行列式的計(jì)算技巧總結(jié)

1、行列式的假設(shè)干計(jì)算技巧與方法目錄摘要1關(guān)鍵字11.行列式的概念及性質(zhì)21.1n階行列式的定義21.2行列式的性質(zhì)22 .行列式計(jì)算的幾種常見技巧和方法42.1定義法42.2利用行列式的性質(zhì)52.3降階法72.4升階法加邊法92.5數(shù)學(xué)歸納法112.6遞推法123.行列式計(jì)算的幾種特殊技巧和方法143.1拆行列法143.2構(gòu)造法173.3特征值法184 .幾類特殊行列式的計(jì)算技巧和方法194.1三角形行列式194.2“爪字型行列式194.3“么字型行列式214.4“兩線型行列式224.5“三對(duì)角型行列式234.6范德蒙德行列式255 .行列式的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用265.1降階法和遞推法275.2

2、逐行相加減和套用范德蒙德行列式275.3構(gòu)造法和套用范德蒙德行列式28小結(jié)29參考文獻(xiàn)30學(xué)習(xí)體會(huì)與建議31摘要：行列式是高等代數(shù)的一個(gè)根本概念,求解行列式是在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中遇到的根本問(wèn)題,每一種復(fù)雜的高階行列式都有其獨(dú)特的求解方法.本文主要介紹了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法.如：化三角形法、降階法和數(shù)學(xué)歸納法等多種計(jì)算方法以及 VandermondeVandermonde 行列式、“兩線型行列式和“爪字型行列式等多種特殊行列式.并對(duì)相應(yīng)例題進(jìn)行了分析和歸納,總結(jié)了與每種方法相適應(yīng)的行列式的特征.關(guān)鍵詞：行列式計(jì)算方法1.行列式的概念及性質(zhì)1.1 n 階行列式的定義我

3、們知道,二、三階行列式的定義如下:a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31.從二、三階行列式的內(nèi)在規(guī)律引出n階行列式的定義.設(shè)有n2個(gè)數(shù),排成n行n列的數(shù)表a12ana21a22a2naman2ann即n階行列式.這個(gè)行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積ana21a11a12a13a21a22a23a31a32a33ai2=aiia22ai2a21,a22a1j1a2j2anjn時(shí),帶負(fù)號(hào).1.2 行列式的性質(zhì)式.即a11a12ana11a12a1nkankai2kainkai1ai2ainan1an2annan1a

4、n2ann性質(zhì)3如果行列式的某一行或列是兩組數(shù)的和,那么該行列的代數(shù)和,這里j2的一個(gè)排列,每一項(xiàng)都按以下規(guī)那么帶有符號(hào)：當(dāng)j1j2jn是偶排列時(shí),帶正號(hào);當(dāng)j1j2jn是奇排列a11a12a1na21a22j1j2jnj1j2jna1j1a2j2anjn,an1an2ann這里j1j2jn表示對(duì)所有n級(jí)排列求和.性質(zhì)行列互換,行列式不變.a11ana11a21an1a21a22a2na12a22an2aman2anna1na2nann性質(zhì)等于用這個(gè)數(shù)乘此行列即一個(gè)數(shù)乘行列式的一行或列 ,式就等于兩個(gè)行列式的和,且這兩個(gè)行列式除去該行或列以外的各行或列全與原來(lái)行列式的對(duì)應(yīng)的行或列一樣.即性質(zhì)4

5、如果行列式中有兩行或列對(duì)應(yīng)元素相同或成比例,那么行列式為假設(shè)L即aiiai2ainaiiai2ainaiiai2ainaiiai2aink=0.kaiikai2kainaiiai2ainanian2annanian2ann性質(zhì)5把一行的倍數(shù)加到另一行,行列式不變.即aiiai2ainaiiai2ainaiicakiai2cak2aincaknaMai2ainakiak2aknakiak2aknanian2annanian2ann性質(zhì)6對(duì)換行列式中兩行的位置,行列式反號(hào).即aiiMbGMani%KamMMMb2G2KbncnMMMan2KannaiiMbManiai2KamMMMb2KbhMMM

