第2章 機(jī)電系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(201409peng)

1、機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院機(jī)械類專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課20201414年年9 9月月機(jī)電系統(tǒng)控制基礎(chǔ)機(jī)電系統(tǒng)控制基礎(chǔ)主講人：彭高亮主講人：彭高亮哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院第第7 7章章 機(jī)電控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與校正機(jī)電控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與校正第第1 1章章 緒緒 論論第第3 3章章 系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)的時(shí)域分析第第2 2章章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第第4 4章章 系統(tǒng)的頻率特性分析系統(tǒng)的頻率特性分析第第6 6章章 機(jī)電控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算機(jī)電控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算第第8 8章章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)課程簡介第第5 5章章 機(jī)電控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析機(jī)電控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電

2、工程學(xué)院第2章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型教學(xué)內(nèi)容哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院教學(xué)內(nèi)容哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院教學(xué)內(nèi)容哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 什么是數(shù)學(xué)模型？ 如何建立數(shù)學(xué)模型（建模方法）？2.1 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院研究與分析一個(gè)系統(tǒng)，首先要定性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性。但是，如果想對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，或系統(tǒng)在運(yùn)行過程中出現(xiàn)故障，或者要進(jìn)一步改善系統(tǒng)的性能，那么，僅僅了解工作原理和特性是完全不夠的。我們還要定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系。這就需要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。為什么建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為什么建

3、立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Why？對(duì)系統(tǒng)的對(duì)系統(tǒng)的定性定性認(rèn)識(shí)上升到認(rèn)識(shí)上升到定量定量的精確分析與設(shè)計(jì)的需要。的精確分析與設(shè)計(jì)的需要。2.1 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院什么是數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)模型What？ 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)描述。描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在的關(guān)系。對(duì)于同一系統(tǒng)，可以建立多種形式的數(shù)學(xué)模型：l 微分方程l 傳遞函數(shù)l 時(shí)間響應(yīng)函數(shù)l 頻率特性l 狀態(tài)空間模型l 。2.1 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型微分方程傳遞函數(shù)頻率特性時(shí)域復(fù)數(shù)域頻域

4、時(shí)間響應(yīng)Bode圖Nyquist圖2.1 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院分析法：分析法：根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的定律推導(dǎo)數(shù)學(xué)表達(dá)式。根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的定律推導(dǎo)數(shù)學(xué)表達(dá)式。實(shí)驗(yàn)法：實(shí)驗(yàn)法：人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測試信號(hào)，記錄其輸出響人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，通過數(shù)據(jù)整理擬合出比較接近實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。應(yīng)，通過數(shù)據(jù)整理擬合出比較接近實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。物理模型物理模型 VS. 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型物理模型。如何建立數(shù)學(xué)模型（建模

5、方法）（如何建立數(shù)學(xué)模型（建模方法）（How）例如：牛頓運(yùn)動(dòng)定律、歐姆定律、克希霍夫定律；虎克定律；流體力學(xué)。2.1 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的概念 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院一、系統(tǒng)的微分方程概念一、系統(tǒng)的微分方程概念微分方程：微分方程：在時(shí)域中描述系統(tǒng)（或元件）動(dòng)態(tài)在時(shí)域中描述系統(tǒng)（或元件）動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。特性的數(shù)學(xué)模型。利用微分方程可求得其他形式的數(shù)學(xué)模型，因此是利用微分方程可求得其他形式的數(shù)學(xué)模型，因此是最基本的數(shù)學(xué)模型最基本的數(shù)學(xué)模型。2.2.1 系統(tǒng)微分方程的建立步驟通常基于經(jīng)典物理學(xué)定律而建立，同一個(gè)微分方程通?；诮?jīng)

6、典物理學(xué)定律而建立，同一個(gè)微分方程可以表述具有相同輸入可以表述具有相同輸入- -輸出關(guān)系的機(jī)械、電氣、輸出關(guān)系的機(jī)械、電氣、液壓、熱力等不同系統(tǒng)。液壓、熱力等不同系統(tǒng)。哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院a) 建立物理模型物理模型（包括力學(xué)模型、電學(xué)模型、液壓模型等），確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量；b) 按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的有關(guān)定律建立各元件或環(huán)節(jié)的微分方程建立各元件或環(huán)節(jié)的微分方程；c) 消去中間變量消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分方程；d) 整理為標(biāo)準(zhǔn)式整理為標(biāo)準(zhǔn)式，將與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左側(cè)，與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降

7、冪排列。 2.2.1 系統(tǒng)微分方程的建立步驟哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院對(duì)線性定常系統(tǒng)，其微分方程的一般形式如下：對(duì)線性定常系統(tǒng)，其微分方程的一般形式如下：1110111101( )( ).( )( )( )( ).( )( )nnnonooonnmmmimiiimmdddax tax tax ta x tdtdtdtdddbx tbx tbx tb x tdtdtdt2.2.1 系統(tǒng)微分方程的建立步驟式中，xo(t)為系統(tǒng)輸出量，xi(t)為系統(tǒng)輸入量；哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院A機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通常都可以用牛頓定律牛頓定律來建立。A機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可以用質(zhì)量質(zhì)量、

