函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

1、2021/3/2712021/3/272（4）.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函數(shù)三角函數(shù) : xxsin)(cos2）（1）.常函數(shù)常函數(shù):(C)/ 0, (c為常數(shù)為常數(shù)); （2）.冪函數(shù)冪函數(shù) : (xn)/ nxn 1復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2021/3/273單調(diào)性的定義單調(diào)性的定義對于函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增遞增或單調(diào)遞減遞減的性質(zhì)性質(zhì),叫做f(

2、x)在這個區(qū)間上的單調(diào)單調(diào)性性,這個區(qū)間區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間。一般地一般地,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I,如果對于如果對于定義域定義域I內(nèi)的某個區(qū)間內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量內(nèi)的任意兩個自變量x1, ,x2, ,當(dāng)當(dāng)x1x2時時, ,都有都有f(x1)f(x2), ,那么就說那么就說f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是上是增函數(shù)增函數(shù) 2021/3/274判斷函數(shù)單調(diào)性有哪些方法判斷函數(shù)單調(diào)性有哪些方法?比如：判斷函數(shù)比如：判斷函數(shù) 的單調(diào)性。的單調(diào)性。yx 2 (,0) (0,)xyo2yx 函數(shù)在函數(shù)在 上為上為_函數(shù)，函數(shù)，在在 上為上為_函數(shù)。函數(shù)。圖象法圖

3、象法定義法定義法減減增增如圖如圖:2021/3/275思考思考: :那么如何求出下列函數(shù)的單調(diào)性呢那么如何求出下列函數(shù)的單調(diào)性呢? ?(1)f(x)=2x(1)f(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7 +7 (2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-x+1 -x+1 (3)f(x)=sinx-x(3)f(x)=sinx-x發(fā)現(xiàn)問題發(fā)現(xiàn)問題: :用單調(diào)性定義討論函數(shù)單調(diào)性雖然用單調(diào)性定義討論函數(shù)單調(diào)性雖然可行可行, ,但十分麻煩但十分麻煩, ,尤其是在不知道函數(shù)圖象尤其是在不知道函數(shù)圖象時。例如時。例如: :2x2x3 3-6x-6x2 2+7+7, ,是否有更為簡捷的方法是否有更為簡捷的方

4、法呢呢? ?下面我們通過函數(shù)的下面我們通過函數(shù)的y=xy=x2 24x4x3 3圖象來圖象來考察考察單調(diào)性單調(diào)性與與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系有什么關(guān)系2021/3/2762yx0. . . . . . . .再觀察函數(shù)再觀察函數(shù)y=xy=x2 24x4x3 3的圖象的圖象: :總結(jié)總結(jié): 該函數(shù)在區(qū)該函數(shù)在區(qū)間（間（,2）上）上單單減減,切線斜率切線斜率小于小于0,即其即其導(dǎo)數(shù)為負導(dǎo)數(shù)為負;而當(dāng)而當(dāng)x=2時其切線時其切線斜率為斜率為0,即即導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為0.函數(shù)在該點單調(diào)性函數(shù)在該點單調(diào)性發(fā)生改變發(fā)生改變.在區(qū)間（在區(qū)間（2,+）上）上單增單增,切線斜率切線斜率大于大于0,即其即其導(dǎo)數(shù)為正導(dǎo)數(shù)為正.2

5、021/3/277xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 觀察下面一些函數(shù)的圖象觀察下面一些函數(shù)的圖象, 探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負的關(guān)系數(shù)正負的關(guān)系.( )yf x 結(jié)論：在某個區(qū)間結(jié)論：在某個區(qū)間( (a a, ,b b) )內(nèi)內(nèi), ,如果如果 , ,那么函數(shù)那么函數(shù) 在這個區(qū)間內(nèi)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增單調(diào)遞增; ; 如果如果 , ,那么那么函數(shù)函數(shù) 在這個區(qū)間內(nèi)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減單調(diào)遞減. .( )0fx ( )0fx ( )yf x 如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f f (x)=0,(x)=0,則則f(x)f(x)為常數(shù)函

