達(dá)朗貝爾原理

1、 第十三章第十三章 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理( (動(dòng)靜法動(dòng)靜法) )Jean le Rond dAlembert（1717-1783)達(dá)朗貝爾是一位哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、力學(xué)家。17431743年，他發(fā)表了論動(dòng)力學(xué)一書(shū)，提出了達(dá)朗貝爾原理。他假定：就整個(gè)物體而言，內(nèi)部反作用互相抵消了，對(duì)運(yùn)動(dòng)沒(méi)有任何貢獻(xiàn)，而事實(shí)上另一組力把運(yùn)動(dòng)傳遞給系統(tǒng)，使得有效力靜態(tài)地等于外力，這里說(shuō)的“有效力”即是慣性力。達(dá)朗貝爾原理將動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)按統(tǒng)一的觀點(diǎn)來(lái)處理。它與虛位移原理一起為分析力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。p 一位把微分看成是函數(shù)極限的數(shù)學(xué)家p 認(rèn)為力學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的主要興趣p 第一次用微分方程表示場(chǎng)p 偏微分

2、方程論的創(chuàng)始人Jean le Rond dAlembert（1717-1783)Lets Go! 13-1 慣性力慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理NFFam0amFFN令令I(lǐng)Fma 慣性力慣性力有有0INFFF 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力、約束力和約束力和虛加的慣性力虛加的慣性力在形式上組成平衡力系。在形式上組成平衡力系。 注意注意: :慣性力是虛加的，并非真正作用在質(zhì)點(diǎn)上。1. 是形式上的平衡，質(zhì)點(diǎn)實(shí)際上并不平衡。已知：已知：60,m3 . 0,kg1 . 0lm求：求：.,TFv例例 解：解：sin2lvmmaFnnI0ITFF

3、gm0cos, 01mgFFb0sin, 0nITnFFF解得解得N96. 1cosmgFTsm1 . 2sin2mlFvT列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車廂向右作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺左偏角度 ，相對(duì)于車廂靜止。求車廂的加速度a。例例 選單擺的擺錘為研究對(duì)象虛加慣性力虛加慣性力FI = ma由動(dòng)靜法，有Fx=0mg sinFI cos=0解得a=g tga=g tg 角隨著加速度a的變化而變化，當(dāng)a不變時(shí)， 角也不變。只要測(cè)出 角，就能知道列車的加速度a 。擺式加速計(jì)的原動(dòng)靜法優(yōu)點(diǎn)：動(dòng)靜法優(yōu)點(diǎn)：u 可以利用靜力學(xué)研究平衡問(wèn)題的方法研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題；u 給動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了一種統(tǒng)一的解題格

4、式。 13-2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理記記)(eiF為作用于第為作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上外力的合力。個(gè)質(zhì)點(diǎn)上外力的合力。)(iiF為作用于第為作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上內(nèi)力的合力。個(gè)質(zhì)點(diǎn)上內(nèi)力的合力。則有則有 0FMFMFM0FFFIi0ii0ei0Iiiiein21i0FFFIiNii, 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理：質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理：質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的主動(dòng)力，約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。主動(dòng)力，約束力和它的慣性力在形式上組成平衡力系。因因 , 0, 00iiiiFMF有有 0000IieiIieiFMFMFF也稱為質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)系

5、上的外也稱為質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力與虛加在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上組成平衡力系。力與虛加在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上組成平衡力系。平面任意力系：平面任意力系： 00000eixIixeiyIiyeiIiFFFFMFMF應(yīng)用動(dòng)靜法求解時(shí)，其解題步驟與靜力學(xué)一樣。應(yīng)用動(dòng)靜法求解時(shí)，其解題步驟與靜力學(xué)一樣。即：選取研究對(duì)象、畫(huà)受力圖、列平衡方程、求即：選取研究對(duì)象、畫(huà)受力圖、列平衡方程、求解。解。如圖所示，定滑輪的半徑為如圖所示，定滑輪的半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m均勻均勻分布在輪緣上，繞水平軸分布在輪緣上，繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)?？暹^(guò)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)。垮過(guò)滑輪的無(wú)重繩的兩端掛有質(zhì)量為無(wú)重繩的兩

6、端掛有質(zhì)量為m1和和m2的重物（的重物（mm2)，繩與輪間不打滑，軸承摩擦忽略不計(jì)，繩與輪間不打滑，軸承摩擦忽略不計(jì)，求重物的加速度。求重物的加速度。例例 解：解：amFamFII2211,amrmFiitIi0, 02211armramgmamgmMiO由由mararmarmii解得解得gmmmmma2121rvmFinIi2飛輪質(zhì)量為飛輪質(zhì)量為m，半徑為，半徑為，以勻角速度定，以勻角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)輪輻質(zhì)量不計(jì)，質(zhì)量均布在較薄軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)輪輻質(zhì)量不計(jì)，質(zhì)量均布在較薄的輪緣上，不考慮重力的影響。的輪緣上，不考慮重力的影響。求：輪緣橫載面的張力求：輪緣橫載面的張力(不計(jì)輻條受力不計(jì)輻條受力)。例

