2019-2020年高中數(shù)學(xué)1.1正弦定理和余弦定理教案(3)新人教A版必修5

1、2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 1.1 正弦定理和余弦定理教案（3）新人教 A 版必修 5教學(xué)目的： 使學(xué)生掌握正弦定理能應(yīng)用解斜三角形，解決實(shí)際問題教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的正確理解和熟練運(yùn)用授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、引言：在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù),可以由已知的邊和角求出未知的邊和角那么斜三角形怎么辦？提出課題：正弦定理、余弦定理二、講解新課：正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等,即=2R（RABC外接圓半徑）1.直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1即c=,c=,c=.

2、=2.斜三角形中證明一：（等積法）在任意斜厶ABC當(dāng)中111SAABC=ab sinCacsinBbcsin A222兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法） 如圖所示，/A=/D同理=2R, =2R證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于a asin Asin D=CD = 2RBaOCI由+=兩邊同乘以單位向量得？(+)= ?則？+?=?|cos90+| ?|cos(90C)=| | ?|cos(90A)同理，若過C作垂直于得：=正弦定理的應(yīng)用從理論上正弦定理可解決兩類問題:1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2.兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角（見圖示）已知a, b和

3、A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況若A為銳角時(shí)：a cbsinA無解a=bsi nA解（直角）bsinAb一解（銳角）已知邊a,b和.A若A為直角或鈍角時(shí)三、講解范例： 例1已知在 AABC中，c =10,A =45,C =30,求a,b和B解：c =10, A =45,C =30B =180。-(A C) =105。csin A 10 sin 45。由得a010、2si nCsi n300asinB是AB的A充分不必要條件B4在厶ABC中，求證:必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件cos2A cos2B參考答案：1A,2A42a3Cb222a b2a五、小結(jié)六、課后作業(yè)：1在厶ABC中

4、，已知，求證：a2, 證明：由已知得sin(B+C)sin cos2Bcos2C=cos2Acos2B2cos2B=cos2A+cos2Cb2正弦定理，兩種應(yīng)用b2,c2成等差數(shù)列(B- C)=sin(A+B) sin(AB)C由正弦定理可得2b2=a2+c2即a2,b2,c2成等差數(shù)列七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：課 題：正弦定理、余弦定理（2）教學(xué)目的：1掌握正弦定理、余弦定理；2使學(xué)生能初步運(yùn)用它們解斜三角形，并會(huì)解決斜三角形的計(jì)算問題 教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的靈活運(yùn)用授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入

5、：1正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即=2R（RABC外接圓半徑）2正弦定理的應(yīng)用從理論上正弦定理可解決兩類問題：1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2.兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角（見圖示）已知a, b和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況：acbsi nA無解若A為銳角時(shí)：bSinA一解（直角）|bsinAvab一解（一銳,一鈍）a_b解（銳角）已知邊a,b和.A若A為直角或鈍角時(shí)：3.在RtABC中(若C=90 )有：在斜三角形中一邊的平方與其余兩邊平方和及其夾角還有什么關(guān)系呢？二、講解新課：1.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方

6、的和減去這兩邊與它 們夾角的余弦的積的兩倍即問題對(duì)于任意一個(gè)三角形來說，是否可以根據(jù)一個(gè)角和夾此角的兩邊，求出此角的對(duì)邊？推導(dǎo)如圖在中，、的長(zhǎng)分別為、 ACAC =(AB BC)(AB BC)=AB 2|AB|BC|cos(180 -B) BC即同理可證,2.余弦定理可以解決的問題利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知三邊，求三個(gè)角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角三、講解范例: 例1在厶ABC中，已知a=7,b=10,c=6，求A、B和Cab2+c2,則厶ABC為；若a2=b2+c2,則厶ABC為 若a2vb2+c2且b2va2+c2且c2sinABC是_