6、an2Kannaiiai2MMGc2MManian2KainMMKGMMKann2、行列式的幾種常見計(jì)算出2.1 定義法適用于任何類型行列式的計(jì)隼算量大,有一定的局限性.0001例1計(jì)算行列式0020.03004000解析：這是一個(gè)四級(jí)行列式,于出現(xiàn)很多的零,所以不等于零型式中的項(xiàng)alla12a1nailai2ainak1ak2aknan1an2ann性質(zhì)7行列式一行或列&1&200an1an2a11a12a1nak1ak2aknai1ai2ainan1an2ann元素全為零,那么行列式為零.即W,n-1a1n000.an,n-1ann,但當(dāng)階數(shù)較多、數(shù)字較大時(shí),計(jì)在展開式中應(yīng)

7、該有424項(xiàng),但由項(xiàng)數(shù)就大大減少.具體的說(shuō),展開j3a4j4.顯然,如果j14,那么a1j10,的一般形式是a1j1a2j2a從而這個(gè)項(xiàng)就等于零.因此只須考慮ji4的項(xiàng),同理只須考慮j23,j32,j41的這些項(xiàng),這就是說(shuō),行列式中不為零的項(xiàng)只有2.2 利用行列式的性質(zhì)即把行列式通過(guò)行列式的性質(zhì)化為上三角形或下三角形.該方法適用于低階行列式.2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分別如下：a11a12a3a1n0a22a23a2n00a33a3n000ann000a11a22ann.1a1a2解析：觀察行列式的特點(diǎn),主對(duì)角線下方的元素與第一行元素對(duì)a14a23a32a4143216

8、,所以此項(xiàng)取正號(hào).故43211a14a23a32a4124.a11a22ann,a1100a21a220a31a32a33an1an2an3ann例2計(jì)算行列式Dnab1a21a1a2anbn例3計(jì)算行列式DnXi解：DnXiXinXii1X1mXiX2X2mX2X2X2mX2X2mX2XnXnX2XnXnXnXnXnXnmxn應(yīng)相同,故用第一行的1倍加到下面各行便可使主對(duì)角線下方的元素全部變?yōu)榱?即：化為上三角形.可得2.2.2連加法這類行列式的特征是行列式某行或列加上其余各行或列后,使該行或列元素均相等或出現(xiàn)較多零,從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.這類計(jì)算行列式的方法稱為連加法.解：將該行列式第一行

9、的倍分別加到第2,3-n1行上去,Dn110M0abM0a?0M0K0OKan0Mbnb1b2Kbn.1X2xnn0m0n1nXimmXim1i100m2.2.3滾動(dòng)消去法當(dāng)行列式每?jī)尚械闹当葦M接近時(shí),可采用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的假設(shè)干倍,這種方法叫滾動(dòng)消去法.解：從最后一行開始每行減去上一行,Dn12n22.2.4逐行相加減例4計(jì)算行列式Dn123n 1212n 2321n 3對(duì)于有些行列式,雖然前n行的和全相同,但卻為零.用連加法明nnn12顯不行,這是我們可以嘗試用逐行相加減的方法.解：將第一列加到第二列,新的第二列加到第三列,以此類推,得:2.3 降階法將高階行列式化為低階

10、行列式再求解.2.3.1按某一行或列展開x10000 x100例6解行列式Dn00 x00000 x1anan1an2a2a1解：按最后一行展開,得n1n2Dna1xa2xan1xan.2.3.2按拉普拉斯公式展開拉普拉斯定理如下：設(shè)在行列式D中任意選定了k1kn-1個(gè)例5計(jì)算行列式Dai00000a200a3000anan111a1000a2000a3D000123an0nn11a1a2ann1n1a1a2an.a20)2n21行.由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.即MnAn,其中Ai是子式Mi對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式.例7解行列式Dn解：從第三行開始,每行都

11、減去上一行；再?gòu)牡谌虚_始,每列都加到第二列,得aaaabDn000DM1AlM2A2AnnCnn0BnnAnn?Bnn,Ann0nnnnAnn?Bnn.2.4 升階法就是把n階行列式增加一行一列變成n+1階行列式,再通過(guò)性質(zhì)化簡(jiǎn)算出結(jié)果,這種計(jì)算行列式的方法叫做升階法或加邊法.升階法的最大特點(diǎn)就是要找每行或每列相同的因子,那么升階之后,就可以利用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為0,這樣就到達(dá)簡(jiǎn)化計(jì)算的效果.其中,添加行與列的方式一般有五種：首行首列,首行末列,末行首列,末行末列以及一般行列的位置.011101一110例8解行列式D=解：使行列式D變成n1階行列式,即111001010D0110

