復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分ppt課件

1、第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法一一.復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)的微分法定義定義 設(shè)設(shè)z是是vu,的函數(shù)的函數(shù)),(vufz 而而vu,又分別又分別是是yx,的函數(shù)的函數(shù) ),(yxu ),(yxv 那么那么稱稱z是是yx,的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù),記作記作:),(),(yxyxfz 其中其中vu,稱為中間變量稱為中間變量.zuvxy定理定理 假設(shè)函假設(shè)函數(shù)數(shù)),(yxu ),(yxv 和和在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的偏導(dǎo)數(shù)存在的偏導(dǎo)數(shù)存在,而函數(shù)而函數(shù)),(vufz 在在對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于),(yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(vu處可微處可微,那么復(fù)那么復(fù)合合函數(shù)函數(shù)),(),(yxyxfz 在點(diǎn)

2、在點(diǎn)),(yx存在偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù),且且xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 證證 由于由于),(vufz 可微可微所以所以 z令令0 y那么那么有有 zx)0)()(22 vu )0)()(22 vuxx )( vvzuuzxx)( vvzuuz xzx xzxx0lim)(lim0 xxvvzxuuzxxx uz uz 故故.xvvzxuuzxz xxvvzxuuzxx )( xuxx 0limvz xvxx 0limxx )(lim0 xu vz xv 附證附證:0)(lim0 xx 證證 xx)(lim0 xx )(lim0 xvuxxx 220)()()(lim 220)()(

3、)(limxvxuxxx 22)()(0 xvxu . 0 2200)()(lim)(limxvxuxxx 建議按關(guān)系圖記公式建議按關(guān)系圖記公式: :(1)從因變量到自變量有幾條路從因變量到自變量有幾條路,公式中就公式中就有幾項(xiàng)相加有幾項(xiàng)相加;(2)每一條路上有幾段每一條路上有幾段,對(duì)應(yīng)項(xiàng)中就有幾個(gè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)中就有幾個(gè)因子相乘因子相乘;(3)每個(gè)因子都是相應(yīng)段上的偏導(dǎo)每個(gè)因子都是相應(yīng)段上的偏導(dǎo).注注 遇一元函數(shù)時(shí)寫一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)遇一元函數(shù)時(shí)寫一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào).zuvxy例例1 知知)ln(2vuz 2yxeu yxv 2求求xz .,yz 解法一解法一zuvxy xz vuu222yxe vu2

4、1x2.)(22)(2)(222yxexeyxyx 1.詳細(xì)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)詳細(xì)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)xvvzxuuz 例例1 知知)ln(2vuz 2yxeu yxv 2求求xz .,yz 解法一解法一zuvxy yz vuu2222yxye vu211.142)(2)(222yxeyeyxyx yvvzyuuz 例例1 知知)ln(2vuz 2yxeu yxv 2求求xz .,yz 解法二解法二)ln(2)(22yxezyx xzyxeyx 2)(221)22()(22xeyx .)(22)(2)(222yxexeyxyx 例例1 知知)ln(2vuz 2yxeu yxv 2求求xz .,yz 解法

5、二解法二)ln(2)(22yxezyx yzyxeyx 2)(221)14()(22 yxye.142)(2)(222yxeyeyxyx 例例2設(shè)設(shè)),0( xxzy而而tytxcos,sin 求求.dtdz解解ztxy dtdzdtdyyzdtdxxz 1 yyxttttttsinln)(sin)(sincos1cos1cos2 tcos xxyln )sin(t 例例3設(shè)設(shè)),ln(22yxz 其中其中,xey 求求.dxdz解解,xz xzxy令令,xey xx xz222yxx yz222yxy dxdzdxdyyzxz 1222yxx 222yxy xe 22)(2yxyexx .)

