理論力學(xué)11動(dòng)能定理及其應(yīng)用

1、第三篇第三篇 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology第第11章章 動(dòng)能定理及其應(yīng)用動(dòng)能定理及其應(yīng)用 第三篇第三篇 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué) 11.1 11.1 力的功力的功 11.3 11.3 動(dòng)能定理及其應(yīng)用動(dòng)能定理及其應(yīng)用 11.2 11.2 質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)能 11.4 11.4 勢能的概念勢能的概念 機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用 11.5 11.5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用第第11章章 動(dòng)能定理及其應(yīng)用動(dòng)能定理及其應(yīng)用 第第11章章 動(dòng)能定

2、理及其應(yīng)用動(dòng)能定理及其應(yīng)用 11.1 11.1 力的功力的功FMM1M2SsFWcos力的功的定義力的功的定義212112MMiiMMdWWrFdd cosiFrFriiiiWF s，dzFyFxFzyxdddM1M221MMzyxdzFdyFdxF+ 各種力做功的計(jì)算各種力做功的計(jì)算mgxzyoz1z2MM1M2對(duì)于質(zhì)點(diǎn)：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)： 0yxFFmgPFz=mgdzW=212112MMzyxMMdzFdyFdxFWW+ 重力的功僅與重心的始末位置有關(guān)，而與重力的功僅與重心的始末位置有關(guān)，而與重心走過的路徑無關(guān)。重心走過的路徑無關(guān)。)(2112zzmgW)(2112CCzzMgW2112iiiz

3、zgmW21iiiizmgzmg2CMz1CMz 重力的功重力的功0lFxxdx12 彈性力作的功只彈性力作的功只與彈簧在初始和終止與彈簧在初始和終止位置的變形量有關(guān)。位置的變形量有關(guān)。）（2221122kW 1 、 2 彈簧在初始位彈簧在初始位置和最終位置的變形量置和最終位置的變形量 。各種力做功的計(jì)算各種力做功的計(jì)算 彈性力的功彈性力的功cosFF ddRs ()zF RMFWdFrF ds= F RdZ= M d力偶做功力偶做功srdd d )(2112FzMW各種力做功的計(jì)算各種力做功的計(jì)算 力偶做功力偶做功FAdrFAdr 約束力做功為零！約束力做功為零！各種力做功的計(jì)算各種力做功的

4、計(jì)算 約束力的功約束力的功FdrOABF1dr1dr2F2F120 rFrFddW0coscos2221112211drFdrFddWrFrF約束力做功總和為零！約束力做功總和為零！各種力做功的計(jì)算各種力做功的計(jì)算 約束力的功約束力的功OFNFCF滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功！滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功！各種力做功的計(jì)算各種力做功的計(jì)算 約束力的功約束力的功0各種力做功的計(jì)算各種力做功的計(jì)算 約束力的功約束力的功FFNCFWrF dtCdvF各種力做功的計(jì)算各種力做功的計(jì)算 約束力的功約束力的功)d(-dBABrrF)-d(ABBrrF ABBrFdO剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力做功？剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力做功？各種力做功的計(jì)算

5、各種力做功的計(jì)算 內(nèi)力的功內(nèi)力的功BBAArrWdddFFBAFF 剛體的內(nèi)力不作功剛體的內(nèi)力不作功 內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量和動(dòng)量矩！內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量和動(dòng)量矩！)(eiOdtdFMLOeReiFFpdtd內(nèi)力可能改變質(zhì)點(diǎn)系的能量！內(nèi)力可能改變質(zhì)點(diǎn)系的能量！第第11章章 動(dòng)能定理及其應(yīng)用動(dòng)能定理及其應(yīng)用 11.2 11.2 質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)能 動(dòng)能是度量質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的另一物理量，動(dòng)能是動(dòng)能是度量質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的另一物理量，動(dòng)能是正正標(biāo)量標(biāo)量。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 212Tm v212iiiTm v 平移剛體平移剛體 剛體平移時(shí)的動(dòng)能，相當(dāng)于將剛體的質(zhì)量集中于剛

