同濟第三版高數(shù)(31)第一節(jié)中值定理同濟第三版高數(shù)

1、 以導(dǎo)數(shù)為工具不僅可以深入認識和理解函數(shù)在一點以導(dǎo)數(shù)為工具不僅可以深入認識和理解函數(shù)在一點處的局部性狀，還可進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的總體性處的局部性狀，還可進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的總體性質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在區(qū)間上的總體性質(zhì)就形成了微分質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在區(qū)間上的總體性質(zhì)就形成了微分學(xué)理論。學(xué)理論。 函數(shù)最值討論是微積分創(chuàng)立前期的重要工作之一。函數(shù)最值討論是微積分創(chuàng)立前期的重要工作之一。最值定理雖然指出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的存在性，最值定理雖然指出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的存在性，卻沒有指出最值點的位置，也沒有給出求最值的方法。卻沒有指出最值點的位置，也沒有給出求最值的方法。 此外，其它區(qū)間形此

2、外，其它區(qū)間形式上的最值存在性及計式上的最值存在性及計算問題也還沒有討論。算問題也還沒有討論。因此還必須對最值問題因此還必須對最值問題作進一步的研究。作進一步的研究。mxyOab1 2 M1?fM 2?fm a byfCx, , 若函數(shù)若函數(shù) y = f( x )在點在點 x = 的某個鄰域的某個鄰域 U( , , )內(nèi)內(nèi)有定義，有定義，f( )為為 f( x )在該鄰域內(nèi)的最大值或最小值，在該鄰域內(nèi)的最大值或最小值，且函數(shù)且函數(shù) y = f( x )在點在點 x = 處可導(dǎo)，則有處可導(dǎo)，則有 f ( )= 0 . .xyO yfx1 M2 m從幾何上看，費馬定理指出了曲線在最值點處一定從幾何

3、上看，費馬定理指出了曲線在最值點處一定有水平的切線。這一認識雖然是來源直觀的，并且只是有水平的切線。這一認識雖然是來源直觀的，并且只是函數(shù)在一點取得最值的必要條件，但由函數(shù)在一點取得最值的必要條件，但由于在最值點處有于在最值點處有 f ( )= 0 ，故求最值，故求最值點問題可歸結(jié)為解方程點問題可歸結(jié)為解方程 f ( x )= 0 . 因此，費馬定理實際給出了求最值因此，費馬定理實際給出了求最值的方法。的方法。 然而，并非任意曲線弧段都有水平切線，且方程然而，并非任意曲線弧段都有水平切線，且方程 f ( x )= 0 并非總是有解的。因此，為求最值還需進一并非總是有解的。因此，為求最值還需進一

4、步考察，曲線弧段在什么情況下步考察，曲線弧段在什么情況下一定有水平切線，即考察函數(shù)一定有水平切線，即考察函數(shù) y = f( x )，x a , ,b滿足什么條件，可使方程滿足什么條件，可使方程 f ( x )= 0 總有解?？傆薪狻yO yfxabM fa fb 若函數(shù)若函數(shù) f( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , ,b 上上連續(xù)，在開區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間( a , ,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間的端點處的函數(shù)值相等區(qū)間的端點處的函數(shù)值相等，即即 f( a )= f( b )，則在則在( a , ,b)內(nèi)至少存內(nèi)至少存在一點在一點 ( a b )，使得，使得 f ( )= 0 . .abxy

5、O20f fa fb10f 0fx 最簡單的情形；最簡單的情形； 較一般的情形。較一般的情形。1 M2 m yfxa bx , , , , ffab若若 f( x ) C ，此時函數(shù)，此時函數(shù) y = f( x )的圖形本身就是的圖形本身就是一條水平直線一條水平直線即即 M = m，故恒有，故恒有 f ( x ) 0 ，即對，即對 ( a , ,b )，總有，總有 f ( ) 0 . . 若若 f( x ) C ，則，則 M = m，此時，此時 M 和和 m 中至少有一中至少有一個不等于個不等于 f( a )和和 f( b ). . 不妨設(shè)不妨設(shè) m f( a )，由最值定理，存在，由最值定理