7、例 解：解：22RRRmamFiniiIi0cos, 0AIixFFF0sin, 0BIiyFFF令令, 0i2mRR2mF2220Adcos2mRR2mF2220Bdsin 13-3 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化剛體慣性力系的簡(jiǎn)化 CeiIRamFF 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng)慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化。慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化。剛體平移時(shí)慣性力系合成為一過(guò)質(zhì)心的合力。2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這里僅討論具有垂直于轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量對(duì)稱平面的簡(jiǎn)單情況。直線i i : : 平移，過(guò)MiMi點(diǎn)，F(xiàn) F = mia ai i空間慣性力系平面慣性力系（質(zhì)量對(duì)稱面內(nèi)）點(diǎn)O O為轉(zhuǎn)軸z z與質(zhì)量對(duì)稱平面的交點(diǎn)，向O O點(diǎn)簡(jiǎn)化。主矢：主矩：=

8、Jo（負(fù)號(hào)表示與（負(fù)號(hào)表示與反向）反向）向鉸鏈O簡(jiǎn)化：例例 均質(zhì)桿長(zhǎng)l ，質(zhì)量m，與水平面鉸接， 桿由與水平面成?0 角位置靜止落下。求開(kāi)始落下時(shí)桿AB的角加速度及支座A的約束力。選桿AB為研究對(duì)象虛加慣性力系：（向鉸鏈A簡(jiǎn)化）用動(dòng)力學(xué)普遍定理再求解此題：剛體作平面運(yùn)動(dòng)剛體作平面運(yùn)動(dòng)（平行于質(zhì)量對(duì)稱面）（平行于質(zhì)量對(duì)稱面）CIRCIcamFJM假設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，并且平行于該平面作平面運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，剛體的慣性力系可先簡(jiǎn)化為質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運(yùn)動(dòng)可分解為：隨質(zhì)心C C的平移：繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng):（作用于質(zhì)心C C）如圖所示均質(zhì)桿的質(zhì)量為如圖所示均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l，繞定

9、軸，繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，角加速度為，角加速度為 。求：慣性力系向點(diǎn)求：慣性力系向點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果簡(jiǎn)化的結(jié)果（方向在圖上畫(huà)出）。（方向在圖上畫(huà)出）。例例 解：解：2lmFtIO22lmFnIO231mlMIO如圖所示，電動(dòng)機(jī)定子及其外殼總質(zhì)量為如圖所示，電動(dòng)機(jī)定子及其外殼總質(zhì)量為m1，質(zhì)心位于質(zhì)心位于O處。轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為處。轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2，質(zhì)心位于，質(zhì)心位于處，偏心矩處，偏心矩e,圖示平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對(duì)圖示平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對(duì)稱面。電動(dòng)機(jī)用地角螺釘固定于水平基礎(chǔ)上，稱面。電動(dòng)機(jī)用地角螺釘固定于水平基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)O與水平基礎(chǔ)間的距離為與水平基礎(chǔ)間的距離為h。運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，轉(zhuǎn)。運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，

10、轉(zhuǎn)子質(zhì)心子質(zhì)心位于最低位置，轉(zhuǎn)子以勻角速度位于最低位置，轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。求：基礎(chǔ)與地角螺釘求：基礎(chǔ)與地角螺釘給電動(dòng)機(jī)總的約束力。給電動(dòng)機(jī)總的約束力。例例 解：解：22IFm e0sin, 0IxxFFF20,sinsin0AIMMm geF h因因得, t22sinxFm et temgmmFycos2221themtgemMsinsin222120,cos0yyIFFmmgF如圖所示，電動(dòng)絞車安裝在梁上，梁的兩端擱如圖所示，電動(dòng)絞車安裝在梁上，梁的兩端擱在支座上，絞車與梁共重為在支座上，絞車與梁共重為P。絞盤半徑為。絞盤半徑為R，與電機(jī)轉(zhuǎn)子固結(jié)在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為與電機(jī)轉(zhuǎn)子固結(jié)在一起

11、，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，質(zhì)心，質(zhì)心位于位于O處。絞車以加速度處。絞車以加速度a提升質(zhì)量為提升質(zhì)量為m的重物，的重物，其它尺寸如圖。其它尺寸如圖。 已知已知:.,maJRP求：支座求：支座A，B受到的附加約束力。受到的附加約束力。例例 解解 ：maFI解得：解得：RJmlaPlmglllFA232211RaJJM0I2231200BIIOAMmglF lPlMFll00IBAyFPmgFFFRJmlalllPmglllFB13211211上式中前兩項(xiàng)為靜約束力，附加約束力為上式中前兩項(xiàng)為靜約束力，附加約束力為RJmlllaFA221RJmlllaFB121已知，均質(zhì)圓盤已知，均質(zhì)圓盤,Rm1均質(zhì)桿均質(zhì)桿

