數學必修四知識點總結

1、xAysin知識網絡構造1 1正角，負角和零角正角，負角和零角. .用旋轉的觀點定義角，用旋轉的觀點定義角，并規(guī)定了旋轉的正方向，就出現了正角，負角和并規(guī)定了旋轉的正方向，就出現了正角，負角和零角，這樣角的大小就不再限于零角，這樣角的大小就不再限于0000到到36003600的范圍的范圍. .（3）終邊相同的角，具有共同的紿邊和終邊的角叫終邊相同的角，所有與角終邊相同的角（包含角在內）的集合為.Zkk,360（4）角在“到”范圍內，指.36002象限角和軸線角.象限角的前提是角的頂點與直角坐標系中的坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，這樣當角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角，假設角

2、的終邊與坐標軸重合，這個角不屬于任一象限，這時也稱該角為軸線角.一、任意角的三角函數1、角的概念的推廣角的概念的推廣正角正角負角負角oxy的終邊的終邊),(零角零角二、象限角：注：如果角的終邊在坐標軸上，那么該角不是象限角。注：如果角的終邊在坐標軸上，那么該角不是象限角。三、所有與角 終邊一樣的角，連同角 在內，構成集合：|360 ,SkkZ |2,kkZ 角度制弧度制例1、求在 到 （ ）范圍內，與下列各角終邊相同的角036002到1950122（）、19（ ）、34812913原點原點x軸的非負半軸軸的非負半軸一、在直角坐標系內討論角，角的頂點與 重合，角的始邊 與 重合。逆時針旋轉為正，

3、順時針旋轉為負。角的終邊除端點外在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。1 1、終邊一樣的角與相等角的區(qū)別、終邊一樣的角與相等角的區(qū)別終邊一樣的角不一定相等，相等的角終邊一定一樣。終邊一樣的角不一定相等，相等的角終邊一定一樣。2 2、象限角、象間角與區(qū)間角的區(qū)別、象限角、象間角與區(qū)間角的區(qū)別Zkkk2 ,2xyOxyOxyOxyO3 3、角的終邊落在、角的終邊落在“射線上射線上、“直線上直線上及及“互相互相垂直的兩條直線上垂直的兩條直線上的一般表示式的一般表示式Zkk2ZkkZkk2三、終邊一樣的角(1)與與 角終邊一樣的角的集合角終邊一樣的角的集合: | =2k + , kZ. (2)象限角

4、、象限界角象限角、象限界角( (軸線角軸線角) )象限角象限角第一象限角第一象限角: (2k 2k + , k Z) 2 第二象限角第二象限角:(2k + 2k + , k Z) 2 第三象限角第三象限角: (2k + 2k + , k Z) 23 第四象限角第四象限角:2 (2k + 2k +2 , k Z 或或 2k - - 2k , k Z ) 23 一、角的根本概念一、角的根本概念軸線角軸線角x 軸的非負半軸軸的非負半軸: =k 360(2k )(k Z); x 軸的非正半軸軸的非正半軸: =k 360+180(2k + )(k Z); y 軸的非負半軸軸的非負半軸: =k 360+9

5、0(2k + )(k Z); 2 y 軸的非正半軸軸的非正半軸: =k 360+270(2k + ) 或或 =k 360- -90(2k - - )(k Z); 23 2 x 軸軸: =k 180(k )(k Z); y 軸軸: =k 180+90(k + )(k Z); 2 坐標軸坐標軸: =k 90( )(k Z). 2k 例2、（1）、終邊落在x軸上的角度集合：（2）、終邊落在y軸上的角度集合：（3）、終邊落在象限平分線上的角度集合：|,kkZ |,2kkZ |,42kkZ 各個象限的半角范圍可以用以下各個象限的半角范圍可以用以下圖記憶，圖中的圖記憶，圖中的、分分別指第一、二、三、四象限

6、角的半別指第一、二、三、四象限角的半角范圍；角范圍；例例1. 1.假設假設是第三象限的角，問是第三象限的角，問/2/2是哪個象限是哪個象限的角的角?2?2是哪個象限的角是哪個象限的角? ? .D;.C;.B;.A)(22cos2cos)90( 1第四象限第四象限第三象限第三象限第二象限第二象限第象限第象限角屬于角屬于則則，角是第二象限且滿足角是第二象限且滿足設設年，上海年，上海例例 C點評點評:此題先由此題先由所在象限確定所在象限確定/2所在象限所在象限,再再/2的的余弦符號確定結論余弦符號確定結論.例例1 求經過1小時20分鐘時鐘的分針所轉過的角度：解：分針所轉過的角度48036060201

