第2章 平面力系的簡化與平衡

1、第一篇第一篇 理論力學理論力學第二章第二章 平面力系的簡化與平衡平面力系的簡化與平衡 第第2章章 平面力系的簡化與平衡平面力系的簡化與平衡v 作用在物體上的力系多種多樣，為了更好地研究這些復雜力系，應作用在物體上的力系多種多樣，為了更好地研究這些復雜力系，應將力系進行分類。如果按作用線是否位于同一平面內(nèi)分類，作用線將力系進行分類。如果按作用線是否位于同一平面內(nèi)分類，作用線在同一平面內(nèi)的，稱為平面力系，否則為空間力系；如果將力系按在同一平面內(nèi)的，稱為平面力系，否則為空間力系；如果將力系按作用線是否匯交或者平行分，則可分為匯交力系、力偶力系、平行作用線是否匯交或者平行分，則可分為匯交力系、力偶力系

2、、平行力系和任意力系。力系的分類如圖力系和任意力系。力系的分類如圖2.1所示。所示。圖圖2.1 力系的分類力系的分類 平 面 力 系 空 間 力 系 匯 交 力 系 平 行 力 系 任 意 力 系 力 偶 力 系 v本章學習兩個方面的內(nèi)容：本章學習兩個方面的內(nèi)容：v1. 力系的簡化力系的簡化v作用在物體上的一組作用在物體上的一組(或一群或一群)力的總稱力的總稱為力系，為力系，如果兩個力系使剛體產(chǎn)生相同的運動狀態(tài)，稱如果兩個力系使剛體產(chǎn)生相同的運動狀態(tài)，稱這兩個力系互為等效力系，用一個簡單力系等這兩個力系互為等效力系，用一個簡單力系等效地代替一個復雜力系的過程稱為力系的簡化，效地代替一個復雜力系

3、的過程稱為力系的簡化，若一個力與一個力系等效，則將這個力稱為該若一個力與一個力系等效，則將這個力稱為該力系的合力，力系中的各力均稱為此合力的一力系的合力，力系中的各力均稱為此合力的一個分力。個分力。v2. 力系的平衡力系的平衡v平衡是指物體相對地面平衡是指物體相對地面(慣性坐標系慣性坐標系)保持靜止保持靜止或作勻速直線運動的狀態(tài)，它是機械運動的特或作勻速直線運動的狀態(tài)，它是機械運動的特例。物體保持平衡狀態(tài)所應滿足的條件稱為平例。物體保持平衡狀態(tài)所應滿足的條件稱為平衡條件，它是求解物體平衡問題的關鍵，也是衡條件，它是求解物體平衡問題的關鍵，也是靜力學的核心。靜力學的核心。v本章研究平面匯交力系、

4、平面力偶力系及平面本章研究平面匯交力系、平面力偶力系及平面任意力系的簡化與平衡問題。任意力系的簡化與平衡問題。2.1 平面匯交力系平面匯交力系2.1.1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法v 1.平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的幾何法力的多邊形法則力的多邊形法則v 合成的理論依據(jù)是力的平行四邊形法則或三角形法則。合成的理論依據(jù)是力的平行四邊形法則或三角形法則。v 設作用在剛體上匯交于設作用在剛體上匯交于O點的力系點的力系F1、F2、F3和和F4，如圖，如圖2.2(a)所示，求其合力。首先將所示，求其合力。首先將F1和和 F2兩個力進行合成，將這兩個力矢兩個力

5、進行合成，將這兩個力矢量的大小利用長度比例尺轉換成長度單位，依原力矢量方向?qū)闪α康拇笮±瞄L度比例尺轉換成長度單位，依原力矢量方向?qū)闪κ噶窟M行首尾相連，得一折線矢量進行首尾相連，得一折線abc，再由折線起點向折線終點作有，再由折線起點向折線終點作有向線段向線段ac，即將折線，即將折線abc封閉，得合力封閉，得合力 F12，有向線段，有向線段ac的大小的大小為合力的大小，指向為合力的方向，同理，力為合力的大小，指向為合力的方向，同理，力F12與與F3的合力為的合力為F123 ，依次得力系的合力，依次得力系的合力FR，如圖，如圖2.2(b)所示，可以省略中間求所示，可以省略中間求合力的過程，將

6、力矢量合力的過程，將力矢量F1、F2、F3和和F4依次首尾相連，得折線依次首尾相連，得折線abcde，由折線起點向折線終點作有向線段，由折線起點向折線終點作有向線段ae，封閉邊，封閉邊ae表示其表示其力系合力的大小和方向，且合力的作用線匯交于力系合力的大小和方向，且合力的作用線匯交于O點，多邊形點，多邊形abcde稱為力的多邊形，此法稱為力的多邊形法則。作圖時力的稱為力的多邊形，此法稱為力的多邊形法則。作圖時力的順序可以是任意的，力的多邊形的形狀會發(fā)生變化，但并不影響合順序可以是任意的，力的多邊形的形狀會發(fā)生變化，但并不影響合力的大小和方向，如圖力的大小和方向，如圖2.2(c)所示。所示。 圖

7、圖2.2 平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的幾何法v 推廣到由推廣到由n個力個力 F1、F2、Fn組成的平面匯交力系，可得如下組成的平面匯交力系，可得如下結論：平面匯交力系的合力是將力系中各力矢量依次首尾相連得折結論：平面匯交力系的合力是將力系中各力矢量依次首尾相連得折線，并將折線由起點向終點作有向線段，該有向線段線，并將折線由起點向終點作有向線段，該有向線段(封閉邊封閉邊)表示表示該力系合力的大小和方向，且合力的作用線通過匯交點。即平面匯該力系合力的大小和方向，且合力的作用線通過匯交點。即平面匯交力系的合力等于力系中各力矢量和交力系的合力等于力系中各力矢量和(也稱幾何和也稱幾何和)，

