立體幾何(小題)專題-歷高考真題模擬題匯總(解析版)

1、立體幾何一、年考試大綱二、新課標(biāo)全國(guó)卷命題分析三、典型高考試題講評(píng)2022 年新課標(biāo)全國(guó)1卷、2卷、3卷理科數(shù)學(xué)分類匯編一一 11 立體幾何 一、考試大綱1 空間幾何體(1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖(3) 會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式(4) 會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的根底上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求).(5) 了解

2、球、棱柱、棱錐、臺(tái)的外表積和體積的計(jì)算公式2 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(1) 理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)公理2:過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)(2) 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判丁中疋疋理理解以下判定定理如果

3、平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線和該直線平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直3. 能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題4. 空間

4、直角坐標(biāo)系了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置(2)會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式、新課標(biāo)全國(guó)卷命題分析立體幾何小題?？嫉念}型包括：1球體；2多面體的三視圖、體積、外表積或角度，包括線線角、線面角以及面面角，要重視常見幾何體的三視圖、三視圖復(fù)原幾何體的常用方法、面積和體積的計(jì)算式以及點(diǎn)線面的位置關(guān)系等，也要注意提高空間想象能力與數(shù)學(xué)計(jì)算能力.立體幾何解答題第1問主要集中考查空間中直線、平面的位置關(guān)系的判斷，注重對(duì)公理、定理的考查，而第2問多考查空間向量在空間立體幾何中的應(yīng)用，在證明與計(jì)算中一般要用到初中平面幾何 的重要定理，空間思維要求較高，運(yùn)算量較大，對(duì)學(xué)生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化能力、

5、計(jì)算能力要求較 高在考查考生運(yùn)算求解能力的同時(shí)側(cè)重考查考生的空間想象能力和推理論證能力，給考生提供了從 不同角度去分析問題和解決問題的可能，表達(dá)了立體幾何教學(xué)中課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)考生的知識(shí)要求和能力要求，提升了對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查本試題能準(zhǔn)確把握相關(guān)幾何元素之間的關(guān)系，把推理論證能力、空間想象能力等能力和向量運(yùn)算、二面角作圖、建立空間直角坐標(biāo)系等知識(shí)較好地融入試題中，使考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力得到了有效考查1. 2022新課標(biāo)n, 14a B是兩個(gè)平面，m、n是兩條直線，有以下四個(gè)命題：1如果m丄n, ml a, n/ 3,那么 a丄02如果 ml a, n/ a,那

6、么 ml n.3如果a/ 3 m a,那么m / 3門4如果m/ n , all 3那么m與a所成的角和n與3所成的角相等.其中正確的命題有.填寫所有正確命題的編號(hào).【答案】 解析：略.2. 2022新課標(biāo)II , 9在長(zhǎng)方體 ABCD AB1GD1中,AB BC1 , AA 73 ,那么異面直線 AD1與DB1所成角的余弦值為A.-5B.56C.55D.22【答案】C解析：法一：由幾何關(guān)系可知:EF IbQB1D 1,1,3占八、由余弦定理可知：cos 55解法二：坐標(biāo)法： 由幾何關(guān)系可知:A的坐標(biāo)為1,0/ 3，點(diǎn)D1的坐標(biāo)為1,1,0AU0,1, .3, cosI 2 I 5I2 5I

7、丁立體幾何小題解析版3.2022新課標(biāo)全國(guó)I卷理 7某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如右圖所示，圓柱外表上的點(diǎn) MB,那么在此圓在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A，圓柱外表上的點(diǎn) N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為柱側(cè)面上，從 M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A 2 17B. 2 5C. 3D. 2【答案】B解析：當(dāng)路徑為線段 MN時(shí)，長(zhǎng)度最短，故最短路徑的長(zhǎng)度為2242 25.4.2022新課標(biāo)I,理12正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面所成的角都相等，那么截此正方體所得截面面積的最大值為334B.23c . 32【答案】A解析：直接法 平面A1C1B符合題意，如圖1所示，例題中的平面 可得面AGB平

8、移(I)平移后的圖象如圖1所示，六邊形EFGHMN為該截面根據(jù)對(duì)稱性可知EF設(shè) AN x，那么有 EN ，2x,MN .2(1 x)2(1x), FG 2x，延長(zhǎng)EN ,HM相交于點(diǎn)P所以 EHQ為等邊三角形，同理EHP為等邊三角形,所以S六邊形EFGHMN maxS EHGS EPGS PMNS FGQ：(.2)2 444(2)243( 2(14X)2豎辰2 7323(2x2 2x 1)、， 1 .-3 3當(dāng)X2時(shí)，S六邊形EFGHMN max4【解法2】特殊位置法由題可知，截面應(yīng)與正方體體對(duì)角線垂直，當(dāng)平面平移至截面為六邊形時(shí),此時(shí)六邊形的周長(zhǎng)恒定不變，所以當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，面積最大2a

9、fjS 63O六邊形 EFGHMN max 64I 05. 2022新課標(biāo)H, 9在長(zhǎng)方體 ABCDABGDi 中，AB BC1 , AA 3，那么異面直線 AD1與DB1所1A.-5D.22成角的余弦值為B.5【答案】C解析：法一：由幾何關(guān)系可知:1EFBQ2/，AE至,AF 1,由余弦定理可知：cos 25解法二：坐標(biāo)法： 由幾何關(guān)系可知:B1D 1,1,3 ,點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0/ 3，點(diǎn)Di的坐標(biāo)為1,1,0AD0,1,3, cos6解法三：補(bǔ)型法以右補(bǔ)為例由幾何關(guān)系可知:BD 5 , DG 2 ,鄧5，由余弦定理可得:cos；5 s'6. 20i7新課標(biāo)n, i0直三棱柱C i

