2019-2020年高中數(shù)學(xué)3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式教案新人教A版必修4

1、2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式教案新人教 A 版必修 4一、教學(xué)目標以兩角和正弦、 余弦和正切公式為基礎(chǔ)， 推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo) 過程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點教學(xué)重點：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公 式；教學(xué)難點：二倍角的理解及其靈活運用.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入： 大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式，sin :- sin：cos：cos：sin：；cos：- cos：cos - sin：sin :；我們由此能否得到的公式呢？（學(xué)生自己動手，

2、把上述公式中看成即可）（二）公式推導(dǎo)：sin2：=sin： ：=sin：COSJCOSJSin：= 2sin：cos：；cos2：=cos：= cos：cos：-sin：sin：= cos2 -sin2：；思考：把上述關(guān)于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？2 2 2 2 2cos2c o -s：s存n- 1sin :n；：1 2sin2 2 2 2 2cos2：-cos -sin : = cos : -（1-cos：）=2cos - -1.丄小 丄亠itan口+ta n2 tan。tan 2：二tan廠.1 -tan tan。1 -tan口（三）例題講解例1、已知求的值.tan - =tan

3、二 tan:1 -tan = tan :5廠12 是sin4：- 2sin2_：cos2：- 2 -13 I 13.丿例2、已知求的值.解：,由此得 解得或.（四）課堂練習(xí)：詳見學(xué)案（五）小結(jié)： 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會靈活運用（六）作業(yè):2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 3.1.3 概率的基本性質(zhì)教案新人教 A 版必修 3（1）【教學(xué)目標】1.說出事件的包含，并,交，相等事件，以及互斥事件，對立事件的概念；2.能敘述互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系3.說出概率的三個基本性質(zhì)；會使用互斥事件、對立事件的概率性質(zhì)求概率?！窘虒W(xué)重難點

4、】教學(xué)重點：概率的加法公式及其應(yīng)用，事件的關(guān)系與運算。教學(xué)難點：概率的加法公式及其應(yīng)用，事件的關(guān)系與運算，概率的幾個基本性質(zhì)【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境1.兩個集合之間存在著包含與相等的關(guān)系，集合可以進行交、并、補運算，你還記得子集、等集、交集、并集和補集的含義及其符號表示嗎？2我們可以把一次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果看成一個集合（如連續(xù)拋擲兩枚硬幣），那么必然事件對應(yīng)全集，隨機事件對應(yīng)子集，不可能事件對應(yīng)空集，從而可以類比集合的關(guān)系與運 算，分析事件之間的關(guān)系與運算，使我們對概率有進一步的理解和認識.二、新知探究1.事件的關(guān)系與運算 思考：在擲骰子試驗中，我們用集合形式定義如下事件：C1=出現(xiàn)1點,C2

5、=出現(xiàn)2點,解：由得.又因為cos2：二12132cos4 -1 -2sin 2：=1 - 2tan4：sin4：cos4：120169 =119一120H9169120169C3=出現(xiàn)3點,C4出現(xiàn)4點,C5=出現(xiàn)5點,C6=出現(xiàn)6點,D1=出現(xiàn)的點數(shù)不大于1,D2=出現(xiàn)的點數(shù)大于4,D3=出現(xiàn)的點數(shù)小于6,E=出現(xiàn)的點數(shù)小于7,F=出現(xiàn)的點數(shù)大于6,G=出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù),Hk出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)，等等.你能寫出這個試驗中出現(xiàn)其它一些事件嗎？類比集合與集合的關(guān)系，運算，你能發(fā)現(xiàn) 它們之間的關(guān)系和運算嗎？上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機事件？哪些是不可能事件?（1）顯然，如果事件C1發(fā)生， 則

