高等數(shù)學(xué) 第四節(jié)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 第五節(jié)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用

1、1第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)215P.)(中值定理復(fù)習(xí)泰勒 Taylor內(nèi)具有直到的某個(gè)開區(qū)間在含有如果函數(shù)),()(baxxf0)()(,),(,)(01xxxfbaxn可以表示為內(nèi)時(shí)在則當(dāng)階的導(dǎo)數(shù):)(之和次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)的一個(gè)xRnn 2000002)(!)()()()(xxxfxxxfxfxfnnxxnxf)(!)()(00. )(xRn,)(!)()()(1011nnxxnf 余項(xiàng).之間與介于0 xxnnnxxnxfxxxfxfxp)(!)()()()()(00000.)(多項(xiàng)式階的稱為Taylornxf)(xRn2內(nèi)具有任意的某個(gè)開區(qū)間在含有如果函數(shù)),()(

2、baxxf0:)(,),(,級(jí)數(shù)的可作成內(nèi)時(shí)在則當(dāng)階的導(dǎo)數(shù)Taylorxfbax.)(!)()()()()(nnxxnxfxxxfxfxf00000:)()(,麥克勞林級(jí)數(shù)的則作成取Maclaurin00 xfx .!)(!)()()()()( nnxnfxfxffxf020002.)(級(jí)數(shù)的作出例Maclaurin1xexf,)()(xnexf解10 )()(nf),(3210n.!)(nxxxxexfnx32132.,),(,xe而且收斂于收斂此級(jí)數(shù)在我們已經(jīng)知道3.)()(級(jí)數(shù)的作出設(shè)例Maclaurin2xfxf00021xxex),(,)(.)(321000nfn可以算出解.)(20

3、00 xxxf.)(,xf而不是收斂于此級(jí)數(shù)處處收斂于顯然0)(個(gè)別點(diǎn)除外,)(:,級(jí)數(shù)可以形式地寫出它的由可見例由例Taylor21xf.)(xf級(jí)數(shù)不一定收斂于但此 Taylor4內(nèi)級(jí)數(shù)在的定理),()()(RxRxxUxf000Taylor:)(的充要條件是收斂于xf01101nnnnnxxnfxR)()!()(lim)(lim)( 余項(xiàng)的極限.)()(級(jí)數(shù)內(nèi)能展成在稱Taylor0 xUxf000nnnxxnxfxf)(!)()(.)(設(shè)證nnnnnxxnxfxs000)(!)()()(此級(jí)數(shù)的部分和)()(xRxfn)(lim)()(limxRxfxsnnnn公式Taylor.)(l

4、im)()(lim0 xRxfxsnnnn所以#5,)()()(MxfxUn內(nèi)有在推論0),_(210nM常數(shù).)()(級(jí)數(shù)內(nèi)能展開成在則Taylor0 xUxf1011nnnxxnfxR)()!()()()( 證.)!(110nxxMn.)!(即可只需證明0110nxxn,)!(用比值法的收斂性研究級(jí)數(shù)0101nnnxx10101nxxuunnnnlimlim,)!(收斂所以級(jí)數(shù)0101nnnxx.! )(成立通項(xiàng)0110nxxn#6.sin)(級(jí)數(shù)展開成將例Maclaurin3xxf.sin)()(2 nxxfn解),(210n.,)()(1010100nf!)(753753xxxxxf0

5、12121nnnxn)!()(1012221)(limlimnnxuunnnnx.R收斂半徑,sin)()(12 nxxfn,),(上在!sin753753xxxxx7:類似地得到,),(上在!cos6421642xxxx.!)()(0221nnnxn!cossin的冪級(jí)數(shù)與熟記xx:驟如下展開函數(shù)為冪級(jí)數(shù)的步)(),(),(xfxfxf 求1),(),(),(0002xfxfxf 算 200023)(!)()()(xxxfxxxfxf作級(jí)數(shù).并求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間. )(,)(xfxRn則級(jí)數(shù)收斂于若04.結(jié)合進(jìn)行可與48.)()(的冪級(jí)數(shù)展開成將例xxxf 14)(為任一實(shí)常數(shù) ,)(10 f

6、解,)()()()(nnxnxf 111 . )()()()(110nfn ),(321n.!)()()(1111nnxnnxf 1nnnaaRlim冪級(jí)數(shù)收斂半徑nnn 1lim1).,)(2210PxRn可閱讀略較困難還要討論.!)()()(:1111nnxnnxf 最后得到)(n 91111nnxnnxf!)()()( )(11x,次多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)為時(shí)取正整數(shù)當(dāng)nxn .式定理就是中學(xué)代數(shù)中的二項(xiàng)),(!xxxxnxennx3211320!)!()(sin7531212753012xxxxxnxnnn),(x),(x!)!()(cos642121364202xxxxnxnnn要熟記的基本冪

7、級(jí)數(shù)：要熟記的基本冪級(jí)數(shù)：)cos)(sin,cos,sin(xxxx偶函數(shù)奇函數(shù)10432111443201xxxxxnxnnn)()ln(,(11 x7531215753012xxxxxnxnnn)(arctan,11 x111116nnxnnx!)()()( 32321211xxx!)(!)( ),(11 x:特例432111xxxxx1 432111xxxxx),(11 x),(11 x1121 4328642531642314212111xxxxx,11 x21 43286427531642531423121111xxxxx,(11 x.間接方法展開函數(shù)為冪級(jí)數(shù)常用,)()(的冪級(jí)數(shù)

8、能展開成函數(shù)定理0 xxxf.則其展開式是唯一的12:證明,)()(00nnnxxaxf設(shè),)()(00nnnxxbxfRxx0)(.)(1000nnnnxxba則),(,2100nbann只需證明:)(次得式求導(dǎo)對(duì)k101110knknnnkkxxknnnbabak)()()()(!.:00kkbaxx得令,3210k#13.)()(的冪級(jí)數(shù)展開成將例134152xxxxf )(311xxxf解311121xx)(12111xxt112121xtntttt)(32121021nnt)(02121nnx.)()(01121nnnnx121x.21 x即14)(14131xxu114141xun

9、uuu)(2141041nnu)(04141nnx01141nnnnx)()(141x41 x即.)()()(0322121211nnnnnxxf21 x211211101xxxnnnn,)()(,)(311121xxxf15.arcsin)(的冪級(jí)數(shù)展開成將例xxxf62122111)()(xxxf解.)(!)()(12212311nnnxnn)(12xxdxxx0211arcsin102212531nxnndxxnnx!)(11212222nnnnnxnnnx!) !(! )(.)() !(! )(112221222nnnxnnnx1x.,時(shí)也成立當(dāng)進(jìn)一步討論可知1x16:6進(jìn)一步討論例.

10、)()(收斂只需證明級(jí)數(shù)112264212531nnnn012264212531)()(nnnun記222222222212264212531)()()(nnnun則222221221212221232675453231)()()(nnnnnnn21221)(nn,31n.231nun.,收斂所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)因?yàn)?1231nnnunp17.)ln()(的冪級(jí)數(shù)展開成將例xxxxf117011nnxx解,0nnnxa)(1na11nnnxx)ln(,1nnnxbnbn11x11x10nnnnnnxbxaxf)(1nnnxcnkkknnbac1nkkb1nkn11.)(11211nnxnxf1x18:略講題)ln(xa 1axa 1ln.lnlnya1.的冪級(jí)數(shù)將所給函數(shù)展開成 xaxxealn2yex23sin221xcosy