圖像處理和分析教程 章毓晉 第8章

1、圖 像 處 理 和 分 析 教 程圖 像 處 理 和 分 析 教 程章毓晉章毓晉8-2第8章第第8章章圖像投影重建圖像投影重建圖像投影重建圖像投影重建也稱從投影重建圖像從投影重建圖像，一般指從一個(gè)物體的多個(gè)（軸向）投影結(jié)果重建原來目標(biāo)圖像的過程和技術(shù)，其目的是根據(jù)對(duì)場(chǎng)景的投影數(shù)據(jù)來獲取場(chǎng)景中物質(zhì)分布的信息輸入是（一系列）投影圖，而輸出是對(duì)景物的重建圖一類特殊的圖像恢復(fù)技術(shù)。如把投影看成是一種退化過程則重建是一種復(fù)原過程 8-3第8章第第8章章圖像投影重建圖像投影重建8.1投影重建方式投影重建方式8.2投影重建原理投影重建原理8.3傅里葉反變換重建傅里葉反變換重建8.4卷積逆投影重建卷積逆投影重

2、建8.5級(jí)數(shù)展開重建級(jí)數(shù)展開重建8-4第8章8.1 投影重建方式投影重建方式透射斷層成像透射斷層成像從發(fā)射源射出的射線穿透物體到達(dá)接收器。射線在通過物體時(shí)被物體吸收了一部分，而余下部分被接收器接收。由于物體各部分對(duì)射線的吸收不同，所以接收器獲得的射線強(qiáng)度實(shí)際上反映了物體各部分對(duì)射線的吸收情況穿透物體的射線強(qiáng)度如果物體是均勻的，則0exp( )dLIIk ss0expIIkL8-5第8章8.1 投影重建方式投影重建方式透射斷層成像透射斷層成像CT系統(tǒng)已歷經(jīng)四代 圓代表擬成像的區(qū)域，經(jīng)過發(fā)射源（X射線管）的虛線直線箭頭表示發(fā)射源可沿箭頭方向移動(dòng)，而從一個(gè)發(fā)射源到另一個(gè)發(fā)射源的虛線曲線箭頭表示發(fā)射源

3、可沿曲線轉(zhuǎn)動(dòng) 8-6第8章8.1 投影重建方式投影重建方式發(fā)射斷層成像發(fā)射斷層成像發(fā)射源在物體內(nèi)部（可將被檢測(cè)的物體本身看作信號(hào)源）。一般是將具有放射性的離子注入物體內(nèi)部，從物體外檢測(cè)其放射出來的量通過這種方法可以了解離子在物體內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況和分布，從而可以檢測(cè)到與生理有關(guān)的狀況?，F(xiàn)在常用的ECT主要有兩種：正電子發(fā)射成正電子發(fā)射成像像（PET）和單光子發(fā)射成像單光子發(fā)射成像（SPECT） 8-7第8章8.1 投影重建方式投影重建方式反射斷層成像反射斷層成像常見的一個(gè)例子是雷達(dá)系統(tǒng)，其中的雷達(dá)圖是物體反射的回波所產(chǎn)生的。雷達(dá)接收器在特定角度所接收到的回波強(qiáng)度是地面反射量在一個(gè)掃描階段中的積分非聚

4、焦合成孔徑雷達(dá)合成孔徑雷達(dá)（SAR）成像的示意圖8-8第8章8.2 投影重建原理投影重建原理基本模型基本模型這個(gè)積分就是f (x, y)沿t方向的投影 ( , )( , )( , )( , )d(cossin , sincos ) dssg sf x ytf ststt 2( )1 1t sss( , )0 1g ss8-9第8章8.2 投影重建原理投影重建原理拉東變換拉東變換對(duì)f(x, y)的拉東變換Rf(p, q)定義為沿由p和q定義的圖中直線l（點(diǎn)(x, y)在該直線上）的線積分 借助Delta函數(shù)q t X Y O p l (x, y) t z ( , )( , )dfRpf x yl

5、( , )( , ) (cossin )d dfRpf x ypxyx y 8-10第8章8.2 投影重建原理投影重建原理拉東變換拉東變換中心層定理中心層定理(1)(1)(2)( , )( , )( , )( , )ff x yRpf x yF u vFRFF對(duì)f(x, y)沿一個(gè)固定角度投影結(jié)果的1-D傅里葉變換對(duì)應(yīng)f(x, y)的2-D傅里葉變換中沿相同角度的一個(gè)剖面（層） 8-11第8章8.2 投影重建原理投影重建原理逆投影逆投影根據(jù)拉東變換，解積分方程應(yīng)該是一個(gè)將原來的投影過程逆轉(zhuǎn)過來的一個(gè)過程。這個(gè)過程稱為逆投影逆投影 水平投影和逆投影 垂直投影和逆投影8-12第8章8.3 傅里葉反