7、例例2 已知a是第二象限角，判斷下列各角是第幾象限角 （1） （2）23評析：評析： 在解選擇題或填空題時，如求角所在象限，也可以不討論k的幾種情況，如圖所示利用圖形來判斷.四、什么是1弧度的角？長度等于半徑長的弧所對的圓心角。OABrr2rOABr3角度與弧度的換算.只要記住，就可以方便地進展換算. 應熟記一些特殊角的度數和弧度數. 在書寫時注意不要同時混用角度制和弧度制 rad1180180rad180130.571801rad（4）弧長公式和扇形面積公式. rlrnrnl1802360rlrrS212122222360360rnrnS度 弧度 0030645436021203213543

8、15065270231803602902、角度與弧度的互化角度與弧度的互化36021801801185730.57)180(1,弧度特殊角的角度數與弧度數的對應表特殊角的角度數與弧度數的對應表 略解：解：例3已知角和滿足求角的范圍.43,07,44312解：.,.33例例4 4、 扇形的周長為定值扇形的周長為定值100100，問扇形的半徑和，問扇形的半徑和圓心角分別為多少時扇形面積最大？最大值是多圓心角分別為多少時扇形面積最大？最大值是多少？少？.625)25(50)2100(212122rrrrrlrS)(2,50,25radrllr扇形面積最大值為625. 例例7.7.一扇形中心角是一扇形

9、中心角是，所在圓的半徑是，所在圓的半徑是R. R. 假設假設6060，R R10cm10cm，求扇形的弧長及該弧，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積所在的弓形面積. . 假設扇形的周長是一定值假設扇形的周長是一定值C(CC(C0)0)，當，當為多為多少弧度時，該扇形的面積有最大值少弧度時，該扇形的面積有最大值? ?并求出這一最并求出這一最大值大值? ? 解：解：1設弧長為設弧長為l，弓形面積為，弓形面積為S弓。弓。 1060,10,()33Rlcm 22110131010sin6050)23232SSScm 弓扇（）（2）扇形周長扇形周長C=2R+l=2R+Rrrclrs)2(212120cr

10、注意：1圓心在原點，半徑為單位長的圓叫單位圓.在平面直角坐標系中引進正弦線、余弦線和正切線 三角函數三角函數三角函數線三角函數線正弦函數正弦函數余弦函數余弦函數正切函數正切函數正弦線正弦線MP 正弦、余弦函數的圖象正弦、余弦函數的圖象 yx xO-1PMA(1,0)Tsin =MPcos =OMtan =AT注意：注意：三角三角函數線是函數線是有有向線段向線段！余弦線余弦線OM正切線正切線AT 為第二象限角時為第二象限角時 為第一象限角時為第一象限角時 為第三象限角時為第三象限角時 為第四象限角時為第四象限角時 10函數函數y=lg sinx+ 的定義域是的定義域是AAx|2kx2k+ (kZ

11、)Bx|2kx2k+ (kZ)Cx|2kx2k+ (kZ)Dx|2kx2k+ (kZ)21cosx3323三角函數線的應用三角函數線的應用一、三角式的證明一、三角式的證明042、已知：角 為銳角， 試證：2sincos21、已知：角 為銳角， 試證：（1）sintan(2)1sincos24、在半徑為r的圓中，扇形的周長等于半圓的弧長，那么扇形圓心角是多少？扇形的的面積是多少？答：圓心角為-2，面積是2)2(21r5、用單位圓證明sian tan.(00 0,0) y=Asin(x+)(A0,0) 的圖象的對稱中心的圖象的對稱中心和對稱軸方程和對稱軸方程)sin(xAyxysin00|)sin

12、(xy1101)sin(xy)sin(xAyxysin1011xysin00|)sin(xy)sin(xAy) )的的簡簡圖圖. .A As si in n( (x x1 1. .五五點點法法作作函函數數y y的的思思想想. .看看圖圖說說話話3 3. . ) )的的圖圖象象. .A As si in n( (x x函函數數y y2 2. .通通過過圖圖象象變變換換得得到到時 的的思思想想. .代代點點看看趨趨4 4. . 勢勢求求解解析析式式注注意意sin()yAxB 函數系列要求：sin()yAxB例例3、不通過求值，比較、不通過求值，比較tan1350與與tan1380的大小。的大小。解

