直線與圓知識點(diǎn)總結(jié)

1、直線和圓知識點(diǎn)總結(jié)1、直線的傾斜角：1定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與 X軸相交的直線l , 如果把X軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線I重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么 就叫 做直線的傾斜角。當(dāng)直線I與x軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0;2傾斜角的范圍 0, <如1直線xcos . 3y 20的傾斜角的范圍是5答：0'評它，)；22 一過點(diǎn)P( J3,1),Q(0,m)的直線的傾斜角的范圍,那么m值的范圍是33答：m2或 m 42、直線的斜率：1定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即k = tan( 豐90° );傾斜角為90&

2、#176;的直線沒有斜率；2斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)R(x1,yJ、P2(X22)的直線的斜率為 k a (1,k),直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系? 如(1)兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的 一冷 X2 ； 3直線的方向向量x1 x24應(yīng)用：證明二點(diǎn)共線：kAB kBC °條件答：既不充分也不必要;2實(shí)數(shù)x,y滿足3x 2y 5 0 (1 x 3)，那么y的最大值、最小值分別為 答:x13、直線的方程：1點(diǎn)斜式：直線過點(diǎn)(x0, y0)斜率為k，那么直線方程為y0 k(x x0),它不包括垂直于x軸的直線。2斜截式：直線在y軸上的截距為b和斜率k，那么直線方程為y kx b ,它不

3、包括垂直于 x軸的直線。3兩點(diǎn)式：直線經(jīng)過P(X1, yj、F2(X2, y2)兩點(diǎn)，那么直線方程為 仏 xL，它不包括垂直于坐標(biāo)軸y y1X2 X1的直線。4截距式：直線在x軸和y軸上的截距為a,b,那么直線方程為-1，它a b不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線。5一般式：任何直線均可寫成 Ax By C 0(A,B不同時為0)的形式。如1經(jīng)過點(diǎn)2,1且方向向量為v=( 13) 的直線的點(diǎn)斜式方程是答：y 1V3(x 2)； 2丨直線(m 2)x (2 m 1)y (3m 4) 0 ,不管 m 怎樣變化恒過點(diǎn) 答：(1, 2)； 3假設(shè)曲線y a|x|與y x a(a 0)有兩個公共點(diǎn)，

4、那么 a的取值范圍是 答：a 1提醒:(1)直線方程的各種形式都有局限性.如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？；(2)直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為 1或直線過原點(diǎn)。如過點(diǎn)A(1,4)，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有條答：3：1知直線縱截距b，常設(shè)其方程為y kx b ； 2知直線橫截距x0,常設(shè)其方程 為x my x°(它不適用于斜率為0的直線)；3知直線過點(diǎn)(X0,y°)，當(dāng)斜率k存在時， 常設(shè)其方程為 y k(x X0) y°,當(dāng)斜率k不存在時，那么其方程為x X0

5、 ；4與直線l : Ax By C 0平行的直線可表示為 Ax By C1 0 ； 5與直線l : Ax By C 0 垂直的直線可表示為 Bx Ay C10.提醒：求直線方程的根本思想和方法是恰中選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。5、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離r、.|Ax0 By0 C1點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax By C 0的距離d 1.C1 C2Ja2 b22兩平行線h：Ax By G 0,l2 : Ax By C20間的距離為d6、直線I1 :Ax B1yC10與直線I2：A2XB?y1平行A1 B2A2B10斜率且B1C2 B2相交A1 B2A2B10 ；3重合A1 B2

6、A2B10 且 B1C2B2C10。提醒:1AB1C1A1B1、B1AB2:C2A2B2A2B2C20的位置關(guān)系：2C10在y軸上截距；C1僅是兩直線平行、相交、重C2合的充分不必要條件！為什么？ 2在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；3直線11: Ax Bi y Ci 0 與直線 J : A?xB2yC20 垂直 A( A2Bi B20。如1設(shè)直線 l1 : x my 60 和 l2: (m 2)x3y2m0，當(dāng)m =時 l1n l2 ；當(dāng) m =時h 丨2 ；當(dāng)m時h與2相交；當(dāng)m =時h與2 重合答：一11；