12、11再將第一行的1倍加到其他各行,得:n2n1ab1111110110n1a111110101D=1001010001從第二列開始,每列乘以1加到第一列,得:(n1)11010001000000n11n1.2.5 數(shù)學(xué)歸納法有些行列式,可通過(guò)計(jì)算低階行列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律,然后提出假設(shè),再利用數(shù)學(xué)歸納法去證實(shí).對(duì)于高階行列式的證實(shí)問(wèn)題,數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法.cos100012cos100例9計(jì)算行列式Dn012cos000002cos100012cos解：用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)當(dāng)n1時(shí),D1cos1100001001Dkcosk,猜測(cè),Dncosn也成立.cos100012cos100當(dāng)nk1時(shí),D

13、k1012cos000002cos100012cos將Dk1接取后仃展開,仔cos10012cos10Dk1/k1k1八八1?2cos012cos00002coscos10012cos101k1k012cos000012cosDkDk1.由于當(dāng)n2時(shí),D2cos112cos22cos1cos2由上可知,當(dāng)n2時(shí),結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)nk時(shí),即：Dkcosk.現(xiàn)證當(dāng)n1時(shí),結(jié)論Dk1cosk1coskcoskcossinksin,所以Dki2cosDkDki2coscoskcoskcossinksincoskcossinksincosk1.這就證實(shí)了當(dāng)nk1時(shí)也成立,從而由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)一切的自

14、然數(shù),結(jié)論都成立.即：Dncosn.2.6 遞推法技巧分析：假設(shè)n階行列式D滿足關(guān)系式aDnbDn1cDn20.那么作特征方程ax2bxc0.假設(shè)0,那么特征方程有兩個(gè)不等根,那么DnAx1n1Bx廠.假設(shè)0,那么特征方程有重根x1x2,那么DnAnBx1n1.在中,A,B均為待定系數(shù),可令n1,n2求出.例10計(jì)算行列式Dn解：按第一列展開,得即Dr作特征方程解得那么D當(dāng)n1時(shí),9AB;當(dāng)n2時(shí),614A5B解得所以95000004950000049500000004950000049Dn9Dn120Dn2.9Dn120Dn20.2_x9x200.x14,x25.)nA?4n1B?5nl.A

15、16,B25,Dn5n14nl.3、行列式的幾種特殊計(jì)算技巧和方法3.1 拆行列法3.1.1概念及計(jì)算方法拆行列法或稱分裂行列式法,就是將所給的行列式拆成兩個(gè)或假設(shè)干個(gè)行列式之和,然后再求行列式的值.拆行列法有兩種情況,一是行列式中有某行列是兩項(xiàng)之和,可直接利用性質(zhì)拆項(xiàng)；二是所給行列式中行列沒(méi)有兩項(xiàng)之和,這時(shí)需保持行列式之值不變,使其化為兩項(xiàng)和.3.1.2例題解析1a1a200011a2a300例11計(jì)算行列式Dn011a3000001an1an00011a解：把第一列的元素看成兩項(xiàng)的和進(jìn)行拆列,仔1a1a2000101a2a300Dn0011a30000001 an1an000011an1a

16、20001 1a2a300011a3000001an1an00011ana1a200001a2a300011a3000001an1an00011a所以1,上面第一個(gè)行列式的值為1a21a3a3Dn1a11a1Dn1.an1anan這個(gè)式子在對(duì)于任何n都成立,因此有Dn1adai1a2Dn21a1a1a2n11麗2an3.2 構(gòu)造法3.2.1概念及計(jì)算方法有些行列式通過(guò)直接求解比擬麻煩,這時(shí)可同時(shí)構(gòu)造一個(gè)容易求解的行列式,從而求出原行列式的值.3.2.2例題解析111X1X2Xn222例12求行列式DnX1X2Xnn2n2n2X1X2XnnnnX1X2Xn解：雖然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考