6、，存在 ( a , ,b )， 使得使得 f( ) m ，下證下證 f ( ) 0 . . 由條件由條件 故故 f -( )、f +( )分別存在，且有分別存在，且有 f -( )= f +( ) 由單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義由單側(cè)導(dǎo)數(shù)定義 由于由于 f( )為最小值，故對一切為最小值，故對一切 h，總有，總有 f( + h )- f ( ) 0 . . 0limhffhfh 存存在在, , 0limhffhfh , , 0limhffhfh . .由極限的保號性知：由極限的保號性知： 當當 h 0 時，時， 由于由于 f -( )= f +( )= f ( )，故有，故有 f ( )= 0 . . 0li

7、m0hffhfh ; ; 0lim0hffhfh . . 費馬定理指出了函數(shù)取得最值的必要條件，即對于費馬定理指出了函數(shù)取得最值的必要條件，即對于給定的函數(shù)給定的函數(shù) y = f( x )，求函數(shù)最值可歸結(jié)為求解形如，求函數(shù)最值可歸結(jié)為求解形如 f ( x )= 0 方程。方程。 羅爾定理則進一步指出，為確羅爾定理則進一步指出，為確定方程定方程 f ( x )= 0 的根的范圍，可設(shè)的根的范圍，可設(shè)法尋求函數(shù)法尋求函數(shù) y = f( x )的兩個等值點的兩個等值點 f( a )= f( b )，對應(yīng)于函數(shù)的兩個，對應(yīng)于函數(shù)的兩個等值點，在區(qū)間等值點，在區(qū)間 a , ,b 內(nèi)必有方內(nèi)必有方程程

8、f ( x )= 0 的一個根的一個根。 判別方程的根，特別是實根的存在性通常是一件困判別方程的根，特別是實根的存在性通常是一件困難的工作，羅爾定理給出了一種判別形如難的工作，羅爾定理給出了一種判別形如 f ( x )= 0 的的方程的根存在性的方法，即設(shè)法尋求函數(shù)方程的根存在性的方法，即設(shè)法尋求函數(shù) y = f( x )的兩的兩個等值點個等值點 f( a )= f( b ). . 需注意的是，應(yīng)用羅爾定理判別方程的實根的存在需注意的是，應(yīng)用羅爾定理判別方程的實根的存在性與零點定理判別方程實根的方程形式性與零點定理判別方程實根的方程形式及條件的不同。應(yīng)用零點定理討論及條件的不同。應(yīng)用零點定理討

9、論的是形如的是形如 f( x )= 0 的方程，其實的方程，其實根存在的條件是函數(shù)根存在的條件是函數(shù) y = f( x )有有兩個異號點兩個異號點 f( a )、 f( b ). . 羅爾定理最重要的理論價值在于建立了一種研究函羅爾定理最重要的理論價值在于建立了一種研究函數(shù)性質(zhì)的方法，即將函數(shù)在某區(qū)間上的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)數(shù)性質(zhì)的方法，即將函數(shù)在某區(qū)間上的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點的導(dǎo)數(shù)進行討論，因而提供了一種以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點的導(dǎo)數(shù)進行討論，因而提供了一種以函數(shù)中值來研究函數(shù)性質(zhì)的途徑和方法。中值來研究函數(shù)性質(zhì)的途徑和方法。 該方法是研究函數(shù)性質(zhì)的一種該方法是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要方法，微積分理

10、論的一個重要方法，微積分理論的一個特點就是含有諸多中值公式，特點就是含有諸多中值公式，這些中值公式多是由羅爾定這些中值公式多是由羅爾定理導(dǎo)出的。理導(dǎo)出的。 方程的根的存在性問題是實際計算和工程應(yīng)用最常方程的根的存在性問題是實際計算和工程應(yīng)用最常見的問題。代數(shù)學(xué)的討論通常較適合于解決多項方程的見的問題。代數(shù)學(xué)的討論通常較適合于解決多項方程的問題，而對于一般超越方程，代數(shù)學(xué)問題，而對于一般超越方程，代數(shù)學(xué)能提供的方法卻很有限。實際應(yīng)用中能提供的方法卻很有限。實際應(yīng)用中較多地采用微積分的方法，即通過較多地采用微積分的方法，即通過零點定理和羅爾定理對考察方程實零點定理和羅爾定理對考察方程實根進行考察。