6、數(shù)為常數(shù)函數(shù)2021/3/278a b( , )在在某某個個區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi), ,fx ( )0f xa b( )( , )在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增fx ( )0f xa b( )( , )在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞減減注意注意:應(yīng)正確理解應(yīng)正確理解 “ 某個區(qū)間某個區(qū)間 ” 的含義的含義,它必它必是是定義域內(nèi)的某個區(qū)間定義域內(nèi)的某個區(qū)間。2021/3/2792121()() y f xf xxxx1122( )A( ,()B(,()yf xxf xxf x 表示過函數(shù)圖象上兩點、的直線斜率。幾何意義幾何意義:關(guān)系關(guān)系:12,( )x xyf x 當(dāng)區(qū)間()的長度很小時，平均變化率可以近似地反映函數(shù)在這

7、個區(qū)間的單調(diào)性。思考思考2：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，思考某個區(qū)間上函數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，思考某個區(qū)間上函數(shù) 的平均變化率的幾何意義與導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系。的平均變化率的幾何意義與導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系。( )f x課本思考課本思考思考思考1：如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ，那么函數(shù)，那么函數(shù) 有什么特性？有什么特性？( )0fx ( )f x( )f x 是是常常數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)。2021/3/2710利用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)單調(diào)性: 若某個區(qū)間內(nèi)恒有若某個區(qū)間內(nèi)恒有 f (x)0，則，則 f (x)為常數(shù)函為常數(shù)函 數(shù)數(shù) 2021/3/2711例例1 1、已知導(dǎo)函數(shù)

8、、已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息的下列信息: :( )f x當(dāng)當(dāng)1x41x0;0;當(dāng)當(dāng)x4,x4,或或x1x1時時, , 0;0)(xf從而函數(shù)f(x)=x3+3x在xR上單調(diào)遞增,見右圖。2021/3/2715(2) f(x)=x2-2x-3 ;解： =2x-2=2(x-1)(xf圖象見右圖。當(dāng) 0，即x1時，函數(shù)單調(diào)遞增；)(xf當(dāng) 0，即x1時，函數(shù)單調(diào)遞減；)(xf2021/3/2716(3) f(x)=sinx-x ; x(0,p)解： =cosx-10，即 時，函數(shù)單調(diào)遞增；)(xf21712171xx或2021/3/2718圖象見右圖。當(dāng) 0,即在（0， 1上恒成立31g xxg xg

9、max而 ( )在（0， 1上單調(diào)遞增，( )(1)=-11a-2021/3/2725322f xx 當(dāng)a1時， ( )1f xa-f x對x （0， 1）也有 ( ) 0時，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù)所以a的范圍是-1，+ ）在某個區(qū)間上，在某個區(qū)間上， ，f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由（遞減）；但由f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到僅僅得到 是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0也能使也能使f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)，）在這個區(qū)間上單調(diào)，所以對于能否取到等號的問題需要單獨驗證所以對于能否取到等號

10、的問題需要單獨驗證f x( )0(或0(或0 (B)0 (B)11a1 (C)1 (D) 01 (D) 0a1 1 )33,33(A A2021/3/2729證明證明:令令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0,e2xe0=1,2(e2x1)0, 即即f(x)0f(x)=e2x12x在在(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù).f(0)=e010=0.當(dāng)當(dāng)x0時時,f(x)f(0)=0,即即e2x12x0.1+2xe2x2.當(dāng)當(dāng)x0時時,證明不等式證明不等式:1+2xe2x.分析分析:假設(shè)令假設(shè)令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能夠證明如果能夠證明f(x

11、)在在(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù),那么那么f(x)0,則不等式就可以證明則不等式就可以證明.點評點評:所以以后要證明不等式時所以以后要證明不等式時,可以利用函數(shù)的單可以利用函數(shù)的單調(diào)性進行證明調(diào)性進行證明,把特殊點找出來使函數(shù)的值為把特殊點找出來使函數(shù)的值為0.2021/3/27303.3.設(shè)設(shè)f (x) = ax3+x 恰有三個單調(diào)區(qū)間恰有三個單調(diào)區(qū)間, ,試確定試確定a 的取值范圍的取值范圍, ,并求其單調(diào)區(qū)間。并求其單調(diào)區(qū)間。 )231,fxax解: )0,)afx 若則在(-恒正, )f x只有一個單調(diào)區(qū)間,與題意不符. )211133,333fxa xa xxaaa若a0,則 )0 ,)af x 11時有三個單調(diào)區(qū)間,(- ,-3a-3a,11為它的減區(qū)間,為它的