理論力學11動能定理及其應用

1、第三篇第三篇 動力學動力學Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology第第11章章 動能定理及其應用動能定理及其應用 第三篇第三篇 動力學動力學 11.1 11.1 力的功力的功 11.3 11.3 動能定理及其應用動能定理及其應用 11.2 11.2 質(zhì)點與質(zhì)點系的質(zhì)點與質(zhì)點系的動能動能 11.4 11.4 勢能的概念勢能的概念 機械能守恒定律及其應用機械能守恒定律及其應用 11.5 11.5 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用第第11章章 動能定理及其應用動能定理及其應用 第第11章章 動能定

2、理及其應用動能定理及其應用 11.1 11.1 力的功力的功FMM1M2SsFWcos力的功的定義力的功的定義212112MMiiMMdWWrFdd cosiFrFriiiiWF s，dzFyFxFzyxdddM1M221MMzyxdzFdyFdxF+ 各種力做功的計算各種力做功的計算mgxzyoz1z2MM1M2對于質(zhì)點：對于質(zhì)點： 0yxFFmgPFz=mgdzW=212112MMzyxMMdzFdyFdxFWW+ 重力的功僅與重心的始末位置有關，而與重力的功僅與重心的始末位置有關，而與重心走過的路徑無關。重心走過的路徑無關。)(2112zzmgW)(2112CCzzMgW2112iiiz

3、zgmW21iiiizmgzmg2CMz1CMz 重力的功重力的功0lFxxdx12 彈性力作的功只彈性力作的功只與彈簧在初始和終止與彈簧在初始和終止位置的變形量有關。位置的變形量有關。）（2221122kW 1 、 2 彈簧在初始位彈簧在初始位置和最終位置的變形量置和最終位置的變形量 。各種力做功的計算各種力做功的計算 彈性力的功彈性力的功cosFF ddRs ()zF RMFWdFrF ds= F RdZ= M d力偶做功力偶做功srdd d )(2112FzMW各種力做功的計算各種力做功的計算 力偶做功力偶做功FAdrFAdr 約束力做功為零！約束力做功為零！各種力做功的計算各種力做功的

4、計算 約束力的功約束力的功FdrOABF1dr1dr2F2F120 rFrFddW0coscos2221112211drFdrFddWrFrF約束力做功總和為零！約束力做功總和為零！各種力做功的計算各種力做功的計算 約束力的功約束力的功OFNFCF滑動摩擦力做負功！滑動摩擦力做負功！各種力做功的計算各種力做功的計算 約束力的功約束力的功0各種力做功的計算各種力做功的計算 約束力的功約束力的功FFNCFWrF dtCdvF各種力做功的計算各種力做功的計算 約束力的功約束力的功)d(-dBABrrF)-d(ABBrrF ABBrFdO剛體內(nèi)質(zhì)點間的內(nèi)力做功？剛體內(nèi)質(zhì)點間的內(nèi)力做功？各種力做功的計算

5、各種力做功的計算 內(nèi)力的功內(nèi)力的功BBAArrWdddFFBAFF 剛體的內(nèi)力不作功剛體的內(nèi)力不作功 內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量和動量矩！內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量和動量矩！)(eiOdtdFMLOeReiFFpdtd內(nèi)力可能改變質(zhì)點系的能量！內(nèi)力可能改變質(zhì)點系的能量！第第11章章 動能定理及其應用動能定理及其應用 11.2 11.2 質(zhì)點與質(zhì)點系的質(zhì)點與質(zhì)點系的動能動能 動能是度量質(zhì)點系整體運動的另一物理量，動能是動能是度量質(zhì)點系整體運動的另一物理量，動能是正正標量標量。 質(zhì)點系的動能質(zhì)點系的動能 212Tm v212iiiTm v 平移剛體平移剛體 剛體平移時的動能，相當于將剛體的質(zhì)量集中于剛