6、體平移時(shí)的動(dòng)能，相當(dāng)于將剛體的質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)的動(dòng)能。質(zhì)心時(shí)的動(dòng)能。 平移平移剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能221iiivmT221Ciivm221Cmv剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能 xyzoimirivCrCv221CmvT 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 221iiivmT221iiirm221zJ 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能 rimiiivriiirm2221221zJT 22)(2121dmJCdvC222121CCJmvT 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 2*mdJJCC2*21CJT 平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能 C*Cd2*21

7、CJT 222121CCJmvTCvC243CmvT 均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能。均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能。222121CCJmvTRvmRJCC,2122*21CJT 222*2321mRmRmRJC 剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能 思考思考法一：法一：法二：法二：C*243CmvT 剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能 11.3 11.3 動(dòng)能定理及其應(yīng)用動(dòng)能定理及其應(yīng)用第第11章章 動(dòng)能定理及其應(yīng)用動(dòng)能定理及其應(yīng)用 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式ddmtvFddddmtvrFrdrv dtddm vvFr動(dòng)能定理動(dòng)能定理 1221222121Wmvmv21d()2mvW2112

8、TTW21dd()2iiiTmvWm1m2mn2221121122iiiiiiimvmvW2112TTW動(dòng)能定理動(dòng)能定理 動(dòng)能定理中應(yīng)考慮所有力的功！動(dòng)能定理中應(yīng)考慮所有力的功！2112TTW動(dòng)能定理動(dòng)能定理 已知：已知： m ，R, f ， 。圓盤初始靜止。圓盤初始靜止。求：求：純滾動(dòng)時(shí)盤心的加速度。純滾動(dòng)時(shí)盤心的加速度。CFNmgvCF解：解：對(duì)象：對(duì)象：圓盤圓盤受力：受力：如圖如圖運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)方程：方程：假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移 s時(shí)速度時(shí)速度達(dá)到達(dá)到vc。s10T 力的功：力的功：sin12mgsW由動(dòng)能定理得：由動(dòng)能定理得：sin0432mgs

9、mvC2243CmvT解得：解得： 例題例題1 1 sin342gsvCsin342CCCgvav#sin32gaC例題例題1 1 動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例 等式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)等式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)2222121CCJmvTRvmRJCC,212 均質(zhì)圓輪半徑為均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m。圓輪在重物圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為動(dòng)，已知重物重量為W。求：求：重物下落的加速度。重物下落的加速度。P例題例題2 2 例題例題2 2 動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例 解：解：對(duì)象：對(duì)象：整體整體受力：如圖所示受力：如圖所示方程：

10、方程：假設(shè)重物向下產(chǎn)生位移假設(shè)重物向下產(chǎn)生位移 s時(shí)速度達(dá)到時(shí)速度達(dá)到v。P運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)：圓輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物塊平移圓輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物塊平移FOxFOyWmg 例題例題2 2 動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例 s10T 力的功：力的功：WsW12由動(dòng)能定理得：由動(dòng)能定理得：vWRvaRgWJO22222221122OWTvJg等式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)等式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)gWmWRgWmRWRRgWJWRaO22122222sWRvRgWJO2222Rv 22221vRgWJTO分別選輪和物體為研究對(duì)象？分別選輪和物體為研究對(duì)象？圓輪：圓輪：物體：物體：2112TTW10T 2212OT

11、J2112TTW10T 2212WTvgsRPFTFT 例題例題2 2 動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例 RFTsFWsT 鏈條總長度為鏈條總長度為l，線質(zhì)量密度，線質(zhì)量密度為為r r ，下垂部分長度為，下垂部分長度為b，鏈條，鏈條從靜止開始，在自重作用下運(yùn)從靜止開始，在自重作用下運(yùn)動(dòng)。不考慮鏈條與臺(tái)面之間的動(dòng)。不考慮鏈條與臺(tái)面之間的磨擦。磨擦。求：求：鏈條完全離開臺(tái)面時(shí)的速度。鏈條完全離開臺(tái)面時(shí)的速度。 例題例題3 3 動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例 例題例題3 3 l-bCCb解：解：鏈條在初始及終止兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為鏈條在初始及終止兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為01T22221lvTrCC