8、 彈簧彈簧和阻尼阻尼三個(gè)要素來描述。A慣性和剛度較大的構(gòu)件可以忽略其彈性，簡化為質(zhì)量塊； 慣性小，柔度大的構(gòu)件可以簡化為彈簧。A質(zhì)量質(zhì)量彈簧彈簧阻尼系統(tǒng)阻尼系統(tǒng)是常見的對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的抽象。2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院15補(bǔ)充：阻尼基本概念永動(dòng)機(jī)是不可能的：永動(dòng)機(jī)是不可能的：如果沒有從外界不斷補(bǔ)充能量，任何振動(dòng)如果沒有從外界不斷補(bǔ)充能量，任何振動(dòng)系統(tǒng)都將逐漸衰減，并最終趨于靜止。系統(tǒng)都將逐漸衰減，并最終趨于靜止。這種現(xiàn)象說明，在運(yùn)動(dòng)過程中，體系的總機(jī)械能不斷在散失，這種現(xiàn)象說明，在運(yùn)動(dòng)過程中，體系的總機(jī)械能不斷在散失，不斷在被別的某種系統(tǒng)所吸收。不斷在被別的某種系統(tǒng)所

9、吸收。這種吸收振動(dòng)體系機(jī)械能并使這種吸收振動(dòng)體系機(jī)械能并使之耗散的系統(tǒng)稱為阻尼系統(tǒng)之耗散的系統(tǒng)稱為阻尼系統(tǒng)。阻尼阻尼阻尼（英語：阻尼（英語：damping）是指任何是指任何振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)在振動(dòng)中，由于在振動(dòng)中，由于外界作用或系統(tǒng)本身固有的原因引起的振動(dòng)幅度逐漸下降外界作用或系統(tǒng)本身固有的原因引起的振動(dòng)幅度逐漸下降的特性，以及此一特性的量化表征。的特性，以及此一特性的量化表征。 在電學(xué)中，是在電學(xué)中，是響應(yīng)時(shí)間響應(yīng)時(shí)間的意思。的意思。哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院16在機(jī)械物理學(xué)中，系統(tǒng)的能量的減小在機(jī)械物理學(xué)中，系統(tǒng)的能量的減小阻尼振動(dòng)不都是因阻尼振動(dòng)不都是因“阻阻力力”引起的，就機(jī)械振動(dòng)而言

10、，一種是因摩擦阻力生熱，使系統(tǒng)引起的，就機(jī)械振動(dòng)而言，一種是因摩擦阻力生熱，使系統(tǒng)的機(jī)械能減小，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，這種阻尼叫的機(jī)械能減小，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，這種阻尼叫摩擦阻尼摩擦阻尼；另一種是系；另一種是系統(tǒng)引起周圍質(zhì)點(diǎn)的震動(dòng)，使系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，變統(tǒng)引起周圍質(zhì)點(diǎn)的震動(dòng)，使系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，變?yōu)椴ǖ哪芰浚@種阻尼叫為波的能量，這種阻尼叫輻射阻尼輻射阻尼。在機(jī)械系統(tǒng)中，在機(jī)械系統(tǒng)中，阻尼阻尼是指阻礙物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、并把運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)是指阻礙物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、并把運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化為熱能或其他可以耗散能量的一種作用?；癁闊崮芑蚱渌梢院纳⒛芰康囊环N作用。補(bǔ)充：阻尼基本概念哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)

11、院17補(bǔ)充：阻尼基本概念物體在運(yùn)動(dòng)中所受到的阻力物體在運(yùn)動(dòng)中所受到的阻力F的產(chǎn)生原因非常復(fù)雜，通?？煞譃榈漠a(chǎn)生原因非常復(fù)雜，通?？煞譃樗念悾核念悾?阻力的分類和各自的性質(zhì)阻力的分類和各自的性質(zhì)哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院18補(bǔ)充：阻尼基本概念cvF摩擦力產(chǎn)生的原因很復(fù)雜，可以認(rèn)為當(dāng)接觸面很粗糙時(shí)，摩擦摩擦力產(chǎn)生的原因很復(fù)雜，可以認(rèn)為當(dāng)接觸面很粗糙時(shí)，摩擦力主要由凸凹不平的接觸面在相互阻礙運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的；當(dāng)接觸力主要由凸凹不平的接觸面在相互阻礙運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的；當(dāng)接觸面光滑時(shí)，主要是物體間的分子力產(chǎn)生的摩擦力。因后者能解面光滑時(shí)，主要是物體間的分子力產(chǎn)生的摩擦力。因后者能解釋釋 與材料的關(guān)系，所以更有

12、說服力。與材料的關(guān)系，所以更有說服力。哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院19補(bǔ)充：阻尼基本概念哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院20補(bǔ)充：阻尼基本概念阻力的數(shù)學(xué)表達(dá)式阻力的數(shù)學(xué)表達(dá)式哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院21補(bǔ)充：阻尼基本概念f(v)f(v)的不同形式的不同形式哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院22補(bǔ)充：阻尼基本概念在機(jī)械系統(tǒng)中，在機(jī)械系統(tǒng)中，線性粘性阻尼是最常用的一種阻尼模型線性粘性阻尼是最常用的一種阻尼模型。阻尼。阻尼力力F的大小與運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度的大小成正比，方向相反，記作的大小與運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度的大小成正比，方向相反，記作F=-cv，c為為粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)，其數(shù)值由，其數(shù)值由振動(dòng)試驗(yàn)振動(dòng)試驗(yàn)確

13、定。確定。由于線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)求解簡單，在工程上常將其他形式的阻尼按由于線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)求解簡單，在工程上常將其他形式的阻尼按照它們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)照它們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)能量損耗相等的原則能量損耗相等的原則，折算成，折算成等效粘性阻等效粘性阻尼尼。物體的運(yùn)動(dòng)隨著系統(tǒng)阻尼系數(shù)的大小而改變。物體的運(yùn)動(dòng)隨著系統(tǒng)阻尼系數(shù)的大小而改變。在某些情況下，粘性阻尼并不能充分反映機(jī)械系統(tǒng)中能量耗散在某些情況下，粘性阻尼并不能充分反映機(jī)械系統(tǒng)中能量耗散的實(shí)際情況。因此，在研究機(jī)械振動(dòng)時(shí)，還建立有的實(shí)際情況。因此，在研究機(jī)械振動(dòng)時(shí)，還建立有遲滯阻尼遲滯阻尼、比例阻尼比例阻尼和和非線性阻尼非線性阻尼等模型。等模型。哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)