6、體平移時的動能，相當于將剛體的質(zhì)量集中于質(zhì)心時的動能。質(zhì)心時的動能。 平移平移剛體的動能剛體的動能221iiivmT221Ciivm221Cmv剛體的動能剛體的動能 xyzoimirivCrCv221CmvT 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 221iiivmT221iiirm221zJ 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能剛體的動能剛體的動能剛體的動能 rimiiivriiirm2221221zJT 22)(2121dmJCdvC222121CCJmvT 平面運動剛體的動能平面運動剛體的動能 2*mdJJCC2*21CJT 平面運動平面運動剛體的動能剛體的動能剛體的動能剛體的動能 C*Cd2*21

7、CJT 222121CCJmvTCvC243CmvT 均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動時的動能。均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動時的動能。222121CCJmvTRvmRJCC,2122*21CJT 222*2321mRmRmRJC 剛體的動能剛體的動能 思考思考法一：法一：法二：法二：C*243CmvT 剛體的動能剛體的動能 11.3 11.3 動能定理及其應用動能定理及其應用第第11章章 動能定理及其應用動能定理及其應用 質(zhì)點運動微分方程的矢量形式質(zhì)點運動微分方程的矢量形式ddmtvFddddmtvrFrdrv dtddm vvFr動能定理動能定理 1221222121Wmvmv21d()2mvW2112

8、TTW21dd()2iiiTmvWm1m2mn2221121122iiiiiiimvmvW2112TTW動能定理動能定理 動能定理中應考慮所有力的功！動能定理中應考慮所有力的功！2112TTW動能定理動能定理 已知：已知： m ，R, f ， 。圓盤初始靜止。圓盤初始靜止。求：求：純滾動時盤心的加速度。純滾動時盤心的加速度。CFNmgvCF解：解：對象：對象：圓盤圓盤受力：受力：如圖如圖運動：運動：平面運動平面運動方程：方程：假設圓盤中心向下產(chǎn)生位移假設圓盤中心向下產(chǎn)生位移 s時速度時速度達到達到vc。s10T 力的功：力的功：sin12mgsW由動能定理得：由動能定理得：sin0432mgs

9、mvC2243CmvT解得：解得： 例題例題1 1 sin342gsvCsin342CCCgvav#sin32gaC例題例題1 1 動能定理的應用舉例動能定理的應用舉例 等式兩邊同時對時間求一階導數(shù)等式兩邊同時對時間求一階導數(shù)2222121CCJmvTRvmRJCC,212 均質(zhì)圓輪半徑為均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m。圓輪在重物圓輪在重物P帶動下繞固定軸帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動，已知重物重量為動，已知重物重量為W。求：求：重物下落的加速度。重物下落的加速度。P例題例題2 2 例題例題2 2 動能定理的應用舉例動能定理的應用舉例 解：解：對象：對象：整體整體受力：如圖所示受力：如圖所示方程：

10、方程：假設重物向下產(chǎn)生位移假設重物向下產(chǎn)生位移 s時速度達到時速度達到v。P運動：運動：圓輪定軸轉(zhuǎn)動，物塊平移圓輪定軸轉(zhuǎn)動，物塊平移FOxFOyWmg 例題例題2 2 動能定理的應用舉例動能定理的應用舉例 s10T 力的功：力的功：WsW12由動能定理得：由動能定理得：vWRvaRgWJO22222221122OWTvJg等式兩邊同時對時間求一階導數(shù)等式兩邊同時對時間求一階導數(shù)gWmWRgWmRWRRgWJWRaO22122222sWRvRgWJO2222Rv 22221vRgWJTO分別選輪和物體為研究對象？分別選輪和物體為研究對象？圓輪：圓輪：物體：物體：2112TTW10T 2212OT

