自動控制原理課件

1、12734 奇點和奇線奇點和奇線 引入相平面圖的概念，不單是求取相軌跡，引入相平面圖的概念，不單是求取相軌跡，而是要通過對相平面的研究，確定系統(tǒng)所有可能而是要通過對相平面的研究，確定系統(tǒng)所有可能的運動狀態(tài)及性能。因此需要進一步研究相平面的運動狀態(tài)及性能。因此需要進一步研究相平面圖的基本特征，從而找出相平面圖與系統(tǒng)的運動圖的基本特征，從而找出相平面圖與系統(tǒng)的運動狀態(tài)和性能之間的關(guān)系。系統(tǒng)的相平面圖有以下狀態(tài)和性能之間的關(guān)系。系統(tǒng)的相平面圖有以下兩個基本特征。兩個基本特征。3 1奇點奇點 奇點是相平面圖上的一類特殊點。所謂奇點，就奇點是相平面圖上的一類特殊點。所謂奇點，就是指相軌跡的斜率是指相軌跡

2、的斜率d /dx = 0/0為不定值的點，因此為不定值的點，因此可以有無窮多條相軌跡經(jīng)過該點?？梢杂袩o窮多條相軌跡經(jīng)過該點。xx 由于在奇點處，由于在奇點處，d /dt =0，dx/dt = 0這表示系統(tǒng)處這表示系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，故奇點亦稱為平衡點。于平衡狀態(tài)，故奇點亦稱為平衡點。0),(),(01xxxaxxxax 12102211221),(),(xxxaxxxaxxx ),(21221xxQxxx令令x1 = x，x2 = x 0),(0212xxQx4 奇點的分類：根據(jù)奇點附近相軌跡的特征。由于奇點的分類：根據(jù)奇點附近相軌跡的特征。由于此時是研究奇點附近系統(tǒng)的運動狀態(tài)，因此可以用小此時

3、是研究奇點附近系統(tǒng)的運動狀態(tài)，因此可以用小偏差理論，在奇點（偏差理論，在奇點（x10，x20）附近展開成泰勒級數(shù)）附近展開成泰勒級數(shù) 2),(2101),(120102120102010)(),(),(xxQxxxQxxQxxQxxxx2),(2101),(12120102010)(),(xxQxxxQxxQxxxx Q(x10，x20) = 0 21221dxcxxxx0111 cxxdx 0 cxxdx 系統(tǒng)在奇點附近的線性化方程系統(tǒng)在奇點附近的線性化方程5 系統(tǒng)在奇點附近的運動狀態(tài)就由上式的兩個特征系統(tǒng)在奇點附近的運動狀態(tài)就由上式的兩個特征根決定。根據(jù)特征根的分布情況，系統(tǒng)相應(yīng)有六種奇根

4、決定。根據(jù)特征根的分布情況，系統(tǒng)相應(yīng)有六種奇點：點： 穩(wěn)定節(jié)點穩(wěn)定節(jié)點 兩個負實根兩個負實根 相軌跡是一簇趨向原點的拋物線。系統(tǒng)在奇點附相軌跡是一簇趨向原點的拋物線。系統(tǒng)在奇點附近是穩(wěn)定的。近是穩(wěn)定的。 不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點 兩個正實根兩個正實根 相軌跡是由原點出發(fā)的一簇發(fā)散型拋物線。系統(tǒng)相軌跡是由原點出發(fā)的一簇發(fā)散型拋物線。系統(tǒng)在奇點附近是不穩(wěn)定的。在奇點附近是不穩(wěn)定的。 穩(wěn)定焦點穩(wěn)定焦點 在左半平面的一對共軛復(fù)數(shù)根在左半平面的一對共軛復(fù)數(shù)根 相軌跡是收斂于原點的一簇螺旋線。系統(tǒng)在奇點相軌跡是收斂于原點的一簇螺旋線。系統(tǒng)在奇點附近是穩(wěn)定的。附近是穩(wěn)定的。 不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點 在右半平面的一