13、：900135013802700又 y=tanx在x900，2700上是增函數 tan13500,|0,0)的一個周期內的圖象如圖，那么有( )sin(xAy)32sin(3)62sin(3)3sin(3)6sin(3xyxyxyxy(A)(B)(C)(D)yx03- 312127yx02-2- 4yx0-4234943434如圖：根據函數如圖：根據函數圖象圖象求它的解析式求它的解析式y(tǒng)x04432-2如圖：根據函數如圖：根據函數圖象圖象求它的解析式求它的解析式y(tǒng)x0112112如圖：根據函數如圖：根據函數圖象圖象求它的解析式求它的解析式y(tǒng)x0112112如圖：根據函數如圖：根據函數圖象圖象求

14、它的解析式求它的解析式3yx根據正弦函數的圖象和性質尋找區(qū)間使其滿足：根據正弦函數的圖象和性質尋找區(qū)間使其滿足： 使符合條件的使符合條件的 的角的角x有且只有一個，而且有且只有一個，而且包括銳角包括銳角ax sin)11( a4.11 三角函數值求角三角函數值求角 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上，符合條件上，符合條件 的角的角x，叫做，叫做實數實數 a 的反正弦，記作的反正弦，記作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 2,2 )11(sin aaxaarcsinaxarcsin 2,2 xxasin aarcsin的意義：的意義：首先首先 表示一個角，角的正弦值為表示一個角，角的正弦值為a ，即，即角的范圍

15、是角的范圍是aarcsin2,2arcsin a)11( aaa )sin(arcsin4.11 三角函數值求角三角函數值求角練習：練習：（1） 表示什么意思？表示什么意思？21arcsin表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那個角，即角的那個角，即角 ，2,2 216 21arcsin621arcsin 故故（2）若）若2,2,23sin xx，則，則x= 3)23arcsin( （3）若）若2,2, 7 . 0sin xx，則，則x=7 . 0arcsin4.11 三角函數值求角三角函數值求角aarccos的意義：的意義：首先首先 表示一個角，角的余弦值為表示一個角，角的余弦值為a ，即

16、，即角的范圍是角的范圍是 aarccos, 0arccos a)11( aaa )cos(arccos根據余弦函數的圖象和性質尋找區(qū)間使其滿足：根據余弦函數的圖象和性質尋找區(qū)間使其滿足： 使符合條件的使符合條件的 的角的角x有且只有一個，而且有且只有一個，而且包括銳角包括銳角ax cos)11( ayx 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上，符合條件上，符合條件 的角的角x，叫做，叫做實數實數 a 的反余弦，記作的反余弦，記作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 , 0 )11(cos aaxaarccosaxarccos , 0 xxacos 4、三角函數值求角、三角函數值求角y=sinx , 的反函數 y=a

17、rcsinx , 2,2x 1 , 1xy=cosx, 的反函數y=arccosx, 0 x 1 , 1xy=tanx, 的反函數y=arctanx,)2,2(xRx角x ( )的三角函數值求x的步驟2 , 0 x先確定x是第幾象限角假設x 的三角函數值為正的，求出對應的銳角 ；假設x的三角函數 值為負的，求出與其絕對值對應的銳角根據x是第幾象限角，求出x 假設x為第二象限角，即得x= ；假設x為第三象限角，即得 x= ；假設x為第四象限角，即得x=假設 ，那么在上面的根底上加上相應函數的周期的整數倍。1x1x1x1x12xRx反三角函數反三角函數三角函數值求角三角函數值求角x僅限于0，2 的

18、解題步驟： 1、如果函數值為正數，那么求出對應的銳角x0；如果函數值為負數，那么求出與其絕對值相對應的銳角x0 ；2、由函數值的符號決定角x可能的象限角；3、根據角x的可能的象限角得出0，2 內對應的角：如果x是第二象限角，那么可以表示為 x0如果x是第三象限角，那么可以表示為 x0如果x是第四象限角，那么可以表示為2 x0. .三三角函數值求角三三角函數值求角的根本步驟的根本步驟1、根本步驟、根本步驟這時這時sin(arcsina)=a 這時這時cos(arccosa)=a 這時這時tan(arctana)=a 三、兩角和與差的三角函數1 1、預備知識：兩點間距離公式、預備知識：兩點間距離公

19、式xyo),(111yxp),(222yxp22122121)()(|yyxxpp),(21yxQ2 2、兩角和與差的三角函數、兩角和與差的三角函數 sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( tantantantan)tan(1 注：公式的逆用注：公式的逆用 及變形的應用及變形的應用)tantan)(tan(tantan 1公式變形公式變形3 3、倍角公式、倍角公式2sinsinsin2 sincoscos2222sin112coscos2221sincos22tan12tantan222cos21cos22cos21sin2二、知識點二、知識點一一兩角和與兩角和

