2015-2016學(xué)年數(shù)學(xué)必修四2.2.1《向量加法運(yùn)算及其幾何意義》Word教案

1、2.2平面向量的線性運(yùn)算教材分析本節(jié)首先從數(shù)及數(shù)的運(yùn)算談起， 有了數(shù)只能進(jìn)行計(jì)數(shù)， 只能引入了運(yùn)算， 數(shù)的威力才得 以充分展現(xiàn)。類比數(shù)的運(yùn)算，向量也能夠進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算引入后， 向量的工具作用才能得到 充分發(fā)揮。 教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)考察一個(gè)量的運(yùn)算問題，最主要的是認(rèn)清運(yùn)算的定義及其 運(yùn)算律，這樣才能正確、方便地實(shí)施運(yùn)算。平面向量的線性運(yùn)算包括：向量加法、向量減法、向量數(shù)乘運(yùn)算，以及它們之間的混合 運(yùn)算。其中加法運(yùn)算是最基本、最重要的運(yùn)算，減法、數(shù)乘運(yùn)算都以加法運(yùn)算為基礎(chǔ)，都可 以歸結(jié)為加法運(yùn)算。向量的加法運(yùn)算是通過類比數(shù)的加法， 以位移的合成、 力的合成等兩個(gè)物理模型為背景 引入的，使加法運(yùn)算

2、的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上。由于向量有方向，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，不但要考慮大小，而且要考慮方向， 應(yīng)注意體會(huì)向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別， 更好地 把握向量加法的特點(diǎn)。類比數(shù)的減法（減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)） ，向量減法的實(shí)質(zhì)是：減去一個(gè) 向量，等于加上這個(gè)向量的相反向量；向量數(shù)乘運(yùn)算則是相同向量的連加。因此，與數(shù)的運(yùn)算的類比，是學(xué)習(xí)向量的線性運(yùn)算的重要方法。 向量的線性運(yùn)算具有深刻的物理背景和幾何意義， 使得向量在解決物理和幾何問題時(shí)可 以發(fā)揮很好的作用。2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義一、教學(xué)分析向量的加法是學(xué)生在認(rèn)識(shí)向量概念之后首先要掌握的運(yùn)算,是向量的第二節(jié)內(nèi)容 .其主要內(nèi)容

3、是運(yùn)用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,并對(duì)向量加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行證明 ,同時(shí)運(yùn)用他們進(jìn)行相關(guān)計(jì)算 ,這可讓同學(xué)們進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì) 向量幾何意義的理解 ,同時(shí)也為接下來學(xué)習(xí)向量的減法奠定基礎(chǔ),起到承上啟下的重要作用學(xué)生已經(jīng)通過上節(jié)的學(xué)習(xí) ,掌握了向量的概念、 幾何表示 ,理解了什么是相等向量和共線向量 在學(xué)習(xí)物理的過程中 ,已經(jīng)知道位移、 速度和力這些物理量都是向量 ,可以合成 ,而且知道這些 矢量的合成都遵循平行四邊形法則 ,這為本課題的引入提供了較好的條件 . 培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的主題,本節(jié)課的內(nèi)容與實(shí)際問題聯(lián)系緊密,更應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)來源于實(shí)際

4、又應(yīng)用于實(shí)際的意識(shí) .在向量加法的概念中 ,由于涉及到兩個(gè)向量有不平行和平 行這兩種情況 ,因此有利于滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想,而在猜測(cè)向量加法的運(yùn)算律時(shí) ,通過引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律進(jìn)行類比.則能培養(yǎng)學(xué)生類比、 遷移等能力 .在實(shí)際教學(xué)中 ,類比數(shù)的運(yùn)算 ,向量也能夠進(jìn)行運(yùn)算 .運(yùn)算引入后 ,向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實(shí)際上 ,引入一個(gè)新的量后 ,考察它的運(yùn)算及運(yùn)算律 ,是數(shù)學(xué)研究中的基本問題 .教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)考察 一個(gè)量的運(yùn)算問題 ,最主要的是認(rèn)清運(yùn)算的定義及其運(yùn)算律,這樣才能正確、 方便地實(shí)施運(yùn)算向量的加法運(yùn)算是通過類比數(shù)的加法,以位移的合成、力的合力等兩個(gè)物理模型為背景引