5、對共軛復(fù)數(shù)根在右半平面的一對共軛復(fù)數(shù)根 相軌跡為一簇從原點發(fā)散的螺旋線。系統(tǒng)在奇點附相軌跡為一簇從原點發(fā)散的螺旋線。系統(tǒng)在奇點附近是不穩(wěn)定的。近是不穩(wěn)定的。 6 鞍點鞍點 一個負實根，一個正實根一個負實根，一個正實根 系統(tǒng)在奇點附近是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)在奇點附近是不穩(wěn)定的。 中心點中心點 一對純虛根一對純虛根 相軌跡是一簇同心的橢圓曲線。系統(tǒng)在奇點附相軌跡是一簇同心的橢圓曲線。系統(tǒng)在奇點附近可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定，與忽略掉的高次項有關(guān)系。近可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定，與忽略掉的高次項有關(guān)系。 xx0 0j 7xx0 x= s2xx= s1xxx0 x= s1 xx= s2 x 0j 0j 8xx0 xx0

6、 0j 0j 0j xx09 例例7-7 試繪制由下列方程描述的非線性系統(tǒng)的相試繪制由下列方程描述的非線性系統(tǒng)的相平面圖。平面圖。根據(jù)奇點的定義，得根據(jù)奇點的定義，得 解解：（1）確定奇點。確定奇點。025 . 02xxxx 211222125 . 0 xxxxxx025 . 0021122xxxx令令x1 = x，x2 = x0021xxxx0221xxxx10（2）確定奇點的類型。）確定奇點的類型。 在奇點（在奇點（0，0）附近，可得系統(tǒng)的線性化方程為）附近，可得系統(tǒng)的線性化方程為025 . 0 xxx 它的兩個特征根為它的兩個特征根為 -0.25 j1.39，故該奇點是穩(wěn)定焦點。，故該奇

7、點是穩(wěn)定焦點。 在奇點（在奇點（ 2，0）附近，由于該奇點不在坐標原）附近，由于該奇點不在坐標原點，先進行坐標變換，令點，先進行坐標變換，令y = x+2，則此時系統(tǒng)的線性，則此時系統(tǒng)的線性化方程為化方程為025 . 0 yyy 它有兩個特征根它有兩個特征根1.19和和 1.69，因此這個奇點為鞍點。，因此這個奇點為鞍點。 11x0 x分隔線分隔線122. 奇線奇線 奇線是相平面圖中具有不同性質(zhì)的相軌跡的分奇線是相平面圖中具有不同性質(zhì)的相軌跡的分界線。通常見到的奇線有兩種：界線。通常見到的奇線有兩種：分隔線和極限環(huán)分隔線和極限環(huán)。 相平面圖上孤立的封閉相軌跡，而其附近的相軌相平面圖上孤立的封閉

8、相軌跡，而其附近的相軌跡都趨向或發(fā)散于這個封閉的相軌跡，這樣的相軌跡跡都趨向或發(fā)散于這個封閉的相軌跡，這樣的相軌跡曲線稱為曲線稱為極限環(huán)極限環(huán)。在描述函數(shù)中所討論的非線性系統(tǒng)。在描述函數(shù)中所討論的非線性系統(tǒng)的自振蕩狀態(tài)，反映在相平面圖上，就是一個極限環(huán)。的自振蕩狀態(tài)，反映在相平面圖上，就是一個極限環(huán)。根據(jù)極限環(huán)的穩(wěn)定性，極限環(huán)又分為三類。根據(jù)極限環(huán)的穩(wěn)定性，極限環(huán)又分為三類。 （1）穩(wěn)定極限環(huán)穩(wěn)定極限環(huán) 若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡都趨向于該環(huán)，這種極限若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡都趨向于該環(huán)，這種極限環(huán)稱為穩(wěn)定極限環(huán)。環(huán)稱為穩(wěn)定極限環(huán)。 13 從系統(tǒng)的運動狀態(tài)來看，這種穩(wěn)定極限環(huán)表示系從系統(tǒng)的運動狀態(tài)來看，