6、(2222xxexex 例例4求求),(22xyeyxfz 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解 令令22yxu xyev 那那么么),(vufz zuvxyxvvzxuuzxz uz yvvzyuuzyz uz 2.籠統(tǒng)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)籠統(tǒng)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)x2 vz xyye )2(y vz xyxe 例例4求求),(22xyeyxfz 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解z12xy xz1f yz1f x2 2f xyye )2(y 2f xyxe 新新的的書書寫寫形形式式212fyefxxy 212fxef yxy 補(bǔ)充補(bǔ)充 (2019年考研真題年考研真題4分分)設(shè)設(shè)),(yxxyfz ),(vufz 是二元可微函數(shù)是

7、二元可微函數(shù),那那么么. yzyxzx解解z12xy xz1f yz1f )(2xy 2f y1 x1 2f )(2yx yzyxzx2122fyxfxy 例例5 設(shè)設(shè))(),(ufxyxyfz 可導(dǎo)可導(dǎo),求求.yxzyzx 解解 令令xyu )(ufuxy xzxyfxyf 2()yyfxyfx 2yyffx yzyxfxyf 1xfxyfx xfyf yxzyzx 2()yx yffx ()y xfyf .2z 1.詳細(xì)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)詳細(xì)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)2.籠統(tǒng)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)籠統(tǒng)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)原始法那么或多元復(fù)合法那么都行原始法那么或多元復(fù)合法那么都行.建議建議:假設(shè)沒令按原始法那么求假設(shè)沒

8、令按原始法那么求;假設(shè)曾經(jīng)令好假設(shè)曾經(jīng)令好(包括沒令完好的包括沒令完好的,沒令沒令只能按多元復(fù)合法那么求只能按多元復(fù)合法那么求.用逗號(hào)隔開的每一部分令一個(gè)變量用逗號(hào)隔開的每一部分令一個(gè)變量,完好要補(bǔ)充完好完好要補(bǔ)充完好)按多元復(fù)合法那么求按多元復(fù)合法那么求.也可用數(shù)字也可用數(shù)字1、2來替代變量來替代變量.總總結(jié)結(jié)二二.隱函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法1.一元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)一元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)知知0),( yxF)(xfy 求求.dxdyFxyx方程兩邊作為方程兩邊作為x的函數(shù)同時(shí)求導(dǎo)的函數(shù)同時(shí)求導(dǎo)01 dxdyyFxF故故yFxFdxdy /例例6 知知, 0sin2 xyeyx求求.dxdy解解 令令

9、 ),(yxF2sinxyeyx 那那么么 xF2yex yFxyy2cos 故故yFxFdxdy /.2cos2xyyyex 解解 方程兩邊作為方程兩邊作為x的函數(shù)同時(shí)求導(dǎo)的函數(shù)同時(shí)求導(dǎo)0)2(cos2 yyxyeyyx.2cos2xyyyedxdyx 故故例例7 設(shè)設(shè).dxdu解解 xF yF故故 dxdy ),(zyxfu 有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù),分別由方程分別由方程)(xyy 0 yexy所確定所確定, 求求令令 ),(yxF那那么么xyye1 xyxe)(xzz 0 xzez和和zuxyxyexy xyye1 xyxe令令 ),(zxFxzez xF zF那那么么z xez 故故

10、dxdzzxez dxdudxdzzudxdyyuxu 1代入即可代入即可.Review定理定理 假設(shè)函假設(shè)函數(shù)數(shù)),(yxu ),(yxv 和和在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的偏導(dǎo)數(shù)存在的偏導(dǎo)數(shù)存在,而函數(shù)而函數(shù)),(vufz 在在對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于),(yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(vu處可微處可微,那么復(fù)那么復(fù)合合函數(shù)函數(shù)),(),(yxyxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx存在偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù),且且xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 課堂練習(xí)課堂練習(xí):知知),(ztzyyxf 求求x 解解y z t x y z t 11 f1)1(21 ff)1()1(32 ff13 f0 2.復(fù)合函數(shù)微分復(fù)合函數(shù)微分( , ),z

11、f u v( , ),ux y( , )vx ydzuvz duz dvuxyvxyzu dxu dyzv dxv dyuxvxuyvyz uz vdxz uz vdy設(shè)設(shè), ),(yxufz ),(yxuu 均可微均可微,例例3解：解：( , )dzdf u x yuxyf duf dxf dyuxyxyfu dxu dyf dxf dyuxxuyyf ufdxf ufdy求求xz .,yz 例例4求求),(22xyeyxfz 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解 記記22yxu xyev 那那么么),(vufz 2xyuvzxzyexyxevzy2 uzxuxvxzzuzvyuyvyzzuzv212fy