7、a2+b2_c26已知ABC中,a一b_c二c2且acosB二bcosA，試判斷厶ABC的形狀a + b c7在厶ABC中, (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判斷ABCiH?狀 參考答案：1D2A 3 8 45鈍角三角形6等邊三角形7四、 小結(jié)熟悉了正、余弦定理在進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換時(shí)的橋梁作用，并利用正、 余弦定理對(duì)三角恒等式進(jìn)行證明以及對(duì)三角形形狀進(jìn)行判斷五、課后作業(yè)：1在厶ABC中，已知，求證：a2,b2,c2成等差數(shù)列證明：由已知得sin(B+C)sin(C)=sin (A+B) sin (AB)cos2cos2C=cos2Acos2B2cos2B=cos2

8、A+cos2C2在厶ABC中,A=30,cosA 2sinsinC(1)求證：ABC為等腰三角形；(提示B=C=75)(2)設(shè)DABC外接圓的直徑BE與AC的交點(diǎn)，且AA2,求AD：DC的值 答案：(1)略 (2)1: 六、板書設(shè)計(jì)(略) 七、課后記:課 題：正弦定理、余弦定理(4) 教學(xué)目的：1進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；c 1 -cos2B22由正弦定理可得1 -cos2A 1 -cos2B2 22 2 2 2 22b=a+c,即a,b,/.2sin2B=sin2A+sin2Cc2成等差數(shù)列2能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；4能夠利用正、

9、余弦定理證明三角形中的三角恒等式 教學(xué)重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向 教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式1啟發(fā)學(xué)生在證明三角形問題或者三角恒等式時(shí)，要注意正弦定理、余弦 定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并注意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互 補(bǔ)角的正弦值相等，互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)等；2引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形形狀的判斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：正弦定理：bc2Rsin A sinBsinC余弦定理：二、講解范例：例1在任一ABC中求證

10、：a(sin B -sinC) b(sin C -sin A) c(sin A -sin B) = 0證：左邊=2RsinA(sinBsinC) 2RsinB(sinC-sinA) 2RsinC(sinAsinB)=2RsinAsinB-sinAsinC sinBsinC-sinBsinA sinCsinA-sinCsinB=0=右邊例2在厶ABC中，已知，B=45求A、C及casinB 3 si n453解一：由正弦定理得：si nAb(22,BCD=135求BC的長(zhǎng)解：在ABD中，設(shè)BD=x則BA2= BD2AD2-2BD AD cos BDA/ B=4590即ba A=60或120當(dāng)A=

11、60時(shí)C=75bsinC 2 sin 75J6+U2c sin B sin 452當(dāng)A=120時(shí)C=15bsinC V2sin15：v6 -V2C =3=sin B sin 452解二： 設(shè)c=x由將已知條件代入，整理:解之：當(dāng)時(shí)cos Ab2c2-a22bc16 +22()2-32_2 26 221.32( 31)從而A=60，C=75當(dāng)時(shí)同理可求得：A=120，C=15例3在厶ABC中，BC=a, AC=b,a, b是方程的兩個(gè)根，且2cos(A+B)=1求(1)角C的度數(shù) (2)AB的長(zhǎng)度(3)AABC的面積解：(1)cosC=cos (A+B)= cos(A+B)=C=120(2)由題

12、設(shè)：ABAC+BC 2AC?BC?osC=(a b)2-ab =(2、3)2- 2 =10即AB=(3)1 . 1 .SAAB(=absinC二-absin 1202 2例4如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14,BDA=60222Q即14 =x 10 - 2 10 x cos60整理得：解之：（舍去）由余弦定理： BCsin30 =8、.2sin 135 例5ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角2求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積解：1設(shè)三邊且 C為鈍角a2+b2_c2-cosC =2ac2(k -1)：0解得或3但