20、與差公式差公式 sincoscossinsinsinsincoscoscostantan1tantantan二二倍角倍角公式公式 cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan公式 =1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2tan+tan=tan(+)(1-tantan)tan-tan=tan(-)(1+tantan)注意1、公式的變形如：注意2、公式成立的條件使等式兩邊都有意義.C：S ：C2：S 2：T2：T：2sin3、倍角公式、倍角公式cossin22sin22sincos2cos22s

21、in211cos21sincos222tan1tan22tan注：正弦與余弦的倍角公式的逆用實質上就是降冪的過程。特別注：正弦與余弦的倍角公式的逆用實質上就是降冪的過程。特別22cos1cos222cos1sin2返回和角公式的一個重要變形和角公式的一個重要變形cos,sin)sin(cossin222222baababxbaxbxa其中其其 它它 公公 式式(1)cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sin2221、半角公式cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sinsincos1cos1sin2tan2tan12tan2tan,2tan12tan1c

22、os,2tan12tan2sin22222、萬能公式十二、兩角和與差的正弦、余弦、正切：():S():S():C():C()T():Tsin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tantantantantan()1tantan注意： 、 的以及運用和差公式時要會()T()T如：(),2()()2()(),2()36與互余， + 與互余4422sincossin()abab十三、一個化同角同函數名的常用方法：22cos()ab如：sin3cos2sin()2cos()36sinco

23、s2sin()2cos()44例7、求 的值1tan151tan15十四、二倍角公式：2:S2:C2:Tsin22sincos22cos2cossin22cos121 2sin 22tantan21tan21coscos2221 cossin2221 cos2sin221 cos2cos2降冪（擴角）公式降冪（擴角）公式升冪（縮角）公式升冪（縮角）公式和差化積公式：和差化積公式：積化和差公式：積化和差公式：1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 sinsin2sincos22coscos2

24、sinsin22 sinsin2cossin22coscos2coscos22例例4化簡：化簡：2cos2cos21coscossinsin2222 解法1：從“角入手，“復角化為“單角，利用“升冪公式。) 1cos2)(1cos2(21coscossinsin222222原式21coscoscoscossinsin22222221cossincossinsin2222221cossin2221例例4化簡：化簡：2cos2cos21coscossinsin2222 解法2：從“冪入手，利用“降冪公式。2cos2cos21)2cos1)(2cos1 (41)2cos1)(2cos1 (41原式2

25、cos2cos21)2cos2cos1 (2121例例4化簡：化簡：2cos2cos21coscossinsin2222 解法3：從“名入手，“異名化同名。2cos2cos21cos)sin1 (sinsin2222原式2cos2cos212cossincos22)2cos21(sin2coscos22)22cos22cos1(2cos)2cos1 (2121例例4化簡：化簡：2cos2cos21coscossinsin2222 解法4：從“形入手，利用“配方法。2cos2cos21coscossinsin2)coscossin(sin2原式2cos2cos212sin2sin21)(cos2

26、)22cos(21)(cos221三角解題常規(guī)三角解題常規(guī)宏觀思路宏觀思路分析差異分析差異尋找聯系尋找聯系促進轉化促進轉化指角的、函數的、運算的差異指角的、函數的、運算的差異利用有關公式，建立差異間關系利用有關公式，建立差異間關系活用公式，差異轉化，矛盾統(tǒng)一活用公式，差異轉化，矛盾統(tǒng)一微觀直覺微觀直覺1、以變角為主線，注意配湊和轉化；、以變角為主線，注意配湊和轉化；2、見切割，想化弦；個別情況弦化切；、見切割，想化弦；個別情況弦化切；3、見和差，想化積；見乘積，化和差；、見和差，想化積；見乘積，化和差；4、見分式，想通分，使分母最簡；、見分式，想通分，使分母最簡；5、見平方想降冪，見、見平方想

27、降冪，見“1cos想升冪；想升冪；6、見、見sin2，想拆成，想拆成2sincos；7、見、見sincos或或9、見、見coscoscos，先運用，先運用sin+sin=pcos+cos=q8、見、見a sin+b cos，想化為，想化為 的形式的形式假設不行，那么化假設不行，那么化和差和差10、見、見cos+cos(+)+cos(+2 )， 想乘想乘 想兩邊平方或和差化積想兩邊平方或和差化積)sin(22basin22sincos2sin22sin2 總結： 多種名稱想切化弦；遇高次就降次消元； asinA+bcosA提系數轉換； 多角湊和差倍半可算； 難的問題隱含要顯現； 任意變元可試特值

