線性代數(shù)-向量及其線性運算

1、 Econ_ Password:111111確定飛機的狀態(tài)，需確定飛機的狀態(tài)，需要以下要以下6個參數(shù)：個參數(shù)：飛機重心在空間的位置參數(shù)飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉(zhuǎn)角機身的水平轉(zhuǎn)角)20( 機身的仰角機身的仰角)22( 機翼的轉(zhuǎn)角機翼的轉(zhuǎn)角)( 所以，確定飛機的狀態(tài)，會產(chǎn)生一個有序數(shù)組所以，確定飛機的狀態(tài)，會產(chǎn)生一個有序數(shù)組),( zyxa （VectorVector）個數(shù)組成的有序數(shù)組個數(shù)組成的有序數(shù)組12,na aa 12naaa 稱為一個稱為一個維向量維向量，其中稱為第個，其中稱為第個分量分量. .iai 12Tnaaa ,.,TTT記作記作如：如：維向量寫成一行，

2、稱為維向量寫成一行，稱為行矩陣行矩陣，也就是，也就是行向量行向量，12naaa 如：如：記作記作, , ,. .維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱為列矩陣列矩陣，也就是，也就是列向量列向量，（Row VectorRow Vector）（Column VectorColumn Vector）、行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；、行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；、當沒有明確說明時，都當作實的、當沒有明確說明時，都當作實的列向量列向量.幾何上的向量可以認為是它的特殊情形，即幾何上的向量可以認為是它的特殊情形，即n = 2, 3 且且 F 為實數(shù)域的情形為實數(shù)域的情形. 在在 n 3

3、 時，時，n 維向維向量就沒有直觀的幾何意義了量就沒有直觀的幾何意義了. 我們所以仍稱它為向我們所以仍稱它為向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作為特殊量，一方面固然是由于它包括通常的向量作為特殊另一方面也由于它與通常的向量一樣可以定另一方面也由于它與通常的向量一樣可以定義運算，并且有許多運算性質(zhì)是共同的，因而采取義運算，并且有許多運算性質(zhì)是共同的，因而采取這樣一個幾何的名詞有好處這樣一個幾何的名詞有好處.以后我們用小寫希臘字母以后我們用小寫希臘字母 ， ， 等來代表向等來代表向量量.情形，情形， + = + . + ( + ) = ( + ) + .3) 3) 運運算算規(guī)規(guī)律律的的幾幾何何

4、驗驗證證運運算算規(guī)規(guī)律律的的幾幾何何驗驗證證下下面面用用3 維維向向量量來來驗驗證證向向量量加加法法的的交交換換律律和和結結合合律律.用用幾幾何何的的方方法法求求兩兩個個向向量量 ， 的的和和向向量量 + 的的步步驟驟是是：把把 的的起起點點移移到到 的的終終點點，然然后后以以 的的起起點點為為起起點點，以以 的的終終點點為為終終點點作作向向量量，這這個個向向量量即即為為和和向向量量.顯然，對于所有的顯然，對于所有的 ，都有都有 + 0 = ， + ( - ) = 向量的加法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的向量的加法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的顯然，數(shù)域顯然，數(shù)域 F 上的向量經(jīng)過線性運算后，仍上的向量經(jīng)過線

5、性運算后，仍為數(shù)域為數(shù)域 F 上的向量上的向量.k ( + ) =k + k ,(k + l ) = k + l ,k ( l ) = ( kl ) ,1 = , 0 = , (-1) = - , k = .如果如果 k 0, 0, 那么那么k 0 . 12TTTmA 其第其第個列個列向量向量記作記作12jjjmjaaa 12nA 個維個維行向量行向量. .按行分塊按行分塊111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分塊按列分塊個維個維列向量列向量. .其第其第個行個行向量向量記作記作 12Tiiiinaaa 矩陣與向量的關系中矩陣與向量的關系中注意什么是向量的注意什么是向量