8、表達式為，表達式為 (a)F1F2F3F41234R12312Oa132R(b)(c)bcde4FFFFFFFFFFFFbceadR121nnii=+=FFFFF (2-1) v 此結論可以推廣到空間匯交力系，但由于空間力的多邊此結論可以推廣到空間匯交力系，但由于空間力的多邊形不是平面圖形，且空間圖形較復雜，故一般不采用幾形不是平面圖形，且空間圖形較復雜，故一般不采用幾何法，應采用解析法。何法，應采用解析法。v 若力系是共線的，它是平面匯交力系的特殊情況，假設若力系是共線的，它是平面匯交力系的特殊情況，假設沿直線的某一方向規(guī)定為力的正方向，與之相反的力為沿直線的某一方向規(guī)定為力的正方向，與之相

9、反的力為負，其合力應等于力系中各力的代數(shù)和，即負，其合力應等于力系中各力的代數(shù)和，即 (2-2)v 【例例2.1】 吊車鋼索連接處有吊車鋼索連接處有3個共面的繩索，它們分個共面的繩索，它們分別受拉力別受拉力FT1=3kN，F(xiàn)T2=6kN，F(xiàn)T3=15kN；各力；各力的方向如圖的方向如圖2.3(a)所示，試用幾何法求力系的合力。所示，試用幾何法求力系的合力。niiRF=F1 v 解：由于三個力匯交于解：由于三個力匯交于O點，構成平面匯交力系。選比點，構成平面匯交力系。選比例尺，將各力的大小轉換成長度單位，令例尺，將各力的大小轉換成長度單位，令ab=FT1 ，bc=FT2 ，cd=FT3 ，在平面

10、上選一點，在平面上選一點a作為力多邊形作為力多邊形的起點，將各力矢量按其方向進行依次首尾相連得折線的起點，將各力矢量按其方向進行依次首尾相連得折線abcd，并將該折線封閉，便可求得力系合力的大小和，并將該折線封閉，便可求得力系合力的大小和方向。合力的大小量取折線方向。合力的大小量取折線ad的長度，并再通過比例尺的長度，并再通過比例尺轉換成力的單位，則有轉換成力的單位，則有 FR =16.50kN 合力的方向為過合力的方向為過d點作一鉛垂線，用量角器量取合力與點作一鉛垂線，用量角器量取合力與鉛垂線的夾角鉛垂線的夾角 ，即，即 =1610 合力的作用線通過匯交點合力的作用線通過匯交點O。 圖圖2.

11、3 v 2.平面匯交力系平衡的幾何法平面匯交力系平衡的幾何法v 平面匯交力系平衡的必要充分條件是力系的合力為零。平面匯交力系平衡的必要充分條件是力系的合力為零。即即 (2-3)4505kNT1T2R30(a)(c)(b)T1T2T3ROT34530abcdFFFFFFFF 10nii=F v 由此可以得到力多邊形的封閉邊應不存在，力的多邊形由此可以得到力多邊形的封閉邊應不存在，力的多邊形必自行封閉，即力的多邊形中第一個力矢量的起點與最必自行封閉，即力的多邊形中第一個力矢量的起點與最后一個力矢量的終點重合。力的多邊形自行封閉是平面后一個力矢量的終點重合。力的多邊形自行封閉是平面匯交力系平衡的幾何

12、條件。匯交力系平衡的幾何條件。v 求解平面匯交力系平衡時，可以用上面方法利用比例尺求解平面匯交力系平衡時，可以用上面方法利用比例尺進行幾何作圖，量取得未知力的大小，還可以利用三角進行幾何作圖，量取得未知力的大小，還可以利用三角關系計算求未知力的大小。關系計算求未知力的大小。v 幾何法計算時應注意：求合力時合力的指向與各力矢量幾何法計算時應注意：求合力時合力的指向與各力矢量順序相反；求平衡時各力矢量順序相同。順序相反；求平衡時各力矢量順序相同。 v 【例例2.2】 一鋼管放置在一鋼管放置在V形槽內(nèi)如圖形槽內(nèi)如圖2.4(a)所示，所示，已知：管重已知：管重P=5kN，鋼管與槽面間的摩擦不計，求槽，

13、鋼管與槽面間的摩擦不計，求槽面對鋼管的約束力。面對鋼管的約束力。v 解：取鋼管為研究對象，它所受到的主動力為重力解：取鋼管為研究對象，它所受到的主動力為重力P和和約束力為約束力為FNA和和FNB，匯交于，匯交于O點，如圖點，如圖2.4(b)所示。所示。圖圖2.4 60AB40AOP4060OB05kN(a)FNAFNBNBNA(b)(c)4060FFPbac v 選比例尺，令選比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，將各力矢，將各力矢量按其方向進行依次首尾相連得封閉的三角形量按其方向進行依次首尾相連得封閉的三角形abc，如，如圖圖2.4(c)所示。量取所示。量取bc邊和邊和ca邊的邊長

14、，按照比例尺邊的邊長，按照比例尺轉換成力的單位，則槽面對鋼管的約束力為轉換成力的單位，則槽面對鋼管的約束力為 FNA=bc=3.26kN FNB=ca=4.40kNv 另一解法：利用三角關系的正弦定理得另一解法：利用三角關系的正弦定理得 則約束力為則約束力為 FNA=bc=3.26kN FNB=ca=4.40kNNN=sin40sin60sin80ABFFP 2.1.2 平面匯交力系合成與平衡的解析法平面匯交力系合成與平衡的解析法v 1.力的投影力的投影v 力在坐標軸上的投影定義為力矢量與該坐標軸單位矢量的標量積。力在坐標軸上的投影定義為力矢量與該坐標軸單位矢量的標量積。設任意坐標軸的單位矢量

15、為設任意坐標軸的單位矢量為e，力，力F在該坐標軸上的投影為在該坐標軸上的投影為 (2-4)v 在力在力 所在的平面內(nèi)建立直角坐標系所在的平面內(nèi)建立直角坐標系Oxy，如圖，如圖2.5所示，所示，x和和y軸軸的單位矢量為的單位矢量為i、j，由力的投影定義，力，由力的投影定義，力F在在x和和y軸上的投影為軸上的投影為 (2-5) 其中其中 、 分別是力分別是力F與坐標軸的單位矢量與坐標軸的單位矢量i、j的夾角的夾角的余弦，稱為方向余弦，的余弦，稱為方向余弦， 、 稱為方向角。力的投稱為方向角。力的投影可推廣到空間坐標系。影可推廣到空間坐標系。 eF eFFFcosFFcos xyF iF iF jF

