1.2方程組復(fù)習(xí)ppt課件

1、核心知識(shí)點(diǎn)核心知識(shí)點(diǎn)1 1、非齊次方程組解的存在性定理，通解的求法、非齊次方程組解的存在性定理，通解的求法2 2、齊次方程組非零解的存在性定理，通解、齊次方程組非零解的存在性定理，通解注意方程組的表示方式注意方程組的表示方式12,nAxb 解解的的存存在在性性或或向向量量 是是否否可可有有， 表表示示120,nAx 有有非非零零解解或或向向量量 ， 相相線性方程組線性方程組解的存在性定理解的存在性定理各種解法各種解法解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)定理定理1.2,4.151.2,4.15p14p14、106) 106) 設(shè)有非齊次線設(shè)有非齊次線性方程組性方程組 ,01 mnAX 2,1 R AR A 如如果果

2、則則有有解解； 1,1 R AR A 如如果果則則無無解解； ,1 R An 有有解解時(shí)時(shí)，如如果果則則有有惟惟一一解解； ,1 R An 如如果果則則有有無無窮窮多多解解；推論推論4.10 (P107) 4.10 (P107) 設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組設(shè)設(shè) R(A)=r, R(A)=r,那那么么 1,2 rn 如如果果則則僅僅有有零零解解； 2,2 rn 如如果果則則必必有有非非零零解解； 3,2 mn 如如果果則則必必有有非非零零解解； 02 mnAX 定理定理4.17p108 4.17p108 設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組2 2）0 mnAX 12 方方程程組組必必有

3、有非非零零解解； , R Arn設(shè)設(shè)則則 2 nr 基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系中中含含個(gè)個(gè)解解向向量量； 3 nr 任任意意個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解向向量量均均可可構(gòu)構(gòu)成成基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系。 124,2,2 n r 設(shè)設(shè)是是的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 則則的的通通解解為為：112212, n rn rn rXkkkk kkR 定理定理2 2 設(shè)有非齊次線性方程組設(shè)有非齊次線性方程組1 1） ,0 mnAX , R ArR AR Arn 設(shè)設(shè)如如果果則則 1 AX 方方程程組組必必有有無無窮窮多多解解； 2, AX 設(shè)設(shè)是是的的一一個(gè)個(gè)特特解解112212, n rn rn rXkkkk kkR , 基基礎(chǔ)

4、礎(chǔ)解解系系12,0 n rAX 設(shè)設(shè)是是的的 AX 則則的的通通解解為為： 12; AX 是是的的解解向向量量0 mnAX ,0 m nAX 1210; AX 也也是是的的解解向向量量（2）（1）性質(zhì)性質(zhì)1 1 性質(zhì)性質(zhì)2 212,0, AXkR 設(shè)設(shè)是是的的解解向向量量，則則：12,0 AXAX 設(shè)設(shè)是是的的解解向向量量是是 1210; AX是是的的解解向向量量12, k kR 的的解解向向量量，則則： 120; kAX 也也是是的的解解向向量量 討論討論a a、b b滿足什么條件時(shí)，如下方程組無解、滿足什么條件時(shí)，如下方程組無解、1231231232321363 31510 xxxxxxx

5、xaxxxb baA10501133631121112rr133rr ba1050464024201211解解 對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換進(jìn)行初等行變換A有唯一解、有無窮多解？有無窮多解時(shí)，求其通解。有唯一解、有無窮多解？有無窮多解時(shí)，求其通解。221r24235,4rrrr5000020012101211baT 15,bR AR A 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)此此時(shí)時(shí)無無解解； 25,bR AR A 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)此此時(shí)時(shí)有有解解； 3,5b 有有解解時(shí)時(shí) 即即時(shí)時(shí)， 2,23,aR AR A 若若則則有有無無窮窮多多解解； 2,3,aR AR A 若若則則有有唯唯一一解解； 45,2 ba 當(dāng)當(dāng)有有無無

6、窮窮多多解解，即即時(shí)時(shí)11210121 00000000T 21rr 1000012100000000T 則通解為則通解為1230012 , 01xxkkRx 則得一同解方程組為則得一同解方程組為12333021 xxxxx 令令 3xk 討論討論a a滿足什么條件時(shí)，如下方程組無解、有唯一解、滿足什么條件時(shí)，如下方程組無解、有唯一解、12312321231 axxxxaxxaxxaxa 解解系數(shù)行列式系數(shù)行列式1111 11aDaa 22221 1 1112 1121 111 1aaaaaaaaaa 所以所以1):1):0,12, Daa 當(dāng)當(dāng)即即并并且且時(shí)時(shí) 有有惟惟一一解解；2, a 當(dāng)

