巧用圓錐曲線定義解有關(guān)最值問題

1、百度文庫1巧用圓錐曲線定義解有關(guān)最值問題廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院 309 數(shù)學(xué)（4）班 李國曉【摘要】 圓錐曲線涉及到兩大定義，圓錐曲線的第一定義和圓錐曲線的第 二定義。巧用圓錐曲線的定義，通過具體實(shí)例說明求最值的一些方法，如果能很 好地理解和掌握圓錐曲線的定義，也能用它來解決很多代數(shù)問題?！娟P(guān)鍵詞】圓錐曲線最值目標(biāo)函數(shù)圓錐曲線是用代數(shù)方法來研究幾何問題，它處于代 數(shù)與幾何的交匯處。 如果能很好地 理解和掌握圓錐曲線的定義，也能用它來解決很多代數(shù)問題。圓錐曲線作 為高考必考內(nèi)容，當(dāng)一道題目涉及到線段距離、圓錐曲線位置關(guān)系等等，而且又與焦點(diǎn)有關(guān) 時(shí)，我們通?？煽紤]利用定義來求解。利用圓錐曲線

2、定義求解的基本特點(diǎn)是解題思路比較簡 單，規(guī)律性較強(qiáng)。而圓錐曲線的定義是由曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來刻畫的，由此可對一些距離進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，因此在解題中凡涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，應(yīng)先想到利用定義 進(jìn)行求解,這樣會有事半功倍之效。 下面談?wù)勅绾吻捎脠A錐曲線的定義來求最值問題。一、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）第一定義在最值問題中的巧用圓錐曲線的第一定義既是推導(dǎo)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的依據(jù)，又是用來解決一些問題的重要 方法，一般情況下，當(dāng)問題涉及焦點(diǎn)或準(zhǔn)線，且用其它方法不易求解時(shí)，可考慮運(yùn)用定義求百度文庫2解。圓錐曲線中涉及到很多最值問題，如果方法不當(dāng)，求解過程就很復(fù)雜。有些與焦點(diǎn)和準(zhǔn) 線有關(guān)的問題

3、，從第一定義入手，就很容易解決問題，下面舉例說明圓錐曲線中常見的最值 問題。圓錐曲線第一定義在求最值的一般形式：|PA |PF 的最值。其中，在曲線C（橢圓、雙 曲線、拋物線）內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)），P 是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)。1.橢圓第一定義在最值問題中的巧用橢圓第一定義： 平面內(nèi)到兩定點(diǎn) F,、 F2的距離之和等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡叫橢圓，即 MFMF22a。1 上一點(diǎn) P 到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之積為 m，求 m 的最大值，并求出當(dāng) m 取259得最大值時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：此題求 P 點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之積，由不等式性質(zhì)和橢圓第一定義，可轉(zhuǎn)化為兩距離之和來求解。此題是動(dòng)點(diǎn)到兩焦

4、點(diǎn)距離之積，從而聯(lián)系了第一定義：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定值 再結(jié)合不等式性質(zhì)，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易求解的函數(shù)，從而問題得解。2 2例 2：已知橢圓 仝 1 內(nèi)有一點(diǎn)A（2, 1），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上動(dòng)點(diǎn),2516解：設(shè)橢圓2x251 的左右焦點(diǎn)分別為 F,、F2, PF,PF210,PF,PF2PF,PF2225,當(dāng)且僅當(dāng) PF1PF2時(shí)取等號，此時(shí)點(diǎn) P 為短軸的端點(diǎn)。所以 P 的坐標(biāo)為（0，3）或（0,-3）時(shí)，m 的最大值為 25。當(dāng)圓錐曲線中的最值問題涉及到圓錐曲線的焦點(diǎn)時(shí)， 可以考慮應(yīng)用圓錐曲線的定義解題。2a。求 PA PF 的最大值與最小值。分析：目標(biāo)函數(shù) PA PF

5、,考慮用普通方法比較難解，則我們可作適當(dāng)轉(zhuǎn)化，利用橢圓第一定義，把PF轉(zhuǎn)化為與另一焦點(diǎn)有關(guān)的線段，即PF2a PF ,再結(jié)合平面內(nèi)三點(diǎn)共線百度文庫3時(shí)有最值，而點(diǎn) P 在線段延長線的不同側(cè)時(shí)，會使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值。解：如圖 1,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，可知其坐標(biāo)為F（3，0）,由橢圓的第一定義得：PF|PF|io ，則|PA|PF IO|PA PF|，可知，當(dāng)P為AF的延長線與橢圓的交點(diǎn) /時(shí)，PA |PF I 最大，最大值為，AF I 2，當(dāng) P 為 FA 的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，| PA | PF 最小，最小值為 AF |42。故 PA PF 的最大值為1042，最小值為10 v 2