11、J2112TTW10T 2212WTvgsRPFTFT 例題例題2 2 動能定理的應用舉例動能定理的應用舉例 RFTsFWsT 鏈條總長度為鏈條總長度為l，線質(zhì)量密度，線質(zhì)量密度為為r r ，下垂部分長度為，下垂部分長度為b，鏈條，鏈條從靜止開始，在自重作用下運從靜止開始，在自重作用下運動。不考慮鏈條與臺面之間的動。不考慮鏈條與臺面之間的磨擦。磨擦。求：求：鏈條完全離開臺面時的速度。鏈條完全離開臺面時的速度。 例題例題3 3 動能定理的應用舉例動能定理的應用舉例 例題例題3 3 l-bCCb解：解：鏈條在初始及終止兩狀態(tài)的動能分別為鏈條在初始及終止兩狀態(tài)的動能分別為01T22221lvTrCC

12、鏈條重力所作之功鏈條重力所作之功)(12blgbWr)(21)(blblgr)(2122blgr應用動能定理應用動能定理1212WTT 求得鏈條完全離開臺面時的速度求得鏈條完全離開臺面時的速度lblgv)(222 例題例題3 3 動能定理的應用舉例動能定理的應用舉例 均質(zhì)圓輪均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m，半，半徑均為徑均為R，輪，輪A沿斜面作純滾動，輪沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉(zhuǎn)動，作定軸轉(zhuǎn)動，B處摩擦不計。物塊處摩擦不計。物塊C的質(zhì)量也為的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對的繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止狀態(tài)。初始為靜止狀態(tài)。試求：試求：1

13、當物塊當物塊C下降高度為下降高度為h時，輪時，輪A質(zhì)質(zhì)心的速度以及輪心的速度以及輪B的角速度。的角速度。2系統(tǒng)運動時，物塊系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。的加速度。 例題例題4 4 例題例題4 4 動能定理的應用舉例動能定理的應用舉例 解：解：對象：對象：整個系統(tǒng)整個系統(tǒng)受力：受力：如圖所示如圖所示 運動：運動：輪輪A作平面運動；輪作平面運動；輪B作定軸作定軸轉(zhuǎn)動；物塊轉(zhuǎn)動；物塊C作平移。作平移。222212111102222,AAABBCTTmvJJmv根據(jù)運動學補充關系根據(jù)運動學補充關系 AARvBCRvCAvv212302,ATTmv方程：方程： 例題例題4 4 動能定理的應用舉例動能定理的

14、應用舉例 FFNFOxFOy1. 輪輪A質(zhì)心的速度以及輪質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。的角速度。212302,ATTmv應用動能定理應用動能定理1212WTT231022Amvmgh解得解得32ghvA3ghvA23RghRvAABmghmghmghW2130sin12 例題例題4 4 動能定理的應用舉例動能定理的應用舉例 FFNFOxFOy2確定系統(tǒng)運動時物塊確定系統(tǒng)運動時物塊C的加速度：的加速度： CCCvgav326gaaAC物塊的加速度為物塊的加速度為 322ghvvAC第第10章章 動能定理及其應用動能定理及其應用 10.4 10.4 勢能的概念勢能的概念 機械能守恒定律及其應用機械能

15、守恒定律及其應用有勢力有勢力（或保守力）（或保守力）：該種力所作之功僅與力作用點的該種力所作之功僅與力作用點的初始初始位置和位置和終止終止位置有關，而與其作用點所經(jīng)過的位置有關，而與其作用點所經(jīng)過的路徑路徑無關。無關。有勢力和勢能有勢力和勢能 勢能勢能：質(zhì)點系（質(zhì)點）從某位置：質(zhì)點系（質(zhì)點）從某位置M（點）運動到任選的零勢位置（點）運動到任選的零勢位置M0（零勢點）時，有勢力所作的功。零勢點）時，有勢力所作的功。 mgxzyoz1z2MM1M2)(2112zzmgW0lFxxdx12）（2221122kW00d(ddd )FrMMxyzMMVF xFyF z2）物理學中的）物理學中的零勢點零勢