6、的個個數(shù)數(shù)、什么是向量的、什么是向量的維維數(shù)數(shù)，二者必須分清，二者必須分清. . 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做所組成的集合叫做向量組向量組例如例如 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211112111 2 j n 1 2 j n 向量組稱為矩陣向量組稱為矩陣的的列向量組列向量組. .12:,nA 對于一個對于一個 矩陣有個維矩陣有個維列向量列向量. .mn 12:,sA 記作：記作： .ior aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2

7、 Ti Tm向量組為矩陣向量組為矩陣的的行向量組行向量組12:,TTTmA 類似的，矩陣有個維類似的，矩陣有個維行向量行向量. .b 2211 xxxnn 四、線性方程組四、線性方程組AX=b的向量表示的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程組的解方程組的解x1=c1, x2=c2,., xn=cn,可以用可以用n維列向量：維列向量： x=（c1,c2,., cn)T來表示。此時稱為方程組的一個解向量。（來表示。此時稱為方程組的一個解向量。（P78）例例 維向量的集合是一個向量空間維向量的集合是一個向量空間, ,

8、記作記作 . .nR,;ifVVV 設設為維非空向量組，且滿足為維非空向量組，且滿足對加法封閉對加法封閉對數(shù)乘封閉對數(shù)乘封閉那么就稱向量組那么就稱向量組為為向量空間向量空間（Vector SpaceVector Space）,.ifVRV 解解任意兩個維向量的和仍是一個維向量；任意兩個維向量的和仍是一個維向量；任意維向量乘以一個數(shù)仍是一個維向量任意維向量乘以一個數(shù)仍是一個維向量所以，所有維向量的集合構成一個向量空間所以，所有維向量的集合構成一個向量空間. .易知該集合對加法封閉，對數(shù)乘也封閉，易知該集合對加法封閉，對數(shù)乘也封閉，向量向量)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)既有大小又有方向

9、的量既有大小又有方向的量有次序的實數(shù)組成的數(shù)組有次序的實數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可幾何形象：可 隨隨 意意平行移動的有向線段平行移動的有向線段代數(shù)形象：向代數(shù)形象：向 量量 的的坐標表示式坐標表示式 12Tnaaaa 空間空間)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)點空間點空間：點的集合：點的集合向量空間向量空間：向量的集合：向量的集合代數(shù)形象：代數(shù)形象：向量空間中的平面向量空間中的平面 dczbyaxzyxrT ),(幾何形象：幾何形象：空間直線、曲線、空間直線、曲線、空間平面或曲面空間平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP Trxyz 一一對應一一對應 12nkkkakak

10、a 12,naaakR 規(guī)定規(guī)定稱為數(shù)稱為數(shù)與向量與向量的的數(shù)量積數(shù)量積. .設設=k=k，那么兩個向量之間是什么樣的關系？，那么兩個向量之間是什么樣的關系？引申到多個向量，關系又如何？引申到多個向量，關系又如何？mmb 2211，使，使，一組數(shù)一組數(shù)如果存在如果存在和向量和向量給定向量組給定向量組mmbA ,: 2121的的線線性性組組合合，這這時時稱稱是是向向量量組組則則向向量量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA一定義一定義若若kk，則稱向量，則稱向量與與成比例成比例零向量零向量是任一向量組的線性組合是任一向量組的線性組合任一維向量任一維向量 12naaa 1100

11、 ， 2010 ， ， 001n ，都是都是基本向量組基本向量組的一個線性組的一個線性組合合1122.nnaaa 事實上，有事實上，有向量組中每一向量都可由該向量組線性表示向量組中每一向量都可由該向量組線性表示 b能夠為能夠為1，2，n線性表示：線性表示：. 2211有解有解即線性方程組即線性方程組bxxxmm 有有解解，也也就就是是方方程程組組bAx .,21nA 其其中中，令令x1，x2，xn分別為分別為1, 2,., n，則以上線性組，則以上線性組合可以表示為：合可以表示為：1122 mmxxxbmmb 2211.),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩陣陣，條條件件是是矩矩