7、; m 3且m1 ； 3；2直線|的方程為3x 4y 12 0 ,那么與I平行，且2過點(diǎn)一1, 3的直線方程是 答：3x 4y 9 0；3兩條直線ax y 4 0與x y 2 0相交于第一象限，那么實(shí)數(shù) a的取值范圍是答：1 a 2； 4設(shè)a, b, c分別是 ABC 中/ A、/ B、/ C所對邊的邊長，那么直線sin Ax ay c 0與bx sin By sinC 0的位置關(guān)系是 答：垂直；5點(diǎn)(x1,y1)是直線l:f(x,y) 0 上一點(diǎn)，P?(x2, y2)是直線 l 外一點(diǎn)，那么方程 f (x, y) f (x1, y-i) f(x2, y2)=0所表示的直線與I的關(guān)系是 答：平

8、行；6直線I過點(diǎn)1,0，且被兩平行直 線3x y 6 0和3x y 3 0所截得的線段長為 9，那么直線I的方程是答：4x 3y 40和 x 17、到角和夾角公式：1|1到I2的角是指直線I1繞著交點(diǎn)按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線I2重k k合所轉(zhuǎn)的角，0,且tan二1 (k1k21);2I1與I2的夾角是指不大于直1 k1k2k k角的角，(0,且tan =丨1 I (kh1)。提醒：解析幾何中角的問題常用到21 k1k2角公式或向量知識求解。如點(diǎn)M是直線2x y 4 0與x軸的交點(diǎn)，把直線|繞點(diǎn)M逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到的直線方程是答：3x y 6 08、對稱中心對稱和軸對稱問題一一代

9、入法：如1點(diǎn)M(a,b)與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x y 0對稱，那么點(diǎn)Q的坐標(biāo) 為答：(b,a)；2直線I1與I2的夾角平分線為y x，假設(shè)I1的方程為ax by c 0(ab 0)，那么J的方程是答：bx ay c 0；3點(diǎn)人4，5丨關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)為E ( 2,7)，那么|的方程是 答：y=3x + 3； 4一束光線通過點(diǎn)A3，5，經(jīng)直線I :3x 4y+4=0反射。如果反射光線通過點(diǎn)E2,15，那么反射光線所在直線的方程是 答：18x + y 51 0； 5 ABC頂點(diǎn)A(3，1 )，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y 59=0，/ B的平

10、分線所在的方程為x 4y+10=0,求EC邊所在的直線方程 答：2x 9y 65 0；6直線2x y 4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn)A 4, 1、E 3,4的距離之差最大，那么P的坐標(biāo)是 答：5,6； 7 A x 軸，B l : y x , C 2, 1，a ABC 周長的最小值為 _ 答：J10。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。9、簡單的線性規(guī)劃：1二元一次不等式表示的平面區(qū)域：法一：先把二元一次不等式改寫成 y kx b或y kx b的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊 點(diǎn)判斷；無等號時用虛線表示不包含直線I，有等號時用實(shí)線表示包含直

11、線I ；設(shè)點(diǎn)P(x1,y1) , Q(X2,y2)，假設(shè)B% C 與 Ax? By? C 同號，那么 P, Q在直線 l 的同側(cè)，異號那么在直線I的異側(cè)。如點(diǎn)A一 2, 4，B4, 2，且直線I : y kx 2與線 段AB恒相交，那么k的取值范圍是答：一，一3 U 1,+2線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念： 滿足關(guān)于x, y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。 關(guān)于變量x, y的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量x,y一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)； 求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題； 滿足線性約束條件的解x, y丨叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； 使目

12、標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；3求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等式；作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如1線性目標(biāo)函數(shù)z=2x y在線性約束條件1下，取最小值的最優(yōu)解是 答：1, 1； 2點(diǎn)2, t在直線2x 3y+6=0的上方，那么t的取值范圍是 答：t 2； 33不等式|x 11 | y 11 2表示的平面區(qū)域的面積是 答：8；4如果實(shí)數(shù)x,yx y 20滿足x y 40，那么z |x2x y 5 02y41的最大值答：21-+4、r、. 、 . -rtt4在求解線性規(guī)劃問題時要注意 注意作圖標(biāo)準(zhǔn)。10、圓的方程：:

