(4)微分方程的應(yīng)用

1、微分方程的應(yīng)用微分方程的應(yīng)用.幾何與物理應(yīng)用幾何與物理應(yīng)用微分方程的應(yīng)用分幾何與物理應(yīng)用，幾何應(yīng)用主要微分方程的應(yīng)用分幾何與物理應(yīng)用，幾何應(yīng)用主要是根據(jù)所滿足的幾何條件列出微分方程，再根據(jù)方是根據(jù)所滿足的幾何條件列出微分方程，再根據(jù)方程所屬類型求解；物理應(yīng)用題型常有兩種類型：程所屬類型求解；物理應(yīng)用題型常有兩種類型：其一根據(jù)題所涉及的物理意義直接給出方程其一根據(jù)題所涉及的物理意義直接給出方程.所涉及所涉及的物理知識主要是物體的受力分析及牛頓運動定律的物理知識主要是物體的受力分析及牛頓運動定律等；其二是需要應(yīng)用元素法來建立微分方程的應(yīng)用等；其二是需要應(yīng)用元素法來建立微分方程的應(yīng)用題，這類問題是微

2、分方程的難點；此外還有一類綜題，這類問題是微分方程的難點；此外還有一類綜合應(yīng)用題既要用到幾何知識又要用到物理知識；下合應(yīng)用題既要用到幾何知識又要用到物理知識；下面我們分類通過例題講解。面我們分類通過例題講解。一。幾何應(yīng)用題一。幾何應(yīng)用題例例1.設(shè)曲線設(shè)曲線L過點（過點（1,1）曲線上任一）曲線上任一點點p(x,y)處的切線交處的切線交x軸于點軸于點T，若，若pT= oT求曲線求曲線L的方程。的方程。22121xxyyxyy 222xyy（ 解為：解為：例例2.光滑曲線光滑曲線L過原點與點（過原點與點（2,3），），任取曲線上任一點任取曲線上任一點p(x,y)過過p點作兩點作兩坐標軸的平行線坐標

3、軸的平行線pA，pB，pA與與x軸軸和曲線和曲線L圍成的面積等于圍成的面積等于pB與與y軸和軸和L圍成面積的圍成面積的2倍，求曲線倍，求曲線L的方程的方程202( ),33xxy t dtxy y2yyx解得：解得：292yx（拋物線）（拋物線）（復(fù)習分離變量型及齊次方程解法）（復(fù)習分離變量型及齊次方程解法）例例3.在上半平面求一條凹弧，其上任一點在上半平面求一條凹弧，其上任一點p(x,y)處的曲率等于此曲線在該點法線段處的曲率等于此曲線在該點法線段PQ長度的倒長度的倒數(shù)（數(shù)（Q為曲線與為曲線與x軸的交點），且曲線在點（軸的交點），且曲線在點（1,1）處的切線與處的切線與x軸平行。軸平行。解：

4、曲線在點解：曲線在點P處的曲率為處的曲率為：23( )( 1 () )yk xy因因0;0yy23( )( 1 () )yk xy過該點法線方程為：過該點法線方程為：221(),(,0)1() YyXx Q xyypQyyy 21 ()yyy 1(1)1()2xxyee111,0 xxyy（雙曲正弦線）（雙曲正弦線） 111,0 xxyy，初值：，初值：依題意得初值問題：依題意得初值問題：，此方程是不顯含此方程是不顯含x的二階方程，解之并帶入初的二階方程，解之并帶入初值得：值得：復(fù)習二階方程的兩種特殊形式及解法。復(fù)習二階方程的兩種特殊形式及解法。例例4（考研真題考研真題）設(shè)設(shè)L是一條平面曲線，

5、其上任一點是一條平面曲線，其上任一點P(x,y)（x0）到坐標原點的距離恒等于該點處切線在到坐標原點的距離恒等于該點處切線在y軸上的軸上的截距，且截距，且L經(jīng)過（經(jīng)過（1/2,0）點，）點，（1）試求曲線）試求曲線L的方程的方程（2）求）求L位于第一象限的一條切線使該切線與位于第一象限的一條切線使該切線與L及兩坐標軸所圍成的圖形的面積最小。及兩坐標軸所圍成的圖形的面積最小。解（解（1）12122222222222222201110224111(2)P x y,(0)442114x y 1(,0),(0,)241()114( )()224xxyy xyyxyCyCyxyyxyxxxxxxS xx