14、電工程學(xué)院23補(bǔ)充：剛度的基本概念剛度是指剛度是指材料在受力時(shí)抵抗彈性變形的能力材料在受力時(shí)抵抗彈性變形的能力。是材料彈性變形。是材料彈性變形難易程度的一個(gè)象征。材料的剛度通常用彈性模量難易程度的一個(gè)象征。材料的剛度通常用彈性模量E來衡量來衡量 。在彈性范圍內(nèi)，剛度是零件荷載與位移成正比的比例系數(shù)，即在彈性范圍內(nèi)，剛度是零件荷載與位移成正比的比例系數(shù)，即引起單位位移所需的力。它的倒數(shù)稱為柔度，即單位力引起的引起單位位移所需的力。它的倒數(shù)稱為柔度，即單位力引起的位移。剛度可分為位移。剛度可分為靜剛度靜剛度和和動(dòng)剛度動(dòng)剛度。構(gòu)件變形常影響構(gòu)件的工作，例如齒輪軸的過度變形會(huì)影響齒構(gòu)件變形常影響構(gòu)件的

15、工作，例如齒輪軸的過度變形會(huì)影響齒輪嚙合狀況，機(jī)床變形過大會(huì)降低加工精度等。影響剛度的因輪嚙合狀況，機(jī)床變形過大會(huì)降低加工精度等。影響剛度的因素是材料的彈性模量和結(jié)構(gòu)形式，改變結(jié)構(gòu)形式對(duì)剛度有顯著素是材料的彈性模量和結(jié)構(gòu)形式，改變結(jié)構(gòu)形式對(duì)剛度有顯著影響。影響。剛度計(jì)算是振動(dòng)理論和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)剛度計(jì)算是振動(dòng)理論和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)。在質(zhì)量。在質(zhì)量不變的情況下，剛度大則固有頻率高。靜不定結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布不變的情況下，剛度大則固有頻率高。靜不定結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布與各部分的剛度比例有關(guān)。在斷裂力學(xué)分析中，含裂紋構(gòu)件的與各部分的剛度比例有關(guān)。在斷裂力學(xué)分析中，含裂紋構(gòu)件的應(yīng)力強(qiáng)度因子可根據(jù)柔度求得

16、。應(yīng)力強(qiáng)度因子可根據(jù)柔度求得。哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院24補(bǔ)充：剛度的基本概念一個(gè)機(jī)構(gòu)的剛度（一個(gè)機(jī)構(gòu)的剛度（k）是指彈性體抵抗變形（彎曲、拉伸、壓縮）是指彈性體抵抗變形（彎曲、拉伸、壓縮等）的能力。計(jì)算公式：等）的能力。計(jì)算公式：剛度的計(jì)算剛度的計(jì)算軸向剛度軸向剛度: k=F/ 其中，F(xiàn)為施加的力，L為是由于力而產(chǎn)生的形變。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度轉(zhuǎn)動(dòng)剛度: k=M/ 其中，M為施加的力矩，為旋轉(zhuǎn)角度。哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院考慮如圖所示的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，考慮如圖所示的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，滑道表面與質(zhì)量塊之間的摩擦滑道表面與質(zhì)量塊之間的摩擦力設(shè)為粘性阻尼模型，試分析力設(shè)為粘性阻尼模型，試分析在外力在外力f(

17、t)作用下，質(zhì)量塊位移作用下，質(zhì)量塊位移y的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。質(zhì)量質(zhì)量彈簧彈簧阻尼系統(tǒng)阻尼系統(tǒng)2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程DkDykyyy.mmf(t)f(t)哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院質(zhì)量質(zhì)量彈簧彈簧阻尼系統(tǒng)各部分基本物理規(guī)律：阻尼系統(tǒng)各部分基本物理規(guī)律： 質(zhì)量（塊）質(zhì)量（塊）由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 彈簧彈簧由胡克定律：由胡克定律：2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 粘性阻尼（液壓、氣壓活塞推桿）粘性阻尼（液壓、氣壓活塞推桿）2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 以彈簧平

18、衡時(shí)系統(tǒng)的位置為初始平衡點(diǎn)，由牛頓第二定律牛頓第二定律建立力平衡方程：22( )( )( )( )dy tdy tmf tDky tdtdt22( )( )( )( )dy tdy tmDky tf tdtdt2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程f(t)包含重力mg哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院圖為組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)銑平面時(shí)的情況，當(dāng)切削力f(t)變化時(shí)，滑臺(tái)可能產(chǎn)生振動(dòng)，從而降低被加工工件的表面質(zhì)量和精度。試建立切削力f(t)與滑臺(tái)質(zhì)量塊位移y(t)之間的動(dòng)力學(xué)模型。一、機(jī)械平動(dòng)系統(tǒng)一、機(jī)械平動(dòng)系統(tǒng)2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程k剛度系數(shù)；D粘滯阻尼系數(shù)；銑刀哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院解：首先將動(dòng)力

