3向量組的線性相關(guān)性

1、4.3 向量組的線性相關(guān)性向量組及其線性組合向量組及其線性組合定義：n 個(gè)有次序的數(shù) a1, a2, , an 所組成的數(shù)組稱為n 維向量，這 n 個(gè)數(shù)稱為該向量的 n 個(gè)分量，第 i 個(gè)數(shù) ai 稱為第 i 個(gè)分量行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量本書中，列向量用黑色小寫字母 a, b, a, b 等表示，行向量則用 aT, bT, aT, bT 表示定義：定義：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為向量組向量組 當(dāng)當(dāng)R(A) n 時(shí)，齊次線性方程組時(shí)，齊次線性方程組 Ax =

2、0 的全體解組成的向的全體解組成的向量組含有無窮多個(gè)向量量組含有無窮多個(gè)向量11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa 1234,a a a a a a a a 123TTTb bb bb b 結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)有限向量組有限向量組定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am ， 對于任何一組實(shí)數(shù)對于任何一組實(shí)數(shù) k1, k2, , km ，表達(dá)式，表達(dá)式k1a1 + k2a2 + + kmam稱為向量組稱為向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合k1, k2, , km

3、 稱為這個(gè)稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù)定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，如果存在一組，如果存在一組實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) l l1, l l2, , l lm ，使得，使得b = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam則向量則向量 b 是向量組是向量組 A 的線性組合，這時(shí)稱的線性組合，這時(shí)稱向量向量 b 能由向量組能由向量組 A 的線性表示的線性表示例：例：設(shè)設(shè) 123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 123237eee237b 那么那么線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù)e1, e2, e3的的線性組合線性組合一

4、般地，對于任意的一般地，對于任意的 n 維向量維向量b ，必有，必有1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb n 階單位矩陣階單位矩陣 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 維單位坐標(biāo)向量維單位坐標(biāo)向量1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 1000010000100001nE 回顧：線性方程組的表達(dá)式1. 一般形式3. 向量方程的形式2. 增廣矩陣的形式4. 向量組線性組合的形式12312334521xxxxxx 34151121 12334151121xxx 12334151121xxx 方程組有解？方程組有解？向量向量 是否能用是否

5、能用 線性表示？線性表示？341,112 51 結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng) 1111211221222211221212,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxx ax ax aa aaxaaax1122mmbaaallllll11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaal ll ll l ( )( , )R AR A b 向量向量b 能由能由向量組向量組 A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b 有解有解定義：定義：設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, ,

6、bl ， 若若向量組向量組 B 中的每個(gè)向量都能由向量組中的每個(gè)向量都能由向量組 A 線性表示，則稱線性表示，則稱向向量組量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示若向量組若向量組 A 與向量組與向量組 B 能互相線性表示，則稱這兩個(gè)能互相線性表示，則稱這兩個(gè)向量向量組等價(jià)組等價(jià) 設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量組若向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示，即線性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbk ak akabk ak akabk ak ak a 1112221122121

7、212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk 線性表示的線性表示的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量組若向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示，即線性表示，即n對于對于 b1 ，存在一組實(shí)數(shù)，存在一組實(shí)數(shù) k11, k21, , km1 ，使得，使得b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ；n對于對于 b2 ，存在一組實(shí)數(shù)，存在一組實(shí)數(shù) k12, k22, , km2 ，使得，使得b2 = k12a1 + k22 a2 + + km2 am ；n對于對于 bl ，存在

8、一組實(shí)數(shù)，存在一組實(shí)數(shù) k1l , k2l , , kml ，使得，使得bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am若若 Cmn = Aml Bln ，即，即則則 1112121222121212,nnnllllnbbbbbbc cca aabbb 結(jié)論：結(jié)論：矩陣矩陣 C 的列向量組的列向量組能由矩陣能由矩陣 A 的列向量組的列向量組線性表示，線性表示，B 為這一線性表示的系數(shù)矩陣為這一線性表示的系數(shù)矩陣111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 若若 C

9、mn = Aml Bln ，即，即111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 則則1112111212222212TTlTTlTTmmmlmlaaarbaaarbaaarb 結(jié)論：結(jié)論：矩陣矩陣 C 的行向量組的行向量組能由矩陣能由矩陣 B 的行向量組的行向量組線性表示，線性表示，A 為這一線性表示的系數(shù)矩陣為這一線性表示的系數(shù)矩陣口訣：左行右列定理：設(shè)A是一個(gè) mn 矩陣，對 A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對 A 施行一次初等列變換