16、 jcos()Ficos()Fj()F i()F j v 如圖如圖2.5所示，若將力所示，若將力 沿直角坐標軸沿直角坐標軸x和和y分解得分力分解得分力Fx和和Fy，則力，則力F在直角坐標系上投影的絕對值與分力的在直角坐標系上投影的絕對值與分力的大小相等，但應注意投影和分力是兩種不同的量不能混大小相等，但應注意投影和分力是兩種不同的量不能混淆。投影是代數(shù)量，對物體不產(chǎn)生運動效應；分力是矢淆。投影是代數(shù)量，對物體不產(chǎn)生運動效應；分力是矢量，能對物體產(chǎn)生運動效應；同時在斜坐標系中投影與量，能對物體產(chǎn)生運動效應；同時在斜坐標系中投影與分力的大小是不相等的，如圖分力的大小是不相等的，如圖2.6所示。所示

17、。 圖圖2.5 直角坐標系中力的投影直角坐標系中力的投影 圖圖2.6 斜坐標系中投影和分力的關系斜坐標系中投影和分力的關系OBFyFxBBAAAyxOFyFxAAAxyv 力力F在平面直角坐標系中的解析式為在平面直角坐標系中的解析式為 (2-6)v 若已知力若已知力 在平面直角坐標軸上的投影在平面直角坐標軸上的投影 Fx和和Fy ，則力，則力F的大小和方向為的大小和方向為 (2-7)xyFF=+FijRcos(), cos()xyyxFFFFFFFFF ij v2. 合矢量的投影定理合矢量的投影定理v合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同

18、一軸投影的代數(shù)和，得平面匯于各分矢量在同一軸投影的代數(shù)和，得平面匯交力系合力的投影，即交力系合力的投影，即 (2-8) 其中其中FRx、FRy為合力在為合力在x和和y軸上的投影，軸上的投影，F(xiàn)xi 和和Fyi為第為第i個分力在個分力在x和和y軸上的投影。軸上的投影。niyiynyyynixixnxxxFFFFFFFFFF121R121R v3. 匯交力系的合成和平衡的解析法匯交力系的合成和平衡的解析法v 若已知分力在平面直角坐標軸上的投影若已知分力在平面直角坐標軸上的投影 Fxi、 Fyi ，則，則合力合力FR的大小和方向為的大小和方向為 (2-9)v 平面匯交力系平衡的必要與充分條件是平面匯

19、交力系的平面匯交力系平衡的必要與充分條件是平面匯交力系的合力為零。由式合力為零。由式(2-9)得得R1RR1RRR21212R2RR)cos)cosFFFF(,FFFF()F()F(FFFniyiyRnixixniyinixiyxjFiFR2222RRR11=+=()+ ()= 0nnxyxiyiiiFFFFF； v 從而得平面匯交力系平衡方程從而得平面匯交力系平衡方程 ； (2-10)v 平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在直角坐平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在直角坐標軸上的投影的代數(shù)和均為零。此方程式標軸上的投影的代數(shù)和均為零。此方程式(2-10)為兩為兩個獨立的方程，可求

20、解兩個未知力。為簡便起見方程可個獨立的方程，可求解兩個未知力。為簡便起見方程可忽略下角標忽略下角標i。10nxiiF1= 0nyiiF； 2.2 平面力偶系平面力偶系v力對剛體的作用使剛體產(chǎn)生兩種運動效應，即力對剛體的作用使剛體產(chǎn)生兩種運動效應，即移動效應和轉動效應。在平面力系中描述力對移動效應和轉動效應。在平面力系中描述力對剛體的轉動效應有兩種物理量，它們是力對點剛體的轉動效應有兩種物理量，它們是力對點之矩和力偶矩。之矩和力偶矩。2.2.1 力對點之矩的概念力對點之矩的概念圖圖2.9 力對點之矩力對點之矩 【例例2.5】 如圖如圖2.11所示，擋土墻所受的力為所示，擋土墻所受的力為P=200

21、kN，F(xiàn)=150kN，試求力系的合力對，試求力系的合力對O的矩。的矩。 圖圖2.10 力力F沿坐標的分力沿坐標的分力 圖圖2.11 yxyyxxAOFFFF30Px4.5m1m1.5m1.0myOv解：根據(jù)式解：根據(jù)式(2-14)得得R1() =()nOiyiixiiMx Fy FF1.530sin1501.030cos1501200oo182.6(kN m) 2.2.2 平面力偶平面力偶v1. 力偶與力偶矩力偶與力偶矩v定義：由兩個大小相等、方向相反且不共線的定義：由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系稱為力偶，記作平行力組成的力系稱為力偶，記作 。如。如圖圖2.12所示，力偶所

22、在的平面稱為力偶的作用所示，力偶所在的平面稱為力偶的作用面，力偶中的兩個力之間的垂直距離面，力偶中的兩個力之間的垂直距離d稱為力偶稱為力偶臂。臂。v在實際中，我們雙手駕駛方向盤在實際中，我們雙手駕駛方向盤(如圖如圖2.13所所示示)、兩個手指擰鋼筆帽等都是力偶的作用。力、兩個手指擰鋼筆帽等都是力偶的作用。力偶對物體的轉動效應用力偶矩來描述。偶對物體的轉動效應用力偶矩來描述。) (,F F 圖圖2.12 力偶的定義力偶的定義 圖圖2.13 作用在方向盤上的力偶作用在方向盤上的力偶v 力偶矩等于力偶中力的大小與力偶臂的乘積，它是代數(shù)力偶矩等于力偶中力的大小與力偶臂的乘積，它是代數(shù)量。其符號規(guī)定為：