12、鏈條重力所作之功鏈條重力所作之功)(12blgbWr)(21)(blblgr)(2122blgr應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理1212WTT 求得鏈條完全離開臺(tái)面時(shí)的速度求得鏈條完全離開臺(tái)面時(shí)的速度lblgv)(222 例題例題3 3 動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例 均質(zhì)圓輪均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m，半，半徑均為徑均為R，輪，輪A沿斜面作純滾動(dòng)，輪沿斜面作純滾動(dòng)，輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B處摩擦不計(jì)。物塊處摩擦不計(jì)。物塊C的質(zhì)量也為的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對(duì)的繩相聯(lián)，繩相對(duì)B輪無滑動(dòng)。系統(tǒng)輪無滑動(dòng)。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：試求：1

13、當(dāng)物塊當(dāng)物塊C下降高度為下降高度為h時(shí)，輪時(shí)，輪A質(zhì)質(zhì)心的速度以及輪心的速度以及輪B的角速度。的角速度。2系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊C的加速度。的加速度。 例題例題4 4 例題例題4 4 動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例 解：解：對(duì)象：對(duì)象：整個(gè)系統(tǒng)整個(gè)系統(tǒng)受力：受力：如圖所示如圖所示 運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)：輪輪A作平面運(yùn)動(dòng)；輪作平面運(yùn)動(dòng)；輪B作定軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；物塊轉(zhuǎn)動(dòng)；物塊C作平移。作平移。222212111102222,AAABBCTTmvJJmv根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系 AARvBCRvCAvv212302,ATTmv方程：方程： 例題例題4 4 動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例動(dòng)能定理的

14、應(yīng)用舉例 FFNFOxFOy1. 輪輪A質(zhì)心的速度以及輪質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。的角速度。212302,ATTmv應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理1212WTT231022Amvmgh解得解得32ghvA3ghvA23RghRvAABmghmghmghW2130sin12 例題例題4 4 動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例 FFNFOxFOy2確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)物塊確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)物塊C的加速度：的加速度： CCCvgav326gaaAC物塊的加速度為物塊的加速度為 322ghvvAC第第10章章 動(dòng)能定理及其應(yīng)用動(dòng)能定理及其應(yīng)用 10.4 10.4 勢能的概念勢能的概念 機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用機(jī)械能

15、守恒定律及其應(yīng)用有勢力有勢力（或保守力）（或保守力）：該種力所作之功僅與力作用點(diǎn)的該種力所作之功僅與力作用點(diǎn)的初始初始位置和位置和終止終止位置有關(guān)，而與其作用點(diǎn)所經(jīng)過的位置有關(guān)，而與其作用點(diǎn)所經(jīng)過的路徑路徑無關(guān)。無關(guān)。有勢力和勢能有勢力和勢能 勢能勢能：質(zhì)點(diǎn)系（質(zhì)點(diǎn)）從某位置：質(zhì)點(diǎn)系（質(zhì)點(diǎn)）從某位置M（點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)到任選的零勢位置（點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)到任選的零勢位置M0（零勢點(diǎn)）時(shí)，有勢力所作的功。零勢點(diǎn)）時(shí)，有勢力所作的功。 mgxzyoz1z2MM1M2)(2112zzmgW0lFxxdx12）（2221122kW00d(ddd )FrMMxyzMMVF xFyF z2）物理學(xué)中的）物理學(xué)中的零勢點(diǎn)零勢

16、點(diǎn)是針對(duì)是針對(duì)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的；的；零勢位置零勢位置其實(shí)是組成質(zhì)點(diǎn)系的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的其實(shí)是組成質(zhì)點(diǎn)系的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的零勢點(diǎn)的集合零勢點(diǎn)的集合。注意：注意：1）因零勢位置（零勢點(diǎn)）的不同，各個(gè)位置的勢能而不同。）因零勢位置（零勢點(diǎn)）的不同，各個(gè)位置的勢能而不同。機(jī)械能機(jī)械能：質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)動(dòng)能和勢能的代數(shù)和。質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)動(dòng)能和勢能的代數(shù)和。機(jī)械能守恒定律：機(jī)械能守恒定律：當(dāng)作用在系統(tǒng)上的力均為有勢力時(shí)，當(dāng)作用在系統(tǒng)上的力均為有勢力時(shí)，其機(jī)械能保持不變。其機(jī)械能保持不變。機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 2211VTVT第第11章章 動(dòng)能定理及其應(yīng)用動(dòng)能定理及其應(yīng)用 11.5 11.5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)