5、入的 .這樣做使加法運(yùn)算的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上,同時(shí)還可以提醒學(xué)生注意 ,由于向量有方向 ,因此在進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí) ,不但要考慮大小問題 ,而且要考慮方向問題 ,從而使學(xué)生 體會(huì)向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別.這樣做 ,有利于學(xué)生更好地把握向量加法的特點(diǎn).八、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義；會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法 則作兩個(gè)向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力。2、過程與方法：通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過闡述向量的加

6、法運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算之間的相似性質(zhì)，使學(xué)生理解事物之間相互聯(lián)系的辯證思想。三、 重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：向量加法的運(yùn)算及其幾何意義 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量加法法則定義的理解四、 學(xué)法指導(dǎo)數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義。結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律。五、 教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路 1.（復(fù)習(xí)導(dǎo)入）上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念，明確了向量的表示方法，了解了零 向量、單位向量

7、、平行向量、相等向量等概念，并接觸了這些概念的辨析判斷 另外，向量和我 們熟悉的數(shù)一樣也可以進(jìn)行加減運(yùn)算，這一節(jié)，我們先學(xué)習(xí)向量的加法思路 2.（問題導(dǎo)入）2004 年大陸和臺(tái)灣沒有直航，因此春節(jié)探親，要先從臺(tái)北到香港，再從香港到 上海，這兩次位移之和是什么？怎樣列出數(shù)學(xué)式子？ 一位同學(xué)按以下的命令進(jìn)行活動(dòng)：向北走20 米，再向西走 15 米，再向東走 5 米，最后向南走 10 米，怎樣計(jì)算他所在的位置？由此導(dǎo)入新課（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題1數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？類比數(shù)的加法，猜想向量的加法，應(yīng)怎樣定義向量的加法？2猜想向量加法的法則是什么？與數(shù)的運(yùn)算法則有什么不同？

8、圖 1活動(dòng)：向量是既有大小、又有方向的量，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中位移的概念，位移可以合成，如圖 1某對(duì)象從 A 點(diǎn)經(jīng) B 點(diǎn)到 C 點(diǎn)，兩次位移AB、BC的結(jié)果，與 A 點(diǎn)直接到 C 點(diǎn)的位移AC結(jié)果相同力也可以合成，老師引導(dǎo)，讓學(xué)生共同探究如下的問題：圖 2（1）表示橡皮條在兩個(gè)力的作用下，沿著 GC 的方向伸長(zhǎng)了 EO;圖 2（2）表示撤去 F1和 F2,用一個(gè)力 F 作用在橡皮條上，使橡皮條沿著相同的方向伸長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度圖 2改變力 Fi與 F2的大小和方向，重復(fù)以上的實(shí)驗(yàn)，你能發(fā)現(xiàn) F 與 F1、F2之間的關(guān)系嗎？力 F 對(duì)橡皮條產(chǎn)生的效果與力Fi與 F2共同作用產(chǎn)生的效果相同，物理學(xué)中

9、把力 F 叫做Fi與 F2的合力合力 F 與力 Fi、F2有怎樣的關(guān)系呢？由圖 2(3)發(fā)現(xiàn)，力 F 在以 Fi、F2為鄰邊的平行四邊形的 對(duì)角線上，并且大小等于平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，F(xiàn) 可以認(rèn)為是 Fi與 F2的和,即位移、力的合成看作 向量的加法討論結(jié)果：向量加法的定義：如圖 3,已知非零向量 a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB=a，BC= b，則向量AC叫做 a 與 b 的和，記作 a + b，即 a+b =AB+BC=AC.圖 3求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法2向量加法的法則：仁向量加法的三角形法則在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法