28、算； 求值問題縮角是關鍵； 字母問題討論想優(yōu)先； 非特殊角問題想特角算； 周期問題化三個一再算； 適時聯想聯想是關鍵！【解題回憶】找出非特殊角和特殊角之間的關系【解題回憶】找出非特殊角和特殊角之間的關系,這種技巧在化簡求值中這種技巧在化簡求值中經常用到，并且三角式變形有規(guī)律即堅持經常用到，并且三角式變形有規(guī)律即堅持“四化：四化：多角同角化多角同角化異名同名化異名同名化切割弦化切割弦化特值特角互化特值特角互化公式體系的推導：公式體系的推導：首先利用兩點間的距離公式推導首先利用兩點間的距離公式推導 ，()C然后利用換元及等價轉化等思想方法，以然后利用換元及等價轉化等思想方法，以 為中心為中心推導公

29、式體系。推導公式體系。()C()C()C()S()S()T()T2S2C2T用 替換用替換用 替換用替換用 替換用替換相 除相 除相除sin+cos=1222222222222222sin coscossinsin1 cos2coscossin1 tsincoscos1 sin(cossin )sincos1 cossinsinsincoscoscoscossin sin( 21-21-（同位素）1-；，（1-）（1+）=（異構體）（1-）（1+）=（=tan ）（形變）22an21 tantan()4cossin1 sin2cos21 cossin21 sin2cos2cossin1 sin

30、2cos21 cossin421 sin2cos24tan ()tan ;tan()()tan()1-1+（合分比）異構異構二【述評】二【述評】1 1、變?yōu)橹骶€，抓好訓練。變是本章的主題，在三角變換考察中，角的變換恒等、變?yōu)橹骶€，抓好訓練。變是本章的主題，在三角變換考察中，角的變換恒等、三角函數名的變換誘導公式、三角函數次數的變換升、降冪公式、三角函數三角函數名的變換誘導公式、三角函數次數的變換升、降冪公式、三角函數表達式的變換綜合等比比皆是。在訓練中，強化變化意識是關鍵。但題目不可以表達式的變換綜合等比比皆是。在訓練中，強化變化意識是關鍵。但題目不可以太難。較特殊技巧的題目不做。立足課本，掌

31、握課本中常見問題的解法，把課本中的太難。較特殊技巧的題目不做。立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中的習題進展歸類，并進展分析比較，尋找解題規(guī)律。習題進展歸類，并進展分析比較，尋找解題規(guī)律。2 2、根本解題規(guī)律：觀察差異角或函數或運算、根本解題規(guī)律：觀察差異角或函數或運算 尋找聯系借助于熟知的公式、方法或技巧尋找聯系借助于熟知的公式、方法或技巧 分析綜合由因導果或執(zhí)果索因分析綜合由因導果或執(zhí)果索因 實現轉化。實現轉化。1、值域與最值問題1sin2sin)2();tan(sin) 1 (xxyxy求求函函數數的的值值域域：利用有界性，求其值域，求其值域其中其中已知函數已知函數0cossin

32、2siny化二次函數型的的值值域域求求函函數數xxycos3sin2運用合一變換的的值值域域求求函函數數xxxxy22cos3cossin2sin換元十七、：主要是將式子化成的形式，再利用正弦函數與余弦函數的求解。例10、求函數 的值域2cossin cosyxxx有時還要運用到 的關系sincossincosxxxx與2、對稱性問題3、奇偶性與周期性問題xxyxyxycossin3sin224tan1）（）（）（求下列函數的周期：求下列函數的周期：注意絕對值的影響化為單一三角函數.,82cos2sin)3(.,21sin)2(.)32cos(5) 1 (axxaxyxyxy求求對對稱稱圖圖像

33、像關關于于直直線線如如果果函函數數的的一一個個值值寫寫出出是是偶偶函函數數函函數數稱稱軸軸方方程程的的圖圖像像的的對對稱稱中中心心和和對對求求函函數數4、單調性與單調區(qū)間32sin)2(tan) 1 (:xyxy求下列函數的單調區(qū)間求下列函數的單調區(qū)間復后函數單調性注意負號的處理.32sinlog2 . 0性性、周周期期性性、奇奇偶偶性性的的定定義義域域、值值域域、單單調調求求函函數數xy5、圖像變換問題相位變換、周期變換、振幅變換).(,cos,21,8)()2(.)32sin(sin) 1 (xfxyxxfyxyxy求函數的圖像恰好得到橫坐標縮短為原來的再把所得圖像上各點的個單位軸向右平移