23、力偶使物體逆時針轉動時為正，順量。其符號規(guī)定為：力偶使物體逆時針轉動時為正，順時針轉動的為負，用時針轉動的為負，用M表示，即表示，即 ABC的面積 (2-15) v 力偶矩的單位：力偶矩的單位： 或或 。力偶作用面dPFCBAFFF2=Fd=MmNmkN v2. 平面力偶的性質(zhì)與力偶的等效定理平面力偶的性質(zhì)與力偶的等效定理v平面力偶的性質(zhì)是力偶沒有合力，因此不能與平面力偶的性質(zhì)是力偶沒有合力，因此不能與一個力等效；力偶只能與一個力偶等效；力偶一個力等效；力偶只能與一個力偶等效；力偶矩與矩心點位置無關。矩與矩心點位置無關。v平面力偶的等效定理：在同一平面內(nèi)兩個力偶平面力偶的等效定理：在同一平面內(nèi)

24、兩個力偶等效的必要與充分條件是兩個力偶矩相等。等效的必要與充分條件是兩個力偶矩相等。 v 3.平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡v 1) 平面力偶系的合成平面力偶系的合成v 作用在同一平面上一組力偶的總稱為平面力偶系作用在同一平面上一組力偶的總稱為平面力偶系，由上面力偶的等，由上面力偶的等效定理得平面力偶系可以合成為一個合力偶，合力偶矩等于力偶系效定理得平面力偶系可以合成為一個合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和。即中各力偶矩的代數(shù)和。即 (2-16)v 2) 平面力偶系的平衡條件平面力偶系的平衡條件v 平面力偶系平衡的必要與充分條件是合力偶矩等于零。即力偶系中平面力偶系平衡

25、的必要與充分條件是合力偶矩等于零。即力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即各力偶矩的代數(shù)和等于零。即 (2-17) 式式(2-17)為平面力偶系的平衡方程。由于只有一個平衡方程，因為平面力偶系的平衡方程。由于只有一個平衡方程，因此只能求解一個未知量。此只能求解一個未知量。1niiMM10niiM 2.3 平面任意力系平面任意力系v在工程實際中，作用在結構上的力系有多種形在工程實際中，作用在結構上的力系有多種形式，其中力的作用線可以簡化在同一平面上的式，其中力的作用線可以簡化在同一平面上的力系稱為平面力系，力系中力的作用線不全交力系稱為平面力系，力系中力的作用線不全交于一點或不全彼此平行的力系稱為平

26、面任意力于一點或不全彼此平行的力系稱為平面任意力系。本章通過力系的簡化，研究平面任意力系，系。本章通過力系的簡化，研究平面任意力系，并且建立平面任意力系的平衡條件。并且建立平面任意力系的平衡條件。2.3.1 力的平移定理力的平移定理v則力平行移到另一點則力平行移到另一點B，如圖，如圖2.17(c)所示。所示。v此定理的逆過程為作用在剛體上一點的一個力此定理的逆過程為作用在剛體上一點的一個力和一個力偶可以和一個力等效，此力為原來力和一個力偶可以和一個力等效，此力為原來力系的合力。系的合力。 2.3.2 力系的簡化力系的簡化（1） 平面任意力系向一點簡化平面任意力系向一點簡化主矢與主矩主矢與主矩（

27、2） 平面任意力系簡化的應用平面任意力系簡化的應用（3） 平面任意力系簡化結果討論平面任意力系簡化結果討論v 【例例2.8】 簡支梁受三角形荷載作用，最大荷載集度簡支梁受三角形荷載作用，最大荷載集度為為 (單位：單位：N/m)如圖如圖2.21所示，求其合力的大小和所示，求其合力的大小和作用線的位置。作用線的位置。圖圖2.21BAqdxq0 xyxlv 解：設梁距解：設梁距A端端x處的荷載集度為處的荷載集度為q，其值為，其值為 ，則，則微段微段dx上所受的力上所受的力則簡支梁所受三角形荷載的合力為則簡支梁所受三角形荷載的合力為 (a)設合力作用線距設合力作用線距A端為端為d，由合力矩定理得，由合

28、力矩定理得 (b)將式將式(a)代入式代入式(b)得合力作用線距得合力作用線距A端的距離為端的距離為 (c)0=xqql0d=d=dxFq xqxlql=xqlxxq=Foll21dd00 xxqlxxqx=Fdolldd00ld32=【例例2.9】 2.3.3平面任意力系的平衡平面任意力系的平衡v （1）受平面任意力系作用物體的平衡計算）受平面任意力系作用物體的平衡計算v 平面任意力系平衡的必要與充分條件：力系的主矢和對平面任意力系平衡的必要與充分條件：力系的主矢和對任意點的主矩均等于零，即任意點的主矩均等于零，即 ， 由式由式(2-20)和式和式(2-21)得得 ； ； 于是得平面任意力系

29、平衡的解析條件：平面任意力系中于是得平面任意力系平衡的解析條件：平面任意力系中各力向力系所在平面的兩個垂直的坐標軸投影的代數(shù)和各力向力系所在平面的兩個垂直的坐標軸投影的代數(shù)和為零，各力對任意點的矩的代數(shù)和為零。式為零，各力對任意點的矩的代數(shù)和為零。式(2-26)為為平面任意力系的平衡方程，是平面任意力系的平衡方程，是3個獨立方程，最多只能個獨立方程，最多只能解解3個未知力。個未知力。R= 0F= 0OM， 1()0nOiiMF10nxiiF10nyiiF； (2-25)(2-26) v 式式(2-26)為平面任意力系平衡方程的基本形式，還有為平面任意力系平衡方程的基本形式，還有其他兩種形式的方

30、程。即其他兩種形式的方程。即 ； ； (2-27)v 式式(2-27)為二力矩式，為二力矩式，x軸不能與軸不能與A、B連線垂直。如連線垂直。如圖圖2.23所示，式所示，式(2-27)前兩式為合力矩等于零，說明前兩式為合力矩等于零，說明合力的作用線通過合力的作用線通過A、B兩點連線，但兩點連線，但x軸不能與軸不能與A、B連線垂直，以保證力系中的合力為零。即連線垂直，以保證力系中的合力為零。即 ； ； (2-28)v 式式(2-28)為為3力矩式，力矩式，A、B、C三點不共線。三點不共線。1( )0nAiiMF1( )0nBiiMF10nxii F； 1( ) 0nAiiMF1( )0nBiiMF

