第一章 無窮小的比較最后修改

1、第七節(jié)第七節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較一一 問題的提出問題的提出三三 兩個定理兩個定理四四 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題二二 定義無窮小的比較定義無窮小的比較幫助幫助返回返回一、無窮小的比較一、無窮小的比較例如例如,都是無窮小時當(dāng)2,sin,3 ,0 xxxxx觀察各極限觀察各極限, 03lim20 xxx;32要快得多比 xxxxxsinlim0, 1;sin大致相同與xx極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.?sinlim20 xxx00001.0 ,01.0 ,25.0 , 1 ,2x0001.0 , 1 .0 , 5 .0 , 1 ,x0002.0

2、,2.0, 1 ,2,2x定義定義: :設(shè)設(shè) ， 是同一過程中的兩個無窮小，且是同一過程中的兩個無窮小，且0如果如果 ，稱，稱 是比是比 高階的無窮小，記作高階的無窮小，記作 ；0lim 如果如果 ，稱，稱 是比是比 低階的無窮??；低階的無窮?。?lim如果如果 ，稱，稱 與與 是同階的無窮小；是同階的無窮小；0limCC如果如果 ,稱稱 是是 的的k k階的無窮小階的無窮小; ;0, 0limkCCk如果如果 ，稱，稱 與與 是等價的無窮小是等價的無窮小, ,記作記作1lim. ，當(dāng)，當(dāng) 時，時， 是比是比 高階的無窮小，說高階的無窮小，說明明 比比 趨近于趨近于0的速度快些。的速度快些。

3、0320limxxx0 x23xx23xx ，當(dāng)，當(dāng) 時，時， 是比是比 低階的無窮小。低階的無窮小。 211nnnlim nn121n ，當(dāng)，當(dāng) 時，時， 與與 是同階無窮小。是同階無窮小。 63923 xxxlim3x92 x3 x ，當(dāng)，當(dāng) 時，時， 是關(guān)于是關(guān)于 的二階無窮小。的二階無窮小。 21cos120 xxxlim0 xxcos1 x定理定理1： 與與 是等價無窮小的充分必要條件是是等價無窮小的充分必要條件是 證證 01lim1lim-lim于是有于是有 ， . . 11limlimlim 二、等價無窮小替換二、等價無窮小替換設(shè)設(shè) ， 且且 存在，則存在，則 . .證證意義意義

4、: : 求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子或分母或求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價的較簡單的無窮小代替，以乘積因子中的無窮小用與其等價的較簡單的無窮小代替，以簡化計(jì)算。具體代換時，可只代換分子，也可只代換分母，簡化計(jì)算。具體代換時，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時代換。或者分子分母同時代換。定理定理( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) )limlimlimlimlimlimlimlimlimxx tanxx sin例例1 1解解:xxxtanlim0原式原式1cossinlimcossinlim00 xxxxxxxx當(dāng)當(dāng)

5、時，常用的時，常用的 等價無窮小等價無窮小0 x221cos1xx例例2 2求求xxx5sin2tanlim0解：解：當(dāng)當(dāng) 時，時， ，0 xxx22tan.55sinxx.5252lim0 xxx所以原式所以原式注意：注意：不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換. .對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換. . 錯錯解解,0時當(dāng) x,22sinxx)cos1 (tansintanxxxx,213x330)2(21limxxx原式.161解解.sin,tan,0 xxxxx時當(dāng) 30)2(limxxxx原式例例3 3xxxx2sinsintanlim求30. 0

6、.mnmxnxx是整數(shù)）,(sinsin0lim求xx.xsin,時0當(dāng).nxnx,mxmxsinsin., 0., 1lim原式0mnmnmnmxnxx，例例4 4解解三、小結(jié)三、小結(jié)1.無窮小的比較無窮小的比較:反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價無窮小等價無窮小; 無窮小的階無窮小的階.2.等價無窮小的替換等價無窮小的替換: 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注意適用條件注意適用條件.思考題思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？任何兩個無窮小量都可以比較嗎？思考題