6、 dxx 在 （ ，）處的切線：Y=-2xX+x與 ，軸交點：所求面積：2221113( )()(3)04446S xxxxx為最小值點為最小值點于是所求切線方程于是所求切線方程3133YX 例例5.（考研題）（考研題）求微分方程：求微分方程：xdy+（x-2y）dx=0的一個的一個解解y=y(x)使得由曲線使得由曲線y=y(x)與直線：與直線：x=1，x=2以及以及x軸所圍成的平面圖形繞軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最大。轉(zhuǎn)體體積最大。解：方程為：解：方程為：2222212131157( )()()52375( )0124dyyyxcxdxxV cxcxdxccV

7、 cc 為最小值點，所以解為：為最小值點，所以解為：275124yxx( )0,(0)1yxy1S2S1221SS例例6（考研題）（考研題）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y(x)(x0 x0)二階可導，且二階可導，且過曲線過曲線y=y(x)上任一點上任一點，區(qū)間，區(qū)間【0，x】上以上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯為曲邊的曲邊梯形面積記為形面積記為，并設(shè)，并設(shè)，求此曲線的方程。，求此曲線的方程。P(x,y)作該曲線的切線及作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩軸的垂線，上述兩直線及直線及x軸所圍成的三角形面積記為軸所圍成的三角形面積記為( )()YyyxXx(/ ,0)xyy/xyy( )0, (0)1( )0(0)y

8、 xyy xx 211220(),( )2xyyySy xxSy t dty解：切線方程：解：切線方程：與與x軸的交點：軸的交點：在在x軸上的截距：軸上的截距：，因因 由題知：由題知：，由，由 2212021( )1()(0)1(0)1xySSy t dtyyyyyy ( )xy xe21/()y()0yy具體解法可用具體解法可用1）降階法；）降階法；2）湊導數(shù)法解得：）湊導數(shù)法解得：注：微分方程兩端乘注：微分方程兩端乘可湊成可湊成：2()(0)1;(0)1yyyyy得初值問題：得初值問題：例例7 .求與拋物線族求與拋物線族2cyx中每條曲線均中每條曲線均正交的的曲線（即交點處切線相互垂直）正

9、交的的曲線（即交點處切線相互垂直）正交軌線。（橢圓族）正交軌線。（橢圓族）解：解：2222c2cyxxycyxyxcxyc 消去 得：y =即為拋物線上任一點處切線斜率，故正交軌即為拋物線上任一點處切線斜率，故正交軌線上任一點處切線斜率為：線上任一點處切線斜率為：2xyy 正交軌線滿足的微分方程正交軌線滿足的微分方程解之得：解之得：222,(0)yxc c（橢圓族）（橢圓族）二。物理應(yīng)用二。物理應(yīng)用（一）利用物理意義直接列方程（一）利用物理意義直接列方程例例8 設(shè)一物體的溫度為設(shè)一物體的溫度為100，將其放置在空，將其放置在空氣溫度為氣溫度為20的環(huán)境中冷卻的環(huán)境中冷卻. 試求物體溫度隨試求物

10、體溫度隨時間的變化規(guī)律時間的變化規(guī)律.（冷卻定理：物體冷卻速度（冷卻定理：物體冷卻速度與溫差成正比）與溫差成正比）0(20)2080100kttdTk TdtTeT 例例9在一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來的在一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來的 按照牛頓冷卻定律開始下降假設(shè)兩個小按照牛頓冷卻定律開始下降假設(shè)兩個小時后尸體溫度變?yōu)闀r后尸體溫度變?yōu)?并且假定周圍空氣的溫并且假定周圍空氣的溫度保持度保持 不變，試求出尸體溫度隨時間的變不變，試求出尸體溫度隨時間的變化規(guī)律又如果尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度是化規(guī)律又如果尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度是 時時間是下午間是下午4點整，那么謀殺是何時發(fā)生的？點整，那么謀殺是何時發(fā)