6、事件H定發(fā)生，這時我們說事件H包含事件C1，記作HC1。一般地，對于事件A與事件B,如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）?特別地， 不可能事件用表示，它與任何事件的關(guān)系怎樣約定？如果當事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生，則BA （或AB ）;任何事件都包含不可能事件.（2）分析事件C1與事件D1之間的包含關(guān)系,按集合觀點這兩個事件之間的關(guān) 系應(yīng)怎樣描述？一般地，當兩個事件A、B滿足什么條件時，稱事件A與事件B相等？ 若BA且AB,則稱事件A與事件B相等，記作A=B.（3）如果事件C5發(fā)生或C6發(fā)生，就意味著哪個事件發(fā)生？反之成立嗎？事件D2稱為事件C5與事件C6的并事件（或和事件），一般

7、地，事件A與 事件B的并事件（或和事件）是什么含義？當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生時，事件C發(fā)生，則稱事件C為事件A與事件B的并事件（或 和事件），記作C=AUB（或A+E）.（4） 類似地，當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生時，事件C發(fā)生，則稱事件C為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作C=APB（或AB）,在上述事件中能找出這樣的例子嗎？例如，在擲骰子的試驗中D2AD3=C4（5） 兩個集合的交可能為空集，兩個事件的交事件也可能為不可能事件，即AAB=，此時，稱 事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生例如，上述試驗中的事件C1與事件C2互斥，事件G與事件H

8、互斥。（6）若AAB為不可能事件，AUB為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件，其含義是： 事 件A與事件B有且只有一個發(fā)生.思考：事件A與事件B的和事件、積事件，分別對應(yīng)兩個集合的并、交，那么事件A與事件B互為對立事件，對應(yīng)的集合A、B是什么關(guān)系？集合A與集合B互為補集.思考：若事件A與事件B相互對立，那么事件A與事件B互斥嗎？反之，若事件A與 事件B互斥，那么事件A與事件B相互對立嗎？2.概率的幾個基本性質(zhì)思考1：概率的取值范圍是什么？必然事件、不可能事件的概率分別是多少？思考2:如果事件A與事件B互斥，則事件AUB發(fā)生的頻數(shù)與事件A、B發(fā)生的頻數(shù)有什么關(guān)系？fn(AUB)與fn(A)

9、、fn(B)有什么關(guān)系？進一步得到P(AUB)與P(A)、P(B)有什么關(guān)系？若事件A與事件B互斥， 則AUB發(fā)生的頻數(shù)等于事件A發(fā)生的頻數(shù)與事件B發(fā)生的頻數(shù)之和， 且P(AUB)=P(A)+P(B),這就是概率的加法公式思考3:如果事件A與事件B互為對立事件，則P(AUB)的值為多少？P(AUB)與P(A)、P(B)有什么 關(guān)系？由此可得什么結(jié)論？若事件A與事件B互為對立事件，則P(A) +P(B)=1.思考4:如果事件A與事件B互斥，那么P(A) +P(B)與1的大小關(guān)系如何？P(A) +P(B)w1.三、典型例題例1如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么取到紅心(事件A)的

10、概率是0.25,取到方片(事件B)的概率是0.25，問：(I)取到紅色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？解：(1)因為C= AUB,且A與B不會同時發(fā)生，所以A與B是互斥事件，根據(jù)概率的加法公式，得P(C)=P(AUB)= P(A)P(B)=0.5，(2)C與D也是互斥事件，又由于CUD為必然事件，所以C與D互為對立事件，所以P(D)=1- P(C)=0.5.點評:利用互斥事件、對立事件的概率性質(zhì)求概率變式訓(xùn)練1:袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，已知得到紅球的 概率是1/3，得到黑球或黃球的概率是5/12，得到黃球或綠球的概率也是5

11、/12，試求得到黑球、黃 球、綠球的概率分別是多少？例2某射手進行一次射擊，試判斷下列事件哪些是互斥事件？哪些是對立事件？事件A:命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事件B:命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C:命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D:命中環(huán)數(shù)為6、7、&9、10環(huán).事件A與事件C互斥，事件B與事件C互斥，事件C與事件D互斥且對立.點評:學(xué)會判斷互斥、對立關(guān)系變式訓(xùn)練2:.從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件。(1)恰好有1件次品恰好有2件次品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品

