大學(xué)物理126一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子

1、12.6 一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子 12.6.1 無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子 12.6.2 簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子 12.6.3 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng) 設(shè)一個(gè)質(zhì)量為設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)U(x)中運(yùn)中運(yùn)動(dòng)，能量本征方程動(dòng)，能量本征方程)()()(dd2222xExxUxm0)()(2)(2 xxUEmx 給定勢(shì)能函數(shù)給定勢(shì)能函數(shù)U(x)，求粒子的，求粒子的能量能量 E 和相應(yīng)的本征波函數(shù)和相應(yīng)的本征波函數(shù) (x)；求解兩類(lèi)問(wèn)題：求解兩類(lèi)問(wèn)題： 設(shè)粒子以能量設(shè)粒子以能量 E 射向勢(shì)壘射向勢(shì)壘U(x)，計(jì)算粒子穿透勢(shì)壘的概率。計(jì)算粒子穿透勢(shì)壘的概率。0)()(2

2、)(2 xxUEmx本征值問(wèn)題：本征值問(wèn)題：散射問(wèn)題：散射問(wèn)題： 一維一維無(wú)限深方勢(shì)阱無(wú)限深方勢(shì)阱U=0EUUU(x)x0a0E，為什么？，為什么？axxaxxU,0,0, 0)(a金屬金屬U(x)U=U0U=U0EU=0 x0a12.6.1 無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子粒子不可能靜止粒子不可能靜止0)()(2)(2 xxUEmx1. 分區(qū)求通解分區(qū)求通解（1）阱外（）阱外（x0 或或 xa），0)()(2 xx22)(2EUm通解：通解： ，xxBAxee)(：0 x波函數(shù)有限要求波函數(shù)有限要求 0B0)(x：ax 0A0)(x以以 為例為例阱外波函數(shù)為零，粒子只能在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。阱

3、外波函數(shù)為零，粒子只能在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 （2）阱內(nèi)（）阱內(nèi)（0 xa），0)(2)(2 xmExmEk2設(shè)設(shè)0)()(2 xkx通解：通解： kxDkxCxcossin)( 已滿足單值、有限條件。已滿足單值、有限條件。 2. 用波函數(shù)的連續(xù)條件確定特解用波函數(shù)的連續(xù)條件確定特解0)()0(a D=0 kxCxsin)(0) 0(0)(a0sinka, 3 , 2 , 1,nank粒子的能量本征值，或能級(jí)：粒子的能量本征值，或能級(jí)： ，32122222222nnmamkEn無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的能量本征波函數(shù)：能量本征波函數(shù)： axxaxnaxnaxn,

4、 0, 00, 3 , 2 , 1,sin2)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)12.6.2 簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子2221)(xmxU一維簡(jiǎn)諧振子的勢(shì)能函數(shù)：一維簡(jiǎn)諧振子的勢(shì)能函數(shù)：能量本征方程：能量本征方程： 0)(212)(222 xxmEmx 變系數(shù)二階常微分方程，采用級(jí)數(shù)解法。變系數(shù)二階常微分方程，采用級(jí)數(shù)解法。 能量本征值：能量本征值： , 2 , 1 , 0,2121nnhnEn零點(diǎn)能：零點(diǎn)能：h/2; ; 能量子：能量子：h 可以證明，在光照下帶電簡(jiǎn)諧振子的躍遷只可以證明，在光照下帶電簡(jiǎn)諧振子的躍遷只能發(fā)生在相鄰能級(jí)之間，即一次躍遷只能發(fā)射能發(fā)生在相鄰能級(jí)之間，即一次躍遷只能發(fā)射或吸收一個(gè)能量子。或吸收一個(gè)