11、生的？037035020030020.063(20)20 173720 170.0633520 17308.4()kttktttdTk TdtTeTTekTTeTt 小時即謀殺大約在上午即謀殺大約在上午7時時36分發(fā)生分發(fā)生例例10設(shè)降落傘從跳傘塔下落后設(shè)降落傘從跳傘塔下落后,所受空氣所受空氣阻力與速度成正比阻力與速度成正比, 并設(shè)降落傘離開跳傘并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零塔時速度為零, 求降落傘下落速度與時間求降落傘下落速度與時間的關(guān)系的關(guān)系.00tdvfmgkvmdtv0 x( )x t( )x t( )x t例例11（考研題）在某一人群中推廣新技術(shù)是通（考研題）在某一人群中推廣新技術(shù)是

12、通過其中已掌握新技術(shù)的人進行的。設(shè)該人群的過其中已掌握新技術(shù)的人進行的。設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為總?cè)藬?shù)為N，在，在t=0時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為，在任意時刻，在任意時刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為已掌握新技術(shù)的人數(shù)為（將（將視為連續(xù)可微變量），其變化率與已掌視為連續(xù)可微變量），其變化率與已掌新技術(shù)的人及未掌握新技術(shù)的人的乘積成正比，新技術(shù)的人及未掌握新技術(shù)的人的乘積成正比，比例系數(shù)比例系數(shù)k0，求，求解：解：00000()kNtkNttdxkx NxNx edtxNxx exx例例12. （考研題考研題）從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求

13、，需確定儀器的下沉深度求，需確定儀器的下沉深度y（從海平面算（從海平面算起）與下沉速度起）與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)儀器之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉的過程中還受到阻力與浮力的作沉，在下沉的過程中還受到阻力與浮力的作用。設(shè)儀器的質(zhì)量為用。設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為，體積為B海水密度為海水密度為儀器所受阻力與下沉速度成正比，儀器所受阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為比例系數(shù)為k0，試建立，試建立y與與v所滿足的微分方程，并求出所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).22d ymmgBkvdt2222(

14、0)0;(0)(0)0d ydyd yk dyBmmgBkgdtdtdtm dtmyyv解：取沉放點為原點解：取沉放點為原點O，y軸正向鉛直向下，軸正向鉛直向下，由牛頓第二定律得：由牛頓第二定律得： 解法解法1.上式變?yōu)椋荷鲜阶優(yōu)椋航獯顺Ｏ禂?shù)二階線解此常系數(shù)二階線 性微分方程得解；性微分方程得解；y=y(t)( )y t聯(lián)立求出聯(lián)立求出y=y(v).（以下略）（以下略）及及v(t)=注：本題也可按不顯含注：本題也可按不顯含x的特殊二階方程求解的特殊二階方程求解()ktmdpkBBpgpcegdxmmm(0)0;(0)(0)0yyv由初值由初值Bcgm()()()1()1()()kkttmmkk

15、ttmmBBBpgeggemmmBBmBygedtygtgeCmmkm 由初值得由初值得BgCk()()ktmBBBgygtgemmk得：得：22( )dyd ydvdv dydvv tvdtdtdtdy dtdydvmvmgBkvdy202()ln()()0Clnymm mgByvmgBkvCkkmm mgBmgBkvvyvkkmgB求出解法解法2.代入原式化成微分方程：代入原式化成微分方程： 解得：解得：復(fù)習分離變量方程求解方法復(fù)習分離變量方程求解方法分離變量方程分離變量方程例例13（-考研題飛機降落問題）考研題飛機降落問題）66.0 10某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離某種飛機在機

16、場降落時，為了減少滑行距離在觸地的瞬間飛機尾部張開降落傘以增大阻在觸地的瞬間飛機尾部張開降落傘以增大阻力使飛機迅速減速并停下。現(xiàn)有一質(zhì)量為力使飛機迅速減速并停下?，F(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機著陸時的水平速度為的飛機著陸時的水平速度為700km/h經(jīng)測試，減速傘打開后飛機所受的總阻力與經(jīng)測試，減速傘打開后飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為飛機的速度成正比（比例系數(shù)為k=問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？0V( )x t( )v t解：由題設(shè)，飛機的質(zhì)量為解：由題設(shè)，飛機的質(zhì)量為m=9000kg，飛機，飛機著陸時的水平速度為著陸時的水

