太原理工大學(xué)誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)-第二章

1、煤 炭 版 測(cè) 量 平 差太原理工大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)系 2012.3 第二章第二章 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 一、主要概念一、主要概念 幾何模型幾何模型 測(cè)量任務(wù)是研究和解決空間幾何問題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)確定點(diǎn)的位置的目的，為此需要建立所謂測(cè)量控制網(wǎng)，測(cè)量控制網(wǎng)是由各種幾何圖形構(gòu)成，網(wǎng)內(nèi)部的幾何圖形天然存在著某種數(shù)學(xué)關(guān)系，稱之為幾何模型幾何模型。 幾何量幾何量 每種幾何模型都包含有不同的幾何元素，如高程、點(diǎn)間高差、角度、邊長(zhǎng)、邊的坐標(biāo)方位角以及點(diǎn)的二維或三維坐標(biāo)，這些元素都被稱為幾何量幾何量。 函數(shù)模型函數(shù)模型 確定一個(gè)幾何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中

2、的一部分就可以了，其它元素可以通過它們之間的函數(shù)描述而確定出來，這種描述所求量與已知量之間的關(guān)系式稱為函數(shù)模型函數(shù)模型。 必要觀測(cè)元素必要觀測(cè)元素 能夠唯一地確定一個(gè)幾何模型所必要的元素，稱為必要觀測(cè)元素必要觀測(cè)元素。必要觀測(cè)元素的個(gè)數(shù)用 t 表示，也稱為必要觀測(cè)個(gè)數(shù)。 獨(dú)立量獨(dú)立量 一個(gè)幾何模型的必要觀測(cè)元素之間是不存在任何確定的函數(shù)關(guān)系的。這些彼此不存在函數(shù)關(guān)系的量稱為函數(shù)獨(dú)立量，簡(jiǎn)稱獨(dú)立量獨(dú)立量。 多余觀測(cè)多余觀測(cè) 假設(shè)對(duì)模型中的幾何量總共觀測(cè) n 個(gè)， n t，可以確定模型，還可以發(fā)現(xiàn)粗差 多余觀測(cè)多余觀測(cè)就是觀測(cè)值的個(gè)數(shù) n 與必要觀測(cè)個(gè)數(shù) t 之差，用 r 表示。 r = ntr

3、= nt 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中也叫自由度。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中也叫自由度。二、測(cè)量平差二、測(cè)量平差1L2L3L1S2S 條件方程條件方程每增加一個(gè)多余觀測(cè)，必然增加且只增加一個(gè)確定的函數(shù)關(guān)系式，每增加一個(gè)多余觀測(cè)，必然增加且只增加一個(gè)確定的函數(shù)關(guān)系式，這種函這種函數(shù)關(guān)系式，在測(cè)量平差中稱為數(shù)關(guān)系式，在測(cè)量平差中稱為條件方程條件方程。為了確定它的形狀，只需要知道其中任意兩個(gè)內(nèi)角n=3 ,t=2, r=10180321LLL要確定該三角形的大小和形狀，就必須知道三個(gè)不同的元素則：n=5, t=3, r=20180321LLL0sinsin2211LSLS0180321LLL消除矛盾消除矛盾產(chǎn)生矛盾產(chǎn)生矛盾多余觀測(cè)多余

4、觀測(cè)函數(shù)函數(shù)模型模型VLL求改正數(shù)求改正數(shù)V平差值平差值評(píng)定精度評(píng)定精度VTPV=min一個(gè)測(cè)量平差問題，首先要由觀測(cè)值和未知量間組成一個(gè)測(cè)量平差問題，首先要由觀測(cè)值和未知量間組成函數(shù)模型，然后采用一定的平差原則對(duì)未知量進(jìn)行估函數(shù)模型，然后采用一定的平差原則對(duì)未知量進(jìn)行估計(jì)，最后分析成果的精度。計(jì)，最后分析成果的精度。三、最優(yōu)估計(jì)量的性質(zhì)三、最優(yōu)估計(jì)量的性質(zhì) 若 是的估計(jì)量，并且滿足 則稱 是 的無偏估計(jì)量。設(shè) 和 都是的無偏估計(jì)量，若有 ，則稱 較 有效。若 則為無偏最優(yōu)估計(jì)量。若 是的估計(jì)量，并且滿足對(duì)任意給定的小正數(shù) 0，有 ，則稱 是 的一致估計(jì)量。)(E1221DD12 min?D1

5、limPn 無偏性無偏性 有效性有效性一致性一致性在滿足min12niiivpminPVVT?或者的條件下解出參數(shù)的估值，這種求估計(jì)量的方法就稱為最小二乘法最小二乘法。獨(dú)立觀測(cè)值：121,0.00.0.00.n nn nnppPQp相關(guān)觀測(cè)值：11112111112121222122212122.nnnnnnnnnmnnQQPPPPPPPPPQQQQQPQQQ2-2 2-2 最小二乘原理最小二乘原理 一、一、函數(shù)模型函數(shù)模型條 件 平 差 法附有參數(shù)的條件平差法間接平差法附有限制條件的間接平差附有條件的條件平差TTAhhhhhhLA0001011001100100001110654321000