12、,2mR2l 純滾動(dòng)。純滾動(dòng)。求：求：F多大，能使桿多大，能使桿B端剛好離開(kāi)地面？純滾動(dòng)端剛好離開(kāi)地面？純滾動(dòng)的條件？的條件？例例 解得解得gmmF32321得得RaRmMamFAA21I1I21,030cos30sin02IIIgRmRFMRFFRMCAAD解：剛好離開(kāi)地面時(shí)，地面約束力為零。解：剛好離開(kāi)地面時(shí)，地面約束力為零。030cos30sin022gRmaRmMAga3得得 gmFs123解得解得21123mmmFFfNssgmmfFfFsNss21由由0021ammFFFsx例例 例例 動(dòng)靜法的優(yōu)點(diǎn)用動(dòng)靜法和用普遍定理求解動(dòng)反力的主要區(qū)別在于力矩方程 前者可對(duì)任意點(diǎn)取矩 后者矩心一

13、定取定點(diǎn)或質(zhì)心主動(dòng)力引起靜反力，而慣性力引起動(dòng)反力，這種方法物理意義比較鮮明；普遍定理概念多，定理不直觀，較難掌握動(dòng)靜法只有真實(shí)力、慣性力概念。普遍定理沿著力的作用和運(yùn)動(dòng)量的描述兩條線索分析問(wèn)題. .而動(dòng)靜法是將兩條線索從形式上轉(zhuǎn)化為只有力的簡(jiǎn)化這一條線索動(dòng)靜法的缺點(diǎn) 用動(dòng)靜法解題時(shí)容易掩蓋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性（如動(dòng)量守恒、動(dòng)量矩守恒等）。 加慣性力需要分析加速度，而動(dòng)能定理只要求作速度分析。00 xIxRxBxAxFFFFF第第13-4 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力00yIyRyByAyFFFFF00zRBzzFFF00 xIxyAyBxMMOAFOBFM00yI

14、yBxAxyMMOBFOAFM解得解得OBMMOBFMABFIxIxRxyAx1 OBFMOBFMABFIyIxRyxAy1OAFMOAFMAB1FIxIxRxyBx OAFMOAFMABFIyIxRyxBy1RzBzFF0, 0IyIxIyIxMMFF即：即：000022xzyzIyyzxzIxCyIyCxIxJJMJJMmaFmaF必有必有0Ca0yzxzJJ通過(guò)質(zhì)心的慣性主軸稱為通過(guò)質(zhì)心的慣性主軸稱為中心慣性主軸中心慣性主軸因此，避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件是：因此，避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件是：剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸。剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸。引起的軸承約束力稱動(dòng)約束力

15、，引起的軸承約束力稱動(dòng)約束力，由由IOIRMF ,稱滿足稱滿足的軸的軸z為為慣性主軸慣性主軸0yzxzJJ動(dòng)約束力為零的條件為：動(dòng)約束力為零的條件為：質(zhì)心過(guò)質(zhì)心過(guò)z z 軸軸靜平衡與動(dòng)平衡的概念u靜平衡：剛體轉(zhuǎn)軸過(guò)質(zhì)心，則剛體在僅受重力而不受其它主動(dòng)力時(shí)，不論位置如何，總能平衡。u動(dòng)平衡：轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生附加動(dòng)反力。兩個(gè)相同的定滑輪如下圖示，開(kāi)始時(shí)都處于靜止，問(wèn)哪個(gè)角速度大？(a) 繩子上加力G(b) 繩子上掛一重G的物體例例 均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無(wú)滑動(dòng)地沿傾斜平板由靜止自O(shè)點(diǎn)開(kāi)始滾動(dòng)。平板對(duì)水平線的傾角為 ，試求OA=S時(shí)平板在O點(diǎn)的約束反力。板的重力略去不計(jì)。解：

16、(1) 用動(dòng)能定理求速度，加速度圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)。在初始位置時(shí)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，故T1=0；在末位置時(shí)，設(shè)角速度為，則vC = R , 動(dòng)能為：(2) 用達(dá)朗伯原理求約束反力取系統(tǒng)為研究對(duì)象，虛加慣性力RQ和慣性力偶MQC列方程：在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動(dòng)的圓柱體A和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P和Q，半徑均為R，繩子不可伸長(zhǎng)，其質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M。例例 求：(1) 鼓輪的角加速度？(2) 繩子的拉力？(3) 軸承O處的約束力？(4) 圓柱體與斜面間的摩擦力（不計(jì)滾動(dòng)摩擦）？解：（1）取鼓輪O為研究對(duì)象，虛加慣性力偶(2)取圓柱體A為研究對(duì)象，虛加慣性力和慣性力偶補(bǔ)充關(guān)系：可得：例例 繞線輪重P，半徑為R及r ，對(duì)質(zhì)心O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，在與水平成 角的常力T 作用下純滾動(dòng)，不計(jì)滾阻。求：(1)輪心的加速度；(2)分析純滾動(dòng)的條件解：用動(dòng)靜法求解繞線輪作平面運(yùn)動(dòng)（純滾動(dòng)）由動(dòng)靜法，得純滾動(dòng)的條件：思考題：思考題：物體系統(tǒng)由質(zhì)量均為m的兩物塊A和B組成，放在光滑水平面上，物體A上作用一水平力