17、平速度為=700km/h，從著，從著陸點陸點速度速度解法解法I根據(jù)牛頓第二運動定理：根據(jù)牛頓第二運動定理： 算起設(shè)算起設(shè)t時刻飛機滑行的距離為時刻飛機滑行的距離為為為22220000,(0), (0)0,( )( )( )0( )1.05d xdxdxd xdvdv dxdvmkvvdtdtdtdtdtdx dtdxmmdxdvvCkkmmvv xCvx tvv tkkmvv tx tkmk 令即積分得：x(t)=由于從而：令即飛機滑行的最長距離為即飛機滑行的最長距離為1。05km解法解法II根據(jù)牛頓第二運動定理：根據(jù)牛頓第二運動定理： 000000( )( )1.05kmkmkmttttdv

18、dvkmkvdtv cedtvmvv tvemxv t dtvek 即代入初值條件：v飛機滑行的最長距離為：解法解法III根據(jù)牛頓第二運動定理：根據(jù)牛頓第二運動定理：22222122120000001200,0,+00,;,0,( )(1)( )1.05kkttmmttttktmd xdx d xk dxmkdtdtdtm dtkkmmkcdxxCC exvevdtmmvmCCvx tekkmvtx tk 其特征方程為：其通解為：由得：于是：令注：解法注：解法1）是轉(zhuǎn)化為路程）是轉(zhuǎn)化為路程x與速度與速度v之間之間的一階微分方程；的一階微分方程；解法解法2）是轉(zhuǎn)化為速度）是轉(zhuǎn)化為速度v與時間與時

19、間t之間的一之間的一解微分方程；解微分方程；3）是直接由牛頓公式建立路程）是直接由牛頓公式建立路程x與時間之與時間之間的二階線性微分方程；間的二階線性微分方程；對于對于1）由末速度可直接算出所走路程，對）由末速度可直接算出所走路程，對于于2）則要由路程與速度的關(guān)系通過積分才）則要由路程與速度的關(guān)系通過積分才能求出所走路程，對于能求出所走路程，對于3）得出路程與時間）得出路程與時間的關(guān)系后須令的關(guān)系后須令t趨于無窮才能求出所走路程。趨于無窮才能求出所走路程。例例14（子彈穿透木板問題）（子彈穿透木板問題）0200/vm s180/vm s子彈以子彈以的速度射入厚度為的速度射入厚度為假設(shè)木板對子彈

20、的阻力與其假設(shè)木板對子彈的阻力與其h=10cm的木板，穿過木板后仍有速度的木板，穿過木板后仍有速度速度的平方成正比，求子彈通過木板所速度的平方成正比，求子彈通過木板所需的時間。需的時間。1tt10tt 解：設(shè)子彈的質(zhì)量為解：設(shè)子彈的質(zhì)量為m，其開始射入木板的，其開始射入木板的時刻為時刻為t=0，穿過木板的時刻為，穿過木板的時刻為，則在，則在的時間內(nèi)，深度為的時間內(nèi)，深度為h(t)，速度為，速度為v(t)，依題意可得：依題意可得： 222220221111111(0)11,(0)200/200113,80/2004003232131;400200400400dvkdvmkvkaa vdtmdta

21、 tCvvm sCva ttt vm savtttttdhdttvvttdtdht 令代入上式得：又1111111111ln(32 )340010,0ln(2 )311ln(32 )ln(2 );t=t34003h=cm=mhttCtthCthtttt分離變量并積分得通解:時代入上式得：又當時100.1，故13( )400ln(5/ 2)st例例15（食草魚與食魚魚共存問題問題）（食草魚與食魚魚共存問題問題）( )x t( )y t設(shè)在同一水域中生存著食草魚與食魚之魚設(shè)在同一水域中生存著食草魚與食魚之魚（或同一環(huán)境中的兩種生物）他們的數(shù)量（或同一環(huán)境中的兩種生物）他們的數(shù)量分別為分別為與與不妨