10、，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.結(jié)論：結(jié)論：若若 C = AB ，那么，那么p矩陣矩陣 C 的行向量組的行向量組能由矩陣能由矩陣 B 的行向量組的行向量組線性表示，線性表示，A為這一線性表示的系數(shù)矩為這一線性表示的系數(shù)矩陣陣（A 在左邊）在左邊）p矩陣矩陣 C 的列向量組的列向量組能由矩陣能由矩陣 A 的列向量組的列向量組線性表示，線性表示，B為這一線性表示的系數(shù)矩為這一線性表示的系數(shù)矩陣陣（B 在右邊）在右邊）cABA 經(jīng)過有限次初等經(jīng)過有限次初等列列變換變成變換變成 B存在有限個(gè)初等矩陣存在有限個(gè)初等矩陣P1, P2, , Pl ，使，使 AP1 P2 , Pl = B存

11、在存在 m 階階可逆矩陣可逆矩陣 P，使得，使得 AP = B矩陣矩陣 B 的列向量組的列向量組與矩陣與矩陣 A 的列向量組的列向量組等價(jià)等價(jià)rAB矩陣矩陣 B 的行向量組的行向量組與矩陣與矩陣 A 的行向量組的行向量組等價(jià)等價(jià) 同理可得同理可得 口訣：左行右列口訣：左行右列. .把把 P 看成是看成是線性表示線性表示的的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣向量組向量組 B：b1, b2, , bl 能由向量組能由向量組 A：a1, a2, , am 線性表示線性表示存在矩陣存在矩陣 K，使得，使得 AK = B 矩陣方程矩陣方程 AX = B 有解有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理定理2）R(

12、B) R(A) （P.85 定理定理3）推論：推論：向量組向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl 等價(jià)的充分等價(jià)的充分必要條件是必要條件是 R(A) = R(B) = R(A, B)證明：證明：向量組向量組 A 和和 B 等價(jià)等價(jià) 向量組向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示 向量組向量組 A 能由向量組能由向量組 B 線性表示線性表示從而有從而有R(A) = R(B) = R(A, B) 因?yàn)橐驗(yàn)?R(B) R(A, B) R(A) = R(A, B)R(B) = R(A, B)例：例：設(shè)設(shè)證明向量證明向量 b 能由向量組能由向量組 a1,

13、a2, a3 線性表示，并求出表示式線性表示，并求出表示式12311111210, , , 21432301aaab 解：解：向量向量 b 能由能由 a1, a2, a3 線性表示當(dāng)且僅當(dāng)線性表示當(dāng)且僅當(dāng)R(A) = R(A, b) 1111103212100121( , )2143000023010000rA b 因?yàn)橐驗(yàn)镽(A) = R(A, b) = 2， 所以向量所以向量 b 能由能由 a1, a2, a3 線性表示線性表示1111103212100121( , )2143000023010000rA b 行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為通解為通解為所以所以 b =

14、 (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 13233221xxxx 3232212110cxccc n 階單位矩陣的列向量叫做階單位矩陣的列向量叫做 n 維單位坐標(biāo)向量維單位坐標(biāo)向量設(shè)有設(shè)有nm 矩陣矩陣 A = (a1, a2, , am) ，試證：，試證：n 維單位坐標(biāo)向維單位坐標(biāo)向量組能由矩陣量組能由矩陣 A 的列向量組線性表示的充分必要條件是的列向量組線性表示的充分必要條件是R(A) = n 分析：分析：n 維單位坐標(biāo)向量組能由矩陣維單位坐標(biāo)向量組能由矩陣 A 的列向量組線性表示的列向量組線性表示R(A) = R(A, E) R(A) = n （注意到：（注意到：R

15、(A, E) = n 一定成立）一定成立）小結(jié)( )( , )R AR A b 向量向量 b 能由能由向量組向量組 A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b 有解有解( )( ,)R AR A B 向量組向量組 B 能能由向量組由向量組 A線性表示線性表示矩陣方程組矩陣方程組AX = B 有解有解( )( )R BR A ( )( )( ,)R AR BR A B向量組向量組 A 與與向量組向量組 B等價(jià)等價(jià)知識結(jié)構(gòu)圖知識結(jié)構(gòu)圖n維向量維向量向量組向量組向量組與矩陣的對應(yīng)向量組與矩陣的對應(yīng)向量組的線性組合向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的線性表示向量組的等價(jià)向量組的等價(jià)判定定

16、理及必要條件判定定理及必要條件判定定理判定定理回顧：向量組的線性組合回顧：向量組的線性組合定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am ， 對于任何一組實(shí)數(shù)對于任何一組實(shí)數(shù) k1, k2, , km ，表達(dá)式，表達(dá)式k1a1 + k2a2 + + kmam稱為向量組稱為向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合k1, k2, , km 稱為這個(gè)稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù)定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，如果存在一組，如果存在一組實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) l l1, l l2, , l lm ，使得，使得b = l l1a1 + l l2