12、；(4)至少有1件次品和全是正品四、課堂小結(jié)1.事件的各種關(guān)系與運算， 可以類比集合的關(guān)系與運算， 互斥事件與對立事件的概念的外延具有包含關(guān)系，即對立事件互斥事件.2.在一次試驗中， 兩個互斥事件不能同時發(fā)生， 它包括一個事件發(fā)生而另一個事件不發(fā)生， 或者兩 個事件都不發(fā)生，兩個對立事件有且僅有一個發(fā)生.3.事件(A+B或(AUB),表示事件A與事件B至少有一個發(fā)生，事件(AB)或AAB,表示事件A與事件B同時發(fā)生.4.概率加法公式是對互斥事件而言的，一般地，P(AUB)WP(A) +P(B).五、反饋測評1某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25

13、,0.28，計算該射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）少于7環(huán)的概率。解： （1） 該射手射中10環(huán)與射中9環(huán)的概率是射中10環(huán)的概率與射中9環(huán)的概率的和， 即為0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7環(huán)的概率恰為射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率的和，即為0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7環(huán)的事件與射中不少于7環(huán)的事件為對立事件，所以射中少于7環(huán)的概率為10.97=0.03。2已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率是，從中取出2粒都是白子的概率是，現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少

14、？解：從盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰為取2粒白子的概率與2粒黑子的概率的和，即為+=【板書設(shè)計】略【作業(yè)布置】課本121頁1-5T3.1.3概率的基本性質(zhì)課前預(yù)習(xí)學(xué)案2如果B A且A B稱事件A與事件B相等.記作A3如果事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生.（或稱和事件）,記作A B（或A B）.如上面試驗中4如果事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生.二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：1、 知識回顧：(1)必然事件： 在條件S下，發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；(2)不可能事件:在條件S下，發(fā)生的事件，叫 相對于條件S的不可能事件；(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事

15、件;(4)隨機事件： 在條件S下的事件，叫相對于條件S的隨機事件;2、事件的關(guān)系與運算對于事件A與事件B如果事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，就稱事件包含事件.(或稱事件包含于事件）.記作AB,或BA如上面試驗中與一、預(yù)習(xí)目標：通過預(yù)習(xí)事件的關(guān)系與運算，初步理解事件的包含 對立事件的概念。,并,交，相等事件，以及互斥事件，_B.如上面試驗中_ 與_則稱此事件為事件A與事件B的并._與則稱此事件為事件A與事件B的交.與（或稱積事件）,記作A B（或A B）.如上面試驗中5如果A B為不可能事件（A B）,那么稱事件A與事件B互斥.其含意是：事件A與事件B在任何一次實驗中 _ 同時發(fā)生.6如果AB為不可

16、能事件，且AB為必然事件，稱事件A與事件B互為對立事件.其含意是：事件A與事件B在任何一次實驗中 _ 發(fā)生._3.概率的幾個基本性質(zhì)(1).由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗的次數(shù)所以，頻率在01之間，從而任何事件的概率在01之間即必然事件 的概率：；不可能事件 的概率：(2)當事件A與事件B互斥時,A B發(fā)生的頻數(shù)等于A發(fā)生的頻數(shù)與B發(fā)生的頻數(shù)之和從而A B的頻率fn(A B) =fn(A) fn(B)由此得概率的加法公式:.(3) .如果事件A與事件B互為對立，那么，A B為必然事件，即因而三、提出疑惑川)一尸(”)同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內(nèi)

17、容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標：1.說出事件的包含，并，交，相等事件，以及互斥事件，對立事件的概念；2能敘述互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系3.說出概率的三個基本性質(zhì)；會使用互斥事件、對立事件的概率性質(zhì)求概率。二、學(xué)習(xí)內(nèi)容1.事件的關(guān)系與運算(1)顯然，如果事件C1發(fā)生， 則事件H定發(fā)生，這時我們說事件H包含事件C1,記作H C1一般地，對于事件A與事件B,如何理解事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)? 特別地，不可能事件用 表示，它與任何事件的關(guān)系怎樣約定？(2)分析事件C1與事件D1之間的包含關(guān)系，按集合觀點這兩個事件之間的關(guān) 系應(yīng)怎樣描述？(3)如果事件C5發(fā)生或C6發(fā)生，就意味著哪個事件