16、點是針對是針對質(zhì)點質(zhì)點的；的；零勢位置零勢位置其實是組成質(zhì)點系的每一個質(zhì)點的其實是組成質(zhì)點系的每一個質(zhì)點的零勢點的集合零勢點的集合。注意：注意：1）因零勢位置（零勢點）的不同，各個位置的勢能而不同。）因零勢位置（零勢點）的不同，各個位置的勢能而不同。機械能機械能：質(zhì)點系在某瞬時動能和勢能的代數(shù)和。質(zhì)點系在某瞬時動能和勢能的代數(shù)和。機械能守恒定律：機械能守恒定律：當作用在系統(tǒng)上的力均為有勢力時，當作用在系統(tǒng)上的力均為有勢力時，其機械能保持不變。其機械能保持不變。機械能守恒定律機械能守恒定律 2211VTVT第第11章章 動能定理及其應用動能定理及其應用 11.5 11.5 動力學普遍定理的綜合應

17、用動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用R1d)d(FFavniimtm質(zhì)點系動力學的基礎質(zhì)點系動力學的基礎質(zhì)點動力學質(zhì)點動力學 動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質(zhì)點系動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質(zhì)點系整體運動的變化與質(zhì)點系所受的作用力之間的關系。整體運動的變化與質(zhì)點系所受的作用力之間的關系。動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用整體運動的變化整體運動的變化所受的作用力所受的作用力動量定理動量定理動能定理動能定理動量矩定理動量矩定理動動 量量力（沖量）力（沖量）動量矩動量矩力力 矩矩動動 能能力的功力的功 動量定理、動量矩定理和動能定

18、理都可以用于求解動動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學的兩類基本問題。力學的兩類基本問題。eoodtdML =1212=WTT 矢量方程矢量方程（外力）（外力）標量方程標量方程（內(nèi)外力）內(nèi)外力）矢量方程矢量方程（外力）（外力）eRdtdFp表達式表達式強調(diào)強調(diào)例題例題5 5 如圖如圖a所示，均質(zhì)細桿長為所示，均質(zhì)細桿長為l，質(zhì)量為質(zhì)量為m，靜止直立于光滑的水平，靜止直立于光滑的水平面上，當有微小的干擾時而倒下。面上，當有微小的干擾時而倒下。 試求：試求：桿剛與地面接觸時質(zhì)心桿剛與地面接觸時質(zhì)心的加速度和地面的約束力。的加速度和地面的約束力。 例題例題5 5 動力學普遍定理的綜合應

19、用動力學普遍定理的綜合應用ACB 例題例題5 5 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用ACB解：法一解：法一對象：均質(zhì)桿對象：均質(zhì)桿AB受力：如圖受力：如圖運動：平面運動運動：平面運動方程：方程：01TCvAmgFNAvC當桿與地面夾角為當桿與地面夾角為 時時 2222121ccJmvTI由速度瞬心法，由速度瞬心法，I為速度瞬心為速度瞬心 cos2lvC2121mlJc222cos3112cvmT 例題例題5 5 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用01T222cos3112cvmTACBCvAmgFNAvC I應用質(zhì)點系動能定理應用質(zhì)點系動能定理sin12cos311

20、222lmgvmc兩邊對時間求導，并注意兩邊對時間求導，并注意 0得質(zhì)心的加速度為得質(zhì)心的加速度為 #43gacCCav 求桿的角加速度求桿的角加速度cos2lvC#23lgaC2laC#41NmgFAcos2NNlFJFmgmaACAC？法二：法二：平面運動剛體微分方程平面運動剛體微分方程？地面對桿的約束力：地面對桿的約束力：以以A點為基點點為基點nCACAACaaaa得質(zhì)心的加速度為得質(zhì)心的加速度為 #43gac得桿的加速度為得桿的加速度為 #23lg 例題例題5 5動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用ACBCvAmgFNAvC IaC 0 均質(zhì)圓輪均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為的質(zhì)