17、a2 + + l lmam則稱則稱向量向量 b 能由向量組能由向量組 A 的線性表示的線性表示引言引言問題問題1：給定向量組給定向量組 A，零向量是否可以由零向量是否可以由向量組向量組 A 線性表線性表 示？示？問題問題2：如果如果零向量可以由零向量可以由向量組向量組 A 線性表示，線性組合的線性表示，線性組合的 系數(shù)是否不全為零？系數(shù)是否不全為零？( )( , )R AR A b 向量向量b 能由能由向量組向量組 A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b 有解有解前面的結(jié)論：前面的結(jié)論：問題問題1：給定向量組給定向量組 A，零向量是否可以由零向量是否可以由向量組向量組 A 線性表

18、示？線性表示？問題問題1：齊次線性方程組齊次線性方程組 Ax = 0 是否存在解？是否存在解？回答：回答：齊次線性方程組齊次線性方程組 Ax= 0 一定存在解一定存在解事實(shí)上，可令事實(shí)上，可令k1 = k2 = = km =0 ，則，則k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量）問題問題2：如果如果零向量可以由零向量可以由向量組向量組 A 線性表示，線性組合的系數(shù)線性表示，線性組合的系數(shù) 是否不全為零？是否不全為零？問題問題2：齊次線性方程組齊次線性方程組 Ax = 0 是否存在是否存在非零解非零解？回答：回答：齊次線性方程組不一定有非零解，從而線性組合的系數(shù)齊次線性方程

19、組不一定有非零解，從而線性組合的系數(shù) 不一定全等于零不一定全等于零例：例：設(shè)設(shè) 123100,010001Ee e e11 1223312323100001000010kk ek ek ekkkkk 若若則則 k1 = k2 = k3 =0 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am ，如果存在，如果存在不全為零不全為零的實(shí)的實(shí)數(shù)數(shù) k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量）則稱則稱向量組向量組 A 是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，否則稱它是的，否則稱它是線性無關(guān)線性無關(guān)的的向量組向量

20、組A：a1, a2, , am線性相關(guān)線性相關(guān)m 元齊次線性方程組元齊次線性方程組Ax = 0有非零解有非零解R(A) m備注：備注：p 給定向量組給定向量組 A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居其一其一p 向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性相關(guān)，通常是指線性相關(guān)，通常是指 m 2 的情形的情形. .p 若向量組只包含一個(gè)向量：當(dāng)若向量組只包含一個(gè)向量：當(dāng) a 是是零向量零向量時(shí)，線性相關(guān)；時(shí)，線性相關(guān)；當(dāng)當(dāng) a 不是不是零向量零向量時(shí)，線性無關(guān)時(shí)，線性無關(guān)p 向量組向量組 A：a1, a2, , am (m 2) 線性相關(guān)，也就是向量組

21、線性相關(guān)，也就是向量組 A 中，至少有一個(gè)向量能由其余中，至少有一個(gè)向量能由其余 m1 個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示特別地，特別地，a1, a2 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) a1, a2 的分量對應(yīng)成比例，其幾的分量對應(yīng)成比例，其幾何意義是兩向量共線何意義是兩向量共線a1, a2, a3 線性相關(guān)的幾何意義是三個(gè)向量共面線性相關(guān)的幾何意義是三個(gè)向量共面向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性相關(guān)線性相關(guān)存在存在不全為零不全為零的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + +

22、kmam =0（零向量）（零向量） m 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解有非零解矩陣矩陣A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的個(gè)數(shù)的秩小于向量的個(gè)數(shù) m 向量組向量組 A 中至少有一個(gè)向量能由其余中至少有一個(gè)向量能由其余 m1 個(gè)向量線性個(gè)向量線性表示表示向量組線性無關(guān)性的判定向量組線性無關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性無關(guān)線性無關(guān)如果如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量），則必有，則必有k1 = k2 = = km =0 m 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax

23、= 0 只只有零解有零解矩陣矩陣A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的個(gè)數(shù)的秩等于向量的個(gè)數(shù) m 向量組向量組 A 中任何一個(gè)向量都不能由其余中任何一個(gè)向量都不能由其余 m1 個(gè)向量線個(gè)向量線性表示性表示例：例：試討論試討論 n 維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性例：例：已知已知試討論向量組試討論向量組 a1, a2, a3 及向量組及向量組a1, a2 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性解：解：可見可見 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量組，故向量組 a1, a2, a3 線性相關(guān)；線性相關(guān)；同時(shí)，同時(shí)，R(a1, a2 ) = 2，故向量組，故向量組