19、滑臺(tái)連同銑刀抽象成質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)的力學(xué)模型。根據(jù)牛頓第二定律 將輸出變量項(xiàng)寫在等號(hào)的左邊，將輸入變量項(xiàng)寫在等號(hào)的右邊，并將各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，得 22d ( )d( )( )( )ddy ty tf tDky tmtt22d( )d ( )( )( )ddy ty tmDky tf ttt2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院二、機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)二、機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)如圖(a)示定軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，旋轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效為J，轉(zhuǎn)動(dòng)軸所受的摩擦設(shè)為粘性摩擦，阻尼系數(shù)為D，轉(zhuǎn)動(dòng)軸連接剛度為k，等效模型如圖(b)所示。若驅(qū)動(dòng)力矩為T，則根據(jù)轉(zhuǎn)矩平衡方程，有：22=ddJDkTdtdt2.2.2

20、 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程三、三、“平動(dòng)平動(dòng)- -轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)”間基本物理量的折算間基本物理量的折算 圖(a)為絲杠螺母傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，(b)為齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，(c)為同步齒形帶傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，求三種傳動(dòng)方式下，負(fù)載m折算到驅(qū)動(dòng)電機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。實(shí)例實(shí)例:電機(jī)驅(qū)動(dòng)進(jìn)給裝置哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院電機(jī)驅(qū)動(dòng)進(jìn)給裝置等效系統(tǒng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)進(jìn)給裝置等效系統(tǒng)J電動(dòng)機(jī)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量按等功原理，工作臺(tái)等直線運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量m的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：22LmJL絲杠螺距，即絲杠每轉(zhuǎn)一周工作臺(tái)移動(dòng)的直線距離。2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程工作臺(tái)m絲杠L電動(dòng)機(jī)（a）絲杠螺母

21、傳動(dòng)絲杠螺母傳動(dòng)哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院Lv2 22LLLLL22mdddTtmm2 dt22dt2dt LdvTt2mLdt2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程解：對(duì)圖2-4(b)和(c)所示的情況，設(shè)齒輪或皮帶輪的分度圓半徑為r，負(fù)載m可以看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞齒輪或帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)，則負(fù)載折算到電機(jī)軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2mrJ 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院四、齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中基本物理量的折算四、齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中基本物理量的折算z1，r1T1 1T2 2z2, r2假設(shè)齒輪傳動(dòng)中無功率損耗，且忽略齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、嚙合間隙與變形，則：2121121221rr

22、zzTTT1、T2：轉(zhuǎn)矩 1、 2：角位移 1、 2：角速度z1、 z2：齒數(shù)r1、 r2：齒輪分度圓半徑2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程試求該系統(tǒng)輸入力矩試求該系統(tǒng)輸入力矩 M(t) 與軸與軸2轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 之間的微分方程。之間的微分方程。2( ) t哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院在忽略傳動(dòng)摩擦的情況下，分別針對(duì)兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸列寫力矩平衡方程，有： 21111122222222fzddJMcMdtdtddJMcMdtdt2221112122211222121212()()/,fzfzddJi Jci ciMdtdtddJCiMMdtdtizzJJ

23、i JCci c2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)1221121122MzriMzr哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院對(duì)于多級(jí)齒輪傳動(dòng)，同理可推得折算到輸入軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣對(duì)于多級(jí)齒輪傳動(dòng)，同理可推得折算到輸入軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與粘性阻尼為：量與粘性阻尼為：機(jī)械系統(tǒng)中，齒輪傳動(dòng)多用于減速和增大力矩，故一般傳動(dòng)比小于1，于是多級(jí)齒輪傳動(dòng)中，后級(jí)齒輪及負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性摩擦往往可以忽略不計(jì)。 .324322122211JzzzzJzzJJ.324322122211CzzzzCzzCC2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院實(shí)例：機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)鏈實(shí)例：機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)鏈2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程i輸入為軸I轉(zhuǎn)角

24、i，輸出為滑塊位移xo，試求該系統(tǒng)的微分方程。z4z2z3z1哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程222233111123224242zzzzzLJJJJmzz zz z (1) 軸軸I、II、III轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及工作臺(tái)質(zhì)量的歸算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及工作臺(tái)質(zhì)量的歸算軸II的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2歸算到軸I為J2有：22122)(zzJJ 軸III的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J3歸算到軸I為J3有：2432133).(zzzzJJ 工作臺(tái)質(zhì)量m歸算到軸III的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jm有：2)2(LmJmJm歸算到軸I的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jm有：243212).()2(zzzzLmJm軸I的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.

25、2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程（2）傳動(dòng)剛度的歸算）傳動(dòng)剛度的歸算 （扭轉(zhuǎn)剛度和軸向剛度）軸II的扭轉(zhuǎn)剛度K2歸算到軸I為K2有：22122)(zzKK 工作臺(tái)的軸向剛度K歸算到軸III為Km有：軸III的扭轉(zhuǎn)剛度K3歸算到軸I為K3有：2m()2LKK工作臺(tái)的軸向剛度K歸算到軸I為K m有：2231m24()2zzLKKzz2313324zzKKzz哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程（2）傳動(dòng)剛度的歸算）傳動(dòng)剛度的歸算軸I的總剛度 為（串聯(lián)）：12322213113222411111+1=11111()()()()2mKKKKKzLzzKKKKzz zK哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)

26、電工程學(xué)院2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程（3）黏性阻尼系數(shù)的歸算黏性阻尼系數(shù)的歸算工作臺(tái)導(dǎo)軌阻尼系數(shù)c的歸算到軸III為c有：2)2(Lcc c歸算到軸I為c*有：243212*).()2(zzzzLcc24132()(.)Loozzxzz電機(jī)軸轉(zhuǎn)角位移輸入 ，工作臺(tái)導(dǎo)軌位移 歸算軸I的角位移 ：ioxo（4）工作臺(tái)位移的歸算）工作臺(tái)位移的歸算哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程(5) 數(shù)學(xué)模型的建立數(shù)學(xué)模型的建立驅(qū)動(dòng)電機(jī)ioJK*c機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的微分方程：22*)(dtdJdtdcKoooi整理得：ioooKKdtdcdtdJ *2224132()(.)Loozzxzz

