第二章 單自由度系統(tǒng)振動1

1、第二章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動( )( )0m y tky t 自由振動：是指體系在沒有外來干擾作用下所發(fā)生的振動。它是有初始位移或初始速度或兩者共同作用下引起的振動。一、自由振動的解1、無阻尼自由振動方程這是個常系數(shù)線性齊次微分方程令km2( )( )0y ty t（2-1）（2-2）代入（2-1）方程得：2、自由振動方程的解12( )sincosy tCtCt方程（2-2）的通解由數(shù)學知識可知為：（2-3）C1、C2為待定系數(shù)，可由初始條件確定。設(shè)t=0時的初始位移 ，0(0)yy0(0)yy可求得： ， 于是20Cy1yC00( )sincosyy ttyt

2、( )sin()y tAt 0220yAy001yytg（2-4）即：（2-5）式中:為單自由度體系振動幅值；為單自由度體系振動的初相位角。由解的表達式可知，該解為簡諧振動。初速度 代入（2-3）二、單自由度系統(tǒng)的動力特性1）周期T：振動一次所需的時間，由解答可知 2T2）頻率f：每秒鐘內(nèi)振動的次數(shù)， 1fT2T3）圓頻率 ： 21stgggkmmm gWy（2-6）其中 k 剛度系數(shù)（單位位移作用下所需加的力） g 重力加速度 重力 重力引起的位移styW單位為秒（s）單位為赫茲（Hz）秒鐘內(nèi)振動的次數(shù)，-柔度系數(shù)（單位力作用下相應(yīng)的位移）ycym1sF2sFyy12312yy2ssEIkF

3、Fhyyy( )mckP t624.5 10mEIN12312=2EIkkkh1228.284/kkkrad smm4.5022fHzcy my EIh243 1My( ( )yP tmycyIfmy dfcy EIl483 ( ( )dIyP tff( ( )yP tmycy3148kEImmmlIfmy dfcy 348lEI ()Pymycy3)(11768ltPEIP Ifmy dfcy efky ( )mycykyP t9EIlEIl=111=1ll/2l練習練習1.1.求圖示體系的自振周期求圖示體系的自振周期. .3111127EImml1111211()23222ll lll l

4、 lllEI 327212mlTEI解解: :3712lEI10利用振動規(guī)律利用振動規(guī)律( )sin()y tAt2( )sin()y tAt 2( )( )sin()I tmy tmAt 位移與慣性力同頻同步位移與慣性力同頻同步. .233EImAkAAl/mWg33EIklgWEIkl2mAAkAAlEI332mA練習練習2.2.圖示質(zhì)點重圖示質(zhì)點重W,求體系的頻率求體系的頻率. .解解: :2.2 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、有阻尼自由振動的解( )( )( )0m y tc y tky t1、有阻尼自由振動方程km2( )2( )( )0y ty ty t令 阻尼比 代入（2-7）

5、方程得：這是個常系數(shù)線性齊次微分方程（2-7）2cm（2-8）2、自由振動方程的解由數(shù)學知識方程的解可設(shè)為 代入（2-8）可得特征方程( )rty tBe2220rr解此方程得：21,21r 3、討論于是001=DyyC20C =y這時，由于阻尼過大，系統(tǒng)的運動為按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動。1）臨界阻尼情況（ 或 ）=1=2mc00( )=e(1)ty tyty t（2-9）該系統(tǒng)不發(fā)生振動，=1稱為臨界阻尼比2）強阻尼情況（ 或 ）12mc通解：1,20r此時12( )=etDDy tC shtC cht（2-10）式中2=1D 利用初始條件得：利用初始條件得：12( )=(C +C t)e

6、ty t通解：此時1,2=-r200C =+yy10=yC3）低阻尼或弱阻尼情況（ 或 ）12mc1,2r此時通解：12( )=esincostDDy tCtCt利用初始條件得：000( )=esincosesintDDDtDyyy ttytAt（2-11）式中22000=DyyAy 000=Dytgyy2=1D特性：這時的自由振動為衰減振動。振幅為Aet周期為：2T =DD設(shè)nA為nt時的振幅，1nAnDtT為時的振幅，則()1=nDnDtTntTnAeAeAeA為常數(shù)， 故振幅按等比級數(shù)遞減。3）低阻尼或弱阻尼情況（ 或 ）12mc是兩個復數(shù)根，實際結(jié)構(gòu)表明一般鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)阻尼比為0

7、.05，最大的阻尼比0.2（堆石壩），這時2=10.96DDy因此，工程結(jié)構(gòu)動力計算中常不計阻尼對自振圓頻率的影響，取阻尼比：拱壩0.030.05，重力壩0.050.1，土壩0.10.2二、阻尼的量測對相鄰幅值比取自然對數(shù)，稱為對數(shù)遞減率222ln1DTyDDeT222yy由此得：（2-13）為獲得更高精度的222yym（2-14）221yDmmT 其中：即：可量測相隔m個周期的兩個幅值比這時阻尼比為：考慮到實際阻尼一般均小于0.2，可取11ln22ynnAA211則（2-13）和（2-14）可以簡化為：或1ln22ynn mAmmA（2-16）（2-15）例 結(jié)構(gòu)參數(shù)如例1，若使m產(chǎn)生側(cè)移2

8、5mm，然后突然放開，剛架產(chǎn)生自由振動，振動5周后測得的側(cè)移為7.12mm，試求1）考慮阻尼時的自振頻率，2）阻尼比和阻尼系數(shù)，3）振動10周后的振幅。解：由y0=25mm和y0+5Td=7.12mm，求阻尼比和阻尼系數(shù)。00 51125lnln0.04210107.12dyTymy考慮阻尼影響的自振頻率和工程頻率22 5000 28.284 0.04 11313.6/Cmkg s 22128.28410.0428.281/drads214.498dffHz顯然與 非常接近。f由2dmn mnyey取n=0，m=5,10 有：2 550dyey 2 10100dyey 兩式相除：2 51055

9、000/dyyyeyyy 22510007.122.02825yyymmy練習練習: : 對圖示體系作自由振動試驗對圖示體系作自由振動試驗. .用鋼用鋼 絲繩將上端拉離平衡位置絲繩將上端拉離平衡位置2cm,2cm,用用 力力16.4kN,16.4kN,將繩突然切斷將繩突然切斷, ,開始作開始作 自由振動自由振動. .經(jīng)經(jīng)4 4周期周期, ,用時用時2 2秒秒, ,振幅振幅降為降為1cm.1cm.求求1.1.阻尼比阻尼比2.2.剛度系數(shù)剛度系數(shù)3.3.無阻尼周期無阻尼周期4.4.重量重量5.5.阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)6.6.若質(zhì)量增加若質(zhì)量增加800kg800kg體系體系的周期和阻尼比為多少的周期和阻尼比為多少kN4 .16解解: :1.1.阻尼比阻尼比12ln0.02762412.2.剛度系數(shù)剛度系數(shù)351116.4108.210 (/)0.02kNm3.3.有阻尼周期有阻尼周期2 / 40.5(s)DT210.4998(s)DTT4.4.重量重量212.57(1 / s)T211