24、a1, a2 線性無關(guān)線性無關(guān)1231021 , 2 , 4 ,157aaa 102102124 022157000r例：例：已知已知向量組向量組 a1, a2, a3 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，試證明向量組試證明向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)解題思路：解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題例：例：已知已知向量組向量組 a1, a2, a3 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，試證明向量

25、組試證明向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)解法解法1：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題已知已知 ，記作，記作 B = AK 設(shè)設(shè) Bx = 0 ，則，則(AK)x = A(Kx) = 0 因?yàn)橐驗(yàn)橄蛄拷M向量組 a1, a2, a3 線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以Kx = 0 又又 |K| = 2 0，那么，那么Kx = 0 只有零解只有零解 x = 0 ，從而向量組從而向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)123123101(,)(,) 110011b b ba a a 例：例：已知已知向量組向量組 a1, a2, a3 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且b1 =

26、a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，試證明向量組試證明向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)解法解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題已知已知 ，記作，記作 B = AK 因?yàn)橐驗(yàn)閨K| = 2 0，所以，所以K 可逆，可逆，R(A) = R(B)，又向量組又向量組 a1, a2, a3 線性無關(guān)，線性無關(guān)， R(A) = 3，從而從而R(B) = 3，向量組向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)123123101(,)(,) 110011b b ba a a 定理定理若向量組若向量組 A ：a1, a2, , am 線性相關(guān)，線性相關(guān)， 則向

27、量組則向量組 B ：a1, a2, , am, am+1 也線性相關(guān)也線性相關(guān)其逆否命題也成立，即若向量組其逆否命題也成立，即若向量組 B 線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān)，則向量組 A 也線性無關(guān)也線性無關(guān)lm 個(gè)個(gè) n 維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù) n 小于向量個(gè)數(shù)小于向量個(gè)數(shù) m 時(shí)，一定線性相關(guān)時(shí)，一定線性相關(guān)特別地，特別地， n + 1個(gè)個(gè) n 維向量一定線性相關(guān)維向量一定線性相關(guān)l設(shè)向量組設(shè)向量組 A ：a1, a2, , am 線性無關(guān)，線性無關(guān)， 而向量組而向量組 B ：a1, a2, , am, b 線性相關(guān)，則向量線性相關(guān)，則向量 b 必能由向量組必能由向

28、量組 A 線性表線性表示，且表示式是唯一的示，且表示式是唯一的4.4 向量組的秩向量組的秩矩陣矩陣線性線性方程組方程組有限有限向量組向量組系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)有限向量組與矩陣一一對應(yīng)Ax = b 有解有解當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)向量向量 b 可由矩陣可由矩陣 A的列向量組線性表示的列向量組線性表示課本課本P. 88定理定理4：向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性相關(guān)線性相關(guān)的充要條件是矩陣的充要條件是矩陣 A = (a1, a2, , am ) 的秩的秩小于小于向量的個(gè)數(shù)向量的個(gè)數(shù) m ；向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性無關(guān)線性無關(guān)的充要

29、條件是矩陣的充要條件是矩陣 A = (a1, a2, , am ) 的秩的秩等于等于向量的個(gè)數(shù)向量的個(gè)數(shù) m 矩陣矩陣線性線性方程組方程組有限有限向量組向量組無限無限向量組向量組系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax = b 有解有解當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)向量向量 b 能否由向量組能否由向量組 A 線性表示線性表示向量組與自己的向量組與自己的最大無關(guān)組等價(jià)最大無關(guān)組等價(jià) n元線性方程組元線性方程組 Ax = b其中其中 A 是是 nm 矩陣矩陣矩陣矩陣 (A, b)向量組向量組 A: a1, a

30、2, ,an 及及向量向量 b是否存在解？是否存在解？R(A) = R(A, b) 成立？成立？向量向量 b 能否由向量組能否由向量組 A線線性表示？性表示？無解無解R(A) R(A, b) NO有解有解R(A) = R(A, b) YESx 的分量是線性組合的系數(shù)的分量是線性組合的系數(shù)唯一解唯一解R(A) = R(A, b) = 未知數(shù)個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式唯一表達(dá)式唯一無窮解無窮解R(A) = R(A, b) 未知數(shù)個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式不唯一表達(dá)式不唯一回顧：矩陣的秩回顧：矩陣的秩定義：定義：在在 mn 矩陣矩陣 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列( k m，kn)，位于這些行列交叉處

