互對稱的隨機變量 線性線性相關系數只反映變量間的線性相關程度，不相關系數只反映變量間的線性相關程度，不 能說明非能說明非 線性相關關系線性相關關系 樣本相關系數是總體相關系數的樣本估計值，由樣本相關系數是總體相關系數的樣本估計值，由 于抽樣波動，樣本相關系數是個隨機變量，其統(tǒng)于抽樣波動，樣本相關系數是個隨機變量，其統(tǒng) 計顯著性有待檢驗計顯著性有待檢驗 相關系數只能反映線性相關程度，不能確定因果相關系數只能反映線性相關程度，不能確定因果 關系，不能說明相關關系具體接近哪條直線關系，不能說明相關關系具體接近哪條直線 計量經

9、濟學關心：計量經濟學關心：變量間的因果關系及隱藏在隨變量間的因果關系及隱藏在隨機性后面的統(tǒng)計規(guī)律性，這有賴于回歸分析方法機性后面的統(tǒng)計規(guī)律性，這有賴于回歸分析方法 使用相關系數時應注意使用相關系數時應注意XY2. 回歸分析的基本概念回歸分析的基本概念 回歸分析回歸分析(regression analysis)(regression analysis)是研究一個變量關于另一個（些）變量的具體依賴關系的計算方法和理論。 其目的其目的在于通過后者的已知或設定值，去估計和（或）預測前者的（總體）均值。 被解釋變量被解釋變量（Explained Variable）或應變應變量量（Dependent Va

10、riable）。 解釋變量解釋變量（Explanatory Variable）或自變自變量量（Independent Variable）。 回歸分析構成計量經濟學的方法論基礎，其回歸分析構成計量經濟學的方法論基礎，其主要內容包括：主要內容包括： （1）根據樣本觀察值對經濟計量模型參數進行估計，求得回歸方程； （2）對回歸方程、參數估計值進行顯著性檢驗； （3）利用回歸方程進行分析、評價及預測。二、總體回歸函數二、總體回歸函數 回歸分析回歸分析關心的是根據解釋變量的已知或關心的是根據解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當解釋變量取某個確定值時，與之

11、統(tǒng)計相關的被解釋變量所有可能出現的對應值的平均值。 例例2.1：一個假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出家庭消費支出Y與每月家庭可家庭可支配收入支配收入X的關系。 即如果知道了家庭的月收入，能否預測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平。 為達到此目的，將該100戶家庭劃分為組內收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費支出。表表 2.1.1 某某社社區(qū)區(qū)家家庭庭每每月月收收入入與與消消費費支支出出統(tǒng)統(tǒng)計計表表 每月家庭可支配收入X（元） 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 125

12、4 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298

13、 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 費 支 出 Y （元） 2002 共計 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費支出不完全相同； 但由于調查的完備性，給定收入水平X的消費

14、支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布條件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。 因此，給定收入X的值Xi，可得消費支出Y的條件均值條件均值（conditional mean）或條件期望條件期望（conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。 該例中：E(Y | X=800)=561 描出散點圖發(fā)現：隨著收入的增加，消費“平均地說平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總總體回歸線體回歸線。050010001500200025003000350050

15、01000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費支出Y（元） 在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線總體回歸線（population regression line），或更一般地稱為總體回歸曲線總體回歸曲線（population regression curve）。)()|(iiXfXYE稱為（雙變量）總體回歸函數總體回歸函數（population regression function, PRF）。 相應的函數： 含義：含義：回歸函數（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。 函數形式：函數形式

16、：可以是線性或非線性的。 例2.1中，將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數時: iiXXYE10)|(為一線性函數。線性函數。其中，0，1是未知參數，稱為回歸系數回歸系數（regression coefficients）。三、隨機擾動項三、隨機擾動項 總體回歸函數說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費支出水平。 但對某一個別的家庭，其消費支出可能與該平均水平有偏差。 稱為觀察值圍繞它的期望值的離差離差（deviation），是一個不可觀測的隨機變量，又稱為隨機干擾項隨機干擾項（stochastic disturbance）或隨機誤差項隨機誤差項（stochastic error