17、用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用R1d)d(FFavniimtm質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都是描述質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都是描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的變化與質(zhì)點(diǎn)系所受的作用力之間的關(guān)系。整體運(yùn)動(dòng)的變化與質(zhì)點(diǎn)系所受的作用力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用整體運(yùn)動(dòng)的變化整體運(yùn)動(dòng)的變化所受的作用力所受的作用力動(dòng)量定理動(dòng)量定理動(dòng)能定理動(dòng)能定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理動(dòng)動(dòng) 量量力（沖量）力（沖量）動(dòng)量矩動(dòng)量矩力力 矩矩動(dòng)動(dòng) 能能力的功力的功 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定

18、理都可以用于求解動(dòng)動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都可以用于求解動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題。力學(xué)的兩類基本問題。eoodtdML =1212=WTT 矢量方程矢量方程（外力）（外力）標(biāo)量方程標(biāo)量方程（內(nèi)外力）內(nèi)外力）矢量方程矢量方程（外力）（外力）eRdtdFp表達(dá)式表達(dá)式強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào)例題例題5 5 如圖如圖a所示，均質(zhì)細(xì)桿長為所示，均質(zhì)細(xì)桿長為l，質(zhì)量為質(zhì)量為m，靜止直立于光滑的水平，靜止直立于光滑的水平面上，當(dāng)有微小的干擾時(shí)而倒下。面上，當(dāng)有微小的干擾時(shí)而倒下。 試求：試求：桿剛與地面接觸時(shí)質(zhì)心桿剛與地面接觸時(shí)質(zhì)心的加速度和地面的約束力。的加速度和地面的約束力。 例題例題5 5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)

19、用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACB 例題例題5 5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACB解：法一解：法一對(duì)象：均質(zhì)桿對(duì)象：均質(zhì)桿AB受力：如圖受力：如圖運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)方程：方程：01TCvAmgFNAvC當(dāng)桿與地面夾角為當(dāng)桿與地面夾角為 時(shí)時(shí) 2222121ccJmvTI由速度瞬心法，由速度瞬心法，I為速度瞬心為速度瞬心 cos2lvC2121mlJc222cos3112cvmT 例題例題5 5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用01T222cos3112cvmTACBCvAmgFNAvC I應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理sin12cos311

20、222lmgvmc兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意 0得質(zhì)心的加速度為得質(zhì)心的加速度為 #43gacCCav 求桿的角加速度求桿的角加速度cos2lvC#23lgaC2laC#41NmgFAcos2NNlFJFmgmaACAC？法二：法二：平面運(yùn)動(dòng)剛體微分方程平面運(yùn)動(dòng)剛體微分方程？地面對(duì)桿的約束力：地面對(duì)桿的約束力：以以A點(diǎn)為基點(diǎn)點(diǎn)為基點(diǎn)nCACAACaaaa得質(zhì)心的加速度為得質(zhì)心的加速度為 #43gac得桿的加速度為得桿的加速度為 #23lg 例題例題5 5動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACBCvAmgFNAvC IaC 0 均質(zhì)圓輪均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為的質(zhì)

21、量均為m，半，半徑均為徑均為R，輪，輪A沿斜面作純滾動(dòng)，輪沿斜面作純滾動(dòng)，輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B處摩擦不計(jì)。物塊處摩擦不計(jì)。物塊C的質(zhì)量也為的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對(duì)的繩相聯(lián)，繩相對(duì)B輪無滑動(dòng)。系統(tǒng)輪無滑動(dòng)。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：試求：1當(dāng)物塊當(dāng)物塊C下降高度為下降高度為h時(shí)，輪時(shí)，輪A質(zhì)質(zhì)心的速度以及輪心的速度以及輪B的角速度。的角速度。2系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊C的加速度。的加速度。 例題例題6 6 例題例題6 6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用3輪輪A、輪、輪B之間的繩子拉力和之間的繩子拉力和B處的約束力；