34、的圖像沿把函數的兩種方法的圖像的圖像變換為指出求函數解析式.), 0, 0()sin(達式達式的圖象如圖，求函數表的圖象如圖，求函數表AxAy例例4:已知函數已知函數 求：求：函數的最小正周期；函數的最小正周期；函數的單增區(qū)間；函數的單增區(qū)間；,cos3cossin2sin22Rxxxxxy解：解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx22T得由,224222kxkZkkxk,883)(8,83Zkkk函數的單增區(qū)間為 應用應用：化同一個角同一個函數：化同一個角同一個函數例例4:函數函數 求：求： 函數的最大值函數的最大值

35、 及相應的及相應的x的值；的值； 函數的圖象可以由函數函數的圖象可以由函數 的圖象經過怎的圖象經過怎 樣的變換得到。樣的變換得到。,cos3cossin2sin22RxxxxxyRxxy,2sin2解：解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx22,)(8,2242最大值時即當yZkkxkxxy2sin2圖象向左平移圖象向左平移 個單位個單位8)42sin(2xy圖象向上平移圖象向上平移2個單位個單位)42sin(22xy 應用應用：化同一個角同一個函數：化同一個角同一個函數例例5：的值求)4sin(21sin2cos2)

36、,2(2 ,222tan2解：解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos221tan32 21tan,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2sincossincos應用：應用：化簡求值化簡求值例1cos40sin50 (13tan10 )sin701 cos40化簡：解: 3sin1013tan101cos10 2(cos60 cos10sin60 sin10 )cos102cos50cos10原式=1 cos402sin50 cos50cos40cos102sin70 cos202cos4012cos 202cos103sin1

37、0cos1022cos 202cos20 20cos)10tan31 (40cos50sin 22計算例 20cos)10tan31 (40cos40cos 2原式解 20cos)10tan32(40cos2 20coscos1010cos)10sin310(cos40cos2o 20coscos1010cos)1030sin(240cos2o 20coscos1010cos40cos40sin240cos2o 20coscos1010cos40cos80sin2o)240cos1(10cos)40cos1 (10cos2_212cos412csc)312tan3(224cos12cos12s

38、in212cos312sin324cos212csc)33(12cos12sin34484834481212342321 sinsinsin)cscsin(練習題練習題5sin(),(0,)4134xx例2 (1)已知5sinsin(2)求證：2tan()3tan(2)已知求cos(),cos24xx(1)證明：5sinsin(2)5sin()sin()化簡得：2sin()cos3cos()sin2tan()3tan5sin()cos5cos()sinsin()coscos()sin(2) 已知5sin(),(0,)4134xx求cos(),cos24xx解:()()442xxcos()4xs

39、in()4x(0,)4x()(0,)44x5sin()413x12cos()413xcos2x120169513cos()24xsin(2 )2xsin2()4x2sin()cos()44xx解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos22tan1tan1,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2sincossincos應用：化簡求值應用：化簡求值322例例5.5.已知已知的值求)4sin(21sin2cos2),2(2 ,222tan2113sin2sin2,cos2cos2,23 例已知求tan( + )解：2（）（）2（）-（）

40、sin2sin2sinsin （）（）（）-（ - ）2sin()cos()cos2cos2coscos （）（）（）-（- ）2cos()cos()1213 3tan(+ )=22、解: 由1sinsin4兩邊平方得:221sin2sin sinsin1621coscos2由兩邊平方得:221cos2coscoscos42由2+2得:522(coscossinsin)16即52 2cos()16 所以27cos()32 由2 2得:22223cossin2(cos cossin sin ) cossin163cos22cos() cos216 3cos() () 2cos() cos() (

41、)16 32cos()cos() 2cos()16 3cos()5cos36cos,sin2sin 1已知：例sin2sin解：由已知得：cos36cos得：222222cos32sin2cossin.0的值、），求，（、3cos2)cos1(63cos2sin6222243cos2656,23cos或434,22cos或練習 已知11tan(),tan,(,0)27 求2tan()tan1tan()tan解:tantan()tan1tan()tan13tan(2)tan()tan()111tan,tan, ,(,0)37 3,4 045224 724T0AT.,200coscoscos, 0