11、根進行考察。例例：已知函數(shù)已知函數(shù) f( x )在在 0 , ,1 上連續(xù)上連續(xù)，在在( 0 , ,1 )內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且 f( 0 )= 1，f( 1 )= 0，求證：存在求證：存在 ( 0 , ,1 )，使得使得 這是個討論方程實根存在性的問題，容易想到這是個討論方程實根存在性的問題，容易想到應(yīng)用零點定理或羅爾定理進行考察。應(yīng)用零點定理或羅爾定理進行考察。 對本例方程而言，由于對本例方程而言，由于 故若根據(jù)零點定理進行考察，需驗證形如故若根據(jù)零點定理進行考察，需驗證形如 F( x )= x f ( x )+ f( x )的函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)在區(qū)間( 0 , ,1 )的端點處異的端點處異

12、號，即有號，即有 F( 0 ) F( 1 ) 0，故有，故有 0ff . . 羅爾中值定理的幾何意義可理解為：羅爾中值定理的幾何意義可理解為： 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 a , ,b 上的上的端點縱坐標相等的連續(xù)光滑端點縱坐標相等的連續(xù)光滑曲線弧必有水平切線。曲線弧必有水平切線。 若將這一性質(zhì)理解為函數(shù)在區(qū)間若將這一性質(zhì)理解為函數(shù)在區(qū)間 a , ,b 上的一般性上的一般性質(zhì)，則條件質(zhì)，則條件 f( a )= f( b )顯得特殊，一般函數(shù)所對應(yīng)的顯得特殊，一般函數(shù)所對應(yīng)的曲線弧未必滿足這一條件。曲線弧未必滿足這一條件。 由直觀易見，若將由直觀易見，若將羅爾定理理解為曲線弧的弦與切羅爾定理理解為曲線

13、弧的弦與切線的關(guān)系，則線的關(guān)系，則去除此條件，上述曲線的幾何特征依然成去除此條件，上述曲線的幾何特征依然成立，即立，即連續(xù)光滑的曲線弧必有平行于弦的切線連續(xù)光滑的曲線弧必有平行于弦的切線。abxyO yfxa bx , , , , 20f fa fb10f 0f 連續(xù)光滑的曲線弧連續(xù)光滑的曲線弧有平行于弦的切線有平行于弦的切線1 M2 m ffababxyO yfxa bx , , , , fa fb ffbafba 連續(xù)光滑的曲線弧連續(xù)光滑的曲線弧有平行于弦的切線有平行于弦的切線1 M2 m 若函數(shù)若函數(shù) f( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , ,b 上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間( a ,

14、 ,b )內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，則在則在開區(qū)間開區(qū)間( a , ,b )內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ( a b )，使得使得 f( b )- f( a )= f ( )( b - - a ). . 拉格郎日中值定理實際是一種導(dǎo)數(shù)中值關(guān)系式拉格郎日中值定理實際是一種導(dǎo)數(shù)中值關(guān)系式, ,結(jié)合其幾何意義，可考慮利用羅爾定理證明。結(jié)合其幾何意義，可考慮利用羅爾定理證明。 為利用羅爾定理進行證明，考慮構(gòu)造適當?shù)妮o助函為利用羅爾定理進行證明，考慮構(gòu)造適當?shù)妮o助函數(shù)數(shù) ( x )，使其滿足羅爾定理的條件，同時相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，使其滿足羅爾定理的條件，同時相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系和拉格朗日中值定理相等價。關(guān)系和拉格朗日中值定理相

15、等價。abxyO yfxa bx , , , , ffbaL xfaxaba fLxxx x AB yL xx fa fb 作作輔助函數(shù)輔助函數(shù) ( x )= f( x )- - L( x )，x a , ,b . .即即顯然顯然 ( x )在在 a , ,b 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( a , ,b )內(nèi)可導(dǎo)，且滿足內(nèi)可導(dǎo)，且滿足 ( a )= 0 ， ( b )= 0 ， 因此因此 ( x )在在 a , ,b 上滿足上滿足羅爾定理條件，于是由羅爾定理條件，于是由羅爾定理可知，存在羅爾定理可知，存在 ( a , ,b )，使得使得即有即有 f( b )- f( a )= f ( )( b -

16、- a ). . .ffbaffxxaxaba xxffbaffxxaxaba 0 xffffbabaffxbaba ,ab 從幾何上看，拉格朗日中值定理指出了連續(xù)光滑的從幾何上看，拉格朗日中值定理指出了連續(xù)光滑的曲線弧曲線弧 y = f( x )，x ( a , ,b )，必有平行于弦的切線，必有平行于弦的切線，即存在一點即存在一點 ( a , ,b )，使得曲線在該點處的使得曲線在該點處的斜率和弦斜率和弦 AB 的斜率的斜率相等，即相等，即 .ffbafba xyO fa fb1 M2 m yfxa bx , , , , 若函數(shù)若函數(shù) f( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 I 上的導(dǎo)數(shù)恒為零，則上