22、處的約束力；4輪輪A與地面的接觸點(diǎn)處的摩擦力。與地面的接觸點(diǎn)處的摩擦力。 解：解：對(duì)象：對(duì)象：整個(gè)系統(tǒng)整個(gè)系統(tǒng)受力：受力：如圖所示如圖所示 運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)：輪輪A作平面運(yùn)動(dòng)；輪作平面運(yùn)動(dòng)；輪B作定軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；物塊轉(zhuǎn)動(dòng)；物塊C作平移。作平移。222212111102222,AAABBCTTmvJJmv根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系 AARvBCRvCAvv212302,ATTmv方程：方程：1.系統(tǒng)的動(dòng)能為：系統(tǒng)的動(dòng)能為： FFNFOxFOy 例題例題6 6 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用212302,ATTmv應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理1212WTT231022Amvmgh

23、解得解得32ghvA3ghvA23RghRvAABmghmghmghW2130sin12FFNFOxFOy2確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)物塊確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)物塊C的加速度：的加速度： CCCvgav326gaaAC物塊的加速度為物塊的加速度為 322ghvvACcaAa 例題例題6 6 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用對(duì)象：對(duì)象：取輪取輪B和物塊和物塊C受力：受力：如圖所示如圖所示運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)：輪輪B定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物塊定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物塊C平移平移方程：方程：對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)B應(yīng)用動(dòng)量矩定理應(yīng)用動(dòng)量矩定理 3輪輪A、輪、輪B之間的繩子拉力和之間的繩子拉力和B處的約束力處的約束力BBddtLMFFNFOxFOyca

24、AaBBRvmJtCCBBddRFgRmCTBCRa6gaaACmgF43T 例題例題6 6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ca確定確定B處的約束力處的約束力應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理TTcos30cos60BBxCCxBxBByCCyByBCm am aFFm am aFFm gm gTT302122BxCByFFmaFFmg由此解得由此解得B處的約束力處的約束力mgmgmgmgFmgmgFBxBx245324321618334323 例題例題6 6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用Bca4輪輪A與地面的接觸點(diǎn)處的摩擦力。與地面的接觸點(diǎn)處的摩擦力。對(duì)象：對(duì)

25、象：輪輪A受力：受力：如圖所示如圖所示運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)方程：方程：應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，得到應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，得到AAJFRACARaa211122612AAAamRJgRFmmgRR 例題例題6 6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用AFFNFOxFOycaAaB1. 動(dòng)能定理動(dòng)能定理適合求解適合求解運(yùn)動(dòng)量運(yùn)動(dòng)量。2. 動(dòng)量定理動(dòng)量定理或或動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理適合求解適合求解約束力約束力。4. 對(duì)于復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)于復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系：動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的應(yīng)用選擇動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的應(yīng)用選擇3. 對(duì)于簡單質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)于簡單質(zhì)點(diǎn)系：動(dòng)量定理動(dòng)量定

26、理和和動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理，與應(yīng)用，與應(yīng)用動(dòng)能定動(dòng)能定理理解決問題的難易程度差不多。解決問題的難易程度差不多。先避開未知約束力，求解運(yùn)動(dòng)量；先避開未知約束力，求解運(yùn)動(dòng)量；動(dòng)能定理動(dòng)能定理動(dòng)量定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 均質(zhì)圓柱體均質(zhì)圓柱體A和和B質(zhì)量均為質(zhì)量均為m，半徑均為，半徑均為r。圓柱。圓柱A可繞固定軸可繞固定軸O轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱動(dòng)。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱上，繩的另一端繞在圓柱B上。上。 求：求：B下落時(shí)，質(zhì)心下落時(shí)，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。解：法一解：法一對(duì)象：對(duì)象：圓柱體圓柱體A受力：如圖受力：如圖運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程：根