21、量均為m，半，半徑均為徑均為R，輪，輪A沿斜面作純滾動，輪沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉(zhuǎn)動，作定軸轉(zhuǎn)動，B處摩擦不計。物塊處摩擦不計。物塊C的質(zhì)量也為的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對的繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止狀態(tài)。初始為靜止狀態(tài)。試求：試求：1當物塊當物塊C下降高度為下降高度為h時，輪時，輪A質(zhì)質(zhì)心的速度以及輪心的速度以及輪B的角速度。的角速度。2系統(tǒng)運動時，物塊系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。的加速度。 例題例題6 6 例題例題6 6動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用3輪輪A、輪、輪B之間的繩子拉力和之間的繩子拉力和B處的約束力；

22、處的約束力；4輪輪A與地面的接觸點處的摩擦力。與地面的接觸點處的摩擦力。 解：解：對象：對象：整個系統(tǒng)整個系統(tǒng)受力：受力：如圖所示如圖所示 運動：運動：輪輪A作平面運動；輪作平面運動；輪B作定軸作定軸轉(zhuǎn)動；物塊轉(zhuǎn)動；物塊C作平移。作平移。222212111102222,AAABBCTTmvJJmv根據(jù)運動學補充關系根據(jù)運動學補充關系 AARvBCRvCAvv212302,ATTmv方程：方程：1.系統(tǒng)的動能為：系統(tǒng)的動能為： FFNFOxFOy 例題例題6 6 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用212302,ATTmv應用動能定理應用動能定理1212WTT231022Amvmgh

23、解得解得32ghvA3ghvA23RghRvAABmghmghmghW2130sin12FFNFOxFOy2確定系統(tǒng)運動時物塊確定系統(tǒng)運動時物塊C的加速度：的加速度： CCCvgav326gaaAC物塊的加速度為物塊的加速度為 322ghvvACcaAa 例題例題6 6 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用對象：對象：取輪取輪B和物塊和物塊C受力：受力：如圖所示如圖所示運動：運動：輪輪B定軸轉(zhuǎn)動，物塊定軸轉(zhuǎn)動，物塊C平移平移方程：方程：對點對點B應用動量矩定理應用動量矩定理 3輪輪A、輪、輪B之間的繩子拉力和之間的繩子拉力和B處的約束力處的約束力BBddtLMFFNFOxFOyca

24、AaBBRvmJtCCBBddRFgRmCTBCRa6gaaACmgF43T 例題例題6 6動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用ca確定確定B處的約束力處的約束力應用質(zhì)心運動定理應用質(zhì)心運動定理TTcos30cos60BBxCCxBxBByCCyByBCm am aFFm am aFFm gm gTT302122BxCByFFmaFFmg由此解得由此解得B處的約束力處的約束力mgmgmgmgFmgmgFBxBx245324321618334323 例題例題6 6動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用Bca4輪輪A與地面的接觸點處的摩擦力。與地面的接觸點處的摩擦力。對象：對

25、象：輪輪A受力：受力：如圖所示如圖所示運動：運動：平面運動平面運動方程：方程：應用相對質(zhì)心的動量矩定理，得到應用相對質(zhì)心的動量矩定理，得到AAJFRACARaa211122612AAAamRJgRFmmgRR 例題例題6 6動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用AFFNFOxFOycaAaB1. 動能定理動能定理適合求解適合求解運動量運動量。2. 動量定理動量定理或或動量矩定理動量矩定理適合求解適合求解約束力約束力。4. 對于復雜質(zhì)點系：對于復雜質(zhì)點系：動量定理、動量矩定理和動能定理的應用選擇動量定理、動量矩定理和動能定理的應用選擇3. 對于簡單質(zhì)點系：對于簡單質(zhì)點系：動量定理動量定

26、理和和動量矩定理動量矩定理，與應用，與應用動能定動能定理理解決問題的難易程度差不多。解決問題的難易程度差不多。先避開未知約束力，求解運動量；先避開未知約束力，求解運動量；動能定理動能定理動量定理動量定理動量矩定理動量矩定理 均質(zhì)圓柱體均質(zhì)圓柱體A和和B質(zhì)量均為質(zhì)量均為m，半徑均為，半徑均為r。圓柱。圓柱A可繞固定軸可繞固定軸O轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動。一繩繞在圓柱動。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱上，繩的另一端繞在圓柱B上。上。 求：求：B下落時，質(zhì)心下落時，質(zhì)心C點的加速度。摩擦不計。點的加速度。摩擦不計。解：法一解：法一對象：對象：圓柱體圓柱體A受力：如圖受力：如圖運動：定軸轉(zhuǎn)動運動：定軸轉(zhuǎn)動方程：根