27、22424242131313222()(.)*()(.)()(.)LLLoooid xdxzzzzzzJcKxKzzdtzzdtzz哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院Q1、Q2和H分別為液槽在平衡狀態(tài)時(shí)液體的流入量、流出量和液位的高度值。q1(t)、q2(t)和h為相應(yīng)變量的增量。設(shè)液槽的面積為A，根據(jù)物料自平衡的原理，液體流入量與流出量之差應(yīng)等于液槽中液體存貯量的變化率，即有：2.2.3 流體系統(tǒng)的微分方程 1122()( )( )d HhAQq tQq tdt12( )( )( )dh tAq tq tdt)()(2thtq考慮在平衡狀態(tài)H=定值，Q1=Q2，則上式可改寫為基于液位h(t)與流量

28、q2(t)之間的關(guān)系如圖2-5所示，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：圖圖 液位系統(tǒng)液位系統(tǒng)（2-4）V1V2哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院式中為比例常數(shù)（與V2閥開度的大小有關(guān)）。經(jīng)在平衡點(diǎn)作線性化處理后q2(t)與h(t)的關(guān)系為)(2)(2thHtq2( )1( )2q th tRH或?qū)懽鳎菏街?，把式?-6）代入式（2-4）得1( )( )( )dh tRAh tRq tdt)()()(1tRqthdttdhT其中，T=RA或圖圖 q2(t)與與h(t)的關(guān)系曲線的關(guān)系曲線2.2.3 流體系統(tǒng)的微分方程R液位高度的變化量液阻輸出流量的變化量（2-6）哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院A任何電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都

29、可用克?；舴螂娏骱碗妷?定律建立。A電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。A電路分析主要對(duì)象：電抗、電壓、電流A電氣系統(tǒng)建模：列寫各元件的電抗、電壓與電流關(guān)系2.2.4 電氣系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院電感電感L：電容電容C：電壓電壓=電流的積分，電容值的倒數(shù)是常系數(shù)電流的積分，電容值的倒數(shù)是常系數(shù)電壓電壓=電流的微分，電感值是常系數(shù)電流的微分，電感值是常系數(shù)電阻電阻R：2.2.4 電氣系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院克?；舴螂娏鞫桑嚎讼；舴螂娏鞫桑毫鬟M(jìn)節(jié)點(diǎn)的電流之和，等于流出同 一節(jié)點(diǎn)的電流之和 。克?；舴螂妷憾桑嚎讼；舴螂妷憾桑涸谌我馑查g，在電路中任意環(huán)路

30、的 電壓的代數(shù)和等于零，或者可以描 述為：沿某一環(huán)路的電壓降之和， 等于沿該環(huán)路的電壓升高之和。04321uuuuEEu1u2u3u4i1i2i3123iii2.2.4 電氣系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 把代入，并進(jìn)行整理得：把代入，并進(jìn)行整理得：解：解：(1)確定輸入、輸出量確定輸入、輸出量iuouLRCi這是一個(gè)線性定常二階微分方程。這是一個(gè)線性定常二階微分方程。(2)列寫微分方程列寫微分方程(3)消去中間變量消去中間變量實(shí)例： 建立圖所示的LRC電路的數(shù)學(xué)模型。 2.2.4 電氣系統(tǒng)的微分方程)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()(1)()(

31、tudttiCtRidttdiLi)()(10tudttiC哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院實(shí)例：實(shí)例：電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程試列寫下圖所示電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓 為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速 為輸出量。 、 電樞電路的電阻和電感；Ce電樞的激磁磁通； Cm電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Mc、Jm、fm折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩、總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、粘性摩擦系數(shù)。2.2.5 機(jī)電系統(tǒng)的微分方程)(tua)(tmaRaL電樞控制直流電動(dòng)機(jī)原理圖 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.2.5 機(jī)電系統(tǒng)的微分方程(1) 電樞回路電壓平衡方程：)()()()(tEtiRdttdiLt

32、uaaaaaa(2) 電磁轉(zhuǎn)矩方程：)()(tiCtMamm(3) 電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程： )()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm整理得： )()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma)()(tCtEmea哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.2.5 機(jī)電系統(tǒng)的微分方程在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計(jì)，因而上式可簡化為：)()()()(12tuKtMKtdttdTacmmm)(emmamamCCfRJRT)(1emmamCCfRCK)(2emmaaCCfRRK式中是電動(dòng)機(jī)機(jī)

33、電時(shí)間常數(shù)(s)，是電動(dòng)機(jī)傳遞系數(shù)。如果電樞電阻Ra和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm很小而忽略不計(jì)時(shí)，式(2-25)還可進(jìn)一步簡化為：)()(tutCame此時(shí)，電動(dòng)機(jī)可作為測速發(fā)電機(jī)使用。 (2-25)哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院本講小結(jié)本講小結(jié)A了解系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式；了解系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式；A掌握微分方程的列寫方法；掌握微分方程的列寫方法；A掌握機(jī)械系統(tǒng)微分方程的建立；掌握機(jī)械系統(tǒng)微分方程的建立；A掌握電氣系統(tǒng)微分方程的建立。掌握電氣系統(tǒng)微分方程的建立。作業(yè)：作業(yè)：教材：教材： 2.22.52.2 系統(tǒng)的微分方程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院2.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)教學(xué)內(nèi)容哈爾濱