10、則運(yùn)用這一法則時(shí)要特別注意首尾相接”即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量 .0位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型2。向量加法的平行四邊形法則線OC就是 a 與 b 的和我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則 力的合成可如圖 4,以同一點(diǎn) 0 為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b 為鄰邊作平行四邊形，則以 O 為起點(diǎn)的對(duì)角pi以看作向量加法的物理模型提出問題對(duì)于零向量與任一向量的加法，結(jié)果又是怎樣的呢？2兩共線向量求和時(shí)，用三角形法則較為合適當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個(gè)向量時(shí)，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？3思考 a+b|,

11、|a|,|b 存在著怎樣的關(guān)系？4數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系，運(yùn)算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算類似地，向量的加法是否也有運(yùn)算律呢？活動(dòng)：觀察實(shí)際例子，教師啟發(fā)學(xué)生思考，并適時(shí)點(diǎn)撥，誘導(dǎo)，探究向量的加法在特殊情況下的運(yùn) 算，共線向量加法與數(shù)的加法之間的關(guān)系數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對(duì)任意 a，b R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）.任意向量 a，b 的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？引導(dǎo)學(xué)生畫圖進(jìn)行探索討論結(jié)果：對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定 a+0= 0+ a=a.2兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)；在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相加，它們的和仍是一個(gè)向量，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線

12、段.3當(dāng) a，b 不共線時(shí)，|a+b|a|+|b|（即三角形兩邊之和大于第三邊）;當(dāng) a，b 共線且方向相同時(shí)Ja + b|=|a|+|b|;當(dāng) a，b 共線且方向相反時(shí)，|a+ b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）.其中當(dāng)向量 a 的長(zhǎng)度大于向量b 的長(zhǎng)度時(shí)，|a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量 a 的長(zhǎng)度小于向量 b 的長(zhǎng)度時(shí)，|a + b|=|b|-|a|.一般地，我們有|a+ b| Wi|+|b|.4如圖 5,作AB=a，AD= b，以 AB、AD 為鄰邊作匚 ABCD，則BC=b，DC=a.因?yàn)锳C=AB+AD= a+ b，AC=AD+DC=b+ a，所以 a+b = b+ a.如

13、圖 6,因?yàn)锳D=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+ b)+ c，AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+ c),所以(a+b)+ c= a+(b+ c). 綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律 .（三）應(yīng)用示例思路 1例 1 如圖 7,已知向量 a、b,求作向量 a+ b.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.在向量加法的作圖中，學(xué)生體會(huì)作法中在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0 的依據(jù)一一它體現(xiàn)了向量起點(diǎn)的任意性.在向量作圖時(shí)，一般都需要進(jìn)行向量的平移，用平行四邊形法則作圖時(shí)應(yīng) 強(qiáng)調(diào)向量的起點(diǎn)放在一起，而用三角形法則作圖則要求首尾相連

14、.0C,則OC=a+b.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn):(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.活動(dòng)：根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相接，再運(yùn)用向量加法的結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序，然后相加.解：(1)BC+AB=AB+BC=AC.(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB= 0.(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA= 0.點(diǎn)評(píng):要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來求和向量例 2 長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸如圖 10 所示，一艘船從長(zhǎng)江南

15、岸A 點(diǎn)出發(fā)，以 5 km/h 的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東 2 km/h.(1) 試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度(保留兩個(gè)有效數(shù)字);(2) 求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到度).圖 10 圖 11活動(dòng):本例結(jié)合一個(gè)實(shí)際問題說明向量加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用這樣的問題在物理中已有涉及，這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運(yùn)算，體會(huì)其中應(yīng)解決的問題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小 ).引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生正確理解題意，將實(shí)際問題反映在向量 作圖上，從而與初中學(xué)過的解直角三角形建立聯(lián)系圖 7 圖 8圖 9作法二：在平面內(nèi)任