5、能量子。 簡(jiǎn)諧振子是一個(gè)十分有用的振動(dòng)模型，可用簡(jiǎn)諧振子是一個(gè)十分有用的振動(dòng)模型，可用于原子核中質(zhì)子和中子的振動(dòng)、分子中原子的振于原子核中質(zhì)子和中子的振動(dòng)、分子中原子的振動(dòng)、固體晶格點(diǎn)陣上原子的振動(dòng)。動(dòng)、固體晶格點(diǎn)陣上原子的振動(dòng)。固體晶格點(diǎn)陣固體晶格點(diǎn)陣上原子振動(dòng)的能量就可以用能量子來(lái)描述，這時(shí)上原子振動(dòng)的能量就可以用能量子來(lái)描述，這時(shí)的能量子稱(chēng)為聲子。的能量子稱(chēng)為聲子。 空腔內(nèi)壁的分子可以看成帶電簡(jiǎn)諧振子，在空腔內(nèi)壁的分子可以看成帶電簡(jiǎn)諧振子，在一定溫度下這些簡(jiǎn)諧振子所發(fā)射的各種頻率的一定溫度下這些簡(jiǎn)諧振子所發(fā)射的各種頻率的能量子，在空腔內(nèi)就形成了輻射場(chǎng)。能量子，在空腔內(nèi)就形成了輻射場(chǎng)。能量

6、最低的三個(gè)本征波函數(shù)：能量最低的三個(gè)本征波函數(shù)： 22241224112410222222e ) 12(21)(e2)(e)(xxxxxxxx【例】【例】設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為)(32)(31) 0 ,(20 xxx其中其中0和和2分別是分別是頻率為頻率為 的的 n=1 和和 2 的的簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振子能量本征態(tài)。振子能量本征態(tài)。（2）求）求t 時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)(x,t)。（1）(x,0)是定態(tài)嗎？在是定態(tài)嗎？在(x,0)上測(cè)量系統(tǒng)的上測(cè)量系統(tǒng)的能量，能測(cè)到哪些值？測(cè)到這些值的概率是多能量，能測(cè)到哪些值？測(cè)到這些值的概率是多大？測(cè)量值的平均值是多少？大？測(cè)量值的平均值是多少

7、？（只要求了解）（只要求了解） 在狀態(tài)在狀態(tài)(x,0)上測(cè)量能量，能測(cè)到的值為上測(cè)量能量，能測(cè)到的值為 測(cè)到測(cè)到E0的的概率概率：1/3；測(cè)到；測(cè)到E2的的概率概率：2/3；它；它們分別等于展開(kāi)式中相應(yīng)展開(kāi)系數(shù)的模方。們分別等于展開(kāi)式中相應(yīng)展開(kāi)系數(shù)的模方。hE210hhE25212,2測(cè)量值的平均值：測(cè)量值的平均值：hEEE611323120（1）)(32)(31) 0 ,(20 xxx不是定態(tài)。不是定態(tài)。解解xxxCnnd)0 ,()(*xxxxxxnndd)()(32)()(312*0*2,0,3231nn, 0,32, 0,313210CCCCtEtExxtx20i2i0)(32)(31

8、),(eetEnnnnxCtxi)(),(e（2）求求（正交歸一化）（正交歸一化）12.6.3 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)一維方勢(shì)壘的勢(shì)能函數(shù)一維方勢(shì)壘的勢(shì)能函數(shù) axxaxUxU,0, 00,)(0當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 質(zhì)量為質(zhì)量為m的粒子以能的粒子以能量量E沿沿x軸射向勢(shì)壘。只軸射向勢(shì)壘。只討論討論EU0情況，設(shè)勢(shì)情況，設(shè)勢(shì)壘無(wú)吸收，壘無(wú)吸收，E 不變。不變。 波動(dòng)性波動(dòng)性粒子有一粒子有一定概率穿透勢(shì)壘：定概率穿透勢(shì)壘： 隧道隧道效應(yīng)效應(yīng) 定理：定理：對(duì)于勢(shì)場(chǎng)連續(xù)點(diǎn)，或勢(shì)場(chǎng)不是無(wú)限大的對(duì)于勢(shì)場(chǎng)連續(xù)點(diǎn)，或勢(shì)場(chǎng)不是無(wú)限大的 間斷點(diǎn)，波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。間斷點(diǎn)，波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。xx0U(x)01)(xxx02

