從課程與教學(xué)的角度認(rèn)識(shí)“幾何直觀”

1、對(duì)“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)與分析扶余市教師進(jìn)修學(xué)校 耿騰岳義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）提出了與課程目標(biāo)和內(nèi)容有關(guān)的六個(gè)核心概念，其中的“數(shù)感”“符號(hào)感”“空間觀念”等都對(duì)我們理解與認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課程及其教學(xué)帶來(lái)了較大的變化。標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）又在原來(lái)的基礎(chǔ)上對(duì)核心概念有了新的補(bǔ)充，“幾何直觀”就是新的核心概念之一，對(duì)它的理解、認(rèn)識(shí)與如何在教學(xué)中體現(xiàn)，是很好的實(shí)施數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)。1. 對(duì)“幾何直觀”的認(rèn)識(shí)對(duì)于何為“直觀”，可能有很多說(shuō)法，但本質(zhì)基本相同。直觀就是當(dāng)人們接觸事物時(shí)，借助于觀察、經(jīng)驗(yàn)、想象等所產(chǎn)生的對(duì)事物及其關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)。而幾何直觀則是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生的對(duì)

2、事物的性質(zhì)或數(shù)量關(guān)系的直接感知與認(rèn)識(shí)。幾何直觀是一種運(yùn)用圖形認(rèn)識(shí)事物的能力。標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）指出“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！睒?biāo)準(zhǔn)言簡(jiǎn)意賅地闡釋了“幾何直觀”的含義，也闡明它的價(jià)值和作用。關(guān)于“幾何直觀”的意義，20世紀(jì)最偉大數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）在名著“直觀幾何”一書(shū)中談到，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問(wèn)題；可以幫助我們尋求解決問(wèn)題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。這就是幾何直觀帶給我們的好處。荷蘭數(shù)學(xué)教育

3、家弗萊登塔爾也指出，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們?cè)谡n題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！睆牧硪粋€(gè)角度來(lái)說(shuō)，幾何直觀是具體的，不是虛無(wú)的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相聯(lián)。很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如，數(shù)，度量，函數(shù)，解析幾何，向量，等等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，必須從兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)它們，否則就不能很好地理解它們，掌握它們，只有這樣才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、直觀，變得可以運(yùn)用他們?nèi)ニ伎紗?wèn)題，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說(shuō)的“數(shù)形結(jié)合”。借助圖形描述事物，就可以把抽象的問(wèn)題直觀化，使人們更容易地了解其內(nèi)在的性質(zhì)和規(guī)律；另外，利

4、用圖形還可以找到解決問(wèn)題的途徑和方法。反過(guò)來(lái)，能否恰當(dāng)?shù)赜脠D形描述你對(duì)一個(gè)抽象的問(wèn)題的理解，也是檢驗(yàn)?zāi)銓?duì)事物認(rèn)識(shí)或?qū)χR(shí)理解與否的一種方式。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中都是非常重要的。幾何直觀是借助圖形對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，那么對(duì)圖形的學(xué)習(xí)與認(rèn)識(shí)以及運(yùn)用圖形的意識(shí)和能力就是幾何直觀的基礎(chǔ)了。因此，無(wú)論是在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)還是在其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，都應(yīng)重視幾何直觀的培養(yǎng)。2.教學(xué)中對(duì)幾何直觀能力培養(yǎng)的思考先給讀者展現(xiàn)兩個(gè)小案例。案例1.這是一節(jié)圓周角的起始課，引入概念、剖析定義中的關(guān)鍵詞、探索并證明圓周角定理，一切進(jìn)行的比較順利。在鞏固概念的環(huán)節(jié)，教師的一道看似平常的小題，卻讓初次認(rèn)識(shí)圓周角的一個(gè)高

5、個(gè)男生不知所錯(cuò)了。老師出示的問(wèn)題是：已知：如圖，AOB=1000，問(wèn)ACB的度數(shù)。問(wèn)題出示片刻后，老師開(kāi)始提問(wèn)，下面就是一個(gè)學(xué)生的回答。學(xué)生：ACB=500學(xué)生的回答似乎驗(yàn)證了教師出示此題目的意義，也給了教師進(jìn)一步提問(wèn)和闡釋的機(jī)會(huì)。教師：這個(gè)角是什么角，它與已知角是什么關(guān)系，那么，找一找，和它在同一弧上的圓心角是哪個(gè)角呢？那你知道這個(gè)角是多少了嗎？ 在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生終于找到了要求的角與已知角的關(guān)系，并求出了這個(gè)角的度數(shù)。在上面的這個(gè)教學(xué)片段中，學(xué)生由于對(duì)圓周角的概念還不十分熟悉，所以，認(rèn)為所求的角與已知的角是同弧上的圓周角和圓心角的關(guān)系，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的錯(cuò)誤回答反映出了學(xué)生初學(xué)概念時(shí)理解上出現(xiàn)