17、）。)|(iiiXYEY 例2.1中，給定收入水平Xi ,個別家庭的支出可表示為兩部分之和：（1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性系統(tǒng)性（systematic）或確定性（確定性（deterministic)部分；部分；（2）其他隨機隨機或非確定性非確定性（nonsystematic)部部分分 i。 稱為總體回歸函數（PRF）的隨機設定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機性影響。由于方程中引入了隨機項，成為計量經濟學模型，因此也稱為總體回歸模型。 隨機誤差項主要包括下列因素：隨機誤差項主要包括下列因素：在解釋變量中被忽略的因素的影響；變

18、量觀測值的觀測誤差的影響；模型關系的設定誤差的影響；其他隨機因素的影響。 產生并設計隨機誤差項的主要原因：產生并設計隨機誤差項的主要原因：理論的含糊性；數據的欠缺；節(jié)省原則。四、樣本回歸函數（四、樣本回歸函數（SRF） 問題：問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？ 例例2.2：在例2.1的總體中有如下一個樣本，能否從該樣本估計總體回歸函數PRF？表表2.1.3 家家庭庭消消費費支支出出與與可可支支配配收收入入的的一一個個隨隨機機樣樣本本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 59

19、4 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 回答：能 該樣本的散點圖散點圖（scatter diagram)： 畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該直線近似地代表總體回歸線。該直線稱為樣本回歸線樣本回歸線（sample regression lines）。）。 記樣本回歸線的函數形式為：iiiXXfY10)(稱為樣本回歸函數樣本回歸函數（sample regression function，SRF）。 注意：注意：這里將樣本回歸線樣本回歸線看成總體回歸線總體回歸線的近似替代則 樣本回歸函數的隨機形式樣本回歸函數的隨機形式/ /

20、樣本回歸模型：樣本回歸模型：同樣地，樣本回歸函數也有如下的隨機形式： iiiiieXYY10式中，ie稱為（樣樣本本）殘殘差差（或剩剩余余）項項（residual） ，代表了其他影響iY的隨機因素的集合，可看成是i的估計量i。 由于方程中引入了隨機項，成為計量經濟模型，因此也稱為樣本回歸模型樣本回歸模型（sample regression model）。 回歸分析的主要目的回歸分析的主要目的：根據樣本回歸函數SRF，估計總體回歸函數PRF。即，根據 iiiiieXeYY10估計iiiiiXXYEY10)|(注意：注意：這里PRF可能永遠無法知道。2.2 2.2 一元線性回歸模型的參數估計一元線

21、性回歸模型的參數估計 一、一元線性回歸模型的基本假設一、一元線性回歸模型的基本假設 二、參數的普通最小二乘估計（二、參數的普通最小二乘估計（OLSOLS） 三、參數估計的最大或然法三、參數估計的最大或然法(ML) (ML) 四、最小二乘估計量的性質四、最小二乘估計量的性質 五、參數估計量的概率分布及隨機干五、參數估計量的概率分布及隨機干 擾項方差的估計擾項方差的估計 說說 明明 單方程計量經濟學模型分為兩大類：線性模型和非線性模型 線性模型中，變量之間的關系呈線性關系 非線性模型中，變量之間的關系呈非線性關系 一元線性回歸模型：只有一個解釋變量iiiXY10i=1,2,nY為被解釋變量，X為解

