模型解析及Matlab程序-搶渡長江

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上搶渡長江問題提出：1160m1000m長江水流方向終點(diǎn): 漢陽南岸咀圖1 起點(diǎn): 武昌漢陽門 門“渡江”是武漢城市的一張名片。1934年9月9日，武漢警備旅官兵與體育界人士聯(lián)手，在武漢第一次舉辦橫渡長江游泳競賽活動(dòng)，起點(diǎn)為武昌漢陽門碼頭，終點(diǎn)設(shè)在漢口三北碼頭，全程約5000米。有44人參加橫渡，40人達(dá)到終點(diǎn)，張學(xué)良將軍特意向冠軍獲得者贈(zèng)送了一塊銀盾，上書“力挽狂瀾”。2001年，“武漢搶渡長江挑戰(zhàn)賽”重現(xiàn)江城。2002年正式命名為“武漢國際搶渡長江挑戰(zhàn)賽”，定于每年的5月1日進(jìn)行。由于水情、水性的不可預(yù)測性，這種競賽更富有挑戰(zhàn)性和觀賞性。2002年5月1日，搶渡的起

2、點(diǎn)設(shè)在武昌漢陽門碼頭，終點(diǎn)設(shè)在漢陽南岸咀，江面寬約 1160米。當(dāng)日的平均水溫16.8，江水的平均流速為1.89米/秒。參賽的國內(nèi)外選手共186人（其中專業(yè)人員將近一半），僅34人到達(dá)終點(diǎn)，第一名的成績?yōu)?4分8秒。除了氣象條件外，大部分選手由于路線選擇錯(cuò)誤，被滾滾的江水沖到下游，而未能準(zhǔn)確到達(dá)終點(diǎn)。假設(shè)在競渡區(qū)域兩岸為平行直線, 兩岸的垂直距離為 1160 米, 從武昌漢陽門的正對岸到漢陽南岸咀的距離為 1000米，見圖1。下面借助數(shù)學(xué)模型解決如下問題：（1）假定在競渡過程中游泳者的速度大小和方向不變，且競渡區(qū)域每點(diǎn)的流速均為 1.89 米/秒。如果2002年第一名是按最優(yōu)路徑游泳的，試說明

3、她是沿著怎樣的路線前進(jìn)的，求她游泳速度的大小和方向。（2）在（1）的假設(shè)前提下，試為一個(gè)速度能保持在1.5米/秒的人選擇最佳的游泳方向，并估計(jì)他的成績。 （3）在（1）的假設(shè)下，如果游泳者始終以和岸邊垂直的方向游, 他(她)們能否到達(dá)終點(diǎn)？并說明為什么 1934年和2002 年能游到終點(diǎn)的人數(shù)的百分比有如此大的差別；給出能夠成功到達(dá)終點(diǎn)的選手的條件。（4）流速沿離岸邊距離的分布為 (設(shè)從武昌漢陽門垂直向上為 y軸正向)： (1)游泳者的速度大?。?.5米/秒）仍全程保持不變，試為他選擇游泳方向和路線，估計(jì)他的成績。（5）流速沿離岸距離為連續(xù)分布問題求解1. 設(shè)游泳者的速度大小和方向均不隨時(shí)間變

4、化，即令 ，而流速， 其中 u 和 v 為常數(shù), q 為游泳者和x 軸正向間的夾角。于是游泳者的路線 (x(t), y(t) 滿足yxL0Hquv圖1 (1)T是到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)刻。 令，如果 (1) 有解, 則（2）因?yàn)樗杂斡菊叩穆窂揭欢ㄊ沁B接起、終點(diǎn)的直線，且 （3） 若已知L, H, v, T, 由（3）可得 （4）由（3）消去 T 得到 （5）給定L, H, u , v的值，z滿足二次方程 （6）（6）的解為 （7）方程有實(shí)根的條件為 （8）為使（3）表示的T最小，由于當(dāng)L, u, v 給定時(shí), ， 所以(7) 中z 取較大的根, 即取正號。將（7）的z1代入（3）即得T，或可用已知量表

5、示為 （9）以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成績T=848 s 代入（4），得z= -0.641, 即q =117.50，u=1.54 m/s。2. 以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和u=1.5 m/s代入（7），（3），得z= -0.527, 即q =1220，T=910s，即15分10秒。3. 游泳者始終以和岸邊垂直的方向（y軸正向）游, 即 z = 0, 由（3）得T =L/v529s, u= H/T2.19 m/s。游泳者速度不可能這么快，因此永遠(yuǎn)游不到終點(diǎn), 被沖到終點(diǎn)的下游去了。 式（8）給

6、出 了能夠成功到達(dá)終點(diǎn)的選手的速度，其幾何意義為：以速度向量的終點(diǎn)為圓心， 為半徑做半圓，O與半圓上任意一點(diǎn)的連線為可能的合速度方向，當(dāng)小于到OA的距離時(shí)，合速度方向一定指向終點(diǎn)A的下游，游泳者無法到達(dá)終點(diǎn)。反之，當(dāng)為半徑的半圓與OA有唯一交點(diǎn)時(shí)，合速度方向就是最優(yōu)的游泳方向。當(dāng)為半徑的半圓與OA有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，合速度大的方向就是最優(yōu)速度。對于2002年的數(shù)據(jù)，H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，只要u >1.43 m/s就能到達(dá)終點(diǎn)。假設(shè)1934年競渡的直線距離為5000 m, 垂直距離仍為H = 1160 m, 則L=4864 m, 仍設(shè)v= 1.8