6、的問(wèn)題，教師對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)也是對(duì)概念的進(jìn)一步鞏固，然而，在解答學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程中，不知讀者是否感覺(jué)到還缺少些什么，學(xué)生對(duì)該角大小的回答只是考慮了剛剛學(xué)過(guò)的圓周角與圓心角的關(guān)系，老師的回答也是僅僅從定義和兩個(gè)角的關(guān)系這些角度考慮的。然而從直觀上看，所求的角的大小與500有多么大的差距??！學(xué)生們?yōu)槭裁丛谙陆Y(jié)果前沒(méi)有注意到這一點(diǎn)，而我們的老師也忽略了這樣一個(gè)指出錯(cuò)誤的顯而易見(jiàn)的理由。如果學(xué)生不是視圖形的特征而不顧，他應(yīng)該不會(huì)把那樣一個(gè)角說(shuō)成是500，但遺憾的是，教師對(duì)圖形的直觀作用也視而不見(jiàn)，師生雙雙被定義和邏輯束縛了手腳。案例2 這是一節(jié)反比例函數(shù)的練習(xí)講評(píng)課。老師帶領(lǐng)大家一起來(lái)看下面這個(gè)問(wèn)題的解

7、答。問(wèn)題：若點(diǎn)A（-2，y1），B（-1，y2），C（1，y3）在反比例函數(shù)y=的圖像上，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.經(jīng)詢問(wèn)大家后，老師得知很多學(xué)生的解答方法是將四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，然后比較四個(gè)數(shù)的大小，老師在肯定了同學(xué)們的解答和答案后，就繼續(xù)其他問(wèn)題的解答了。也就是說(shuō)這樣的一個(gè)題目的完成完全轉(zhuǎn)變成了代數(shù)的運(yùn)算和數(shù)的比較大小。但是，這個(gè)問(wèn)題的解答是不是還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生有另一個(gè)角度的理解呢。如果能夠結(jié)合函數(shù)的圖像，觀察到所給出的三個(gè)點(diǎn)在圖像上的關(guān)系，就能夠得到答案，不僅僅是解題的速度問(wèn)題，而且還可以將這樣的問(wèn)題進(jìn)行一般性的推廣，這樣的考慮問(wèn)題的角度應(yīng)該是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)更全面的復(fù)習(xí)與

8、把握，應(yīng)該是學(xué)生學(xué)好函數(shù)內(nèi)容的關(guān)鍵之處，但如果只關(guān)注需找問(wèn)題的正確答案，而忽視了對(duì)它的多個(gè)角度的分析，就失去了一個(gè)機(jī)會(huì)。函數(shù)學(xué)習(xí)中借助圖像解決問(wèn)題的思路和方法是很重要的，教師們也都贊同這一點(diǎn)，但是在遇到具體問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該如何處理，如何讓學(xué)生們體會(huì)到圖像的意義？這還需要老師們的真正對(duì)它的認(rèn)識(shí)。以上兩個(gè)例子的一個(gè)共同之處，就是在能用圖形說(shuō)話的時(shí)候，教師卻沒(méi)有意識(shí)到，也使得擺在眼前的可借助的直觀可惜地溜掉了。那么，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中養(yǎng)成用圖形說(shuō)話的習(xí)慣是培養(yǎng)幾何直觀的途徑，同時(shí)養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣也是十分重要的。上面所舉的例子，是用圖形說(shuō)明一個(gè)具體的問(wèn)題，除了這樣的情形之外，我們?cè)谝徊糠种R(shí)內(nèi)容學(xué)習(xí)之后

9、，梳理知識(shí)之間的聯(lián)系、用圖形表達(dá)它們之間的關(guān)系是用圖形說(shuō)話的另一種方式，而教學(xué)中教師呈現(xiàn)知識(shí)之間的網(wǎng)絡(luò)圖可以使學(xué)生很好地把握知識(shí)之間的聯(lián)系，但是如果讓學(xué)生嘗試著自己去畫(huà)出表達(dá)知識(shí)之間聯(lián)系的圖形，那么對(duì)學(xué)生整體理解和把握知識(shí)、運(yùn)用圖形表達(dá)自己的理解是更加重要的。當(dāng)然，只要教師能夠?qū)缀沃庇^有充分的認(rèn)識(shí)，在教學(xué)中就會(huì)有很多的培養(yǎng)幾何直觀的機(jī)會(huì)。在數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中，用圖形描述數(shù)的關(guān)系，可以多角度地認(rèn)識(shí)和理解知識(shí)，體會(huì)數(shù)的知識(shí)與形的知識(shí)之間的聯(lián)系。例如，對(duì)于，等這些代數(shù)的規(guī)律，如果學(xué)生可以用圖形來(lái)表示，那么，他們將體會(huì)到圖形的意義，也會(huì)感受圖形與代數(shù)的聯(lián)系，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的一次機(jī)會(huì)。因此，幾何直