17、的導(dǎo)數(shù)恒為零，則 f( x )在在 I 上必為常數(shù)上必為常數(shù)。 f( x ) 常數(shù)常數(shù) 對對 x 1 , ,x 2 I 有有 f( x 2 )- f( x 1 ) 0 . . 所證命題可歸結(jié)為函數(shù)的增量是否恒為零的問題，所證命題可歸結(jié)為函數(shù)的增量是否恒為零的問題，而已知條件為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)條件，故可利用拉格郎日中值而已知條件為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)條件，故可利用拉格郎日中值定理進行討論。定理進行討論。 任取任取 x 1 , ,x 2 I ，且且 x 1 a e，證明不等式證明不等式 a b b a . . 所證不等式具有對稱形式，考慮用拉格朗日中所證不等式具有對稱形式，考慮用拉格朗日中值定理進行證明。值定理進

18、行證明。 為利用拉氏中值定理證明，需構(gòu)造適當輔助函數(shù)，為利用拉氏中值定理證明，需構(gòu)造適當輔助函數(shù)，并將所證不等式變形為該函數(shù)增量的形式。并將所證不等式變形為該函數(shù)增量的形式。 由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在所證不等式兩邊取對數(shù)有由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在所證不等式兩邊取對數(shù)有 a b b a 由此可見，所證不等式與函數(shù)由此可見，所證不等式與函數(shù) f( x )= ln x/ /x 在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上的增量有關(guān)。上的增量有關(guān)。lnlnbaab lnlnabablnln0baba 作輔助函數(shù)：作輔助函數(shù)： 由顯然由顯然 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上滿足上滿足拉格朗日中值定拉格朗日中值定

19、理條件，從而存在理條件，從而存在 ( a , ,b )，使得，使得 由于由于 b a e ，所以所以 1 - - ln 1，即有即有逆推而上便得所證不等式。逆推而上便得所證不等式。 ln.xfxa bxx, , , , lnlnbafffbababa 21lnlnxxbax . . 21lnlnln0bababa . . 拉格朗日中值定理指出的函數(shù)增量與自變量增量間拉格朗日中值定理指出的函數(shù)增量與自變量增量間的關(guān)系的關(guān)系 y / / x = f ( )，實際是以自變量增量，實際是以自變量增量 x 為為“標準標準”去度量函數(shù)增量去度量函數(shù)增量 y， y / / x 可看成是函數(shù)可看成是函數(shù) y

20、= f( x )的一種的一種“絕對平均變化率絕對平均變化率”。 實際問題有時卻需要討論所謂實際問題有時卻需要討論所謂“相對平均變化率相對平均變化率 y / / v ”，即同時用另一個相關(guān)變量，即同時用另一個相關(guān)變量 v = g( x )的的增量增量 v 去度量函數(shù)增量去度量函數(shù)增量 y . . 相對平均變化率相對平均變化率 y / / v 是函是函數(shù)數(shù) y = f( x )對于另一函數(shù)變化的劇烈程度的度量。對于另一函數(shù)變化的劇烈程度的度量。 例如，在交流電的研究中，常考慮交流電回路中交例如，在交流電的研究中，常考慮交流電回路中交流電流流電流 I = I( t )隨時間的平均變化率隨時間的平均變

21、化率 I/ / t ，同時也需同時也需要考慮電流與另一相關(guān)變量交流電壓要考慮電流與另一相關(guān)變量交流電壓 V = V( t )的關(guān)系的關(guān)系, ,平均變化率平均變化率 I/ / V 反映的是反映的是交流電流隨交流電壓變化交流電流隨交流電壓變化的劇烈程度，這就是所謂的交流阻抗。的劇烈程度，這就是所謂的交流阻抗。 如果如果 I/ / V 不易求得，而不易求得，而 I ( t ), ,V ( t )易于求得易于求得，如何確如何確定定 I/ / V ？ 由于在實際問題中，一個變由于在實際問題中，一個變化過程常常含有多個變量，這類化過程常常含有多個變量，這類問題顯然具有普遍意義。問題顯然具有普遍意義。 將上