22、釋變量，0與1為待估待估參數參數， 為隨機干擾項隨機干擾項 回歸分析的主要目的回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數（模型）SRF盡可能準確地估計總體回歸函數（模型）PRF。 估計方法估計方法有多種，其中最廣泛使用的是普通最普通最小二乘法小二乘法（ordinary least squares, OLS）。 為保證參數估計量具有良好的性質，通常對模型提出若干基本假設。 實際這些假設與所采用的估計方法緊密相關。 一、線性回歸模型的基本假設一、線性回歸模型的基本假設 假設1. 解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量； 假設2. 隨機誤差項具有零均值、同方差和不序列相關性： E(i)=0 i=1,2,

23、,n Var (i)=2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假設3. 隨機誤差項與解釋變量X之間不相關： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假設4. 服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布 iN(0, 2 ) i=1,2, ,n 如果假設1、2滿足，則假設3也滿足; 如果假設4滿足，則假設2也滿足。注意：注意： 以上假設也稱為線性回歸模型的經典假經典假設設或高斯（高斯（Gauss）假設）假設，滿足該假設的線性回歸模型，也稱為經典線性回歸模型經典線性回歸模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。

24、另外另外，在進行模型回歸時，還有兩個暗含的假設： 假設5. 隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數。即nQnXXi,/)(2 假設6. 回歸模型是正確設定的 假設5旨在排除時間序列數據出現持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因為這類數據不僅使大樣本統(tǒng)計推斷變得無效，而且往往產生所謂的偽回歸問題偽回歸問題（spurious regression problem）。 假設6也被稱為模型沒有設定偏誤設定偏誤（specification error）一、線性回歸模型及其普遍性一、線性回歸模型及其普遍性1 1、線性回歸模型的特征、線性回歸模型的特征 一個例子一個例子 凱恩斯絕對收入假設

25、消費理論：消費（C）是由收入（Y）唯一決定的，是收入的線性函數： C = + Y (2.2.1) 但實際上上述等式不能準確實現但實際上上述等式不能準確實現。 原因原因 消費除受收入影響外，還受其他因素的影響； 線性關系只是一個近似描述； 收入變量觀測值的近似性：收入數據本身并不絕對準確地反映收入水平。 因此因此，一個更符合實際的數學描述為一個更符合實際的數學描述為： C = + Y+ (2.2.2)其中： 是一個隨機誤差項，是其他影響因素的“綜合體”。 線性回歸模型的特征：線性回歸模型的特征： 通過引入隨機誤差項，將變量之間的關系用一通過引入隨機誤差項，將變量之間的關系用一個線性隨機方程來描述

26、，并用隨機數學的方法來個線性隨機方程來描述，并用隨機數學的方法來估計方程中的參數；估計方程中的參數； 在線性回歸模型中，被解釋變量的特征由解釋在線性回歸模型中，被解釋變量的特征由解釋變量與隨機誤差項共同決定。變量與隨機誤差項共同決定。 2 2、線性回歸模型的普遍性、線性回歸模型的普遍性 線性回歸模型線性回歸模型是計量經濟學模型的主要形式，是計量經濟學模型的主要形式，許多實際經濟活動中經濟變量間的復雜關系都可以許多實際經濟活動中經濟變量間的復雜關系都可以通過一些簡單的數學處理，使之化為數學上的線性通過一些簡單的數學處理，使之化為數學上的線性關系。關系。將非線性關系化為線性關系的常用的數學處理方法

27、將非線性關系化為線性關系的常用的數學處理方法變量置換變量置換例如，例如，描述稅收與稅率關系的拉弗曲線拉弗曲線：拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率設X1 = r，X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 c t /2(n-2)，則拒絕H0 ，接受H1 ； 若 |t| t /2(n-2)，則拒絕H1 ，接受H0 ； 對于一元線性回歸方程中的0，可構造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗： 在上述收入消費支出例中，首先計算2的估計值 134022107425000777. 04590020222221222nxyneiii)2(002220

28、0ntSxnXtii41.98742500010/53650000134022220iixnXSt統(tǒng)計量的計算結果分別為： 29.180425. 0777. 0111St048. 141.9817.103000St 給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量； |t2|2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設。 假設檢驗可以通過一次抽樣的結果檢驗總體參數可能的假設值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數值到底離總體參數的真值有多“