10、 i Ci中,C 120，C CCi i,那么異面直線i與 Ci所成角的余弦值為<3A.2【答案】B解析：解法一：在邊BB、BiCi、A1Bi、AB上分別取中點(diǎn)E、G、H，并相互連接由三角形中位線定理和平行線平移功能，異面直線ABi和BCi所成的夾角為FEG或其補(bǔ)角,fi解法二：補(bǔ)形 通過補(bǔ)形之后可知:乎，利用余弦定理可求得異面直線通過幾何關(guān)系求得EF子,FG于,FHAR和BCi所成的夾角余弦值為5BGD或其補(bǔ)角為異面直線 ABi和BCi所成的角，通過幾何關(guān)系可知:BCi2 , CiD5 , BD 、3 ,由勾股定理或余弦定理可得異面直線ABi和BCi所成的夾角余弦值為 5解法三：建系建

11、立如左圖的空間直角坐標(biāo)系，A 0,2,i , Bi 0,0,0 , B 0,0,i , G舟，£ ,0 ,BCi<32，7.2022新課標(biāo)1 BA BC1BiA BC1 、5 21,11平面 過正方體ABCD A1B1C1D1的頂點(diǎn)A ,n,那么m,n所成角的正弦值為1, 1 , BiA0,2,1 , cos105/平面CB1D1，門平面ABCD平面ABB1A1B :2CT D3Ci-/平面CBiDi ,假設(shè)設(shè)平面 CRDin平面ABCD m，那么B m又平面ABCD /平面ABGD，結(jié)合平面 BD1CPI平面ABCP Bd B1D1 / ，故 B1D1 / m 同理可得：CD

12、1 / n故m、n的所成角的大小與 B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而B1C B1D1 CD1均為面對(duì)交線，因此 CD1B1 ,即sin CD1B1 -33 28. 2022新課標(biāo)I, 6?九章算術(shù)?是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？ 其意思為： 在屋內(nèi)墻角處堆放米如圖，米堆為一個(gè) 圓錐的四分之一，米堆底部的弧長(zhǎng)為 8尺，米堆的高為 5尺，問米堆的 體積和堆放的米各為多少？1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛2 r16【答案】B解析

13、：8，圓錐底面半徑R ，米堆體積412320VVR2h，堆放的米約有22，選B.1231.629.2022 新課標(biāo) n, 11直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/ BCA=90o, M ,N 分別是 AiBi,AiCi 的中點(diǎn)，BC=CA=CCi, 貝U BM與AN所成的角的余弦值為A .丄B . 2C .工30D .乞2i05i02【答案】C解析：取BC的中點(diǎn)P,連結(jié)NP、AP, / M, N分別是AiBi, AiCi的中點(diǎn)，.四邊形 NMBP為平行四邊形， BM/PN,：所求角的 余弦值等于/ ANP的余弦值，不妨令BC=CA=CCi=2,那么AN=AP= 5 , NP=MB= 6 ,C

14、OS ANP2 2 2| AN| |NP| |AP|2 |AN| |NP|G5)2 (、6)2 G5)2256.3010【另解】如圖建立坐標(biāo)系，令A(yù)C=BC=CiC=2，那么A(0, 2, 2) , B(2, 0, 2),M(1,1, 0)N(0,BM(1,1, 2),AN(0, 1,2),CCO flBM AN0 1 4 30u| BM | | AN |<6 510 1, 0)PCB1/BiM10. 2022新課標(biāo)n, 4m,n為異面直線,m平面,n 平面.直線1滿足1m , In ,丨l，那么A. a且 BaB.且1C.與相交，且交線垂直于1D.與相交，且交線平行于I【答案】D解析：

15、因?yàn)閙丄a, 1丄m, Ia,所以I / a同理可得I / B又因?yàn)閙, n為異面直線，所以與B相交，且I平行于它們的交線.應(yīng)選 D.11. 2022新課標(biāo)n,理16圓錐的頂點(diǎn)為 S，母線SA, SB所成角的余弦值為 7 , SA與圓錐底面所8成角為45 .假設(shè) SAB的面積為5、''75，那么該圓錐的側(cè)面積為 .【答案】40(2解析：由面積的關(guān)系可知：SA SB 4亦,由幾何關(guān)系可知：SO AO 2尿側(cè)面積 S SA I , I 2 OA 4 10，側(cè)面積 S SA I 40 2A_-2112.2022新課標(biāo)川，16. a , b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形AB

16、C的直角邊AC所在直線與a,b都垂直，斜邊 AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有以下結(jié)論: 當(dāng)直線 AB與a成60角時(shí)，AB與b成30角； 當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成60角； 直線AB與a所稱角的最小值為45 ； 直線AB與a所稱角的最小值為60 ；其中正確的選項(xiàng)是 填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)a， b， AC二條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖.不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為 1故AC 1, AB ,2 ,1為半徑的圓.以C為,0邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，那么 A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，坐標(biāo)原點(diǎn)，以cd為x軸正方向，cb為y軸正方向，CA為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.那么D(1

17、,0,0) , A(0,0,1),直線a的方向單位向量a(0,1,0) ,a1 . B點(diǎn)起始坐標(biāo)為(0,1,0),直線b的方向單位向量b(1,0,0) ,b1.設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)B cos ,sin其中為BC與CD的夾角，0,2 n .那么AB'在運(yùn)動(dòng)過程中的向量 AB ( cos , sin ,1), AB v2 .設(shè)ab與a所成夾角為n0,那么 cos(cos , sin ,1) (0,1,0)|a| AB2sin2n n故 4,2，所以正確，錯(cuò)誤.設(shè)AB與b所成夾角為0,才,cos2cos2lA2'( cos ,sin(1,0,0)|b|AB |b|AB當(dāng)AB與a夾