31、的位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素，不改變它們在個(gè)元素，不改變它們在 A中所處中所處的位置次序而得的的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣階行列式，稱為矩陣 A 的的 k 階子式階子式規(guī)定：規(guī)定：零矩陣的秩等于零零矩陣的秩等于零定義：定義：設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 中有一個(gè)不等于零的中有一個(gè)不等于零的 r 階子式階子式 D，且所有，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣稱為矩陣A 的的最高階非零子式最高階非零子式，數(shù)，數(shù) r 稱為稱為矩陣矩陣 A 的秩的秩，記作，記作 R(A)結(jié)論：結(jié)論： 矩陣的秩矩陣的秩= 矩陣中最高階非零子式的階

32、數(shù)矩陣中最高階非零子式的階數(shù)= 矩陣對應(yīng)的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)矩陣對應(yīng)的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)向量組的秩的概念向量組的秩的概念定義：定義：設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A ，如果在，如果在 A 中能選出中能選出 r 個(gè)向量個(gè)向量a1, a2, , ar，滿足，滿足 向量組向量組 A0 ：a1, a2, , ar 線性無關(guān)；線性無關(guān)； 向量組向量組 A 中任意中任意 r + 1個(gè)向量（如果個(gè)向量（如果 A 中有中有r + 1個(gè)向量的個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；話）都線性相關(guān)；那么稱向量組那么稱向量組 A0 是向量組是向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組最大線性無關(guān)向量組，簡稱簡稱最大無關(guān)組最

33、大無關(guān)組最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù) r 稱為稱為向量組向量組 A 的秩的秩，記作，記作RA 例：例：求求矩陣矩陣 的秩，并求的秩，并求 A 的一個(gè)的一個(gè)最高階非零子式最高階非零子式21112112144622436979A 第二步求第二步求 A 的最高階非零子式的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列的第一個(gè)非零元所在的列 ，與之對應(yīng)的是選取矩陣，與之對應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣行階梯形矩陣有行階梯形矩陣有 3 個(gè)

34、非零行，故個(gè)非零行，故R(A) = 3 2111211214112140111046224000133697900000rA 0124211111(,)462367rAa a a 0111011001000B 01240211111111011(,)462001367000rAa a aB R(A0) = 3，計(jì)算，計(jì)算 A0的前的前 3 行構(gòu)成的子式行構(gòu)成的子式21111180462 因此這就是因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式結(jié)論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩結(jié)論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的是唯一的事實(shí)上，事實(shí)上，n根據(jù)根

35、據(jù) R(A0) = 3 可知：可知： A0的的 3 個(gè)列向量就是個(gè)列向量就是矩陣矩陣 A 的列向量組的一的列向量組的一個(gè)線性無關(guān)的部分組個(gè)線性無關(guān)的部分組n在矩陣在矩陣 A 任取任取 4 個(gè)列向量個(gè)列向量，根據(jù)，根據(jù) R(A) = 3 可知：可知：A中所有中所有4 階子式階子式都等于零，從而這都等于零，從而這 4 個(gè)列向量所對應(yīng)的矩陣的秩小于個(gè)列向量所對應(yīng)的矩陣的秩小于 4，即這，即這 4 個(gè)個(gè)列向量列向量線性相關(guān)線性相關(guān)nA0的的 3 個(gè)列向量就是個(gè)列向量就是矩陣矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組n矩陣矩陣 A 的列向量組的秩等于的列向量組的秩等于 3n同

36、理可證，矩陣同理可證，矩陣 A 的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于 301240211111111011(,)462001367000rAa a aB 矩陣矩陣線性線性方程組方程組有限有限向量組向量組系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax = b 有解有解當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)向量向量 b 能否由向量組能否由向量組 A 線性表示線性表示一般地，一般地，n矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的行向量組的秩矩陣的秩等于它的行向量組的秩（P.90 定理定理6）一

37、般地，一般地，n矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的行向量組的秩矩陣的秩等于它的行向量組的秩（P.90 定理定理6）n今后，向量組今后，向量組 a1, a2, , am 的秩也記作的秩也記作 R(a1, a2, , am ) n若若Dr 是矩陣是矩陣 A 的一個(gè)最高階非零子式，則的一個(gè)最高階非零子式，則Dr 所在的所在的 r 列是列是 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，Dr 所在的所在的 r 行是行是 A 的行的行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組向量組的一個(gè)最大無關(guān)組n向量組的最大無關(guān)組一般是不唯一的向量組的最大無關(guān)組一般是不唯一的例：例：已