18、發(fā)生？反之成立嗎?事件D2稱為事件C5與事件C6的并事件(或和事件)，一般地，事件A與事件B的并事件(或和 事件)是什么含義？(4)類似地，當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生時，事件C發(fā)生，則稱事件C為事件A與事件B的交事件(或積事件)，記作C=APB(或AB,在上述事件中能找出這樣的例子嗎?5)你能在探究試驗中找出互斥事件嗎？請舉例。6)在探究試驗中找出互斥事件思考：事件A與事件B的和事件、積事件，分別對應(yīng)兩個集合的并、交，那么事件A與事件B互為對立事件，對應(yīng)的集合A、B是什么關(guān)系？思考：若事件A與事件B相互對立，那么事件A與事件B互斥嗎？反之，若事件A與 事件B互斥，那么事件A與事件B相互對立

19、嗎？2.概率的幾個基本性質(zhì)思考1：概率的取值范圍是什么？必然事件、不可能事件的概率分別是多少？思考2:如果事件A與事件B互斥，則事件AUB發(fā)生的頻數(shù)與事件A、B發(fā)生的頻數(shù)有什么關(guān)系？fn(AUB)與fn(A)、fn(B)有什么關(guān)系？進一步得到P(AUB)與P(A)、P(B)有什么關(guān)系？思考3:如果事件A與事件B互為對立事件，則P(AUB)的值為多少？P(AUB)與P(A)、P(B)有什 么關(guān)系？由此可得什么結(jié)論？思考4:如果事件A與事件B互斥，那么P(A) +P(B)與1的大小關(guān)系如何?3、典型例題例1如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張， 那么取到紅心(事件A)的概率是0.25,

20、取到方片(事件B)的概率是0.25，問：(I)取到紅色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？例2某射手進行一次射擊，試判斷下列事件哪些是互斥事件？哪些是對立事件？ 事件A:命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事件B:命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C:命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D:命中環(huán)數(shù)為6、7、8、9、10環(huán).三、反思總結(jié)1.如何判斷事件A與事件B是否為互斥事件或?qū)α⑹录?2.如果事件A與事件B互斥，P（AUB）與P（A）、P（B）有什么關(guān)系？3.如果事件A與事件B互為對立事件，則P（AUB）的值為多少？P（AUB）與P（A）、P（B）有什么關(guān) 系？四、當堂檢測1.一 個 人 打 靶 時 連

21、續(xù) 射 擊 兩 次 ， 事 件 “ 至 少 有 一 次 中 靶 ” 的 互 斥 事 件 是（）A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶2.把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁四人，每人分得一張，那么事件“甲得 紅牌”與事件“乙分得紅牌”是（ ）A.對立事件B.互斥但不對立事件C.必然事件D.不可能事件3.袋中有12個小球，分別為紅球、 黑球、黃球、綠球，從中任取一球， 已知得到紅球的概率是1/3，得到黑球或黃球的概率是5/12，得到黃球或綠球的概率也是5/12，試求得到黑球、黃球、綠球的 概率分別是多少？課后練習(xí)與提高1從一堆產(chǎn)品（其中正品與次品都多于2件）中

22、任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判 斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件。1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；3）至少有1件正品和至少有1件次品； （4）至少有1件次品和全是正品已知P（A）=，P（B）=，求出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率。3某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.28，計算該射手在一次射擊中： （1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率； （2）少于7環(huán)的概率。4某射手在一次射擊訓(xùn)練中， 射中10環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.28， 計算該射手在一次射擊中：1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；2）少于7環(huán)的概率。5已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知從中