12、陣陣線線性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量組組向向量量bBAAbmm 定理定理1 1例：例：，即即可可由由向向量量組組向向量量 01000103221 b3213032100 b線性表示，且為：線性表示，且為：).)()(BrAr 即即 010030102001,321bbAB 因為因為(.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有時時則則只只有有當當線線性性無無關關若若 nnnn 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組注意注意:定義定義則稱向量組則稱向量組 是線性相關的，否則稱它線性無關是線性相

13、關的，否則稱它線性無關A，到底線性相關還是無關到底線性相關還是無關，向量組向量組m 21也也即即齊齊次次線線性性方方程程組組 Ax mmxxx2121, 有 無 非 零 解 的 問 題 ，02211 mmxxx 定理向量組線性無關定理向量組線性無關齊次線性方程組只有零解；齊次線性方程組只有零解；定理向量組線性相關定理向量組線性相關齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組有非零解.推論推論個維向量個維向量線性相關線性相關.0ija 推論推論個維向量個維向量線性無關線性無關.0ija 維維向向量量組組n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,討討論論其其線

14、線性性相相關關性性維維單單位位坐坐標標向向量量組組稱稱為為n解解.),( 21階單位矩陣階單位矩陣是是的矩陣的矩陣維單位坐標向量組構成維單位坐標向量組構成neeeInn ，由由01 I例例的推論知，的推論知，及定理及定理 2無無關關。維維單單位位坐坐標標向向量量組組線線性性n1 1、設向量組、設向量組 130,Tk 212,Tk 3021 線性相關，則線性相關，則 . .2 2、設向量組、設向量組 10,Tac 20 ,Tbc 30Tab 線性無關，則線性無關，則, ,a b c必滿足必滿足 . .3 .1kor k 0abc . , , 321133322211321線線性性無無關關試試證證

15、線線性性無無關關已已知知向向量量組組bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使設設有有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即全全為為零零，即即有有線線性性無無關關，故故系系數(shù)數(shù)必必需需，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證法證法02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無無關關向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx 向量組線性相關向量組線性相關至少有一個向量可由其至少有一個向量可由

16、其余向量線性表示余向量線性表示定理定理向量組線性無關向量組線性無關任何一個向量都不能由任何一個向量都不能由其向量線性表示其向量線性表示定理定理P96 P96 例題例題9 9如果向量組如果向量組線性相關，則線性相關，則可由可由唯一線性表示唯一線性表示. .12,rA 12:,rB 線性無關，而向量組線性無關，而向量組證證11220rrkkkk 設設線性無關，線性無關，而向量組而向量組線性相關，線性相關，（，（否則與否則與線性無關線性無關矛盾）矛盾）1122rrkkkk 1212rrkkkkkk可由可由線性表示線性表示. .即有即有下證下證唯一性唯一性：1122;rr 1122rr 兩式相減有兩式

17、相減有 1112220rrr 線性無關，線性無關，11220,0,0rr 1122,rr 即表達式唯一即表達式唯一. .設設性質(zhì)性質(zhì) 設向量組設向量組12,rA ：121 :,rrB 若若線性相關線性相關, ,則向量組則向量組也線性相關；反之，若也線性相關；反之，若向量組向量組線性無關，則向量組線性無關，則向量組也線性無關也線性無關. .此時此時A A稱為稱為B B的一個部分組的一個部分組。.:1 關關的的任任何何部部分分組組都都線線性性無無向向量量組組線線性性無無關關，則則它它反反之之，若若一一個個線線性性相相關關含含有有零零向向量量的的向向量量組組必必特特別別地地，量量組組線線性性相相關關相相關關的的部部分分組組，則則該該向向一一個個向向量量組組若若有有線線性性可可推推廣廣為為性性質(zhì)質(zhì)說明：說明：5例例為什么？為什么？線性表示？線性表示？，是否可由是否可由）為什么？（為什么？（線性表示，線性表示，可否由可否由）線性無關，問：（線性無關，問：（，線性相關，線性相關，已知向量組已知向量組32143214323212,1 )1(解解： 由由432, 線性無關，知線性無關，知32, 線性無關。線性無關。線線性性相相關關，即即知知再再由由321, 線線性性表表示示；，可可由由321 不能！不能！)2(可可只只由由），即即知知否