31、1( ) 0nCiiMF； v 總之，共有總之，共有3種形式的平衡方程，但求解時應根據(jù)具種形式的平衡方程，但求解時應根據(jù)具體問題而定，只能選擇其中的一種形式，且列體問題而定，只能選擇其中的一種形式，且列3個平衡個平衡方程，求解方程，求解3個未知力。若列第個未知力。若列第4個方程，它是不獨立的個方程，它是不獨立的，是前，是前3個方程的線性組合；同時，在求解時應盡可能個方程的線性組合；同時，在求解時應盡可能地使一個方程含有一個未知力，避免聯(lián)立求解，在學習地使一個方程含有一個未知力，避免聯(lián)立求解，在學習時應多作練習。時應多作練習。圖圖2.23 二力矩式的平衡條件二力矩式的平衡條件xBARF 【例例2

32、.10】【例例2.11】圖2.25 【例例2.12】（2）受平面平行力系作用物體的平衡計算）受平面平行力系作用物體的平衡計算 【例例2.13】（3）平面靜定剛體系的平衡計算）平面靜定剛體系的平衡計算v 工程中，如剛架結構、三鉸拱、桁架等結構，它們都是工程中，如剛架結構、三鉸拱、桁架等結構，它們都是由幾個物體通過某種連接方式組成的有機整體，若能將由幾個物體通過某種連接方式組成的有機整體，若能將結構簡化成平面結構，則稱為平面剛體系；當它們處于結構簡化成平面結構，則稱為平面剛體系；當它們處于平衡狀態(tài)時，求解每個物體的平衡問題時，稱為平面剛平衡狀態(tài)時，求解每個物體的平衡問題時，稱為平面剛體系的平衡問題

33、。求解平衡問題，實際上要看所求解的體系的平衡問題。求解平衡問題，實際上要看所求解的未知力的個數(shù)與平衡方程的個數(shù)是否相等，若剛體系的未知力的個數(shù)與平衡方程的個數(shù)是否相等，若剛體系的全部未知力的數(shù)目與所列的平衡方程的數(shù)目相等，此類全部未知力的數(shù)目與所列的平衡方程的數(shù)目相等，此類問題成為靜定問題，理論力學的靜力學部分均為靜定問問題成為靜定問題，理論力學的靜力學部分均為靜定問題；反之，若剛體系的全部未知力的數(shù)目多于所列的平題；反之，若剛體系的全部未知力的數(shù)目多于所列的平衡方程的數(shù)目，此類問題成為靜不定問題，也稱為超靜衡方程的數(shù)目，此類問題成為靜不定問題，也稱為超靜定問題。求解超靜定問題時，需要引入相應

34、的變形與力定問題。求解超靜定問題時，需要引入相應的變形與力之間關系的補充方程，才能求解，這已超出理論力學研之間關系的補充方程，才能求解，這已超出理論力學研究的范疇，將在后續(xù)課程材料力學中學習。究的范疇，將在后續(xù)課程材料力學中學習。v 如圖如圖2.29 (a)所示，懸臂梁所示，懸臂梁AB是靜定梁，若作用在它上面的力是是靜定梁，若作用在它上面的力是平面任意力系，固定端的約束反力有平面任意力系，固定端的約束反力有3個，可列個，可列3個平衡方程，解個平衡方程，解3個未知力，故是靜定的。但由于自由端可能產(chǎn)生較大的變形，需在個未知力，故是靜定的。但由于自由端可能產(chǎn)生較大的變形，需在此增加一個支撐，如圖此增

35、加一個支撐，如圖2.29 (b)所示，增加了約束，結構的強度所示，增加了約束，結構的強度提高了，但未知力的數(shù)目也隨之增加為提高了，但未知力的數(shù)目也隨之增加為4個，個，3個平衡方程不能求個平衡方程不能求解全部的未知力，此時的問題轉為靜不定問題或超靜定問題。解全部的未知力，此時的問題轉為靜不定問題或超靜定問題。圖圖2.29 懸臂梁懸臂梁AF(a)Bq(x)FAqB(b)(x)v 平面靜定剛體系一般都是用鉸鏈連接的，對它們的平面靜定剛體系一般都是用鉸鏈連接的，對它們的計算可以有兩種方式：將每個剛體從它們的連接處拆計算可以有兩種方式：將每個剛體從它們的連接處拆開，對每個剛體建立相應的平衡方程；若是每個

36、剛體的開，對每個剛體建立相應的平衡方程；若是每個剛體的平面任意力系可列平面任意力系可列3個平衡方程；剛體系若由個平衡方程；剛體系若由n個剛體組個剛體組成，共列成，共列3n個平衡方程，可解個平衡方程，可解3n個未知力個未知力(包括全部的包括全部的約束力和全部的內(nèi)力約束力和全部的內(nèi)力)，但這樣做的缺點是工作量較大，但這樣做的缺點是工作量較大。根據(jù)求解問題的要求，首先選整體為研究對象，列。根據(jù)求解問題的要求，首先選整體為研究對象，列相應的平衡方程；其次選某一部分為研究對象，列相應相應的平衡方程；其次選某一部分為研究對象，列相應的平衡方程；最后選單一物體為研究對象進行求解，這的平衡方程；最后選單一物體

37、為研究對象進行求解，這樣做可以減少不需要求解的未知力，工作量比第一種少樣做可以減少不需要求解的未知力，工作量比第一種少，靜定剛體系的計算多采用后一種方式。，靜定剛體系的計算多采用后一種方式?！纠?.14】 圖圖2.30 如圖如圖2.30 (a)所示所示v (1) 選梁選梁BC為研究對象，作用于它的主動力有：力偶為研究對象，作用于它的主動力有：力偶 M和均布荷和均布荷載載q；約束力為；約束力為B處的兩個垂直分力處的兩個垂直分力 、 ，C處的法向力處的法向力 ，如圖如圖2.30(b)所示。列平衡方程：所示。列平衡方程： ， (a)解得解得 v (2) 選整體為研究對象，作用在它上的主動力有：集中