27、據(jù)方程：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，得到，得到AATJF rOABCAFTOA例題例題7 7 FOymgFOx 例題例題7 7動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用CTmamgFCBTJF r其中其中22ACJJmrOABCFTBCDB對(duì)象：圓柱體對(duì)象：圓柱體B受力：如圖受力：如圖運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)：B作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng)方程：根據(jù)方程：根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)的微分方程平面運(yùn)動(dòng)的微分方程有有由由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aDrA,()CDBABaarrgaC54AATJF rAFTOAFOymgFOxmgaC以以D點(diǎn)為基點(diǎn)點(diǎn)為基點(diǎn)nCDCDDCaaaa？ 例題例題7 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

28、動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用法二：法二：對(duì)象：對(duì)象：圓柱體圓柱體A和和B組成的質(zhì)點(diǎn)系組成的質(zhì)點(diǎn)系受力：受力：如圖如圖 運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)：A定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)方程：方程：01T圓柱體圓柱體B下落下落h時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為mghghmWB212222212121BBBAAJmvJT 例題例題7 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用OABCFOymgFOxmg A BvB重力做功為重力做功為？由基點(diǎn)法，可知由基點(diǎn)法，可知 rrrvBAB2222222222222852521212212121212121BBBBAAmvmrmrrmmrJmvJT對(duì)對(duì)O、C輪分別用

29、動(dòng)量矩定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理：輪分別用動(dòng)量矩定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理：RFJOOTRFJBBTBOJJTTFFBABA 例題例題7 7動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用OABCFOymgFOxmg A BvB01T2222212121BBBAAJmvJTAFTOAFOymgFOxFTBCDBmgaCmghW21？應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理2112=WTT 得得mghmvB285上兩式兩邊分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，又因?yàn)樯蟽墒絻蛇叿謩e對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，又因?yàn)锽vh 從而得圓柱體從而得圓柱體B輪心輪心C的加速度的加速度#54gaaBC 例題例題7 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

30、OABCFOymgFOxmg A BvBaC例題例題8 8 均質(zhì)桿長為均質(zhì)桿長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，B端靠在光滑墻上，端靠在光滑墻上，A端用鉸端用鉸鏈與均質(zhì)圓盤的質(zhì)心相連。鏈與均質(zhì)圓盤的質(zhì)心相連。圓盤的質(zhì)量為圓盤的質(zhì)量為m2 ，半徑為，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖，放在粗糙的地面上，自圖示示=45時(shí)由靜止開始純滾時(shí)由靜止開始純滾動(dòng)。動(dòng)。 試求：試求：A點(diǎn)在初瞬時(shí)的加點(diǎn)在初瞬時(shí)的加速度。速度。 例題例題8 8 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解：解：（分析：此題解法仍不唯一。（分析：此題解法仍不唯一。本例中只本例中只有保守力作功，故機(jī)械能守恒有保守力作功，故機(jī)械能守恒，用

31、機(jī)械能守，用機(jī)械能守恒定律求解。恒定律求解。 ）對(duì)象：對(duì)象：桿桿AB和圓盤和圓盤A受力：受力：兩個(gè)物體所受重力如圖兩個(gè)物體所受重力如圖運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)：兩者均作平面運(yùn)動(dòng)兩者均作平面運(yùn)動(dòng)01T22222211211221212121JvmJvmTAm2gm1g方程：方程：考察初始位置和任意位置時(shí)的動(dòng)考察初始位置和任意位置時(shí)的動(dòng)能和勢能能和勢能 例題例題8 8 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FNAFNBvB2sin12lRvAsin2sin2211AAvlvllv2221243sin6AvmmT 例題例題8 8 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用22212*2*12121

32、CCJJTm2gm1gFNAFNBvB22222223*2RmRmJJC21211312*1lmlmJJCsin12lRvA2221243sin6AvmmT 例題例題8 8 取經(jīng)過輪心取經(jīng)過輪心A的水平線為零勢位置，系統(tǒng)的勢的水平線為零勢位置，系統(tǒng)的勢能為能為 01T45sin211lgmVsin212lgmV 2221243sin6AvmmT 例題例題8 8 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用m2gm1gFNAFNBvB2零勢點(diǎn)零勢點(diǎn)01T根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有 2211+=+TVTVsin243sin645sin20122211lgmvmmlgmA將上式