6、o本題中巧用第一定義解題：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定值2a，兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，a 為長半軸，利用這定義，把所要求的目標(biāo)函數(shù)中的一個(gè)焦半徑轉(zhuǎn)化為另一焦半徑，考慮在什么情 況下所百度文庫4求函數(shù)值最大，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易求解的函數(shù)。 在把 PA PF 轉(zhuǎn)化 10 |PA |PF百度文庫5時(shí)，即轉(zhuǎn)化為A、F、P三點(diǎn)共線進(jìn)行討論，當(dāng)P點(diǎn)在AF延長線時(shí)，所求函數(shù)有最大值, 當(dāng) P 點(diǎn)在FA 的延長線時(shí)，所求函數(shù)有最小值。注意在這類問題中，“和”與“差”中一個(gè) 不可求，就用定義轉(zhuǎn)化為另一個(gè)。正確地畫出圖形，利用平面幾何知識，一般都可以解決問 題。2.雙曲線的第一定義在最值問題中的巧用雙曲線第一定義：平面內(nèi)點(diǎn)

7、M與一定點(diǎn)F的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)ec，這個(gè)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是a雙曲線的離心率。1 內(nèi)有一點(diǎn)B 6,2,Fi、F2分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，P 是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，求PF?|PB的最小值PB，從一般方法來解比較困難，則我們可以從定義入手，利用曲線第一定義，把|PF2轉(zhuǎn)化為|PFj8,而|PB PF,為平面內(nèi)三點(diǎn)距離之和，當(dāng)B,P, F,點(diǎn) 共線時(shí)有最小值。解：如圖 2，由題意得F,( 5,0)、F25,0，有雙曲線的第一定義得PF,PF2|8 所以當(dāng) p 點(diǎn)在如圖 2 位置時(shí)有最小值，當(dāng) P 點(diǎn)在如圖 2 位置時(shí)有最拋物線第一定義

8、：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) 戸和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線， 點(diǎn)2 2例 3:已知雙曲線壬169分析：目標(biāo)函數(shù)為PF2PF2I|PB |PF2|PF,| 8，小值，即PFJ|PB|BF,(6此題巧用雙曲線的第一定義把而冋題得解。PF2轉(zhuǎn)化為 PF,8，再結(jié)合平面幾何知識進(jìn)行分析，從3.拋物線的第一定義在最值中的巧用PF|PB 的最小值為 55 8。百度文庫6夕叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn) F 不在定直線上。它與橢圓、雙曲 線的第二定義相仿，僅比值（離心率 e）不同，當(dāng) e= 1 時(shí)為拋物線例 4:設(shè) P 是 y24x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求P點(diǎn)到 A 1,1 的距離與 p 點(diǎn)到直

9、線I:x 1的 距離d之和的最小值。分析：此題中的I:x1剛好是拋物線的準(zhǔn)線，而點(diǎn)A在準(zhǔn)線I上，由拋物線第一定義可把P到直線的距離轉(zhuǎn)化為P到焦點(diǎn)F 1,0距離，即所求距離轉(zhuǎn)化為|PAPF ,而 PA |PF 剛 好是三點(diǎn)距離之和，而在平面中，當(dāng)三點(diǎn)共線即A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)它們所得距離之和最 小。圖3解：如圖 3,由拋物線第一定義得 PA d |PA |PF ,在平面中|PA |PF/AF|，又AF|A/5,當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)取等號，即所求最小值為 75。/把動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，從平面三點(diǎn)共線性質(zhì)考慮得出最小值。二、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）第二定義在最值問題中

10、的巧用圓錐曲線的第二定義既是推導(dǎo)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的依據(jù)，又是用來解決一些問題的重要 方法，一般情況下，當(dāng)問題涉及焦點(diǎn)或準(zhǔn)線，且用其它方法不易求解時(shí)，可考慮運(yùn)用定義求 解。圓錐曲線中涉及到很多最值問題，如果方法不當(dāng)，求解過程就很復(fù)雜。有些與焦點(diǎn)和準(zhǔn) 線有關(guān)的問題，從第二定義入手，就很容易解決問題。百度文庫7圓錐曲線第二定義在求最值的形式一般是：PAPF的最小值。其中，在曲線C（橢e圓，雙曲線或拋物線）內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)），P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，e是曲線C的離心率。1.橢圓第二定義在最值問題中的巧用橢圓第二定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn) M 與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比為常