22、設(shè)不妨設(shè)x，y是連續(xù)變化是連續(xù)變化，其中，其中x受受y的影響而減少（大魚吃了小魚）的影響而減少（大魚吃了小魚）減少的減少的 受受x的影響而減少（小魚吃了大魚的卵）的影響而減少（小魚吃了大魚的卵）的速率與的速率與x(t)成正比；如果成正比；如果00(0), (0)xxyy試建立這一問題的數(shù)學模型，并求這兩種試建立這一問題的數(shù)學模型，并求這兩種魚數(shù)量的變化規(guī)律。魚數(shù)量的變化規(guī)律。速率與速率與y(t)成正比；而魚數(shù)成正比；而魚數(shù)y（t）減少減少1122(0),(0)k kk k100200,ttttxk y xxyk x yy ty120 xk k x解：設(shè)題中比例系數(shù)依次為解：設(shè)題中比例系數(shù)依次為

23、依題意此共生問題的數(shù)學模型為：依題意此共生問題的數(shù)學模型為：在上述方程組中消去在上述方程組中消去得得特征方程為：特征方程為： 2121,2120rk krk k 1 21 21 21 2122121( )( )()k k tk k tk k tk k tx tC eC eky tC eC ek111002002211(),()22kkCxyCxykk故得原方程組的通解為：故得原方程組的通解為：代入初始條件得：代入初始條件得：1 21 21 21 21100002221100001221( )()()2(*)1( )()()2kk tkk tkk tkk tkkx txy exy ekkkkky

24、 txy exy ekkk故兩種魚數(shù)量的變化規(guī)律為：故兩種魚數(shù)量的變化規(guī)律為：10020kxyk ( )x t( )y t由（由（*）式分析得如下規(guī)律：）式分析得如下規(guī)律：（1）當）當時魚數(shù)時魚數(shù)雖減少，但最終不會消失；而魚數(shù)雖減少，但最終不會消失；而魚數(shù)在經(jīng)過足夠長的時間變化后最終會趨于消失；在經(jīng)過足夠長的時間變化后最終會趨于消失；10020kxyk ( )y t( )x t20110022020 xkkxykyk 即（2）當）當時魚數(shù)時魚數(shù)雖減少，但最終不會消失；而魚數(shù)雖減少，但最終不會消失；而魚數(shù)在經(jīng)過足夠長的時間變化后最終會趨于消失；在經(jīng)過足夠長的時間變化后最終會趨于消失；（3）兩種魚

25、在經(jīng)過足夠長的時間變化后最終都會兩種魚在經(jīng)過足夠長的時間變化后最終都會趨于消失；趨于消失； 例例16有高為有高為1米的半球形容器，水從它的底米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面積為部小孔流出，小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米. 開開始時容器內(nèi)盛滿了水始時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程求水從小孔流出過程中容器里水面的高度中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的水面與孔口中心間的距離距離)隨時間隨時間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.（元素法元素法）（二）用元素法解微分方程應(yīng)用問題：（二）用元素法解微分方程應(yīng)用問題：,262. 0ghSdtdVQ解解 由力學知識得，水從孔口流出的流量為由力

26、學知識得，水從孔口流出的流量為 流量系數(shù)流量系數(shù) 孔口截面面積孔口截面面積 重力加速度重力加速度,12cmS .262. 0dtghdV ,ttth, hh,2dhrdV,200)100(100222hhhr.)200(2dhhhdV,262. 0)200(2dtghdhhh設(shè)在微小的時間間隔設(shè)在微小的時間間隔水面的高度由水面的高度由降至降至則則 比較和得比較和得: : 即為未知函數(shù)得微分方程即為未知函數(shù)得微分方程. .以小孔出口以小孔出口o為坐標原點，為坐標原點，h軸向上建立坐標系軸向上建立坐標系,)200(262. 03dhhhgdt,1000th,101514262. 05gC).310