34、工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院一、傳遞函數(shù)定義及特點(diǎn)一、傳遞函數(shù)定義及特點(diǎn)傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)在在零初始條件零初始條件下，輸出量的下，輸出量的Laplace變換與輸入量的變換與輸入量的Laplace變換之比。變換之比。零初始條件：零初始條件：q t0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；q t0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0； 即：輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)。即：輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)。2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院補(bǔ)充：拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院( )X

35、 s 一、拉氏變換的定義：一、拉氏變換的定義：(1)當(dāng)當(dāng) t 0時(shí)，時(shí)， x(t)在每個(gè)有限區(qū)間上分段連續(xù)；在每個(gè)有限區(qū)間上分段連續(xù)；對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù) x(t)，如果滿足下列條件：如果滿足下列條件：(2) 存在，其中存在，其中s=+j為復(fù)變量。為復(fù)變量。0-e)(dttxst-0 ( )( )estL x tx tdt原函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)象函數(shù)補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院二、典型函數(shù)的拉氏變換二、典型函數(shù)的拉氏變換1、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù): 1(t)=0, (t0)000111( )1( )eeestststLttdtdtss 2、單位斜坡函數(shù)、單位斜坡函數(shù): t1(t)0t1

36、(t)100 1( )1( )eeststL ttttdttdt2020001e1)1(ee)e ()(ssdtsstdststststst0tt1(t)45補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 2000111stststx ttXst edtt eedtsss同理可得：同理可得：14332!32nnsntLstLstL3、t的冪函數(shù)的冪函數(shù)10tx(t)單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）1單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tx(t)200( )102tx ttt00( )0tx ttt補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院(t)在在a0時(shí)時(shí)t-a/21/aa/20, (t0)

37、;, (t=0); 且有(t)=001)( dtt000 ( )( )e( )1stLttdtt dt5、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù): e-at 1(t)()()0011e1( )eeats a ts a tLtdtsasa 4、單位脈沖函數(shù)、單位脈沖函數(shù): (t)補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院6、正弦函數(shù)、正弦函數(shù) 22001sinsin2stj tj tstx ttX stedteeedtjs故故tsLsin221正弦函數(shù)正弦函數(shù)10tx(t)x(t)=sin t-1補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院7、余弦函數(shù)、余弦函數(shù) 22001coscos2stj tj tstsx ttX

38、stedteeedts故故tssLcos221余弦函數(shù)余弦函數(shù)10tx(t)x(t)=cos t-1補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院( )x t( )X s)(t1)(1ts1tnsnn1!ateetatn )(1!asnnsinatte22()s acosatte22()sas a典型拉氏變換典型拉氏變換補(bǔ)充拉氏變換as1( )x t( )X s( )x t( )X scos t22sssin t22s哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理1、線性性質(zhì)：、線性性質(zhì)：12120( )( )( )( )estL ax tbxtax tbxtd

39、t0201e )(e )(dttxbdttxastst)()(21sbXsaXt例：0 x(t)452)( 1)( 12)(ttttx2212112)(sssssX補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理2、微分性質(zhì)：、微分性質(zhì)：0( )( )estdx tdx tLdtdtdt00)(e )()(edtstxtxstst0e )()0(dttxsxst)0()(xssX22( )( )(0)d x tdx tLs Lxdtdt)0()0()(2xsxsXs若系統(tǒng)處于若系統(tǒng)處于零初始條件零初始條件下：則有下：則有( )( )dx tLsX

40、 sdt222( )( )d x tLs X sdt( )( )nnnd x tLs X sdt補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理例例：在零初始條件下求輸出的拉氏變換。：在零初始條件下求輸出的拉氏變換。)()()()()(22tnxdttdxmtcxdttdxbdttxdaiiooo解：對(duì)上方程在零初始條件下求拉氏變換得：解：對(duì)上方程在零初始條件下求拉氏變換得：)()()()(2sXnmssXcbsasio)()(2sXcbsasnmssXio利用拉氏反變換便可得到輸出的原函數(shù)。利用拉氏反變換便可得到輸出的原函數(shù)。補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱

41、工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理3、積分性質(zhì)（在零初始條件下）：、積分性質(zhì)（在零初始條件下）：01( )( )tLxdXss4、延時(shí)定理：、延時(shí)定理： () 1()( )sL x tteX s0t1( t -)1例例：) 2( 1) 2()( 12)(ttttx22112)(sessXsx(t)t04522補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理三、拉氏變換的基本性質(zhì)和定理5、終值定理：、終值定理：)(lim)(lim0ssXtxst證明證明00( )( )ee( )( )(0)ststdx tdx tLdtdx tsX

42、 sxdtdt )0()(lim)(elim000 xssXtdxssts)0()(lim)0()(limxssXxtxost)(lim)(lim0ssXtxst 補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院四、拉氏反變換nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110)()(nm采用采用部分分式展開法部分分式展開法求拉氏反變換：求拉氏反變換： x(t) X(s) X(s)=Lx(t)X(s) x(t) x(t)=L-1X (s) )(.)()()(.)()(1211121sXLsXLsXLtxsXsXsXsXnn補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院1、只含不同單極點(diǎn)的情況、只含不