10、觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀包括在已有的圖形中利用其蘊(yùn)含的信息，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題；也包括在沒(méi)有圖形的情況下，根據(jù)已有信息繪制圖形解釋和說(shuō)明并進(jìn)一步解決問(wèn)題。對(duì)于后者，教師們熟悉的“數(shù)形結(jié)合”中的利用圖形分析解決代數(shù)問(wèn)題屬于其中，但是我們常?？吹降囊恍┑湫桶咐行榻Y(jié)合而結(jié)合的味道，而關(guān)于前者可能不被老師們所意識(shí)，因此也就出現(xiàn)了上述教學(xué)中的幾何直觀的“溜走”現(xiàn)象。3.教材的編寫(xiě)與幾何直觀的培養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，在教育的過(guò)程中，就需要對(duì)學(xué)生適時(shí)地引導(dǎo)，也需要有相應(yīng)的素材來(lái)提供這樣的機(jī)會(huì)，為學(xué)生展現(xiàn)利用圖形思考、分析解決問(wèn)題搭建合適的平臺(tái)

11、，這其中，教材的編寫(xiě)要發(fā)揮應(yīng)有的作用。在北師大的新世紀(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材中，我們能夠發(fā)現(xiàn)在不同領(lǐng)域的內(nèi)容呈現(xiàn)中對(duì)幾何直觀能力培養(yǎng)的關(guān)注。以函數(shù)內(nèi)容的呈現(xiàn)為例。我們知道，表現(xiàn)變量之間的關(guān)系的形式是多樣的，圖形的、表格的和解析式的，其中以圖形（即函數(shù)圖像）的方式表現(xiàn)變量之間的關(guān)系能夠很好地反映其對(duì)應(yīng)的本質(zhì)，也是使學(xué)生體會(huì)函數(shù)本質(zhì)的不可或缺的方面。新世紀(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材在七年級(jí)下冊(cè)中，專門(mén)安排了一章“變量之間的關(guān)系”，對(duì)以圖形的形式展示變量之間的關(guān)系也給予了關(guān)注，有讀圖描述對(duì)應(yīng)關(guān)系、看圖講故事、情景與圖形的對(duì)應(yīng)等等，總之，用圖形說(shuō)明函數(shù)的關(guān)系和本質(zhì)為學(xué)生理解函數(shù)提供了直觀的、豐富的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，也是將抽象概念的直

12、觀化的一個(gè)成功的案例。此外，新世紀(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材在一些數(shù)與代數(shù)的課程內(nèi)容處理上，也常常借助圖形說(shuō)明問(wèn)題，如有理數(shù)的加法運(yùn)算運(yùn)用了如下的圖解形式：而下面的拼圖與表示等活動(dòng)，則是在推導(dǎo)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的公式時(shí)以圖形對(duì)其進(jìn)行解釋的一個(gè)片段所有這些編排的出發(fā)點(diǎn)，都是希望能夠借助圖形等直觀的方式幫助學(xué)生更好地理解相應(yīng)的課程內(nèi)容，同時(shí)，也在向?qū)W生展示著如何利用圖形說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題或一個(gè)道理?！皫缀沃庇^”與其他的核心概念一樣，既被表述在課程目標(biāo)中，又與課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)密切聯(lián)系著，它們成為溝通目標(biāo)與內(nèi)容的橋梁。在標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中明確了“空間觀念”核心概念之后，“幾何直觀”將對(duì)人們對(duì)“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)目標(biāo)的認(rèn)識(shí)帶來(lái)不一樣的理解，除推理能力（包括演繹推理和合情推理）外，我們對(duì)幾何課程的價(jià)值的理解又有了更深刻的認(rèn)識(shí)。然而，核心概念在課程實(shí)施中的貫徹與體現(xiàn)，遠(yuǎn)不像知識(shí)技能那樣顯性和易于評(píng)價(jià)。如何在教學(xué)中選擇合適的方式實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求還需要我們的思考