7、9 m/s，則游泳者的速度只要滿足 u >0.44 m/s，就可以選到合適的角度游到終點(diǎn).。兩次游到終點(diǎn)人數(shù)百分比差別的主要原因是游泳者路線（速度方向與水流方向的夾角）選擇錯(cuò)誤，被流水沖到下游。L1CDBq2q1H3H1uuAq3uL2H2v2v1v3圖2L14. 如圖2，H分為H=H1+H2+H3 3段，H1= H3=200 m, H2=760 m, v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s, 游泳者的速度仍為常數(shù)u=1.5 m/s, 有v1，v3< u, v2> u, 相應(yīng)的游泳方向q1，q2為常數(shù)。路線為ABCD, AB平行CD。L分為L=L1+L2+L3

8、, L1=L3, 據(jù)（8），對于v2> u, L2應(yīng)滿足 （10） 因?yàn)関1< u, 故對L1無要求。 對于確定的L1，L2，仍可用1中的公式計(jì)算游泳的方向和時(shí)間。 因?yàn)長1=L3= ( L -L2)/2，由 (9) 知所需要的總時(shí)間為 （11）用枚舉法作近似計(jì)算：將L2從760 m到1000 m每20 m一段劃分，相應(yīng)的L1，L3從120 m到0 m每10 m一段劃分。編程計(jì)算如下，其中a1,a2 和T1, T2分別為2段中游泳的方向和時(shí)間，而T=T1+ T2+ T3 為總的時(shí)間。附：MATLAB程序syms H1 H2 L1 L2 u v1 v2 a1 a2 T1 T2 T L

9、H1=200;H2=760;u=1.5;v1=1.47;v2=2.11;L=1000;L2=1000:-20:760'L1=(1000-L2)/2;T1=(sqrt(H12+(L-L2).2/4)*u2-H12*v12)-(L-L2)*v1/2)/(u2-v12); T2=(sqrt(H22+L2.2)*u2-H22*v22)-L2*v2)/(u2-v22);T=2*T1+T2;a1=(pi-asin(H1./(u*T1)*180/pi;a2=(pi-asin(H2./(u*T2)*180/pi;x=L1 T1 a1 L2 T2 a2 T運(yùn)行結(jié)果如下：x = 1.0e+003 * 0

10、0.6700 0.1685 1.0000 0.5091 0.0956 1.8491 0.0100 0.5259 0.1653 0.9800 0.5109 0.0973 1.5626 0.0200 0.4199 0.1615 0.9600 0.5133 0.0992 1.3531 0.0300 0.3441 0.1572 0.9400 0.5164 0.1011 1.2046 0.0400 0.2900 0.1526 0.9200 0.5204 0.1032 1.1004 0.0500 0.2509 0.1479 0.9000 0.5254 0.1053 1.0273 0.0600 0.2222

11、 0.1431 0.8800 0.5317 0.1077 0.9762 0.0700 0.2007 0.1384 0.8600 0.5397 0.1101 0.9411 0.0800 0.1844 0.1337 0.8400 0.5497 0.1128 0.9185 0.0900 0.1718 0.1291 0.8200 0.5628 0.1158 0.9065 0.1000 0.1621 0.1247 0.8000 0.5804 0.1192 0.9046 0.1100 0.1545 0.1204 0.7800 0.6060 0.1233 0.9150 0.1200 0.1486 0.116

12、2 0.7600 0.6527 0.1291 0.9499 由以上數(shù)據(jù)可知L1=L3=100(m)，L2 =800(m) 時(shí)T=904.58(s)最小，即成績?yōu)?5分5秒，相應(yīng)的游泳方向q1=q3=124.660，q2=119.190。5. H仍分為3段，對于流速連續(xù)變化的第1段H1=200 m，方程（1）變?yōu)?（12）其中v（=2.28m/s）為常數(shù), 仍設(shè)游泳者的速度大小和方向均不隨時(shí)間變化，及，若(1) 有解，則 （13）是一條拋物線。類似于1中的作法得到，給定L, H, u , v的值，z滿足二次方程 （14）取絕對值較小的根，為 （15）有實(shí)根的條件為 （16）將（15）的z代入（1

13、3）得第1段的時(shí)間 （17）因u>v/2，由（16）對L1無要求。對于第2段H2=760 m，仍用（9），（10），應(yīng)有L2> 870 m，且第2段的時(shí)間 （18） 注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，T1=T3, 得總的時(shí)間為 （19）用枚舉法作近似計(jì)算：將L2從880 m到1000 m每20 m一段劃分，相應(yīng)的L1，L3從60 m到0 m每10 m一段劃分，編程計(jì)算如下,其中a1,a2,a3 和T1, T3, T2分別為3段中游泳的方向和時(shí)間，而T=T1+ T2+ T3 為總的時(shí)間。附：MATLAB程序syms a1 a2 T1 T2 T L1 L2 H1 H2 u v

14、 zH1=200;H2=760;u=1.5;v=2.28;L2=1000:-20:880'L1=(1000-L2)/2;z=(-H12*v+L1.*sqrt(4*(H12+L1.2)*u2-H12*v2)./(2*(H12+L1.2)*u);T1=H1./(u*sqrt(1-z.2);T2=(sqrt(H22+L2.2)*u2-H22*v2)-L2*v)/(u2-v2);T=T2+2*T1;a1=acos(z)*180/pi;a2=(pi-asin(H2./(u*T2)*180/pi;x=L1 T1 a1 L2 T2 a2 Tx = 1.0e+003 * 0 0.2052 0.1395 1.0000 0.5225 0.1041 0.9328 0.0100 0.1938 0.1365 0.9800 0.5283 0.1065 0.9159 0.0200 0.1836 0.1334 0.9600 0.5359 0.1090 0.9030 0.0300 0.1746 0.1302 0.9400 0.5458 0.1118 0.