38、力選整體為研究對象，作用在它上的主動力有：集中力F，力偶，力偶矩矩M和均布荷載和均布荷載q；約束力為固定端；約束力為固定端A處的兩個垂直分力處的兩個垂直分力 、 和力偶矩和力偶矩 ，以及，以及C處的法向力處的法向力 ，如圖，如圖2.30(c)所示。列平衡所示。列平衡方程方程 ， (b)BxFByFNCF1()0nBiiMFN363302CFMqN43.33(kN)CFAxFAyFAMNCF1()0nAiiMFN32103702ACMFFMq ， (c) ， (d)由式由式(b)、式、式(c)、式、式(d)解得解得A、C端的約束力為端的約束力為 ， ， 方向如圖方向如圖2.30(c)所示。所示。

39、 10nxiiF0AxF10nyiiFN30AyCFFqF0AxF26.67kNAyF 86.7kN mAM 【例例2.15】 圖圖2.31如圖如圖2.31 (a)所示，所示，v 解：解： (1) 選選CE為研究對象，作用于它的主動力有：均布荷載為研究對象，作用于它的主動力有：均布荷載q和集中和集中荷載荷載 ；約束力為滾動鉸支座；約束力為滾動鉸支座E處的法向力處的法向力 及鉸鏈及鉸鏈C處的處的兩個垂直分力兩個垂直分力 、 ，如圖，如圖2.31(b)所示。列平衡方程所示。列平衡方程 ， (a) 解得解得 (2) 選整體為研究對象，作用于它的主動力有：均布荷載選整體為研究對象，作用于它的主動力有：

40、均布荷載q和集中和集中荷載荷載 、 ；約束力為滾動鉸支座；約束力為滾動鉸支座E處的法向力處的法向力 及固定及固定鉸支座鉸支座A、D處的垂直分力處的垂直分力 、 ， 、 ，如圖，如圖2.31(c)所示。所示。列平衡方程列平衡方程 ， (b)2FqaNEFCxFCyF1( )0nCiiMF2N102EaFqaN1( )2EFqa12Fqa2FqaNEFAxFAyFDxFDyF1()0nAiiMFN21232.50DyEaFaFaFaqaaF ， (c) ， (d)將將 代入式代入式(b)和式和式(d)中得中得(3)選選AB為研究對象，假設集中荷載為研究對象，假設集中荷載 作用在作用在B點，受力如圖

41、點，受力如圖2.31(d)所示。列平衡方程所示。列平衡方程 (e)解得解得 (f)將式將式(f)代入式代入式(c)中解得中解得10nxiiF20AxDxFFF10nyiiFN10AyDyEFFFFqaNEF( )DyFqa3( )2AyFqa12Fqa1M ()0nBiiF20AxAyaFaF)(qaFFAyAx43211()4DxFqa v 【例例2.16】如圖如圖2.32所示構架中，物體重所示構架中，物體重P=1200N，由細繩跨，由細繩跨過滑輪過滑輪E而水平系于墻上，尺寸如圖，不計桿和滑輪的重量，試求而水平系于墻上，尺寸如圖，不計桿和滑輪的重量，試求固定鉸支座固定鉸支座A和滾動支座和滾動

42、支座B處約束力及桿處約束力及桿BC所受的力。所受的力。 (a) (b) (c)圖圖2.32 1.5m1.5m2m2mADBCE 1.5m 2m 2mCEPFT1.5mADBFAxFAyFNBDFAxFAyFNBFDxFDyFBCv 解：解： (1) 選整體為研究對象，作用在它上的主動力是物體重力選整體為研究對象，作用在它上的主動力是物體重力P，約束，約束力為固定鉸支座力為固定鉸支座A處的垂直分力處的垂直分力FAx、FAy，滾動支座，滾動支座B處的法向約處的法向約束力束力FNB，系于墻上跨過滑輪，系于墻上跨過滑輪E的水平細繩的拉力的水平細繩的拉力FT且且FT=P，如圖，如圖2.32(b)所示，設

43、滑輪所示，設滑輪E的半徑為的半徑為r。列平衡方程為。列平衡方程為 ， (a)， (b) ， (c) 得固定鉸支座得固定鉸支座A和滾動支座和滾動支座B處約束力為處約束力為 FNB=1050N FAx=1200N FAy=150N01niiAFM051514TNr.F.rPFBnixiF100T FFAx10nyiiF0NPFFBAy (2) 選桿選桿ADB為研究對象，作用在它上的力是固定鉸支座為研究對象，作用在它上的力是固定鉸支座A處的處的垂直分力垂直分力FAx、FAy和滾動支座和滾動支座B處的法向約束力處的法向約束力FNB及為及為D鉸處的鉸處的垂直分力垂直分力 、 ，如圖，如圖2.32(c)所

44、示。列平衡方程所示。列平衡方程， (d) 其中其中 為桿為桿BC與水平桿與水平桿ADB夾角，夾角， 則得桿則得桿BC所受的力為所受的力為 FNB= 1500N 為壓力。為壓力。v 總之，求解平面剛體系的平衡問題時，應注意作用力與反作用力的總之，求解平面剛體系的平衡問題時，應注意作用力與反作用力的關系，當選擇的研究對象的作用力方向一經(jīng)假定，則反作用力的方關系，當選擇的研究對象的作用力方向一經(jīng)假定，則反作用力的方向必相反，這一點初學者要注意。向必相反，這一點初學者要注意。DxFDyF1()0nDiiMF0sin222NBCAyBFFF805122sin22.v （4） 平面簡單桁架的內(nèi)力計算平面簡

45、單桁架的內(nèi)力計算v 桁架：桁架：兩端用鉸鏈彼此相聯(lián)且受力后幾何形狀不變的桿系結構稱為兩端用鉸鏈彼此相聯(lián)且受力后幾何形狀不變的桿系結構稱為桁架。桁架中的鉸鏈稱為結點。桁架。桁架中的鉸鏈稱為結點。例如工程中屋架結構、場館的網(wǎng)狀例如工程中屋架結構、場館的網(wǎng)狀結構、橋梁以及電視塔架等均看成為桁架結構。結構、橋梁以及電視塔架等均看成為桁架結構。v 這里只研究簡單靜定桁架結構的內(nèi)力計算問題。實際的桁架結構受這里只研究簡單靜定桁架結構的內(nèi)力計算問題。實際的桁架結構受力情況較為復雜，為了便于工程計算采用以下假設：力情況較為復雜，為了便于工程計算采用以下假設：v 桁架所受力(包括重力、風力等外荷載)均簡化在結點