29、近”。 三、參數的置信區(qū)間三、參數的置信區(qū)間 要判斷樣本參數的估計值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數的真值，往往需要通過構造一個以樣本參數的估計值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參數值。這種方法就是參數檢驗的置信區(qū)間估計置信區(qū)間估計。 1)(P 如果存在這樣一個區(qū)間，稱之為置信區(qū)間置信區(qū)間（confidence interval）； 1-稱為置信系數置信系數（置信度置信度）（confidence coefficient）， 稱為顯著性水平顯著性水平（level of significance）；置信區(qū)間的端點稱為置信限置信限（confidence limit）

30、或臨界值臨界值（critical values）。一元線性模型中一元線性模型中， i (i=1，2）的置信區(qū)間的置信區(qū)間: :在變量的顯著性檢驗中已經知道： )2(ntstiii 意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2, t/2)的概率是(1- )。表示為： Pttt() 221即P tstiii() 221Ptstsiiiii()221于是得到:(1-)的置信度下, i的置信區(qū)間是 (,)iitstsii22在上述收入收入- -消費支出消費支出例中，如果給定 =0.01，查表得： 355. 3) 8 () 2(005. 02tnt由于

31、042. 01S41.980S于是，1、0的置信區(qū)間分別為： （0.6345,0.9195) （-433.32,226.98） 由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數估計值與總體參數真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。 要縮小置信區(qū)間，需要 （1）增大樣本容量）增大樣本容量n。因為在同樣的置信水平下，n越大，t分布表中的臨界值越??；同時，增大樣本容量，還可使樣本參數估計量的標準差減小； （2）提高模型的擬合優(yōu)度。）提高模型的擬合優(yōu)度。因為樣本參數估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。 由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數估計值與總體參數真值的“接近”程度，因

32、此置信區(qū)間越小越好。 要縮小置信區(qū)間，需 （1）增大樣本容量）增大樣本容量n，因為在同樣的置信水平下，n越大，t分布表中的臨界值越?。煌瑫r，增大樣本容量，還可使樣本參數估計量的標準差減??； （2）提高模型的擬合優(yōu)度）提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。2.4 2.4 一元線性回歸分析的應用：預一元線性回歸分析的應用：預測問題測問題 一、一、0 0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0)或個值或個值Y0的一個無偏估計的一個無偏估計二、總體條件均值與個值預測值的置信二、總體條件均值與個值預測值的置信區(qū)間區(qū)間 對于一元線性回歸模型 ii

33、XY10給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0，可以得到被解釋變量的預測值0 0 ，可以此作為其條件均條件均值值E(Y|X=X0)或個別值個別值Y0的一個近似估計。 嚴格地說，這只是被解釋變量的預測值的估計值，而不是預測值。原因: （1）參數估計量不確定； （2）隨機項的影響說說 明明 一、一、0 0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0)或個值或個值Y0的一個無偏估計的一個無偏估計對總體回歸函數總體回歸函數E(Y|X=X0)=0+1X，X=X0時 E(Y|X=X0)=0+1X00100XY于是0101000100)()()()(XEXEXEYE可見，可見，0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0)的

34、無偏估計。的無偏估計。對總體回歸模型總體回歸模型Y=0+1X+，當X=X0時0100XY于是0100100100)()()(XEXXEYE0101000100)()()()(XEXEXEYE 二、總體條件均值與個值預測值的置信二、總體條件均值與個值預測值的置信區(qū)間區(qū)間 1、總體均值預測值的置信區(qū)間、總體均值預測值的置信區(qū)間 由于 0100XY),(2211ixN),(22200iixnXN于是0101000)()()(XEXEYE)(),(2)()(12010000VarXCovXVarYVar可以證明 2210/),(ixXCov因此 222022022202)(iiiixXxXXxnXYV