17、慮構(gòu)造n1階的范德蒙德行列式來(lái)間接求出Dn的值.構(gòu)造n1階的范德蒙德行列式,得,-n1一-其中,x的系數(shù)為1111X1X2XnX2222X1X2XnXn2n2n2n2X1X2XnXn1n1n1n1X1X2XnXnnnnX1X2XnX按第n1歹U展開,付f XA,n1A2,n1XAn1,n1Xn,fx又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知fxxX1xx2xxnXiXj1jin由上式可求得xn1的系數(shù)為Xx2xnxixj1jin故有3.3 特征值法3.3.1概念及計(jì)算方法設(shè)1,2,n是n級(jí)矩陣A的全部特征值,那么有公式故只要能求出矩陣A的全部特征值,那么就可以計(jì)算出A的行列式.3.3.2例題解析例13假設(shè)1

18、,2,n是n級(jí)矩陣A的全部特征值,證實(shí)：A 可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零.證實(shí)：由于A12n,那么A可逆A012n0i0i1,2n.A 可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零.An,n11DnDn.Dn%x2xn1jinxixj4、幾類特殊的行列式的巧妙計(jì)算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形狀像個(gè)三角形,故稱為“三角形行列式.4.1.2計(jì)算方法由行列式的定義可知,a11a12a13an0a22a23a2n00a33a3n8田22ann000anna11000a21a2200a31a32a330a11a22annan1an2an3ann4.2“爪字型行列式4.2.1概念a)1a12a13a2

19、2a23形如a33ana11a2na21a22a3na31a32a33annaMan2an3這樣的行列式,ann4.2.2計(jì)算方法利用對(duì)角線消去行列式中的“橫線或“豎線,均可把行列式化成“三角形行列式.此方法可歸納為：“爪字對(duì)角消豎橫.形如CnC2C1a0a.GC2a1bib1a1b2a2anbnananbnanb2a2a2b2bn“爪字,故稱它們?yōu)閎n“爪a2b2a1b1字型行列式.b1a1CnC2C1a.a.C1C2Cn這樣的行列式,形狀像個(gè)4.2.3例題解析a2例14計(jì)算行列式a3,其中q0,i1,2,n.分析:這是一個(gè)典型的“爪an字型行列式,計(jì)算時(shí)可將行列式的第i(i2,3,n.)列

20、元素乘以1,后都加到第一列上,原行列式可化為三ai角形行列式.樣的行列式,形狀像個(gè)“么字,因此常稱它們?yōu)椤懊醋中托辛惺?4.3.2計(jì)算方法利用“么字的一個(gè)撇消去另一個(gè)撇,就可以把行列式化為三角形行列式.此方法可以歸納為：“么字兩撇相互消.解:a1111a2a3i2a,.a2a3ana1i2a,anan4.3“么 字型行列式4.3.1概念Cnan形如bnana.CC1aC2a1b1b2a2a2b2b1a1C2a.C1bnanCna.b1b2bnGa1C2a2bnnbnanCna2C2Cnbia1Ca2b2a1CC2a1b1b2b1a.Ga.b2b1a.a1C1a2C2C2a2C1a1Cnana.

21、thb2b1bnb2a2Cn注意：消第一撇的方向是沿著“么的方向,從后向前,利用an消然后再用201消去冊(cè)1,依次類推.bn1bn解：從最后一行開始后一行加到前一行即消去第一撇n1i1nbii1bn1bnbnnbii1nbii14.4.1概念4.3.3例題解析例15計(jì)算n1階行歹I式Dn1Dn14.4“兩線 型行列式解：按第一列展開,得4.5“三對(duì)角型行列式4.5.1概念abab000001abab0000形如01abab000這樣的行列式,叫00000abab000001aba1a2anbn.1n1做“三對(duì)角型行列式.形如ai0bia?0b?這樣的行列式叫做“兩線型行列式.0bnbn1an4