38、知已知試討論向量組試討論向量組 a1, a2, a3 及向量組及向量組a1, a2 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性解：解：可見可見 R(a1, a2 ) = 2，故向量組，故向量組 a1, a2 線性無關(guān)，線性無關(guān)，同時(shí)，同時(shí)， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量組，故向量組 a1, a2, a3 線性相關(guān)，線性相關(guān)，從而從而 a1, a2 是向量組是向量組 a1, a2, a3 的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組事實(shí)上，事實(shí)上， a1, a3 和和 a2, a3 也是最大無關(guān)組也是最大無關(guān)組1231021 , 2 , 4 ,157aaa 102102124 022157000r最大無關(guān)組的

39、等價(jià)定義最大無關(guān)組的等價(jià)定義結(jié)論：結(jié)論：向量組向量組 A 和它自己的最大無關(guān)組和它自己的最大無關(guān)組 A0 是等價(jià)的是等價(jià)的定義：定義：設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A ，如果在，如果在 A 中能選出中能選出 r 個(gè)向量個(gè)向量a1, a2, , ar，滿足，滿足 向量組向量組 A0 ：a1, a2, , ar 線性無關(guān)；線性無關(guān)； 向量組向量組 A 中任意中任意 r + 1個(gè)向量（如果個(gè)向量（如果 A 中有中有 r + 1個(gè)向量的個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；話）都線性相關(guān)； 向量組向量組 A 中任意一個(gè)向量都能由向量組中任意一個(gè)向量都能由向量組 A0 線性表示；線性表示；那么稱向量組那么稱向量組 A0 是向

40、量組是向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)最大無關(guān)組最大無關(guān)組矩陣矩陣線性線性方程組方程組有限有限向量組向量組無限無限向量組向量組系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax = b 有解有解當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)向量向量 b 能否由向量組能否由向量組 A 線性表示線性表示向量組與自己的向量組與自己的最大無關(guān)組等價(jià)最大無關(guān)組等價(jià)最大無關(guān)組的意義最大無關(guān)組的意義結(jié)論：結(jié)論：向量組向量組 A 和它自己的最大無關(guān)組和它自己的最大無關(guān)組 A0 是等價(jià)的是等價(jià)的l用用 A0 來代表來代表 A，掌握了最大無關(guān)組，就掌握了向量

41、組的，掌握了最大無關(guān)組，就掌握了向量組的全體全體特別，當(dāng)向量組特別，當(dāng)向量組 A 為無限向量組，就能用有限向量組來為無限向量組，就能用有限向量組來代表代表l凡是對有限向量組成立的結(jié)論，用最大無關(guān)組作過渡，凡是對有限向量組成立的結(jié)論，用最大無關(guān)組作過渡，立即可推廣到無限向量組的情形中去立即可推廣到無限向量組的情形中去例：例： 全體全體 n 維向量構(gòu)成的向量組記作維向量構(gòu)成的向量組記作 Rn，求，求 Rn 的一個(gè)最大的一個(gè)最大無關(guān)組及無關(guān)組及 Rn 的秩的秩解：解： n 階單位矩陣階單位矩陣 的列向的列向量組是量組是 Rn 的一個(gè)最大無關(guān)組，的一個(gè)最大無關(guān)組，Rn 的秩等于的秩等于n 思考：思考：

42、上三角形矩陣上三角形矩陣 的列向量組是的列向量組是 Rn 的的一個(gè)最大無關(guān)組嗎？一個(gè)最大無關(guān)組嗎？ 12100010,001nEe ee111011001A 例：例：設(shè)齊次線性方程組設(shè)齊次線性方程組 的通解是的通解是試求全體解向量構(gòu)成的向量組試求全體解向量構(gòu)成的向量組 S 的秩的秩1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx 12123434231001xxccxx 例：例：求求矩陣矩陣 的秩，并求的秩，并求 A 的一個(gè)的一個(gè)最高階非零子式最高階非零子式21112112144622436979A 例：例：設(shè)矩陣設(shè)矩陣求矩陣求矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于

43、最大無的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示21112112144622436979A 第二步求第二步求 A 的最高階非零子式的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列的第一個(gè)非零元所在的列 ，與之對應(yīng)的是選取矩陣，與之對應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣行階梯形矩陣有行階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故個(gè)非零行，故R(A) = 3 2111211214112140111046

44、224000133697900000rA 0124211111(,)462367rAa a a 0111011001000B R(A0) = 3，計(jì)算，計(jì)算 A0的前的前 3 行構(gòu)成的子式行構(gòu)成的子式21111180462 因此這就是因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式A0的的 3 個(gè)列向量就是個(gè)列向量就是矩陣矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組01240211111111011(,)462001367000rAa a aB 123452111211214(,)4622436979Aa a a a a 思考：思考：如何把如何把 a3, a5 表示成