42、sinsinsin2值值求求且且、已已知知 由由條條件件有有解解 :coscoscossinsinsin :兩兩邊邊平平方方相相加加得得1)coscossin(sin22 21)cos( ,20又又 3432或或 3432或或同同理理 ,20但但 .32 例15. （06陜西理17）已知函數f(x) sin(2x )2sin2(x ) (xR)（1）求函數f(x)的最小正周期；（2）求使函數f(x)取最大值的x的集合 61233解：f(x) sin(2x ) 1 cos2(x ) sin(2x ) cos(2x ) 1 2 sin(2x ) 1函數f(x)的最小正周期T . 使函數f(x)取最

43、大值的x的集合為x|x=k ,k Z 6123512366 5、f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。1化簡化簡f(x)的解析式；的解析式；2假設假設0，求，求，使函數，使函數f(x)為偶函數。為偶函數。3在在2成立的條件下，求滿足成立的條件下，求滿足f(x)=1，x-,的的x的集合。的集合。解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)當當= 時時 f(x)為偶函數。為偶函數。(3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或或x=222333236621665 2、

44、已知函數、已知函數f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a(aR,a常數常數)。（1）求函數）求函數f(x)的最小正周期；的最小正周期；（2）若）若x- , 時，時，f(x)的最大值為的最大值為1，求，求a的值。的值。6622解：（解：（1）f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x+ )+a f(x)最小正周期最小正周期T=26663（2）x - , x+ - , f(x)大大=2+a a=-1622332例例3、求函數、求函數 的值域的值域. 2sin2cos2xxy解：解：1sin2sin2sin2cos22x

45、xxxy2) 1(sinx又-1sinx1原函數的值域為：04，變題：變題：已知函數已知函數 （a為常為常數，且數，且a0），求該函數的最小值），求該函數的最小值. 21sinsin2xaxy當當-2 0時，時，a;2142minay當當 -2時，時，a.21min ay3、函數函數f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為的最小值為g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此時及此時f(x)的最大值的最大值。21解：（解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-12a2a2a2a -1cosx1 當當-1 1即即-2a2時時 f(x)

46、小小=- 2-a-1當當 1 即即a2時時 f(x)小小=f(1)=1-4a2a2a當當 -1 即即a0函數函數y=-acos2x- asin2x+2a+bx0, ，若函數的值域為，若函數的值域為-5,1，求常數，求常數a,b的值。的值。32解：解：12676260621 )sin(, xxa 3a+b=1 a=2 b=-5 b=-5baxabaxxay 222222262321)sin()sincos( 3、函數函數f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為的最小值為g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此時及此時f(x)的最大值的最大值。

47、21解：（解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-12a2a2a2a -1cosx1 當當-1 1即即-2a2時時 f(x)小小=- 2-a-1當當 1 即即a2時時 f(x)小小=f(1)=1-4a2a2a當當 -1 即即a-2時時 f(x)小小=f(-1)=1 ).().().()(21241221222aaaaaaag（2）a=-1 此時此時 f(x)=2(cosx+ )2+ f(x)大大=521213、函數函數f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值為的最小值為g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)= ，求，求a及此時及此時f(x)的最

48、大值的最大值。21 5、f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。1化簡化簡f(x)的解析式；的解析式；2假設假設0，求，求，使函數，使函數f(x)為偶函數。為偶函數。3在在2成立的條件下，求滿足成立的條件下，求滿足f(x)=1，x-,的的x的集合。的集合。解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)當當= 時時 f(x)為偶函數。為偶函數。(3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或或x=222333236621665 例12.（2006年天津文9）已知函數f(x

49、)asinxbcosx（a，b為常數，a0，xR）在x 處取得最小值，則函數yf( x)的對稱中心坐標是_ 434解：由 (ab) 化簡得ab所以f(x) asin(x )，a0從而f( x) asinx，其對稱中心坐標為(k，0)，kZ.22422ab2342平平 面面 向向 量量 復復 習習向量的三種表示向量的三種表示表示表示運算運算向量加向量加法與減法法與減法向量的相關概念向量的相關概念實數與實數與向量向量 的積的積三三 角角 形形 法法 那么那么平行四邊形法那么平行四邊形法那么向量平行、向量平行、垂直的條件垂直的條件平面向量平面向量的根本定理的根本定理平平面面向向量量向量的數量積向量的