16、取一點(diǎn) 0(如圖 9),作0A=a,0B= b.以O(shè)A、OB 為鄰邊作 OACB,連接&B解:如圖 11 所示,AD表示船速，AB表示水速，以 AD、AB 為鄰邊作 ABCD,則AC表示船實(shí)際航行的速度在 Rt ABC 中,|AB|=2,|BC|=5,所以 |AC|=| AB |2 |BC . 225 29- 5.4.因?yàn)?tan/CAB=29，由計(jì)算器得/ CAB=702答:船實(shí)際航行速度的大小約為5.4 km/h，方向與水的流速間的夾角為70點(diǎn)評(píng)：用向量法解決物理問題的步驟為：先用向量表示物理量，再進(jìn)行向量運(yùn)算，最后回扣物理問題，解決問題變式訓(xùn)練用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形

17、是平行四邊形圖 12活動(dòng)：本題是一道平面幾何題，如果用純幾何的方法去思考，問題不難解決，如果用向量法來解, 不僅思路清晰，而且運(yùn)算簡(jiǎn)單將互相平分利用向量表達(dá)，以此為條件推證使四邊形為平行四 邊形的向量等式成立教師引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用向量法解決幾何問題，并在解完后總結(jié)思路方法.證明：如圖 12,設(shè)四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC、 BD 相交于點(diǎn)O,AB=AO+OB，DC=DO+OC.- 1- - * - - - 1-AC 與 BD 互相平分，AO=OC，OB=DO，AB=DC，因此AB/CD且 |AB|=|DC|，即四邊形 ABCD 是平行四邊形.點(diǎn)評(píng)：證明一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí)，只需證明AB

18、=DC或AD=BC即可.而要證明一個(gè)四邊形是梯形，需證明AB與DC共線，且|AB|#DC|.思路 2例 3 如圖 13,O 為正六邊形 ABCDEF 的中心，作出下列向量：(1)OA+OC;(2)BC+FE;(3)OA+FE.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應(yīng)的向量.教師一定要讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，對(duì)思路不清的學(xué)生教師適時(shí)地給予點(diǎn)撥指導(dǎo).圖 13解：(1)因四邊形 OABC 是以 OA、OC 為鄰邊的平行四邊形，OB 是其對(duì)角線故OA+OC=OB.(2)因BC=FE,故BC+FE=AD.(3)因OD=FE,故OA+FE=OA+OD= 0.點(diǎn)評(píng)：向量的運(yùn)算結(jié)合平面幾何知

19、識(shí)，在長(zhǎng)度和方向兩個(gè)方面做文章 應(yīng)深刻理解向量的加、減 法的幾何意義例 2 在長(zhǎng)江的某渡口處，江水以 12.5 km/h 的速度向東流，渡船的速度是 25 km/h,渡船要垂直 地渡過長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？活動(dòng)：如圖 14,渡船的實(shí)際速度AC、船速AD與水速AB應(yīng)滿足AB+AD=AC.圖 14解:設(shè)AB表示水流速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船實(shí)際垂直過江的速度，以 AB為一邊，AC 為對(duì)角線作平行四邊形，AD就是船的速度.在 Rt ACD 中，/ ACD=90，|DC|=|AB|=12.5，|AD|=25，ZCAD=30 .答:渡船的航向?yàn)楸逼?30點(diǎn)評(píng):根據(jù)題意畫出草圖，是解決問題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練 已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)若OA+OB+OC+OD= 0，則四邊形ABCD是怎樣的四邊形？點(diǎn) O 是四邊形的什么點(diǎn)？活動(dòng)：要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關(guān)系，如平行、相等等；而要判斷點(diǎn) O是該四邊形的什么點(diǎn)，就必須找到該點(diǎn)與四邊形的邊或?qū)蔷€的關(guān)系圖 15解:如圖 15 所示,設(shè)點(diǎn) O 是任一四邊形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，且OA+OB+OC+OD= 0,過 A 作AEOD,連結(jié) ED,則四邊形 AEDO 為平行四邊形，設(shè) OE 與 AD 的交點(diǎn)為 M,過 B 作 BF OC,則四邊形 BOCF 為平行四邊形 設(shè) OF 與 BC 的交點(diǎn)為 N,于是