43、同單極點(diǎn)的情況)()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX)()()()(2211nnkkpsApsApsApsA式中：式中：kpskkpssXA)()(四、拉氏反變換四、拉氏反變換1kp tkkkALA esp補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院四、拉氏反變換1、只含不同單極點(diǎn)的情況只含不同單極點(diǎn)的情況例例233)(2ssssX)( 1)2()(2teetxtt)2(1) 1(2)2)(1(3)(ssssssX解：解：2)1()(11sssXA1)2()(22sssXA補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院四、拉氏反變換 nnrrrpsKpsKpsKpsKpsKsX

44、.221111121112、含重極點(diǎn)的情況含重極點(diǎn)的情況 1 1111 211 !11 312 !11111!1l i ml i ml i ml i mrrrrrrrrKXsspKXsspKXsspdKXsspd ss -p1s=-p1為為r 重極點(diǎn)重極點(diǎn)展開為展開為r 個(gè)分式個(gè)分式補(bǔ)充拉氏變換s -p1s -p1s -p1哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院四、拉氏反變換例32) 1(32)(ssssX2、含重極點(diǎn)的情況含重極點(diǎn)的情況1) 1() 1(12233sBsBsB232) 1)(12133ssssssXB022) 1)(1132sssssXdsdB 12!21)1)(!21113221ss

45、ssXdsdB)( 1)()(2teettxtt11) 1(23ss補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院四、拉氏反變換 312221,2.,40,nnKKK sKXssjsjspspbcsj 通過配方化成正弦、余弦象函數(shù)的形式再求反變換通過配方化成正弦、余弦象函數(shù)的形式再求反變換3、含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況：含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況：補(bǔ)充拉氏變換111122222212cossinttasK sKaLLsjsjssa eta et 12,sjsjK sKXssjsj 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院四、拉氏反變換3、含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況：含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況：例sssssX231)(ssss112ss

46、s1)()(222321ssss1)()(33)()()(2222232123232121)( 1 1)cossin()(23233321tttetxt補(bǔ)充拉氏變換哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院5、應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟求解步驟q 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閷⑽⒎址匠掏ㄟ^拉氏變換變?yōu)閟的代數(shù)方程；的代數(shù)方程；q 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；q 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院原函數(shù)原函數(shù)（微分方程的解）（微分方程的解）象函數(shù)象函

47、數(shù)微分方程微分方程象函數(shù)的象函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程拉氏反變換拉氏反變換拉氏變換拉氏變換解解代代數(shù)數(shù)方方程程拉氏變換法求解線性微分方程的過程拉氏變換法求解線性微分方程的過程哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式設(shè)輸入設(shè)輸入xi ( t )，輸出，輸出xo ( t )，則一般形式表示如下：，則一般形式表示如下：取如下零初始條件：取如下零初始條件： 傳遞函數(shù)的一般形式傳遞函數(shù)的一般形式1110111101( )( )( )( )( )( )( )( ) ()nnnonooonnmmmimiiimmdddax tax tax ta x tdtdtdtd

48、ddbx tbx tbx tb x tnmdtdtdt2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院對(duì)微分形式進(jìn)行對(duì)微分形式進(jìn)行Laplace變換，則有：變換，則有：根據(jù)傳遞函數(shù)定義，則有根據(jù)傳遞函數(shù)定義，則有G ( s )：2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院求傳遞函數(shù)過程求傳遞函數(shù)過程2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念a) 列寫系統(tǒng)的微分方程；d) 得到傳遞函數(shù)G(s)b) 方程兩端拉氏變換（初始條件為零）c) 右端算子除以左端算子哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 傳遞函數(shù)求解示例傳遞函數(shù)求解示例q 質(zhì)量質(zhì)量- -彈簧彈簧- -阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

49、22( )( )( )( )ddmy tCy tKy tf tdtdt2( )( )( )( )ms Y sCsY sKY sF s2( )1( )( )Y sG sF smsCsK所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院q R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù))()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始條

50、件均為零時(shí)，其拉氏變換為：所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：LCRouiu( )11( )( )( ),( )( )iodi tLi t dtRi tu tu ti t dtdtCC按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院例例1：圖示機(jī)械系統(tǒng)，輸入：圖示機(jī)械系統(tǒng)，輸入xi，輸出輸出xo，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。xixoAk2c2c1k1xB解：以整體為研究對(duì)象難于分析；現(xiàn)以節(jié)點(diǎn)A、B為研究對(duì)象，并增設(shè)中間變量x。，節(jié)點(diǎn)沒有質(zhì)量，所以慣性力為零，考慮節(jié)點(diǎn)受力平衡，得微分方程：xxcxxcxxkooiAoi211:

51、22:Bxocxkx2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院1212122122(c )()( )()()( )ioscX sc sc sc sXsskkkkk1122112222()()( )( )( )()()oisssG ssssskckcXkckck cX微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，消去中間變量X(s)后，得：右端算子除以左端算子2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念xixoAk2c2c1k1xB哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 傳遞函數(shù)是傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)s域域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。結(jié)

52、構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。 傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動(dòng)態(tài)特性固有動(dòng)態(tài)特性。 傳遞函數(shù)的特點(diǎn)傳遞函數(shù)的特點(diǎn)Xi（s）G（s）Xo（s）2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 傳遞函數(shù)的特點(diǎn)（續(xù)）傳遞函數(shù)的特點(diǎn)（續(xù)） 傳遞函數(shù)分母中傳遞函數(shù)分母中s的階次的階次n不小于分子中不小于分子中s的階次的階次m。 傳遞函數(shù)可以有量