7、當(dāng)時(shí)時(shí) 增增廣廣矩矩陣陣2):2):211 112 12 112 4A 211 112 12 000 3 213rrr有無窮有無窮 多解？有無窮多解時(shí)，求其通解。多解？有無窮多解時(shí)，求其通解。由于同解方程組中出現(xiàn)了矛盾方程由于同解方程組中出現(xiàn)了矛盾方程:0=3,:0=3,故無解故無解. .2):2):1, a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 增增 廣廣 矩矩 陣陣1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1A 2131, rr rr 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 13 R AR A 此此時(shí)時(shí)，有有無無窮窮多多解解，一一同同解解方方程程組組為為12322331 xxxxxxx 則通解為則通解為1212

8、123111100 , 010 xxkkk kRx , AmnR Ar 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣(1) (1) 對(duì)齊次線性方程組對(duì)齊次線性方程組AX=0AX=0來說來說, ,以下哪個(gè)結(jié)論正以下哪個(gè)結(jié)論正確確? ? 1,0; mnAX 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)僅僅有有零零解解2)2)0 m 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)元元列列向向量量 2,0; mnAX 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)必必有有無無窮窮多多解解 3,0; mnAX 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)必必有有惟惟一一解解 41 ,2 ,3. 都都不不對(duì)對(duì)(2) (2) 對(duì)非齊次線性方程組對(duì)非齊次線性方程組 來說來說, ,AX 1,; mnAX 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)必必?zé)o無解解5)5) 2,; mnAX 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)必必有有

9、無無窮窮多多解解 3,; mnAX 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)必必有有惟惟一一解解 4,0,; mnAAX 當(dāng)當(dāng)并并且且時(shí)時(shí)可可能能有有惟惟一一解解 5,0,. mnAAX 當(dāng)當(dāng)并并且且時(shí)時(shí)必必有有惟惟一一解解 , AmnR Ar 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣 10; AXAX 若若僅僅有有零零解解，則則必必有有惟惟一一解解(4) (4) 齊次線性方程組齊次線性方程組AX=0AX=0有非零解的充分必要條件是有非零解的充分必要條件是 1; A的的行行向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)3)3)4)4)4)4)(3)(3)0 m 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)元元列列向向量量 20; AXAX 若若有有非非零零解解，則則必必有有無無窮窮多多

10、解解 30; AXAX 若若有有無無窮窮多多解解，則則必必有有非非零零解解 40. AXAX 若若有有惟惟一一解解，則則僅僅有有零零解解 2; A的的列列向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 3; A的的行行向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 4; A的的列列向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 1,0, A BnAB 設(shè)設(shè)都都是是 階階方方陣陣，如如果果 22, Ann 設(shè)設(shè) 是是 階階方方陣陣，則則 *,1,1 0,2nR AnR AR AnR An 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1* nAA * AAA AAE 1*1 AAA *1 AA A 此時(shí)此時(shí)A A可逆可逆此時(shí)此時(shí)A A的的n-1n-1階階子式全為子式全為0,A0,A

11、* *=0=0 R AR Bn 則則1234,0 AX 設(shè)設(shè)是是線線性性方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系， 123410 AX ， ，是是不不是是的的解解向向量量？ 解1 1是；是；2） 1122334401 xxxx 設(shè)設(shè) 1122233344410 xtxtxtxt 即即 1411222333440 xtxtxxtxxtxx 即即1234, 因因?yàn)闉槭鞘腔A(chǔ)礎(chǔ)解解系系，112223334441 tttt 設(shè)設(shè)， 12342 t滿滿足足什什么么條條件件時(shí)時(shí)，線線性性無無關(guān)關(guān)？ 123430 tAX 滿滿足足什什么么條條件件時(shí)時(shí)，也也是是的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系？1234, 故故線線性性無無關(guān)關(guān)

12、。故故 141122233340 xt xt xxt xxt xx 即即1412233400 00 xtxtxxtxxtxx 因因?yàn)闉橄迪禂?shù)數(shù)行行列列式式3）12344 因因?yàn)闉?個(gè)個(gè)解解向向量量，是是基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由2 2即得條件即得條件 t因因?yàn)闉?是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，所所以以 14141,0,1 1,0,1tDtD 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)此此時(shí)時(shí)有有非非零零解解， ，線線性性相相關(guān)關(guān)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)此此時(shí)時(shí)僅僅有有零零解解， ，線線性性無無關(guān)關(guān)1234 ，線線性性無無關(guān)關(guān)4111 11ttDttt 12,0, sAX 設(shè)設(shè)是是線線性性方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 121,; s 線線性性無無關(guān)關(guān)證明證明 1 1） 11220(1) ssxxxx 設(shè)設(shè)用用A A左乘左乘1 1），得），得 112202 ssx Ax Ax AxAA ,0, iAA 由由已已知知 得得代代入入 得得0000 x 0,0 x 將將x=0 x=0代入代入1 1），得），得11220 ssxxx1212, ss 因因?yàn)闉槭鞘腔A(chǔ)礎(chǔ)解解系系 所所以以線線性性無無關(guān)關(guān) 0 AX 是是的的 一一 個(gè)個(gè) 解解 向向 量量 ， 證證 明明 122,; s 線線 性性 無