22、述問題歸結(jié)為一般數(shù)學(xué)形式就是：將上述問題歸結(jié)為一般數(shù)學(xué)形式就是：設(shè)有相關(guān)變量設(shè)有相關(guān)變量 X = F( x ), ,Y = f( x )，考慮用變量，考慮用變量X = F( x )的增量的增量 F 去度量另一個相關(guān)變量去度量另一個相關(guān)變量 Y = f( x )的增量的增量 f ，即考慮比值：，即考慮比值： 由拉格郎日中值定理，這一比值可表為由拉格郎日中值定理，這一比值可表為但實際問題中這一比值可能難以求得。但實際問題中這一比值可能難以求得。 .ffffxxxbaYYXFFXFFxxxba 或 或 d.dXYYXX 由于此時函數(shù)關(guān)系由于此時函數(shù)關(guān)系 Y = Y( X )可看成是由參數(shù)方程可看成是

23、由參數(shù)方程 X = F( x ), ,Y = f( x )給出的，由參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)計算有給出的，由參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)計算有 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) X = F( x )當當 X = 時對應(yīng)時對應(yīng) x = ，則結(jié)果則結(jié)果 可表為可表為 于是得到相關(guān)變化率的一種中值關(guān)系式。由于相關(guān)于是得到相關(guān)變化率的一種中值關(guān)系式。由于相關(guān)變化率具有一般意義，此中值關(guān)系式就顯得重要了。變化率具有一般意義，此中值關(guān)系式就顯得重要了。 ddddddYfxYxXXFxx. . ddXffbaYYXFFXba d.dXfffbaYYXFFXFba 如果函數(shù)如果函數(shù) f( x ), ,F( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , ,b 上連續(xù)，

24、在上連續(xù)，在 開區(qū)間開區(qū)間( a , ,b )內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 F ( x )在在( a , ,b )內(nèi)每一點處內(nèi)每一點處均不為零，則在均不為零，則在( a , ,b )內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ( a b )，使得以下等式成立使得以下等式成立 .fffbaFFFba 柯西中值定理柯西中值定理的的 柯西中值定理的幾何意義與拉格郎日中值定理是類柯西中值定理的幾何意義與拉格郎日中值定理是類 似的，即連續(xù)光滑的曲線弧必有平行于弦的切線，所不似的，即連續(xù)光滑的曲線弧必有平行于弦的切線，所不同的只是柯西中值定理是曲線由參數(shù)式表示的情形。同的只是柯西中值定理是曲線由參數(shù)式表示的情形。XYO : .

25、XFxABaxbYfx, ,. F a F b*M XY, , x fffbaFFFba fb fa 由由柯西中值定理件，柯西中值定理件， f( x ), ,F( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , ,b 上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間( a , ,b )內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)，且且 F ( x )在在( a , ,b )內(nèi)內(nèi)每一點均不為零，故函數(shù)每一點均不為零，故函數(shù) f( x ), ,F( x )在在( a , ,b )上滿足上滿足拉格朗日中值定理條件，故拉格朗日中值定理條件，故至少存在一點至少存在一點 ( a b ), ,使得使得 f( b )- f( a )= f ( )( b - - a ),

26、, F( b )- F( a )= F ( )( b - - a ), ,于是有于是有 .fffbaFFFba 錯誤分析：錯誤分析： 在在上述推導(dǎo)中，對不同的函數(shù)上述推導(dǎo)中，對不同的函數(shù) f( x ), ,F( x )在閉區(qū)在閉區(qū)間間 a , ,b 上上分別應(yīng)用了拉格朗日中值定理，但對不同的分別應(yīng)用了拉格朗日中值定理，但對不同的函數(shù)而言，它們所對應(yīng)的函數(shù)而言，它們所對應(yīng)的 值一般是不同的，由此所導(dǎo)值一般是不同的，由此所導(dǎo)出的結(jié)果應(yīng)是：出的結(jié)果應(yīng)是： f( b )- f( a )= f ( 1 )( b - - a )， 1 ( a , ,b )； F( b )- F( a )= F ( 2 )( b - - a ), , 2 ( a , ,b ).于是有于是有 這一結(jié)果和柯西中值定理并不相同！這一結(jié)果和柯西中值定理并不相同！ 1 2.fffbaFFFba 柯西中值定理和拉格郎日中值定理有著類似的幾何柯西中值定理和拉格郎日中值定理有著類似的幾何意義，因此它和拉格郎日中值定理有類似的應(yīng)用形式。意義，因此它和拉格郎日中值定理有類似的應(yīng)用形式。 所不同的是，柯西中值所不同的是，