46、上；v 桁架中的桿件是直桿，主要承受拉力或壓力；v 桁架中的鉸鏈忽略摩擦為光滑鉸鏈。v 這樣的桁架稱為理想桁架。若桁架的桿件位于同一平面內(nèi)，則稱平這樣的桁架稱為理想桁架。若桁架的桿件位于同一平面內(nèi)，則稱平面桁架。若以三角形為基礎組成的平面桁架，稱為平面簡單靜定桁面桁架。若以三角形為基礎組成的平面桁架，稱為平面簡單靜定桁架，例如圖架，例如圖2.33所示的屋架結構。所示的屋架結構。圖圖2.33 屋架結構屋架結構v 平面簡單靜定桁架的內(nèi)力計算有兩種方法：結點法和截面法。平面簡單靜定桁架的內(nèi)力計算有兩種方法：結點法和截面法。FF12453FFFFFFAxAyABNBv1. 結點法結點法v以每個結點為研

47、究對象，構成平面匯交力系，以每個結點為研究對象，構成平面匯交力系，列兩個平衡方程。計算時應從兩個桿件連接的列兩個平衡方程。計算時應從兩個桿件連接的結點進行求解，每次只能求解兩個未知力，逐結點進行求解，每次只能求解兩個未知力，逐一對結點求解，直到全部桿件內(nèi)力求解完畢，一對結點求解，直到全部桿件內(nèi)力求解完畢，此法稱結點法。此法稱結點法。 【例例2.17】2.34(a)所示。所示。圖圖2.34 v解：解： (1) 求平面桁架的支座約束力，受力如圖求平面桁架的支座約束力，受力如圖2.34 (a)所所示。列平衡方程示。列平衡方程 ， ， ， 解得解得1()0nAiiMF010161012108104F1

48、6NB10nxiiF0AxF10nyiiFN5 100AyBFF N25(kN)AyBFF (2)求平面桁架各桿的內(nèi)力。假設各桿的內(nèi)力為拉力。求平面桁架各桿的內(nèi)力。假設各桿的內(nèi)力為拉力。 1結點：受力如圖結點：受力如圖2.34 (b)所示，列平衡方程所示，列平衡方程， ， 解得解得 ， (壓壓) 2結點：受力如圖結點：受力如圖2.34 (c)所示，列平衡方程所示，列平衡方程， ， 由于由于 代入上式得代入上式得 (壓壓) (拉拉)10nxiiF014F10nyiiF01012F014FkN1012F10nxiiF2324cos450FF10nyiiF2124sin450AyFFFkN10122

49、1 FFkN21524FkN1523F 3結點：受力如圖結點：受力如圖2.34 (d)所示，列平衡方程所示，列平衡方程， ， 由于由于 代入上式得代入上式得 (拉拉) 4結點：受力如圖結點：受力如圖2.34 (e)所示，列平衡方程所示，列平衡方程 ， ， 由于由于 、 、 ，代入上式得，代入上式得 (壓壓) (拉拉)10nxiiF03236 FF10nyiiF034FkN152332FF3615kNF034F10nxiiF45464142cos45cos450FFFF10nyiiF434642sin45sin45100FFF01441 FFkN2152442 FF03443 FFkN2045F

50、kN2546F 5結點：受力如圖結點：受力如圖2.34 (f)所示，列平衡方程所示，列平衡方程， ， 由于由于 代入上式得代入上式得 (壓壓) (壓壓)v 由于對稱性，剩下部分可不用再求。將內(nèi)力表示在圖上如圖由于對稱性，剩下部分可不用再求。將內(nèi)力表示在圖上如圖2.34 (g)所示。所示。10nxiiF05458 FF10nyiiF01056FkN204554 FFkN2058FkN1056Fv 由上面的例子可見，桁架中存在內(nèi)力為零的桿，我們通由上面的例子可見，桁架中存在內(nèi)力為零的桿，我們通常將內(nèi)力為零的桿稱為零力桿。如果能在進行內(nèi)力計算常將內(nèi)力為零的桿稱為零力桿。如果能在進行內(nèi)力計算之前根據(jù)結

51、點平衡的一些特點，將桁架中的零力桿找出之前根據(jù)結點平衡的一些特點，將桁架中的零力桿找出來，便可以節(jié)省這部分計算工作量。下面給出一些特殊來，便可以節(jié)省這部分計算工作量。下面給出一些特殊情況判斷零力桿。情況判斷零力桿。v (1)(1)一個結點連著兩個桿，當該結點無荷載作用時，這兩個桿的內(nèi)一個結點連著兩個桿，當該結點無荷載作用時，這兩個桿的內(nèi)力均為零。力均為零。v (2)(2)3 3個桿匯交的結點上，當該結點無荷載作用時，且其中兩個桿個桿匯交的結點上，當該結點無荷載作用時，且其中兩個桿在一條直線上，則第在一條直線上，則第3 3個桿的內(nèi)力為零，在一條直線上的兩個桿內(nèi)個桿的內(nèi)力為零，在一條直線上的兩個桿

52、內(nèi)力大小相同，符號相同。力大小相同，符號相同。v 此外，若此外，若4個桿匯交的結點上無荷載作用時，且其中兩個桿匯交的結點上無荷載作用時，且其中兩個桿在一條直線上，另外兩個桿在另一條直線上，則共個桿在一條直線上，另外兩個桿在另一條直線上，則共線的兩桿內(nèi)力大小相同，符號相同。線的兩桿內(nèi)力大小相同，符號相同。v2. 截面法截面法v如果只要求桁架中的部分桿件的內(nèi)力時，選擇如果只要求桁架中的部分桿件的內(nèi)力時，選擇一截面假想地將要求的桿件截開，使桁架成為一截面假想地將要求的桿件截開，使桁架成為兩部分，并選其中一部分作為研究對象，所受兩部分，并選其中一部分作為研究對象，所受力一般為平面任意力系，列相應的平衡