50、數量積向量的應用向量的應用幾何表示 : 有向線段有向線段向量的表示字母表示 : aAB 、等坐標表示 : (x，y)假設假設 A(x1,y1), B(x2,y2)那么那么 AB = (x2 x1 , y2 y1)返回返回1.向量的概念:2.向量的表示:3.零向量:4.單位向量:5.平行向量:6.相等向量:7.共線向量:既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量1.有向線段有向線段 2.字母字母 長度為零的向量長度為零的向量(零向量與任意向量都平零向量與任意向量都平行行長度為長度為1個單位的向量個單位的向量長度相等且方向一樣的向量長度相等且方向一樣的向量平行向量就是共線向量平行向量就是共線向量a向

51、量的模長度向量的模長度1. 設設 = ( x , y ),那那么么2. 假設表示向量假設表示向量 a 的起點和終點的坐標分別的起點和終點的坐標分別 為為A(x1,y1)、B (x2,y2) ，那么，那么 ABa22yx 221221yyxx返回返回11,;(2)3,4,;(5)/ , / ,/ababABCDABCDab bcacac bcab 例：判斷下列各命題是否正確？（）則若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；（ ）若則四邊形是平行四邊形；（ ）若則若則例例1 1：思考以下問題：思考以下問題：1 1、以下命題正確的選項是、以下命題正確的選項是1 1共線向量都相等共線向量都相等 2

52、2單位向量都相等單位向量都相等3 3平行向量不一定是共線向量平行向量不一定是共線向量4 4零向量與任一向量平行零向量與任一向量平行四、例題一、第一層次知識回憶：一、第一層次知識回憶：OABOBABOA三角形法則OABCOCOBOA平行四邊形法則坐標運算),(),(2211yxbyxa設： 則 ba),(2121yyxx“首尾相接首尾連2.向量的減法運算向量的減法運算1）減法法則減法法則：OABOBOABA2）坐標運算坐標運算),(),(2211yxbyxa 設： 則 ba),(2121yyxx),(1212yyxx),(),(2211yxByxAAB 設 則 思考：假設思考：假設 非零向量非零

53、向量 ，那么它們的模相等且方向一樣。同樣 假設：ba 2121yyxxba則,2211yxbyxa“同始點尾尾相接,指向被減向量一、第一層次知識回憶：一、第一層次知識回憶：ABC AB+BC=三角形法那三角形法那么么OABC OA+OB=平行四邊形法那平行四邊形法那么么坐標運算坐標運算:那么那么a + b =重要結論：重要結論：AB+BC+CA= 0設設 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2 , y1 + y2 )AC OC?,)2(?,)1(,:則四邊形是什么圖形則四邊形是什么圖形注babababADaABDCDCDCACBADADBACAB)()()()(

54、11）：（例DCDDBCCDBADAADBCAB)()()()(2）（實數實數 與向量與向量 的積的積定義定義：坐標運算：坐標運算：其實質就是向量的伸長或縮短！其實質就是向量的伸長或縮短！假設假設a = (x , y), 那么那么a = (x , y)= ( x , y)返回返回 平面向量的數量積平面向量的數量積 1a與與b的夾角：的夾角： 2向量夾角的范圍：向量夾角的范圍： 3向量垂直：向量垂直：00 ，1800ab共同的起點共同的起點aOABbOABOABOABOAB4兩個非零向量的數量積：兩個非零向量的數量積： 規(guī)定：規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為0a b = |a| |b| cos幾

55、何意義：幾何意義：數量積 a b 等于 a 的長度 |a|與 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos的乘積。AabBB1OBAbB1aOBb(B1)AaO假設假設 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )那么那么a b= x1 x2 + y1 y25、數量積的運算律：、數量積的運算律：交換律：交換律：abba對數乘的結合律：對數乘的結合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba )(注意：注意：數量積不滿足結合律數量積不滿足結合律)()( :cbacba即返回返回3.平面向量的數量積的性質平面向量的數量積的性質 (1)ab ab0(2)ab|a|b|(a與與b同向取正，反向取負同向取正，反向取負) (3)aa|a|2 或或 |a|aa(4) (5)|ab|a|b| babacos4.平面向量的數量積的坐標表示平面向量的數量積的坐標表示 (1)設設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則則abx1x2+y1y2，|a|2x21+y21，|a|x21+y21，ab x1x2+y1y20 (2)(3)設設a起點起點(x1，y1),終點終點(x2，y2) 則則222221212121yxyxyyxxcos222121y-yx-xa5、重要定理和公式：、重要定理和公式：22)()(bababa2222)(bbaaba)