9、)(xxx)()(0201xx)()(0201xx波函數(shù)連續(xù)波函數(shù)連續(xù)（概率連續(xù)概率連續(xù)）：波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：xx0U(x)01)(xxx02)(xxxxxxUEmxxxxxxdd 0000)()(2)(2xxxUEmxxxxd)()(2)()(0020102xxxUExxd00)()(lim0)()(2)(2xxUEmx 證明：證明：)()(0201xx有限有限0 給定給定E和和U(x)，求解薛定諤方，求解薛定諤方程得到波函數(shù)程得到波函數(shù)3，由，由3計(jì)算粒計(jì)算粒子出現(xiàn)在子出現(xiàn)在3區(qū)的概率。區(qū)的概率。0)()(0)()(0)()(323222121 xkxxxxkx，mE

10、k2)(20EUm設(shè)設(shè)特解：特解： )(e)()(ee)()(e)(e)(i32ii1透射波透射波阱壁多次反射阱壁多次反射反射波反射波入射波入射波kxxxkxkxSxBAxRx 穿透系數(shù)：穿透系數(shù)：粒子穿透勢(shì)壘的概率，等于透射粒子穿透勢(shì)壘的概率，等于透射波的概率密度除以入射波的概率密度波的概率密度除以入射波的概率密度2i2ieekxkxST 波函數(shù)和波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件：波函數(shù)和波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件：)()(),0()0()()(),0()0(32213221aaaa 把特解代入，得關(guān)于把特解代入，得關(guān)于R、A、B、S的四個(gè)代數(shù)的四個(gè)代數(shù)方程。解出方程。解出S，可近似地求出，可近似地求

11、出穿透系數(shù)：穿透系數(shù)：)(2200eEUmaTT2S量子隧道效應(yīng)的應(yīng)用：量子隧道效應(yīng)的應(yīng)用：隧道二極管，金屬場(chǎng)致發(fā)射，核的隧道二極管，金屬場(chǎng)致發(fā)射，核的 衰變，衰變，（1）原子核的）原子核的 衰變衰變U Th + He2382344MeV25. 4E 通過(guò)通過(guò)隧道效應(yīng)射出隧道效應(yīng)射出 對(duì)不同的核，算出的衰對(duì)不同的核，算出的衰變概率和實(shí)驗(yàn)一致。變概率和實(shí)驗(yàn)一致。rRU35MeV4.25MeV 0核力勢(shì)能核力勢(shì)能庫(kù)侖勢(shì)能庫(kù)侖勢(shì)能（2）掃描隧道顯微鏡）掃描隧道顯微鏡（STM） （Scanning Tunneling Microscopy） STM是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明，是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明，原理：

12、原理：利用量子隧道效應(yīng)利用量子隧道效應(yīng)1986年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)：年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)：魯斯卡魯斯卡（E.Ruska）1932年發(fā)明電子顯微鏡年發(fā)明電子顯微鏡畢寧畢寧（G.Binning）羅爾羅爾（Rohrer）發(fā)明發(fā)明STM表面的微觀結(jié)構(gòu)表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）。（不接觸、不破壞樣品）。用于觀察用于觀察U0U0U0dAUi eA 常量常量 樣品表面平均勢(shì)樣品表面平均勢(shì) 壘高度（壘高度（ eV） d 1nm（ 10A ）。d 變變 i 變，反映表面情況。變，反映表面情況。ABdE隧道電流隧道電流 iABUd探針探針樣品樣品電子云重疊電子云重疊隧道隧道電流電流反饋傳感反饋傳感器器參考信號(hào)參考信號(hào)顯示器顯示器壓電壓電控制控制加電壓加電壓 掃描隧道顯微鏡示意圖掃描隧道顯微鏡示意圖用用STM得到的神經(jīng)細(xì)胞像得到的神經(jīng)細(xì)胞像硅表面硅表面STM掃描圖像掃描圖像 1991年恩格勒等用年恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個(gè)移動(dòng)氙原在鎳單晶表面逐個(gè)移動(dòng)氙原子，拼成了字母子，拼成了字母IBM，每個(gè)字母長(zhǎng)每個(gè)字母長(zhǎng)5nm。 移動(dòng)分子實(shí)驗(yàn)的成功，表明人們朝著用單一原子和移動(dòng)分子實(shí)驗(yàn)的