二次函數(shù)最優(yōu)化問題例析

1、二次函數(shù)最優(yōu)化問題例析二次函數(shù)與前面大家所學的一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣，是又一描述現(xiàn)實世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學模型二次函數(shù)在人們的生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，教科書中給出的求最大利潤、最大面積的例子就是它在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用為幫助同學們進一步學習、領(lǐng)會與二次函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問題的求解策略，下面給出兩例與之有關(guān)的試題，供大家參考例1（2004年，湖南省長沙市開福實驗區(qū)中考試題）如圖，要在底邊BC=160cm，高AD=120 cm的ABC鐵皮余料上，截取一個矩形EFGH，使點H在AB上，點E、F在BC上，AD交HG于點M，此時AM/AD=HG/BC(1) 設(shè)矩形EFGH的長HG=y，寬HE=x，

2、確定y與x的函數(shù)關(guān)系；(2) 當x為何值時，矩形EFGH的面積S最大？(3) 以面積最大的矩形EFGH為側(cè)面，圍成一個圓柱形的鐵桶，怎樣為時，才能使鐵桶的體積較大？請說明理由（注：為鐵桶側(cè)面時，接縫無重疊，地面另用材料配備）解析：這是一道取材于工業(yè)廢料的優(yōu)化利用問題（1）因為AM/AD=HG/BC，所以，即y=（2）因為S=xy，所以S=所以當x=60cm時，S最大=4800cm2（3）圍圓柱形鐵桶有兩種情況（略）例2、（2004年，重慶市北涪實驗區(qū)中考試題）我區(qū)某鎮(zhèn)地理環(huán)境偏僻，嚴重制約經(jīng)濟發(fā)展，豐富的花木產(chǎn)品只能在本地銷售，我區(qū)政府對該花木產(chǎn)品每投資x萬元，所獲利潤為P=-萬元為了響應(yīng)我國

3、西部大開發(fā)的宏偉決策，我區(qū)政府在制定經(jīng)濟發(fā)展的10年規(guī)劃時，擬開發(fā)此花木產(chǎn)品，而開發(fā)前后可用于該項目投資的專項資金每年最多50萬元若開發(fā)該產(chǎn)品，在前5年中，必須每年從專項資金中拿出25萬元投資修通一條公路，且5年修通公路修通后，花木產(chǎn)品除在本地銷售外，還可運往外地銷售，運往外的銷售的產(chǎn)品，每投資x萬元，可獲利Q=萬元（1）若不進行開發(fā)，求10年所獲利潤的最大值是多少？（2）若按此規(guī)劃進行開發(fā)，求10年所獲利潤的最大值是多少？（3）根據(jù)（1）、（2）計算的結(jié)果，請你用一句話談?wù)勀愕南敕ń馕觯哼@是一例取材于西部大開發(fā)的經(jīng)濟最優(yōu)化問題（1）若不開發(fā)此產(chǎn)品，按照原來的投資方式，由P=-知，只需從50萬

4、元中拿出30萬元投資，每年即可獲最大利潤10萬元，則10年的最大利潤為M1=102=100萬元（2）若對該產(chǎn)品開發(fā)，在前5年中，當x=25萬元時，每年的最大利潤為P=-=95萬元，則前5年的最大利潤為M2=95×5=475萬元；設(shè)后5年中x萬元是用于本地銷售的投資，則由Q=知，將余下的（50-x）萬元全部用于外地銷售的投資，才可能獲得最大利潤則后5年的利潤是M3=-×5+()×5=-5(x-20)2+3500故當x=20時，M3最大值為3500萬元所以10年的最大利潤為M=M2+M3=3500+47.5=3547.5萬元（3）答案是開放的，只要有意義，符合題意就可以，例如：因為3547.5100，所以該項目有極大的開發(fā)價值評注：求解與二次函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問題時，首先要根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式；然后再配方，由題意根據(jù)平方的非負性求最值；進一步得原問題的解有一點大家一定要注意：頂點橫坐