6、643652321hhhhhhhhh01 ,301 ,66,3 ALAADCBh1h4h3h5h6h2條 件 平 差 法1L2L3L0180321LLL11131ATLLLL321311800A00 ALA 如果有n個(gè)觀測(cè)值 ，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為 t，則應(yīng)列出 r = n - t 個(gè)條件方程，即： 線性形式： 令：0)(LF1 ,1 ,01 ,0rrnnrALA0WA)(0AALWLL1nL 條件平差的自由度為多余觀測(cè)數(shù)條件平差的自由度為多余觀測(cè)數(shù) r ，即條件方程個(gè)數(shù)。，即條件方程個(gè)數(shù)。1L2L3L（1）仍然按條件平差列r 個(gè)方程（2）然后增加一個(gè)參數(shù)，就會(huì)增加一個(gè)條件方程：（3）聯(lián)立寫成矩陣形

7、式0180321oLLLTLLLLABA32100180,10,00111101 XLX附有參數(shù)的條件平差法01 ,201 ,11 ,21 ,33,2AXBLA一般而言，其一般形式為：如果條件方程是線性的，其形式為：令0)(1 ,XLFc01 ,01 ,1 ,cuucnncAXBLA01 ,1 ,1 ,cuucnncWXBA)(0AALWLL 此平差問題，由于選擇了u 個(gè)獨(dú)立參數(shù)，方程總數(shù)由 r 個(gè)增加到 c = r + u 個(gè)，故平差的自由度為 r = c - u。 2.模型1L2L3L1X2Xo1802132211XXLXLXLt = 2，選，選2個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù)2211LXLX1 , 31

8、, 22 , 31 , 321321,18000,111001dXBLXXXLLLLdBTT間接平差法一般而言，一般形式為：如果條件方程是線性的，其形式為： 令：dLlLL?)(1 ,XFLn1 ,1 ,1 ,nttnndXBL11 ,1 ,nttnnlXB間接平差選了t 個(gè)獨(dú)立參數(shù)，多余觀測(cè)不隨平差方法不同而異，自由度是 r=n t。函數(shù)模型的一般形式為：線性形式的函數(shù)模型為：令：dLlLL?0)()(1,1,1,XXFLsun1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0ssxuusnuunnWXCdXBL1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0ssxuusnttnnWXClXB附有限制條件的間接平

9、差選取ut個(gè)參數(shù)，其中包含t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則多選的s=u- t個(gè)參數(shù)必定是t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，即在u個(gè)參數(shù)之間存在著s個(gè)函數(shù)關(guān)系式。方程的總數(shù)c=r+u=r+t+s=n+s建立模型時(shí)，除了列立n個(gè)觀測(cè)方程外，還要增加參數(shù)之間滿足的s個(gè)條件方程 。函數(shù)模型的一般形式為：線性形式的函數(shù)模型為：令：dLlLL?0)(0)(1,1,1XXLFsuc00111011sxuusnuunnncWXCAXBLA0011111suuscuucnncWXCWXBA附有條件的條件平差 若增選了u個(gè)參數(shù)，不論ut，也不論參數(shù)是否 獨(dú)立，每增加一個(gè)參數(shù)則肯定 相應(yīng)地增加1個(gè)方程，故方程的 總數(shù)為 r + u 個(gè)。 如果在

10、u個(gè)參數(shù)中有s個(gè)是不獨(dú) 立 的，或者說在這u個(gè)參數(shù)中 存在著s個(gè)函數(shù)關(guān)系式，則應(yīng)列 出s個(gè)如形的限制條件方程，除 此之外再列出c=r + u s。五種平差方法與參數(shù)的關(guān)系五種平差方法與參數(shù)的關(guān)系 1,1,01,0rrnnrALA1 ,1 ,1 ,nttnndXBL1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0ssxuusnuunnWXCdXBL01 ,01 ,1 ,cuucnncAXBLA參數(shù)個(gè)數(shù)u=00ut平差方法函數(shù)模型一般式條件平差附有參數(shù)的條件平差間接平差附有限制條件的間接平差0011111suuscuucnncWXCWXBAu附有條件的條件平差nnnnnnPQD12020D為為L(zhǎng)的協(xié)方差陣，

11、的協(xié)方差陣，Q為為L(zhǎng)的協(xié)因數(shù)陣，的協(xié)因數(shù)陣，P為為L(zhǎng)的權(quán)陣，的權(quán)陣， 為單位權(quán)方差。為單位權(quán)方差。20二、隨機(jī)模型二、隨機(jī)模型隨機(jī)模型描繪的是觀測(cè)值的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，是通過觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差陣（協(xié)因數(shù)陣）來表示，借以說明觀測(cè)值是否受系統(tǒng)誤差的影響、觀測(cè)值的精度或它們是否相關(guān)等。一、線性化的一般方法一、線性化的一般方法設(shè)有函數(shù)：),(111uncXLFF按照泰勒級(jí)數(shù)在近似值處展開，略去二次和二次以上各項(xiàng)，于是有： xXFLFXLFxXLFFXLXL()(0000，），令： 00,212221212111,XLncccnnXLncLFLFLFLFLFLFLFLFLFLFA00,212221212111,XLucccuuXLucxFXFXFXFXFXFXFXFXFXFB則函數(shù)的線性形式為：xBAXLFF),(02-4 2-4 函數(shù)模型的線性化函數(shù)模型的線性化 二、五種平差方法的線性化模型五種平差方法的線性化模型 平差方法條件平差法條件平差法 線性化模型0WA附有參數(shù)的條件平差附有參數(shù)的條件平差 0111cuuc