12、efxxy 212fxef yxy 例例4求求),(22xyeyxfz 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解22(,)xydzdf xye2212()xyf d xyf d e1222()xyfxdxydyf e d xy1222()xyfxdxydyefxdyydx122122xyxyxfyefdxxefyfdy一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1. 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF那么方程00),(xyxF在點(diǎn)單值延續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有延續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式) 具有延續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的

13、某鄰域內(nèi)可獨(dú)一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)0)(,(xfxF兩邊對(duì) x 求導(dǎo)0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)那么假設(shè)F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都延續(xù),22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd那么還有2.二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)知知0),( zyxF),(yxfz 求求.,yzxz 方程兩邊作為方程兩邊作為yx,的函數(shù)同時(shí)求

14、偏導(dǎo)的函數(shù)同時(shí)求偏導(dǎo)01 xzzFxF故故zFxFxz /Fxyxzy01 yzzFyFzFyFyz / 例例8 求求11684222 zyx確定的隱函數(shù)的確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).,yzxz 令令 ),(zyxF11684222 zyx那那么么 xF yF2x4y zF8z故故 xzzx4 yz.2zy 解解例例9 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù),其中其中.)()(yzxpxzyp 解解 xF yF uF故故 xu yu),(ufz 方程方程 xydttpuu)()( 確定確定u是是yx,)(),(uuf 可微可微;)(),(utp 延續(xù)延續(xù),且且, 1)( u 求求zuxy令令 ),(uyxF

15、那那么么udttpuxy )()( )(xp)(yp 1)( u )(xp1)( u )(yp1)( u yzxpxzyp)()( xz)(uf xu )(xp1)( u )(uf yz)(uf yu )(yp1)( u )(uf . 0zuxy例例100),(222 zyxzyxF確定的隱函數(shù)的確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).,yzxz xF yFxFF2121 zF故故 xz yzz12xyFyFF2121 zFF2121 122FxF 122FzF . 122FyF 122FzF 122FxF 122FyF 122FzF 求求222(,)FF xyz xyz 令令解解zxFFxz xz例例.

16、設(shè)F( x , y)具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz那么)()(2221zyzxFF 知方程故對(duì)方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 2 微分法微分法. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0設(shè)設(shè)0),(

17、 xyzzyxF確定確定),(yxzz 求求,xz ,yz xG,21FyzF yG,21FxzF zG,21FxyF 解例例記記),(),(xyzzyxFzyxG 21FyzF 21FxyF 21FxzF 21FxyF 故故 zGxGxz zGyGyz xG,21FyzF yG,21FxzF zG,21FxyF 例例4 證明由方程證明由方程0),( bxayazcxcybzF確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)),(yxfz cyzbxza 滿足滿足證明證明: (方法一方法一)記記),(zyxG),(bxayazcxcybzF 那么那么xG 2F c3F b),(zyxG),(bxayazcxcybzF

18、 xG 2F c3F byG zG 1F 2F ac 3F a1F byzbxza c 2132FaFbFbFc zGxGxz zGyGyz 2131FaFbFaFc 2132)(FaFbFbFca 2131)(FaFbFaFcb 2121)(FaFbFaFbc(方法二方法二)方程方程0),( bxayazcxcybzF兩端分別對(duì)兩端分別對(duì)yx,0)()(321 bFxzacFxzbF求偏導(dǎo)求偏導(dǎo):得得2132FaFbFbFc xz yz 2131FaFbFaFc 0)()(321 aFyzaFcyzbFyzbxza c2132)(FaFbFbFca 2131)(FaFbFaFcb 例例: 設(shè)設(shè)),(yxzz 由關(guān)系式由關(guān)系式)11(11xyfxz 確定確定, 證明證明:222zyzyxzx 證明證明: 記記)(11ufxz xyu11 那么那么上式兩端分別對(duì)上式兩端分別對(duì)yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo):2221)(11xufxxzz )1()(122yufyzz 2221)(11xufxxzz )1()(122yufyzz 故故),(1 22ufxzxz )(22ufyzyz yzy