27、據(jù)方程：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的微分方程定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，得到，得到AATJF rOABCAFTOA例題例題7 7 FOymgFOx 例題例題7 7動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用CTmamgFCBTJF r其中其中22ACJJmrOABCFTBCDB對象：圓柱體對象：圓柱體B受力：如圖受力：如圖運動運動：B作平面運動作平面運動方程：根據(jù)方程：根據(jù)平面運動的微分方程平面運動的微分方程有有由由運動學關系運動學關系aDrA,()CDBABaarrgaC54AATJF rAFTOAFOymgFOxmgaC以以D點為基點點為基點nCDCDDCaaaa？ 例題例題7 7 動力學普遍定理的綜合應用

28、動力學普遍定理的綜合應用法二：法二：對象：對象：圓柱體圓柱體A和和B組成的質(zhì)點系組成的質(zhì)點系受力：受力：如圖如圖 運動：運動：A定軸轉(zhuǎn)動，定軸轉(zhuǎn)動，B平面運動平面運動方程：方程：01T圓柱體圓柱體B下落下落h時，系統(tǒng)的動能為時，系統(tǒng)的動能為mghghmWB212222212121BBBAAJmvJT 例題例題7 7 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用OABCFOymgFOxmg A BvB重力做功為重力做功為？由基點法，可知由基點法，可知 rrrvBAB2222222222222852521212212121212121BBBBAAmvmrmrrmmrJmvJT對對O、C輪分別用

29、動量矩定理和相對質(zhì)心動量矩定理：輪分別用動量矩定理和相對質(zhì)心動量矩定理：RFJOOTRFJBBTBOJJTTFFBABA 例題例題7 7動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用OABCFOymgFOxmg A BvB01T2222212121BBBAAJmvJTAFTOAFOymgFOxFTBCDBmgaCmghW21？應用動能定理應用動能定理2112=WTT 得得mghmvB285上兩式兩邊分別對時間求導，又因為上兩式兩邊分別對時間求導，又因為Bvh 從而得圓柱體從而得圓柱體B輪心輪心C的加速度的加速度#54gaaBC 例題例題7 7 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用

30、OABCFOymgFOxmg A BvBaC例題例題8 8 均質(zhì)桿長為均質(zhì)桿長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，B端靠在光滑墻上，端靠在光滑墻上，A端用鉸端用鉸鏈與均質(zhì)圓盤的質(zhì)心相連。鏈與均質(zhì)圓盤的質(zhì)心相連。圓盤的質(zhì)量為圓盤的質(zhì)量為m2 ，半徑為，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖，放在粗糙的地面上，自圖示示=45時由靜止開始純滾時由靜止開始純滾動。動。 試求：試求：A點在初瞬時的加點在初瞬時的加速度。速度。 例題例題8 8 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用解：解：（分析：此題解法仍不唯一。（分析：此題解法仍不唯一。本例中只本例中只有保守力作功，故機械能守恒有保守力作功，故機械能守恒，用

31、機械能守，用機械能守恒定律求解。恒定律求解。 ）對象：對象：桿桿AB和圓盤和圓盤A受力：受力：兩個物體所受重力如圖兩個物體所受重力如圖運動：運動：兩者均作平面運動兩者均作平面運動01T22222211211221212121JvmJvmTAm2gm1g方程：方程：考察初始位置和任意位置時的動考察初始位置和任意位置時的動能和勢能能和勢能 例題例題8 8 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用FNAFNBvB2sin12lRvAsin2sin2211AAvlvllv2221243sin6AvmmT 例題例題8 8 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用22212*2*12121