45、表示成a1, a2, a4 的線性組合？的線性組合？思路思路1：利用利用P.83 定理定理1 的結(jié)論的結(jié)論思路思路2：利用矩陣?yán)镁仃?A 的的行最簡形矩陣行最簡形矩陣向量向量 b 能由能由向量組向量組 A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b 有解有解 令令 A0 = (a1, a2, a4)求解求解 A0 x = a3 A0 x = a5解（續(xù)）：解（續(xù)）：為把為把 a3, a5 表示成表示成a1, a2, a4 的線性組合，把矩陣的線性組合，把矩陣 A 再變成再變成行最簡形矩陣行最簡形矩陣2111210104112140110346224000133697900000rAB

46、于是于是 Ax = 0 與與 Bx = 0 ，即，即x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0 同解同解即矩陣即矩陣 A 的的列向量組列向量組與矩陣與矩陣 B 的的列向量組列向量組有相同的線性關(guān)系有相同的線性關(guān)系. .2111210104112140110346224000133697900000rAB 可以看出：可以看出：b3 = b1 b2 b5 = 4b1 + 3b2 3b4所以所以a3 = a1 a2 a5 = 4a1 + 3a2 3a44.5 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)

47、構(gòu)回顧：線性方程組的解的判定回顧：線性方程組的解的判定1. 包含包含 n 個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組 Ax = 0 有有非零解非零解的充的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩分必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) n 2. 包含包含 n 個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組 Ax = b 有解的充分有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) = R(A, b)，并且，并且p 當(dāng)當(dāng)R(A) = R(A, b) = n時(shí)，方程組有時(shí)，方程組有唯一解唯一解；p 當(dāng)當(dāng)R(A) = R(A, b) 0l施瓦茲（施瓦茲（Schwarz）不等式）不等式x, y2

48、 x, x y, y11221122 , , nnnnx yx yx yx yy xy xy xy x x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為為 n 維向量，維向量，l l 為實(shí)數(shù)）：為實(shí)數(shù)）：l對稱性：對稱性： x, y = y, xx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為為 n 維向量，維向量，l l 為實(shí)數(shù)）：為實(shí)數(shù)）：l對稱性：對稱性： x, y = y, xl線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： l l

49、x, y = l lx, y x + y, z = x, z + y, z , ()() , TTTx yxyxyx yx yllllllllll, ()()()() , , TTTTTxy zxyzxyzx zy zx zy zx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為為 n 維向量，維向量，l l 為實(shí)數(shù)）：為實(shí)數(shù)）：l對稱性：對稱性： x, y = y, xl線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： l l x, y = l lx, y x + y, z = x, z + y, z l當(dāng)當(dāng) x = 0（零向量）（

50、零向量） 時(shí)，時(shí)， x, x = 0；當(dāng)當(dāng) x 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為為 n 維向量，維向量，l l 為實(shí)數(shù)）：為實(shí)數(shù)）：l對稱性：對稱性： x, y = y, xl線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： l l x, y = l lx, y x + y, z = x, z + y, z l當(dāng)當(dāng) x = 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， x, x = 0；當(dāng)當(dāng) x 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)，

51、 x, x 0l施瓦茲（施瓦茲（Schwarz）不等式）不等式x, y2 x, x y, y回顧：線段的長度回顧：線段的長度2212| , OPxxx xx1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO若令若令 x = (x1, x2)T，則，則222123| , OPxxxx x若令若令 x = (x1, x2, x3)T，則，則x, x = x12 + x22 + + xn2 0 2, , , xxxxx xx xlllll lllllll ll向量的長度向量的長度定義：定義：令令稱稱 | x | 為為 n 維向量維向量 x 的的長度長度（或（或范數(shù)范數(shù)）當(dāng)當(dāng) | x | = 1時(shí)，稱時(shí)，稱

52、x 為為單位向量單位向量向量的長度具有下列性質(zhì)：向量的長度具有下列性質(zhì)：n非負(fù)性：非負(fù)性：當(dāng)當(dāng) x = 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， | x | = 0； 當(dāng)當(dāng) x0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， | x | 0n齊次性：齊次性： | l l x | = | l l | | x | 22212| , 0nx xxxxx2|, , | , |xxxx xx xxlllllllll ll l向量的長度向量的長度定義：定義：令令稱稱 | x | 為為 n 維向量維向量 x 的的長度長度（或（或范數(shù)范數(shù)）當(dāng)當(dāng) | x | = 1時(shí)，稱時(shí)，稱 x 為為單位向量單位向量向量的長度具有下列性質(zhì)：向量的長