33、對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)將上式對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù) cos2sin3cos23sin301231221lgmvmvvmmAAA于是，點(diǎn)于是，點(diǎn)A在初瞬時(shí)的加速度為在初瞬時(shí)的加速度為 注意到注意到 初瞬時(shí)初瞬時(shí) sin1lvAAAav 45, 0AvgmammA121212332211943mmgmaA 例題例題8 8 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用cos2sin3cos23sin301231221lgmvmvvmmAAA01Tm2gm1gFNAFNBvB2零勢點(diǎn)零勢點(diǎn)P215：112P215217 ：11 4，11 5，11 13，1110Nanjing University of Te

34、chnology附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答作業(yè)中存在的問題作業(yè)中存在的問題1、標(biāo)注運(yùn)動(dòng)量。、標(biāo)注運(yùn)動(dòng)量。2、使用的理論要交待。、使用的理論要交待。BA112 圖示圖示滑塊滑塊A重力為重力為W1，可在滑道內(nèi)滑動(dòng)，與滑塊可在滑道內(nèi)滑動(dòng)，與滑塊A用鉸鏈連接的是重力為用鉸鏈連接的是重力為W2、長為長為l 的勻質(zhì)桿的勻質(zhì)桿AB。現(xiàn)已知道滑塊沿滑道的速度為?，F(xiàn)已知道滑塊沿滑道的速度為v1 ，桿，桿AB的角速度為的角速度為 1 。當(dāng)桿。當(dāng)桿與鉛垂線的夾角為與鉛垂線的夾角為 時(shí)，時(shí)，試求系統(tǒng)試求系統(tǒng)的動(dòng)能。的動(dòng)能。解：解：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，以桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A點(diǎn)為基點(diǎn)，質(zhì)心點(diǎn)為基點(diǎn)，質(zhì)心C的速度為的速度為

35、由余弦定理由余弦定理則系統(tǒng)的動(dòng)能則系統(tǒng)的動(dòng)能v1vCAvCv1v11BAl 11112 2附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答CACAACvvvvv1)2121(212122211CCBAJvgWvgWTTTcos41cos222180cos2112122111212112212vllvlvlvvvvvvCACAC#cos31)(211212cos412211221222121212211212212211vlWlWvWWglgWlvllvgWvgW114 圖示一重物圖示一重物A質(zhì)量為質(zhì)量為m1，當(dāng)其下降時(shí)，借一無重且不可伸長的繩索使?jié)L子，當(dāng)其下降時(shí)，借一無重且不可伸長的繩索使?jié)L子C沿水平軌道滾動(dòng)而

36、不滑動(dòng)。繩索跨過一不計(jì)質(zhì)量的定滑輪沿水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)。繩索跨過一不計(jì)質(zhì)量的定滑輪D并繞在滑輪并繞在滑輪B上。上?；喕咮的半徑為的半徑為R，與半徑為，與半徑為r的滾子的滾子C固結(jié)，兩者總質(zhì)量為固結(jié)，兩者總質(zhì)量為m2，其對(duì)，其對(duì)O軸的回轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)半徑為半徑為r r。試求重物。試求重物A的加速度。的加速度。 11114 4附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答解：解：對(duì)象：滾子對(duì)象：滾子C、滑輪、滑輪D、物塊、物塊A所組成的剛體系統(tǒng)；所組成的剛體系統(tǒng)；受力：做功的物塊受力：做功的物塊A重力如圖所示；重力如圖所示；運(yùn)動(dòng)：如圖；運(yùn)動(dòng)：如圖；方程：方程：設(shè)系統(tǒng)在物塊下降任意距離設(shè)系統(tǒng)在物塊下降任意距離h時(shí)