32、CCJJTm2gm1gFNAFNBvB22222223*2RmRmJJC21211312*1lmlmJJCsin12lRvA2221243sin6AvmmT 例題例題8 8 取經(jīng)過輪心取經(jīng)過輪心A的水平線為零勢位置，系統(tǒng)的勢的水平線為零勢位置，系統(tǒng)的勢能為能為 01T45sin211lgmVsin212lgmV 2221243sin6AvmmT 例題例題8 8 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用m2gm1gFNAFNBvB2零勢點零勢點01T根據(jù)機械能守恒定律，有根據(jù)機械能守恒定律，有 2211+=+TVTVsin243sin645sin20122211lgmvmmlgmA將上式

33、對時間求一次導數(shù)將上式對時間求一次導數(shù) cos2sin3cos23sin301231221lgmvmvvmmAAA于是，點于是，點A在初瞬時的加速度為在初瞬時的加速度為 注意到注意到 初瞬時初瞬時 sin1lvAAAav 45, 0AvgmammA121212332211943mmgmaA 例題例題8 8 動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理的綜合應用cos2sin3cos23sin301231221lgmvmvvmmAAA01Tm2gm1gFNAFNBvB2零勢點零勢點P215：112P215217 ：11 4，11 5，11 13，1110Nanjing University of Te

34、chnology附錄：附錄： 習題解答習題解答作業(yè)中存在的問題作業(yè)中存在的問題1、標注運動量。、標注運動量。2、使用的理論要交待。、使用的理論要交待。BA112 圖示圖示滑塊滑塊A重力為重力為W1，可在滑道內(nèi)滑動，與滑塊可在滑道內(nèi)滑動，與滑塊A用鉸鏈連接的是重力為用鉸鏈連接的是重力為W2、長為長為l 的勻質(zhì)桿的勻質(zhì)桿AB?，F(xiàn)已知道滑塊沿滑道的速度為?，F(xiàn)已知道滑塊沿滑道的速度為v1 ，桿，桿AB的角速度為的角速度為 1 。當桿。當桿與鉛垂線的夾角為與鉛垂線的夾角為 時，時，試求系統(tǒng)試求系統(tǒng)的動能。的動能。解：解：AB桿作平面運動，以桿作平面運動，以A點為基點，質(zhì)心點為基點，質(zhì)心C的速度為的速度為

35、由余弦定理由余弦定理則系統(tǒng)的動能則系統(tǒng)的動能v1vCAvCv1v11BAl 11112 2附錄：附錄： 習題解答習題解答CACAACvvvvv1)2121(212122211CCBAJvgWvgWTTTcos41cos222180cos2112122111212112212vllvlvlvvvvvvCACAC#cos31)(211212cos412211221222121212211212212211vlWlWvWWglgWlvllvgWvgW114 圖示一重物圖示一重物A質(zhì)量為質(zhì)量為m1，當其下降時，借一無重且不可伸長的繩索使?jié)L子，當其下降時，借一無重且不可伸長的繩索使?jié)L子C沿水平軌道滾動而

36、不滑動。繩索跨過一不計質(zhì)量的定滑輪沿水平軌道滾動而不滑動。繩索跨過一不計質(zhì)量的定滑輪D并繞在滑輪并繞在滑輪B上。上。滑輪滑輪B的半徑為的半徑為R，與半徑為，與半徑為r的滾子的滾子C固結，兩者總質(zhì)量為固結，兩者總質(zhì)量為m2，其對，其對O軸的回轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)半徑為半徑為r r。試求重物。試求重物A的加速度。的加速度。 11114 4附錄：附錄： 習題解答習題解答解：解：對象：滾子對象：滾子C、滑輪、滑輪D、物塊、物塊A所組成的剛體系統(tǒng)；所組成的剛體系統(tǒng)；受力：做功的物塊受力：做功的物塊A重力如圖所示；重力如圖所示；運動：如圖；運動：如圖；方程：方程：設系統(tǒng)在物塊下降任意距離設系統(tǒng)在物塊下降任意距離h時