53、度具有下列性質(zhì)：n非負(fù)性：非負(fù)性：當(dāng)當(dāng) x = 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， | x | = 0； 當(dāng)當(dāng) x 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， | x | 0n齊次性：齊次性： | l l x | = | l l | | x |n三角不等式：三角不等式： | x + y | | x | + | y |22212|,|nx xxxxxxyx + yy向量的正交性向量的正交性施瓦茲（施瓦茲（Schwarz）不等式）不等式x, y2 x, x y, y = | x | | y |當(dāng)當(dāng) x 0 且且 y 0 時(shí)，時(shí)，定義：定義：當(dāng)當(dāng) x 0 且且 y 0 時(shí)，把時(shí)，把稱為稱為 n 維向量維向量 x

54、 和和 y 的的夾角夾角當(dāng)當(dāng) x, y = 0，稱向量，稱向量 x 和和 y 正交正交結(jié)論：結(jié)論：若若 x = 0，則，則 x 與任何向量都正交與任何向量都正交 , arccos| |x yxy , 1| |x yxy xy 定義：定義：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組正交向量組定理：定理：若若 n 維向量維向量a1, a2, , ar 是一組兩兩正交的非零向量，是一組兩兩正交的非零向量，則則 a1, a2, , ar 線性無關(guān)線性無關(guān)證明：證明：設(shè)設(shè) k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = a1

55、, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2從而從而 k1 = 0同理可證，同理可證，k2 = k3 = = kr =0綜上所述，綜上所述， a1, a2, , ar 線性無關(guān)線性無關(guān)例：例：已知已知3 維向量空間維向量空間R3中兩個(gè)向量中兩個(gè)向量 正交，試求一個(gè)非零向量正交，試求一個(gè)非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 兩兩正交兩兩正交分析：分析：顯然顯然a1a2 解：解：設(shè)設(shè)a3 = (x1, x2, x3)T ，若，若a1a

56、3 ， a2a3 ，則，則 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 012111 , 211aa 12311101210 xAxxx 12311101210 xAxxx 111111111101121030010010rrr得得從而有基礎(chǔ)解系從而有基礎(chǔ)解系 ，令，令 1320 xxx 101 3101a 定義：定義： n 維向量維向量e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 中的向量，中的向量，滿足滿足 e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)基（最大無關(guān)組）；中的一個(gè)基（

57、最大無關(guān)組）； e1, e2, , er 兩兩正交；兩兩正交； e1, e2, , er 都是單位向量，都是單位向量，則稱則稱 e1, e2, , er 是是V 的一個(gè)的一個(gè)規(guī)范正交基規(guī)范正交基例：例：是是 R4 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基nVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,00110001eeee 是是 R4 的一個(gè)基，但不是規(guī)范正交基的一個(gè)基，但不是規(guī)范正交基設(shè)設(shè) e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的

58、一個(gè)中的一個(gè)正交基正交基，則，則V 中任意一中任意一個(gè)向量可唯一表示為個(gè)向量可唯一表示為 x = l l1e1 + l l2e2 + + l lrer于是于是特別地，若特別地，若 e1, e2, , er 是是V 的一個(gè)的一個(gè)規(guī)范正交基規(guī)范正交基，則，則問題：問題： 向量空間向量空間 V 中的一個(gè)基中的一個(gè)基 a1, a2, , ar 向量空間向量空間 V 中的一個(gè)規(guī)范正交基中的一個(gè)規(guī)范正交基 e1, e2, , er2 , , 1,2, ,|iiiiiix ex eire eel l , 1,2,iix eirl l求規(guī)范正交基的方法求規(guī)范正交基的方法第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密

59、特（Schimidt）正交化過程）正交化過程設(shè)設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)基，那么令中的一個(gè)基，那么令11ba a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3122222111,b abacabb b3333313213233121122,bacaccb ab aabbb bb b基基正交基正交基規(guī)范正交基規(guī)范正交基b1c2a2b2返回返回令令 c2 為為 a2 在在 b1 上的投影，則上的投影，則 c2 = l l b1 ，若令若令 b2 = a2 c2 = a2 l l b1 ，則，則 b1b2 下面確定下面確定l l 的值因的值因?yàn)闉樗运?，從而，從

60、而2121121110,b bab ba bb bllll2111,a bb bl l 12222212111,b abacababb bl la2b1 第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化過程）正交化過程設(shè)設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)基，那么令中的一個(gè)基，那么令于是于是 b1, b2, , br 兩兩正交，并且與兩兩正交，并且與a1, a2, , ar 等價(jià)，即等價(jià)，即 b1, b2, , br 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)中的一個(gè)正交基正交基特別地，特別地，b1, , bk 與與a1, , ak 等價(jià)（等價(jià)（1 k