11、數(shù)ce - e 1時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓aAM 2MF 的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)2例 5:已知點(diǎn) A 2,. 3 ,設(shè)F為橢圓乞162仝1的右焦的坐標(biāo)百度文庫811分析：橢圓離心率e丄，而目標(biāo)函數(shù)中的21,再結(jié)合橢圓第二定義，把目標(biāo)函數(shù)中 2MF2e轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離，而M點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有最值，即 AM 的延長線垂直有準(zhǔn)線，此時(shí)確定的M點(diǎn)就是能使|AM| 2MF 達(dá)最小值。圖 4解：設(shè)右準(zhǔn)線為L,過A作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,與橢圓交于M。依題意得離心率e丄,2由橢圓第二定義得 2MF MN，所以 AM 2MF AM| MN ,如圖 4M點(diǎn)位置所示，百度文庫9AM MN 達(dá)

12、最小值，所以|AM| 2MF 的最小值即為|AN的長，而 AN| 2 810，即百度文庫10AM| 2MF 的最小值為10;此時(shí)把點(diǎn)y、3代入橢圓方程即可求得M2 3, 3此題利用建立目標(biāo)函數(shù)來求 AM 2MF 的最小值，其函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜，用常規(guī)方法求解較繁。但我們考慮|AM 2MF 中的2，看它是否有其特殊含義，橢圓中是否有與 2 有關(guān)的性解：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖 5,作AA l于A，BB l于B， MM l 于 M，的縱坐標(biāo)質(zhì)。由題中得離心率為1 1e-，即2：,再由橢圓第二定義可知 2MF 就是M點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離，問題即可解決。例 6：定長為d d2 2竺的線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)分別

13、在橢圓$aa2詁-ab0上移動(dòng),求 AB 的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線l的最短距離。百度文庫511AA BB1AFBF1-!- AF BF22 ee2e時(shí)等號成立）。故M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為-2e題中若是求中點(diǎn)到與準(zhǔn)線平行的直線的距離的最小值也可以轉(zhuǎn)化為這類問題。2. 雙曲線的第二定義在最值問題中的巧用雙曲線的第二定義：平面內(nèi)點(diǎn)M與一定點(diǎn)F的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)eC，這個(gè)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是a雙曲線的離心率。2 2例 7:已知雙曲線c: 匕 1 內(nèi)有一點(diǎn)A 7,3，F(xiàn)是雙曲線C的左焦點(diǎn)，P為雙曲線9163C上的動(dòng)點(diǎn)，求PA - PF的

14、最小值。5圖 6/分析：注意到式中的數(shù)值“-”恰為1，則可由雙曲線的第二定義知-|PF等于雙曲線上5巳/5-則MMAB d玉新當(dāng)且僅當(dāng)AB過焦點(diǎn)F空是橢圓的通徑長，是橢圓焦點(diǎn)弦長的最小值,a空 是 AB 能過焦點(diǎn)的充要條件。a百度文庫512的點(diǎn) P 到左準(zhǔn)線的距離 PM，從而|PA -PF| PA | PM。百度文庫13解：設(shè)雙曲線左準(zhǔn)線為丨，過平點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線交于點(diǎn)M，根據(jù)雙曲線第二定義得53PM-|PF ,所以PA-|PF PA |PM ，由圖 6 知，當(dāng)A、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，PA PM359 ”443、44取得最小值，其大小為|AM 7 -,即PA -|PF的最小值為-。55551題

15、中丄|PF d（d為P到焦點(diǎn) F 對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離），從而將所求轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到準(zhǔn)線的e距離。3. 拋物線的第二定義在最值中的巧用拋物線的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條直線？的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物 線，點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn) F 不在定直線上。它與橢圓、 雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率 e）不同，當(dāng) e= 1 時(shí)為拋物線。例&設(shè)P是 y24x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若有點(diǎn)B 3,2，求 PB PF 的最小值。圖7分析：此題是求PA Z|PF的最小值”問題，由拋物線的離心率e 1，則可把PF轉(zhuǎn)化e為P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再結(jié)合幾何知識從而問題得解。解：

16、作拋物線的準(zhǔn)線為L,過P點(diǎn)作準(zhǔn)線L的垂線交點(diǎn)為 Q 由拋物線定義得PB PF PB PQ BQ 4如圖 7，當(dāng)P為過點(diǎn)B的丨的垂線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號，即所求最小值為6。題中 ed PF，將所求折線轉(zhuǎn)化為直線，結(jié)合圖形利用平面幾何知識很容易解決問題。百度文庫14三、總結(jié)1. 巧用圓錐曲線定義解最值問題，能使問題簡單化，從上面的類型可以得出，求解圓錐 曲線最值問題可分分為以下兩種：（1）圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）第一定義在最值問題中的巧用；（2）圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）第二定義在最值問題中的巧用。2. 從上述例題可以看出，圓錐曲線定義是解決一些最值問題的有效而又快捷的方法。如果一道解答題題目涉及到對圓錐曲線定義的與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡與最值等等，常?？紤]通過圓錐曲線定義來求解，它的基本特點(diǎn)是解題思路比較簡單，規(guī)律性較強(qiáng)。圓錐曲線的定義是由曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來刻畫的，由此可對