22、.4.2計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式,可通過(guò)直接展開法求解.4.4.3例題解析a10b1a?0b?例16求行列式Dn0bnbn1ana?b?Dn1aibn1anbnbi00a?b2000bn1n1i4.5.2計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式,可直接展開得到兩項(xiàng)遞推關(guān)系式,然后變形進(jìn)行兩次遞推或利用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí).4.5.3例題解析例17求行列式DnDnabDn1bab00001abab00001abab0000000a00000100000bab0001abab00ab000abab0001abab解：按第一列展開,得a2.00ab10ababbDniabDn變形,得DnaDnDn1aDn由于Diab,D

23、2abb2從而利用上述遞推公式得DnaDn1bDn1aDn2.2bDn2aDn3bn2D2aD1bn.DnaDn1bnaaDn2bn1bnn1n22aD1ababn1bnabn1bn.4.6Vandermonde 行歹!J式4.6.1概念形如列式.121a22a2a32a3ln2n這樣的行列式,成為n級(jí)的范德蒙德行n1a1n1a2n1a3n1an4.6.2計(jì)算方法4.6.3例題解析1111a1a2%an可得2al2a2afa2n1n1n1na1a2a3an111X1X2Xn222X1X2Xn.n2n2n2X1X2XnnnnX1X2Xn通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證實(shí),1但可以考慮構(gòu)造n例18求行列式Dnai

24、aj1jin解：雖然Dn不是范德蒙德行列式,1階的范德蒙德行列式來(lái)間接求出Dn的值.其中,Xn1的系數(shù)為又根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果知由上式可求得Xn1的系數(shù)為故有5、行列式的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用有些行列式如果只使用一種計(jì)算方法不易計(jì)算,這時(shí)就需要結(jié)合多種計(jì)算方法,使計(jì)算簡(jiǎn)便易行.下面就列舉幾種行列式計(jì)算方法的綜合應(yīng)用.構(gòu)造n1111X1X2XnX2222X1X2XnXn2n2n2nX1X2XnXn1n1n1nX1X2XnXnnnnX1X2XnX按第n1歹U展開怎1階的范德蒙德行列式,得fx1將fx2An,nA,n1A2,n1Xn11XAn1,n1X,An,n11DnDn.fXXX1X2XnXiX

25、jnX2XnXijinXjDnX1X2Xn1jiXinXj5.1降階法和遞推法0000002112分析： 乍一看該行列式,并沒(méi)有什么規(guī)律.但仔細(xì)觀察便會(huì)發(fā)現(xiàn),按第一行展開便可得到n1階的形式.解：將行列式按第一行展開,得Dn2Dn1Dn2DnDn1DmDn2.5.2逐行相加減和套用范德蒙德行列式例20計(jì)算行列式11111sin11sin21sin31sin4Dsin1sin21sin2sin22一一一,92sin3sin3sin4sin242sin一一31sin21sin23sin2 2 3sin3sin32sin一一34sin4解： 從第一行開始, 依次用上行的1倍加到下一行,進(jìn)行逐行相加,

26、得例19計(jì)算行列式DnDnDn1Dn1Dn2D2D1321.Dn1Dn1111Dnn11111sin1sin2sin3sin4D_2sin12sin22sin23sin4.一一3sin1一一3sin2_3sin33sin4再由范德蒙德行列式,仔1111sin1sin2sin3sin4D.2.22.2sisin1sin2sin3sin41ji4一一3sin1一一3sin2_3sin一一33sin45.3構(gòu)造法和套用范德蒙德行列式111X1X2Xn222例21求行列式DnX1X2Xnn2n2n2解：雖然Dn不是范德蒙德行列式,但可以考慮構(gòu)造n1階的范德蒙德行列式來(lái)間接求出Dn的化1111X1X2XnX2222fXX1X2XnXn2n2n2n2X1X2XnXn1n1n1n1X1X2XnXnnnnX1X2XnX構(gòu)造n1階的范德蒙德行列式,得x1X2XnnnnX1X2Xn小結(jié)本文主要介紹了行列式計(jì)算的一些技巧和方法,還有一些特殊行列式的計(jì)算技巧,通過(guò)歸納和總結(jié)這些技巧和方法,讓讀者在計(jì)算行列式時(shí)游刃有余.然而在這么多方法面前,我們需要多觀察、 多思考,這樣便于我們更加輕松地解決有關(guān)行列式的問(wèn)