13、將日標(biāo)函數(shù)改成斜截式力程；尋找最優(yōu)解時2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x ayh 22br。圓的一般方程：x yDxEy F 0(D2+ E2-4F 0),特別提醒:只有當(dāng)222D + E 4F 0時，方程x2Dx Ey FD E)，半徑為y0才表示圓心為()2 2D2 E2 4F的圓二兀二次方程Ax BxyCy2Dx EyF 0表示圓的充要2條件是什么？ A C 0,且B 0且D2 E2 4AF 0；圓的參數(shù)方程：x三cos 為參數(shù)，其中圓心為(a,b)，半徑為r。圓的參y b r sin數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：x2 y2 r2 x r cos , y r sin ； x y2 tx r cos , y

14、 r sin (0 r . t)。a %,% ,b x>,y2為直徑端點(diǎn)的圓方程x x1 x x2 y % y y20如1圓C與圓(x 1)2 y2 1關(guān)于直線yx對稱，那么圓C的方程為答:x2 (y 1)21；2圓心在直線2x y 3上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是答：(x 3)2 (y 3)2 9 或(x 1)2 (y 1)2 1； 3 P( 13)是圓y rsos 為參數(shù)，02)上的點(diǎn)，那么圓的普通方程為，P點(diǎn)對應(yīng)的2 2 2值為,過P點(diǎn)的圓的切線方程是答：x y = 4 ； ;y。b 2 |a| 呂1312、直線與圓的位置關(guān)系：直線I: Ax By C 0和圓C:b 2 r

15、2r 0有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷: 與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況：0 相交；2幾何方法比擬圓心到直線的距離與半徑的大小d r 相交；d r 相離；d r1代數(shù)方法相離；判斷直線0 相切; d，那么0:設(shè)圓心到直線的距離為相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾3取值范圍為答:k12；6假設(shè) M (x,y)| y 3S0S為參數(shù)，0 )，N(x, y) | yxb，假設(shè)MN，那么b的取值范圍是答-3,/211、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)Mx°, y亠 2及圓C： x-ay2br2 r 0 , 1點(diǎn)M在圓C外CMrxa2y。22br ； 2點(diǎn)M在圓C內(nèi)CMrx2

16、ay。b 22 r；3點(diǎn)M在圓C上CMr2x°ax J3y 4 0；4如果直線I將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么 I的 斜率的取值范圍是 答：0, 2；5方程x2+y2-x+y+k=0表示一個圓，那么實(shí)數(shù) k的r2。如點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x -1 )2 + y2=1的內(nèi)部，那么a的取值范圍是答:何方法較簡捷。女1圓2x2 2y21與直線xsin y10(R, k, k z)的位置關(guān)系為答：相離；2假設(shè)直線axby30與圓x2y24x10切于點(diǎn)P( 1,2),那么ab的值答：2丨；3直線x 2y 0被曲線x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦長等

17、于 答：4；5；4一束光線從點(diǎn)A( - 1,1) 出發(fā)經(jīng)x軸反射 到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路 程是 答：4； 52 2 2M(a,b)(ab 0)是圓O:x y r內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以 M為中點(diǎn)的弦所在直線m和直線2I : ax by r ,那么A . m/l，且I與圓相交B. I m，且I與圓相交 C. m/1 ,且I與圓相離 D . Im，且I與圓相離答：C； 6圓C: x2 (y 1)25 ,直線L : mxy 1 m0。求證：對 m R，直線L與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)；設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，假設(shè) AB J17，求L的傾斜角；求直線 L中，截圓所得的弦最長及最短時的直

18、線方程 答：60或120最長：y 1，最短：x 113、圓與圓的位置關(guān)系 用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷：兩圓的圓心分2y21的左焦點(diǎn)為F1 ,b2A1A2為直徑的兩圓位置別為0仆。2，半徑分別為nd，那么1當(dāng)|OQ2 r1 2時，兩圓外離；2當(dāng)OO2 r, a 時，兩圓外切；3當(dāng)* r2<|O1O2 n r2時，兩圓相交；4當(dāng)OO2 r1 r2 |時，兩x2 圓內(nèi)切；5當(dāng)0 |O1O2 A r2 |時，兩圓內(nèi)含。 如雙曲線右 a 頂點(diǎn)為A1、A2, P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，那么分別以線段PF1、 關(guān)系為_答：內(nèi)切14、圓的切線與弦長：2 2 2 2切線：過圓x y R上一點(diǎn)P(x°,y°)圓的切線方程 是：xxo yy。 R，過圓(x