53、綱，也可以無量綱，取決于輸入量和輸出量的量綱。傳遞函數(shù)可以有量綱，也可以無量綱，取決于輸入量和輸出量的量綱。 不同的物理系統(tǒng)可以具有相同的傳遞函數(shù)。不同的物理系統(tǒng)可以具有相同的傳遞函數(shù)。 同一系統(tǒng)選取不同物理量作為輸入輸出，傳遞函數(shù)可不同。同一系統(tǒng)選取不同物理量作為輸入輸出，傳遞函數(shù)可不同。 傳遞函數(shù)的概念，只適用傳遞函數(shù)的概念，只適用初始狀態(tài)為零初始狀態(tài)為零的的線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)。2.3.1 傳遞函數(shù)的基本概念 傳遞函數(shù)的分母反應(yīng)了系統(tǒng)本身與外界無關(guān)的固有特性，分子反應(yīng)了傳遞函數(shù)的分母反應(yīng)了系統(tǒng)本身與外界無關(guān)的固有特性，分子反應(yīng)了系統(tǒng)本身與外界之間的關(guān)系。系統(tǒng)本身與外界之間的關(guān)系。 哈

54、爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院二、傳遞函數(shù)的特征方程、零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù)二、傳遞函數(shù)的特征方程、零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù) 特征方程1110( )mmmmM sb sbsb sb1110( )nnnnN sa sasa sa令：)()()()()(sNsMsXsXsGio則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。2.3.2 系統(tǒng)的復(fù)域特征 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 零點(diǎn)和極點(diǎn)零點(diǎn)和極點(diǎn) *1212( )()()()( )( ) ( *( )( )()()()ominXsKszszszM sG sKX sN sspspsp為常數(shù)）根據(jù)多項(xiàng)式定理，將G(s

55、)寫成下面的形式： N(s)=0的根s=pj(j=1, 2, ,n)：傳遞函數(shù)的極點(diǎn)極點(diǎn)；（決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的收斂性，即穩(wěn)定性） M(s)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)：傳遞函數(shù)的零點(diǎn)零點(diǎn)；（影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性）傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式2.3.2 系統(tǒng)的復(fù)域特征 根軌跡增益；哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 零、極點(diǎn)分布圖零、極點(diǎn)分布圖 將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖的零極點(diǎn)分布圖0 12312-1-2-3-1-2 j 模型

56、零、極點(diǎn)決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；其中極點(diǎn)決定系模型零、極點(diǎn)決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；其中極點(diǎn)決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；零點(diǎn)與極點(diǎn)的距離決定該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模統(tǒng)的穩(wěn)定性；零點(diǎn)與極點(diǎn)的距離決定該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重，距離越遠(yuǎn)所占比重越大。態(tài)所占比重，距離越遠(yuǎn)所占比重越大。2.3.2 系統(tǒng)的復(fù)域特征 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院令s = 0，則：說明：G(0)為系統(tǒng)放大系數(shù)，決定著系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出（從微分方程的角度看，s=0相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此G(0)反映了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。G(0)由傳遞函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)決定；傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)及放大系數(shù)決定著系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。對(duì)系統(tǒng)的研究可變成對(duì)系統(tǒng)傳

57、遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的研究可變成對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù)的研究。零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù)的研究。 放大系數(shù)（增益）放大系數(shù)（增益） 1212()()()( ) ()()()mnK szszszG sKspspsp為常數(shù)）2.3.2 系統(tǒng)的復(fù)域特征 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院基本概念 任何復(fù)雜的系統(tǒng)都可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。任何復(fù)雜的系統(tǒng)都可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。 高階控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以化為零階、一階、二階等高階控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以化為零階、一階、二階等典型環(huán)節(jié)的組合。典型環(huán)節(jié)的組合。具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。 環(huán)

58、節(jié) Xi（s）G（s）Xo（s）環(huán)節(jié)框圖2.3.3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(ekkdjjcllbiiTTabK12112100112.3.3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)1比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)定定 義：義：輸出量與輸入量成正比，輸出既不失真也不延遲地反映輸入的環(huán)節(jié)。輸出量與輸入量成正比，輸出既不失真也不延遲地反映輸入的環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：( )( )( )oiXsG sKXsXi（s）KXo（s）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)

59、特特 點(diǎn)：點(diǎn)：輸出與輸入成正比，無失真和時(shí)間延遲。輸出與輸入成正比，無失真和時(shí)間延遲。案案 例：例： 電子放大器電子放大器 齒輪齒輪 電阻電阻 液壓缸液壓缸 2.3.3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)2慣性環(huán)節(jié)（或一階慣性環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)（或一階慣性環(huán)節(jié)）定定 義：義：動(dòng)力學(xué)方程為一階微分方程形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)。動(dòng)力學(xué)方程為一階微分方程形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)。哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)2慣性環(huán)節(jié)（或一階慣性環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)（或一階慣性環(huán)節(jié)）2.3.3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)2慣性環(huán)節(jié)（或一階慣性環(huán)節(jié)）慣性

60、環(huán)節(jié)（或一階慣性環(huán)節(jié)）定定 義：義：動(dòng)力學(xué)方程為一階微分方程形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)。動(dòng)力學(xué)方程為一階微分方程形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：1)(TsKsG特特 點(diǎn)：點(diǎn)：對(duì)突變的輸入及其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。對(duì)突變的輸入及其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。案案 例：例：多數(shù)熱力學(xué)系統(tǒng)，如熱電偶。多數(shù)熱力學(xué)系統(tǒng)，如熱電偶。慣性環(huán)節(jié)由系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件和耗能元件引起的。慣性環(huán)節(jié)由系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件和耗能元件引起的。Xi（s）Xo（s）慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)1KT s 2.3.3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院定定 義：義：輸出正比于輸入微分的環(huán)節(jié)為微分環(huán)節(jié)。輸出正比于輸入微分的環(huán)