35、ar200222222XXXXnXnXxii)(20222XXnxxii)(1(2202ixXXn故 )(1(,(22020100ixXXnXNY) 2()(00100ntSXYtY)(1(22020iYxXXnS于是，在1-的置信度下，總體均值總體均值E(Y|X0)的置的置信區(qū)間為信區(qū)間為 0202000)|(YYStYXYEStY其中2、總體個值預測值的預測區(qū)間、總體個值預測值的預測區(qū)間 由 Y0=0+1X0+ 知: ),(20100XNY于是 )(11 (, 0(220200ixXXnNYY) 2(0000ntSYYtYY式中 :)(11 (220200iYYxXXnS從而在1-的置信度

36、下， Y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間為 002020000YYYYStYYStY在上述收入收入消費支出消費支出例中，得到的樣本回歸函數為:iiXY777. 0172.103 則在 X0=1000處， 0 = 103.172+0.7771000=673.84 29.37277425000)21501000(10113402)(20YVar而05.61)(0YS 因此，總體均值總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為： 673.84-2.30661.05 E(Y|X=1000) 673.84+2.30661.05或 （533.05, 814.62） 同樣地，對于Y在X=1000的個體值個體值，

37、其95%的置信區(qū)間為： 673.84 - 2.30661.05Yx=1000 673.84 + 2.30661.05或 (372.03, 975.65) 總體回歸函數的置信帶（域）置信帶（域）（confidence band） 個體的置信帶（域）置信帶（域） 對于Y的總體均值E(Y|X)與個體值的預測區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預測精度越高，反之預測精度越低；（2）樣本容量一定時，置信帶的寬度當在X均值處最小，其附近進行預測（插值預測）精度越大；X越遠離其均值，置信帶越寬，預測可信度下降。2.5 2.5 實例：時間序列問題實例：時間序列問題 一、中國居民人均消費模型一、中國居民人均

38、消費模型 二、時間序列問題二、時間序列問題 一、中國居民人均消費模型一、中國居民人均消費模型 例例2.5.1 考察中國居民收入與消費支出的關系。GDPP： 人均國內生產總值人均國內生產總值（1990年不變價）CONSP：人均居民消費人均居民消費（以居民消費價格指數（1990=100）縮減）。 表表2.5.1 中中國國居居民民人人均均消消費費支支出出與與人人均均GDP（元元/人人） 年份 人均居民消費 CONSP 人均GDP GDPP 年份 人均居民消費 CONSP 人均GDP GDPP 1978 395.8 675.1 1990 797.1 1602.3 1979 437.0 716.9 19

39、91 861.4 1727.2 1980 464.1 763.7 1992 966.6 1949.8 1981 501.9 792.4 1993 1048.6 2187.9 1982 533.5 851.1 1994 1108.7 2436.1 1983 572.8 931.4 1995 1213.1 2663.7 1984 635.6 1059.2 1996 1322.8 2889.1 1985 716.0 1185.2 1997 1380.9 3111.9 1986 746.5 1269.6 1998 1460.6 3323.1 1987 788.3 1393.6 1999 1564.4

40、3529.3 1988 836.4 1527.0 2000 1690.8 3789.7 1989 779.7 1565.9 1. 建立模型建立模型 擬建立如下一元回歸模型 GDPPCCONSP采用Eviews軟件軟件進行回歸分析的結果見下表 該兩組數據是19782000年的時間序列數據時間序列數據（time series data）； 前述收入收入消費支出例消費支出例中的數據是截面數據截面數據（cross-sectional data）。 表表2.5.2 中中國國居居民民人人均均消消費費支支出出對對人人均均GDP的的回回歸歸（19782000） LS / Dependent Variable is CONSP Sample: 1978 2000 Included observations: 23 V ariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 201.1071 14.88514 13.51060 0.0000 GDPP1 0.386187 0.007222 53.47182 0.0000 R-squared 0.992709 Mean