13、時(shí)不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去1當(dāng)時(shí)a =2,b =3,c =4,cosC ,C=109 42設(shè)夾C角的兩邊為S= xysin C = x(4 -x)154(-x24x)當(dāng)時(shí)S最大=例6在厶ABC中,AB=5,AC=3,D為BC中點(diǎn)，且AD=4,求BC邊長(zhǎng)分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長(zhǎng)，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為x后，建立關(guān)于x的方程而正弦定理涉及到兩個(gè)角，故不可用此時(shí)應(yīng)注意余弦定理在建立方程時(shí) 所發(fā)揮的作用因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以BD DC可表示為，然用利用互補(bǔ)角的余 弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程解：設(shè)BC邊為x，則由D為BC中點(diǎn)，可得BD= DC=,在厶ADB中,cosADB=AD2BD2- AB22 AD

14、 BD42(；)2-52x2 4 2在厶ADC中,cosADC=AD2DC2- AC22 AD DC又/ADBHZADC=180二cosADB=cos（180/ADC=cosADC2 42解得，x=2 ,所以，BC邊長(zhǎng)為2評(píng)述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會(huì)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型另外，對(duì)于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解si nA,思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得，設(shè)BD=5k,DC=3k,則由互補(bǔ)角/ADC/ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結(jié)合余弦定理求出cosA, 再由同角平方關(guān)系求出sinA三、課堂

15、練習(xí)：1半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為0. 25，求此三角形三邊長(zhǎng)的乘積 解：設(shè)ABCE邊為a,b,c則S AB尸又，其中R為三角形外接圓半徑/., /.abc=4RSABC=4x1x0.25=1所以三角形三邊長(zhǎng)的乘積為1評(píng)述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想 正弦定理：角形面積公式SAAB=發(fā)生聯(lián)系，對(duì)abc進(jìn)行整體求解2在厶ABC中，已知角B=45,D是BC邊上一點(diǎn)，AD=5,AC=7,DC=3,求AB評(píng)述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生 注意正、余弦定理的綜合運(yùn)用3在厶ABC中，已知cosA=,sinB=，求cosC的值42（x）2-5242Aasi

16、n Ab csin B sinC=2R，其中R為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三廠AC2+ DC2AD272325211cosC= 12 ACDC2 7 314又0vC180,AsinC=在厶ABC中,sin C 二AB=AC二：5 325,67.sin B142解：在ADC中,解：TcosA=v=cos45 ,OvAv n 45 vAv90, sin A=TsinB=v=sin30 ,0vBn0 vBv30或150vB150,貝UB+A180與題意不符0 vBv30cosB=cos(A+B)=cosA- cosBsin AsinB=又C=180 (A+B)cosC=cos180 (AB)=

17、cos(A+B)=評(píng)述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知的三 角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對(duì)正負(fù)進(jìn)行取舍，在確定角的范圍時(shí)，通常 是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較四、 小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性 質(zhì)，綜合運(yùn)用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題 方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力五、課后作業(yè)：六、 板書設(shè)計(jì)(略)七、課后記及備用資料：1正、余弦定理的綜合運(yùn)用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：2 2 2sinA=sinB+sin C 2sinBsinCcosA這是只含

18、有三角形三個(gè)角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡(jiǎn)捷明快，下面 舉例說明之例1在厶ABC中，已知sin2Bsin2Csin2A=sinAsinC,求B的度數(shù) 解：由定理得sin B= sinA+sin C 2sinAsinCcosB,2sinAsinCcosB=sinAsinCTsinAsinCM0cosB =B= 150例2求sin210+cos240+sin 10cos40 的值解：原式=sin210+sin250+sin 10sin50在sinA=sinB+sinC2sinBsinCbosA中，令B=10,C=50, 則A=120sin2120 =sin210 +sin2502sin10sin50cos120=sin210+sin250+sin10sin50 = ()2=例3在厶ABC中，已知2cosBsinC=sinA,試判定ABC的形狀 解：在原等式兩邊同乘以sinA得：2cosBsinAsinC=sin2A,2222由定理得sinA+sin C- sinB=sinA,2osinC=sinBB=C故厶ABC是等腰三角形化簡(jiǎn)后得b2=c2b=cABC是等腰三角形2一題多證例4在厶ABC中已知a=2bcosC,求證：ABC為等腰三角形證法一：欲證ABC為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而