9、這種穩(wěn)定極限環(huán)表示系統(tǒng)具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩狀態(tài)，即自振蕩。統(tǒng)具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩狀態(tài)，即自振蕩。從相平面圖上看，穩(wěn)定極限環(huán)把相平面圖劃分成兩個從相平面圖上看，穩(wěn)定極限環(huán)把相平面圖劃分成兩個區(qū)域。由于在極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡隨時間的增加是發(fā)區(qū)域。由于在極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡隨時間的增加是發(fā)散的，故內(nèi)部區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)。而在極限環(huán)外部的相散的，故內(nèi)部區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)。而在極限環(huán)外部的相軌跡隨時間的增加收斂于這個極限環(huán)，因此外部區(qū)域軌跡隨時間的增加收斂于這個極限環(huán)，因此外部區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)。通常在設(shè)計系統(tǒng)時，則應(yīng)盡量減小這種極為穩(wěn)定區(qū)。通常在設(shè)計系統(tǒng)時，則應(yīng)盡量減小這種極限環(huán)，以滿足對穩(wěn)態(tài)誤差的要求

10、。限環(huán)，以滿足對穩(wěn)態(tài)誤差的要求。xx014 （2）不穩(wěn)定極限環(huán)）不穩(wěn)定極限環(huán) 若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散，這種極限若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散，這種極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。系統(tǒng)的運動狀態(tài)與初始條件有環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。系統(tǒng)的運動狀態(tài)與初始條件有關(guān)，若初始狀態(tài)在環(huán)內(nèi)，則系統(tǒng)狀態(tài)將趨于平衡點關(guān)，若初始狀態(tài)在環(huán)內(nèi)，則系統(tǒng)狀態(tài)將趨于平衡點（坐標原點）。反之，系統(tǒng)狀態(tài)將遠離平衡點。所以（坐標原點）。反之，系統(tǒng)狀態(tài)將遠離平衡點。所以具有不穩(wěn)定極限環(huán)的系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)是小范圍穩(wěn)定具有不穩(wěn)定極限環(huán)的系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)是小范圍穩(wěn)定的，大范圍是不穩(wěn)定的。通常在設(shè)計系統(tǒng)時，應(yīng)盡量的，大范圍是不穩(wěn)定的。通常在

11、設(shè)計系統(tǒng)時，應(yīng)盡量增大極限環(huán)。增大極限環(huán)。xx015 （3）半穩(wěn)定極限環(huán)）半穩(wěn)定極限環(huán) 如果兩側(cè)的相軌跡，其中一側(cè)離開極限環(huán)，另一如果兩側(cè)的相軌跡，其中一側(cè)離開極限環(huán)，另一側(cè)趨向于極限環(huán)，這種極限環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán)。對側(cè)趨向于極限環(huán)，這種極限環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán)。對于圖于圖7-32（c）來說，由于被極限環(huán)所劃分的兩個區(qū)域）來說，由于被極限環(huán)所劃分的兩個區(qū)域都是不穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)將具有振蕩發(fā)散狀態(tài)。而對都是不穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)將具有振蕩發(fā)散狀態(tài)。而對于于7-32（d）來說，兩個區(qū)域都是穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)的）來說，兩個區(qū)域都是穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)的運動狀態(tài)最終將趨于環(huán)內(nèi)的平衡點，不會產(chǎn)生自振蕩。運動狀態(tài)最終

12、將趨于環(huán)內(nèi)的平衡點，不會產(chǎn)生自振蕩。xx0 xx016735 非線性系統(tǒng)的相平面法分析非線性系統(tǒng)的相平面法分析 1 相平面法分析非線性系統(tǒng)相平面法分析非線性系統(tǒng) 利用相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟為利用相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟為: （1）首先將非線性特性分段線性化，并寫出相應(yīng)的）首先將非線性特性分段線性化，并寫出相應(yīng)的數(shù)學表達式。數(shù)學表達式。 （2）在相平面上選擇合適的坐標，并將相平面根據(jù)）在相平面上選擇合適的坐標，并將相平面根據(jù)非線性特性劃分成若干個線性區(qū)域。前面我們?nèi)〉南喾蔷€性特性劃分成若干個線性區(qū)域。前面我們?nèi)〉南嗥矫孀鴺?，都是系統(tǒng)的輸出量平面坐標，都是系統(tǒng)的輸出量c及其導數(shù)及