37、的動能時的動能222212212121CCCAJvmvmT由運動學知識由運動學知識 rRvACrRrvrvACC22rmJC2222212)(21AvrRrmmTr力作的功力作的功 ghmW112應用動能定理應用動能定理 ghmvrRrmmA1222221)(21r將上式對時間求導數(shù)將上式對時間求導數(shù) hgmavrRrmmAA122221)(r求得物塊的加速度為求得物塊的加速度為 #)()()(2222121rrmrRmrRgmaA01TvACvCm1g化簡，得化簡，得 11115 5附錄：附錄： 習題解答習題解答115 圖示機構中，均質(zhì)桿圖示機構中，均質(zhì)桿AB長為長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為2m，

38、兩端分別與質(zhì)量均為，兩端分別與質(zhì)量均為m的滑塊鉸的滑塊鉸接，兩光滑直槽相互垂直。設彈簧剛度為接，兩光滑直槽相互垂直。設彈簧剛度為k，且當，且當 = 0時，彈簧為原長。若機構時，彈簧為原長。若機構在在 = 60時無初速開始運動，試求當桿時無初速開始運動，試求當桿AB處于水平位置時的角速度和角加速度。處于水平位置時的角速度和角加速度。0,601T2222*212121,ABCBAJmvmvT其中：ABAlvsinABBlvcos2231*mlJC22265ABmlT解解：對象：系統(tǒng)；對象：系統(tǒng)；受力：略；受力：略；運動：略；運動：略；方程：方程：vBvAC*2212cos1412sin232lkm

39、glWABmg化簡，得化簡，得 應用動能定理應用動能定理 1)cos1 (412)sin23(2652222lkmglmlAB)cos()60cos(2)sin60(sin22)sin60(sin22llllklmgmglW12 11115 5附錄：附錄： 習題解答習題解答08365222klmglmlAB#203324203536mlklmgmkglAB對（對（1）式求導：）式求導：sin)cos1 (22cos23522lkmglmlABAB#56lgABvBvAC*ABmg當桿處于水平位置時當桿處于水平位置時 AB, 0 1)cos1 (412)sin23(2652222lkmglmlA

40、B 11111010附錄：附錄： 習題解答習題解答1110 在圖示機構中，鼓輪在圖示機構中，鼓輪B質(zhì)量為質(zhì)量為m，內(nèi)、外半徑分別為，內(nèi)、外半徑分別為r和和R，對轉(zhuǎn)軸，對轉(zhuǎn)軸O的的回轉(zhuǎn)半徑為回轉(zhuǎn)半徑為r r，其上繞有細繩，一端吊一質(zhì)量為，其上繞有細繩，一端吊一質(zhì)量為m的物塊的物塊A，另一端與質(zhì)量為，另一端與質(zhì)量為M、半徑為半徑為r的均質(zhì)圓輪的均質(zhì)圓輪C相連，斜面傾角為相連，斜面傾角為 ，繩的傾斜段與斜面平行。，繩的傾斜段與斜面平行。系統(tǒng)由靜系統(tǒng)由靜止開始隨圓輪止開始隨圓輪C的純滾動向右滑落。的純滾動向右滑落。試求：（試求：（1）鼓輪的角加速度）鼓輪的角加速度 ；（；（2）斜）斜面的摩擦力及連接物塊面的摩擦力及連接物塊A的繩子的張力（表示為的繩子的張力（表示為a的函數(shù)）。的函數(shù)）。解：解： （1）鼓輪的角加速度）鼓輪的角加速度 。對象：對象：系統(tǒng)；系統(tǒng)；受力：受力：如圖；如圖；運動：運動：如圖；如圖；方程：方程： 2222221212121CCCBBAJMvJmvT其中其中 BARvCBCrrv2rmJB221MrJC222222321BMrRmTr設物塊設物塊A上升距離上升距離SA時，物塊時，物塊C沿斜面移動距離沿斜面移