53、方程求力一般為平面任意力系，列相應的平衡方程求解，此法稱截面法。解，此法稱截面法。v 【例例2.18】 一平面桁架的受力及幾何尺寸如圖一平面桁架的受力及幾何尺寸如圖2.35(a)所示，所示，試求試求1、2、3桿的內(nèi)力。桿的內(nèi)力。圖圖2.35 1PP2ABAxFAyFNBF14235(a)(b)a6aAyFA1P1F2F3FCAxFv 解：解： (1)求平面桁架的支座約束力，受力如圖求平面桁架的支座約束力，受力如圖2.35(a)所示。列平衡所示。列平衡方程方程， ， ， 解得解得 (2)求求1、2、3桿的內(nèi)力。假想將桿的內(nèi)力。假想將1、2、3桿截開，取其中一部桿截開，取其中一部分，如圖分，如圖2

54、.35 (b)所示。列平衡方程所示。列平衡方程， 1()0nAiiMFN12624= 0BaFaPaP10nxiiF= 0AxF10nyiiFN12+= 0AyBFFPP12N+ 2=3BPPF3+2=21PPFAy1()0nCiiMF32+= 0AyaFaF， ， 解得解得 v 3.結點法和截面法的聯(lián)合結點法和截面法的聯(lián)合 在桁架計算中，有時將結點法和截面法聯(lián)合應用，計算將會更方在桁架計算中，有時將結點法和截面法聯(lián)合應用，計算將會更方便。便。 10nxiiF132+cos45 = 0FFF10nyiiF12cos45 = 0AyFPF112=(+)FPP2212=(P )3FP 3121=(

55、4+ 2)3FPP2.4 考慮滑動摩擦時的平衡問題考慮滑動摩擦時的平衡問題【例例2.19】 圖圖2.36 v 解：由經(jīng)驗知，力解：由經(jīng)驗知，力F過大，物塊沿斜面向上滑動；力過大，物塊沿斜面向上滑動；力F過小，物塊過小，物塊沿斜面向下滑動，因此計算的沿斜面向下滑動，因此計算的F應在這兩個狀態(tài)之間。應在這兩個狀態(tài)之間。 (1) 求當物塊處于沿斜面向上滑動的臨界狀態(tài)時，所需的水平力求當物塊處于沿斜面向上滑動的臨界狀態(tài)時，所需的水平力F，此時力，此時力F為物塊處于平衡時的最大值，用為物塊處于平衡時的最大值，用 表示。受力如圖表示。受力如圖2.36 (a)所示，列平衡方程所示，列平衡方程， (a)， (

56、b) 摩擦力方程摩擦力方程 (c)由式由式(a)、式、式(b)和式和式(c)聯(lián)立，求得最大的水平推力聯(lián)立，求得最大的水平推力 (d)maxF10nxiiFmaxcossin0FPF10nyiiF0cossinNPFFmaxNFf FPffFsincoscossin (2) 求當物塊處于沿斜面向下滑動的臨界狀態(tài)時，所需的水平力求當物塊處于沿斜面向下滑動的臨界狀態(tài)時，所需的水平力F，此時力，此時力F為物塊處于平衡時的最小值，用為物塊處于平衡時的最小值，用 表示。受力如圖表示。受力如圖2.36(b)所示，列平衡方程所示，列平衡方程 (e) (f) 摩擦力方程摩擦力方程 (g) 由式由式(e)、式、式

57、(f)和式和式(g)聯(lián)立，得最小的水平推力聯(lián)立，得最小的水平推力 (h) 由由(1)和和(2)得使物塊處于平衡的水平推力為得使物塊處于平衡的水平推力為 F (i)maxF10nxiiF0sincosmaxFPF10nyiiF0cossinPFFNmaxNFfFPffFsincoscossinsincoscossinfPfsincoscossinfPf 2.5 本章小結本章小結v 1.平面匯交力系平面匯交力系v 幾何法幾何法 (1) 平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的幾何法力的多邊形法則。力的多邊形法則。 將原力系中各力矢量依次首尾相連，得折線并封閉，封閉邊的大小將原力系中各力矢量依次首

58、尾相連，得折線并封閉，封閉邊的大小和方向表示力系的合力的大小和方向，合力的作用線通過匯交點。和方向表示力系的合力的大小和方向，合力的作用線通過匯交點。 (2) 平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的幾何條件力的多邊形自行封閉。力的多邊形自行封閉。v 解析法解析法 (1) 平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系合成的解析法 合矢量的投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一合矢量的投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸上投影的代數(shù)和。平面匯交力系的合力與分力的投影關系為軸上投影的代數(shù)和。平面匯交力系的合力與分力的投影關系為R1R1nxxiinyyiiFFFF 力系合力：

59、力系合力： (2)平面匯交力系平衡的解析條件平面匯交力系平衡的解析條件 力系中各力在直角坐標軸上的投影的代數(shù)和均為零。力系中各力在直角坐標軸上的投影的代數(shù)和均為零。 平面匯交力系的平衡方程：平面匯交力系的平衡方程： v 2.平面力偶系平面力偶系 (1)合力矩定理：平面匯交力系的合力對力系所在平面內(nèi)任意點之合力矩定理：平面匯交力系的合力對力系所在平面內(nèi)任意點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。即矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。即2222RRR11RR11RRRRRR)cos(), cos()nnxyxiyiiinnxiyiyxiiFFFFFFFFFFFFFFFij10nxiiF1= 0

60、nyiiFR1()()nOOiiMMFF (2)力偶與力偶矩力偶與力偶矩 力偶：由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。力偶：由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系。 力偶矩：力偶中力的大小與力偶臂的乘積，它是代數(shù)量。即力偶矩：力偶中力的大小與力偶臂的乘積，它是代數(shù)量。即 符號規(guī)定：力偶使物體逆時針轉動為正，反之為負。符號規(guī)定：力偶使物體逆時針轉動為正，反之為負。v 平面力偶的性質(zhì)：平面力偶的性質(zhì)： 力偶沒有合力；力偶沒有合力； 不能與一個力等效；不能與一個力等效； 力偶只能與一個力偶等效；力偶只能與一個力偶等效； 力偶矩與矩心點的位置無關。力偶矩與矩心點的位置無關。v