37、的動(dòng)能時(shí)的動(dòng)能222212212121CCCAJvmvmT由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí) rRvACrRrvrvACC22rmJC2222212)(21AvrRrmmTr力作的功力作的功 ghmW112應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理 ghmvrRrmmA1222221)(21r將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù) hgmavrRrmmAA122221)(r求得物塊的加速度為求得物塊的加速度為 #)()()(2222121rrmrRmrRgmaA01TvACvCm1g化簡，得化簡，得 11115 5附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答115 圖示機(jī)構(gòu)中，均質(zhì)桿圖示機(jī)構(gòu)中，均質(zhì)桿AB長為長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為2m，

38、兩端分別與質(zhì)量均為，兩端分別與質(zhì)量均為m的滑塊鉸的滑塊鉸接，兩光滑直槽相互垂直。設(shè)彈簧剛度為接，兩光滑直槽相互垂直。設(shè)彈簧剛度為k，且當(dāng)，且當(dāng) = 0時(shí)，彈簧為原長。若機(jī)構(gòu)時(shí)，彈簧為原長。若機(jī)構(gòu)在在 = 60時(shí)無初速開始運(yùn)動(dòng)，試求當(dāng)桿時(shí)無初速開始運(yùn)動(dòng)，試求當(dāng)桿AB處于水平位置時(shí)的角速度和角加速度。處于水平位置時(shí)的角速度和角加速度。0,601T2222*212121,ABCBAJmvmvT其中：ABAlvsinABBlvcos2231*mlJC22265ABmlT解解：對(duì)象：系統(tǒng)；對(duì)象：系統(tǒng)；受力：略；受力：略；運(yùn)動(dòng)：略；運(yùn)動(dòng)：略；方程：方程：vBvAC*2212cos1412sin232lkm

39、glWABmg化簡，得化簡，得 應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理 1)cos1 (412)sin23(2652222lkmglmlAB)cos()60cos(2)sin60(sin22)sin60(sin22llllklmgmglW12 11115 5附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答08365222klmglmlAB#203324203536mlklmgmkglAB對(duì)（對(duì)（1）式求導(dǎo)：）式求導(dǎo)：sin)cos1 (22cos23522lkmglmlABAB#56lgABvBvAC*ABmg當(dāng)桿處于水平位置時(shí)當(dāng)桿處于水平位置時(shí) AB, 0 1)cos1 (412)sin23(2652222lkmglmlA

40、B 11111010附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答1110 在圖示機(jī)構(gòu)中，鼓輪在圖示機(jī)構(gòu)中，鼓輪B質(zhì)量為質(zhì)量為m，內(nèi)、外半徑分別為，內(nèi)、外半徑分別為r和和R，對(duì)轉(zhuǎn)軸，對(duì)轉(zhuǎn)軸O的的回轉(zhuǎn)半徑為回轉(zhuǎn)半徑為r r，其上繞有細(xì)繩，一端吊一質(zhì)量為，其上繞有細(xì)繩，一端吊一質(zhì)量為m的物塊的物塊A，另一端與質(zhì)量為，另一端與質(zhì)量為M、半徑為半徑為r的均質(zhì)圓輪的均質(zhì)圓輪C相連，斜面傾角為相連，斜面傾角為 ，繩的傾斜段與斜面平行。，繩的傾斜段與斜面平行。系統(tǒng)由靜系統(tǒng)由靜止開始隨圓輪止開始隨圓輪C的純滾動(dòng)向右滑落。的純滾動(dòng)向右滑落。試求：（試求：（1）鼓輪的角加速度）鼓輪的角加速度 ；（；（2）斜）斜面的摩擦力及連接物塊面的摩擦力及連接物塊A的繩子的張力（表示為的繩子的張力（表示為a的函數(shù)）。的函數(shù)）。解：解： （1）鼓輪的角加速度）鼓輪的角加速度 。對(duì)象：對(duì)象：系統(tǒng)；系統(tǒng)；受力：受力：如圖；如圖；運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)：如圖；如圖；方程：方程： 2222221212121CCCBBAJMvJmvT其中其中 BARvCBCrrv2rmJB221MrJC222222321BMrRmTr設(shè)物塊設(shè)物塊A上升距離上升距離SA時(shí)，物塊時(shí)，物塊C沿斜面移動(dòng)距離沿斜面移