13、其導數(shù)dc/dt 。實際。實際上系統(tǒng)中的其它變量也同樣可用作相坐標。當系統(tǒng)有上系統(tǒng)中的其它變量也同樣可用作相坐標。當系統(tǒng)有階躍或斜坡輸入時，選取非線性環(huán)節(jié)輸入量即系統(tǒng)的階躍或斜坡輸入時，選取非線性環(huán)節(jié)輸入量即系統(tǒng)的誤差誤差e和和de /dt作相坐標，會更為方便。作相坐標，會更為方便。17 （3）根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程式繪制各區(qū)域的相軌）根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程式繪制各區(qū)域的相軌跡。跡。 （4）把相鄰區(qū)域中的相軌跡。在區(qū)域的邊界上適當）把相鄰區(qū)域中的相軌跡。在區(qū)域的邊界上適當連接起來，便得到整個非線性系統(tǒng)的相平面圖，根據(jù)連接起來，便得到整個非線性系統(tǒng)的相平面圖，根據(jù)該相平面圖，即可判斷系統(tǒng)的運動特

14、性。該相平面圖，即可判斷系統(tǒng)的運動特性。 例例7-8 具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖示，具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖示，試利用相平面法分析系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。試利用相平面法分析系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。0 ak=1rcKs(Ts+1)Me y18解：解：非線性特性的數(shù)學表達式為非線性特性的數(shù)學表達式為線性部分的微分方程式為線性部分的微分方程式為 MMeyaeaeaeKyccT rrTKyeeT 0KyeeT 考慮到考慮到r c = e，上式又可寫成，上式又可寫成 當輸入信號為階躍函數(shù)時，則在當輸入信號為階躍函數(shù)時，則在t 0時，時，r = r =0，因此有因此有 19根據(jù)已知的非線性特性，系統(tǒng)可分為三

15、個線性區(qū)域。根據(jù)已知的非線性特性，系統(tǒng)可分為三個線性區(qū)域。 I區(qū)：區(qū)：此時系統(tǒng)的微分方程式為此時系統(tǒng)的微分方程式為 按前面確定奇點的方法，可知系統(tǒng)在該區(qū)有一個奇點按前面確定奇點的方法，可知系統(tǒng)在該區(qū)有一個奇點（0，0），奇點的類型為穩(wěn)定焦點（欠阻尼情況下）。），奇點的類型為穩(wěn)定焦點（欠阻尼情況下）。相軌跡是一簇趨向于原點的螺旋線。相軌跡是一簇趨向于原點的螺旋線。 0KeeeT e aeTKMeeed bTKMe 1KMeb 0 ebeb 0 0KMebT 0/1 ebeTb 0 /121eea a KM22III區(qū)：區(qū)： 系統(tǒng)的微分方程式為系統(tǒng)的微分方程式為 e 0時，時， ?？紤]到。考慮到理想繼電器特性，故系統(tǒng)的微分方程為理想繼電器特性，故系統(tǒng)的微分方程為若取若取k =1，可將上式改寫成，可將上式改寫成27式中式中A是與初始條件有關(guān)的積分常數(shù)。上式表明系統(tǒng)的是與初始條件有關(guān)的積分常數(shù)。上式表明系統(tǒng)的相軌跡為兩簇拋物線。其開關(guān)線為縱軸，開關(guān)線將相相軌跡為兩簇拋物線。其開關(guān)線為縱軸，開關(guān)線將相平面分為兩區(qū)域，系統(tǒng)將產(chǎn)生周期運動。平面分為兩區(qū)域，系統(tǒng)將產(chǎn)生周期運動。ee02