6、變換重建傅里葉反變換重建基本步驟和定義基本步驟和定義(1)建立數(shù)學(xué)模型，其中已知量和未知量都是連續(xù)實(shí)數(shù)的函數(shù)(2)利用反變換公式解未知量(3)調(diào)節(jié)反變換公式以適應(yīng)離散、有噪聲應(yīng)用的需求 8-13第8章8.3 傅里葉反變換重建傅里葉反變換重建傅里葉反變換重建公式傅里葉反變換重建公式傅里葉變換投影定理傅里葉變換投影定理設(shè)G(R, )是g(s, )對(duì)應(yīng)第一個(gè)變量s的（1-D）傅里葉變換投影定理可表示為 ( , )( , )( , ) expj2 dsG Rg sRss( , )( cos ,sin )G RF RR(, )( , )expj2 () d dQF X Yf x yxXyYx y8-14

7、第8章8.3 傅里葉反變換重建傅里葉反變換重建傅里葉反變換重建公式傅里葉反變換重建公式根據(jù)傅里葉變換投影定理很容易得到傅里葉反變換重建的公式 ( , ) ( , )exp j2 UVWWu U v Vkulvfk x l yX YFu x v yUV 22 ( , ) , arctan exp j2 () d dYf x yGXYxXyYX YX 令x = 1/(UX)，y = 1/(VY) 8-15第8章8.3 傅里葉反變換重建傅里葉反變換重建頭部模型重建頭部模型重建為了檢驗(yàn)重建公式的正確性和把握重建算法中各個(gè)參數(shù)對(duì)重建效果的影響，人們常設(shè)計(jì)并合成出各種用作頭部模型的幻影幻影圖像Shepp-

8、Logan頭部模型頭部模型 尺寸115 115，256級(jí)灰度 由10個(gè)橢圓構(gòu)成表8.3.1 8-16第8章8.4 卷積逆投影重建卷積逆投影重建連續(xù)公式推導(dǎo)連續(xù)公式推導(dǎo)卷積逆投影重建法卷積逆投影重建法也是一種變換重建方法，也可根據(jù)傅里葉變換投影定理推出 0( , ) ( , )exp j2( cossin ) d df x yG RR xyRR 1 21 2( ) ( )expj2 dssh sRW RRsR11 ( , )( , ) ()dg sg sh s ss0( , ) ( cossin , )dWfx yg xy 8-17第8章8.4 卷積逆投影重建卷積逆投影重建離散計(jì)算離散計(jì)算逆投影

9、過程可用下式近似計(jì)算借助插值減少計(jì)算量1(,) (cossin,)NWnnnnfk x l yg k xl y C( ,)( ,) ( ) Mnnm Mgmssg m sh mmsIC1( ,)( ,) ( )Nnnng ssgmsI sm s8-18第8章8.4 卷積逆投影重建卷積逆投影重建扇束投影重建扇束投影重建調(diào)整前面推導(dǎo)出的平行投影重建公式以用于這里扇束投影sin( , )( ,)sDg sp ( ,)( ,) sin() cos dpph U 20( cos , sin ) ( ,)d2WDfrrp 8-19第8章8.5 級(jí)數(shù)展開重建級(jí)數(shù)展開重建重建模型重建模型重建的輸入數(shù)據(jù)是沿每條

10、射線的投影積分，在沿射線方向上每個(gè)像素位置對(duì)線性衰減系數(shù)貢獻(xiàn)的求和值（可用實(shí)際路線的長(zhǎng)度加權(quán)）就等于測(cè)量到的吸收數(shù)值對(duì)每條射線的積分都能提供一個(gè)方程（投影已知），合起來構(gòu)成一組齊次方程，問題可以看作是解一組齊次方程 an1 a21 a11 an2 a12 a22 a1n a2n ann 8-20第8章8.5 級(jí)數(shù)展開重建級(jí)數(shù)展開重建重建模型重建模型代數(shù)重建技術(shù)代數(shù)重建技術(shù)沿射線方向的總吸收的測(cè)量值11, 2, , Nij ijjyx aiMyAxy是測(cè)量矢量，x是圖像矢量 8-21第8章8.5 級(jí)數(shù)展開重建級(jí)數(shù)展開重建重建模型重建模型無松弛代數(shù)重建技術(shù)無松弛代數(shù)重建技術(shù)每次取一條射線，改變圖像中與該線相交的像素的值，從而把當(dāng)前的圖像矢量x(k)更新為x(k+1)。具體運(yùn)算中就是將測(cè)量值與由當(dāng)前算得的投影數(shù)據(jù)的差正比于aij重新分配到各個(gè)像素上去 ( )(1)( )2|ikkkiiiyaxxxaa8-22第8章8.5 級(jí)數(shù)展開重建級(jí)數(shù)展開重建重建模型重建模型松弛代數(shù)重建技術(shù)松弛代數(shù)重建技術(shù)將上述技術(shù)的直接推廣r是松弛系數(shù)，它控制了收斂的速度級(jí)數(shù)法的一些特點(diǎn) ( )(1)( )2()|i rkkkiii