27、107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為 2例例17（考研題）（考研題）某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時空氣中開始時空氣中含有含有 0.1%的的 為了降低車間內(nèi)空氣為了降低車間內(nèi)空氣中中 的含量的含量, 用一臺風量為每秒用一臺風量為每秒2000立方米的鼓風機通入含立方米的鼓風機通入含0.03%的的 新鮮空新鮮空氣氣,同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出問鼓風機開動出問鼓風機開動6分鐘后車間內(nèi)分鐘后車間內(nèi) 百分比百分比降低到多少（降低到多少（用元素法求解用元素法求解）2co2co2co2co2cot2CO)%,(tx,d

28、ttt2CO,03. 02000dt2CO2CO)(200003. 0200012000txdtdtdx)03. 0(61xdtdx,03. 061tCex解解 設(shè)鼓風機開動后設(shè)鼓風機開動后時刻時刻的含量為的含量為在在內(nèi)，內(nèi)，的通入量的通入量的通入量的通入量的排出量的排出量= 的排出量的排出量2CO2000( ),dt x t 的改變量，即的改變量，即2CO1 . 0|0tx07. 0C,00703. 061tex,056. 007. 003. 0|16ext2CO%.056. 0由由 故故6分鐘后，車間內(nèi)分鐘后，車間內(nèi)的百分比降低到的百分比降低到注：注：dx為二氧化碳濃度改變量，或單位體積二

29、氧化為二氧化碳濃度改變量，或單位體積二氧化碳改變量，故碳改變量，故12000dx即為整個車間在即為整個車間在【t，t+dt】時間段二氧化碳改變量或直接求法：時間段二氧化碳改變量或直接求法：t時刻二氧化碳時刻二氧化碳含量為含量為12000 x，t+dt時刻二氧化碳含量為時刻二氧化碳含量為12000（x+dx），故二氧化碳改變量為），故二氧化碳改變量為12000dx例例18（湖泊環(huán)境治理問題（湖泊環(huán)境治理問題-考研題（元素法）考研題（元素法）某湖泊的水量為某湖泊的水量為V，每年排入湖泊內(nèi)含污染物，每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為的污水量為V/6，流入湖泊內(nèi)不含污染物，流入湖泊內(nèi)不含污染物A的的污

30、水量為污水量為V/6，流出湖泊的水量為，流出湖泊的水量為V/3，已知，已知1999年底湖泊內(nèi)含污染物年底湖泊內(nèi)含污染物A的含量為的含量為05m超超 0/mV0m過國家規(guī)定指標，為了治理污染，從過國家規(guī)定指標，為了治理污染，從2000年初年初起規(guī)定排入湖泊內(nèi)含污染物起規(guī)定排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水濃度不超的污水濃度不超過過 問至少需要經(jīng)過多少年湖泊內(nèi)含污染物問至少需要經(jīng)過多少年湖泊內(nèi)含污染物A的的含量降至含量降至（設(shè)湖泊內(nèi)含污染物（設(shè)湖泊內(nèi)含污染物A的濃度是均勻的）的濃度是均勻的）以內(nèi)。以內(nèi)。/m V0066mmVdtdtV解：設(shè)從解：設(shè)從2000年初開始（設(shè)此時年初開始（設(shè)此時t=0）第）第t

31、年年湖泊內(nèi)含污染物湖泊內(nèi)含污染物A的總量為的總量為m，濃度為，濃度為，則在時間間隔，則在時間間隔【t，t+dt】內(nèi)排入湖泊內(nèi)污內(nèi)排入湖泊內(nèi)污染物染物A的量為：的量為：流出湖泊的水的流出湖泊的水的A的量為，的量為，33mVmdtdtV則在該時間間隔則在該時間間隔【t，t+dt】內(nèi)內(nèi)A的改變量為：的改變量為：dm=0()63mmdt302tmmCe（分離變量型）由分離變量法解得：（分離變量型）由分離變量法解得：，代入初始條件：，代入初始條件： 30000059/ 2(1 9)/ 2,m=m6ln3ttmmcmmmet 令即至多需要經(jīng)過即至多需要經(jīng)過6ln3年湖泊內(nèi)含污染物年湖泊內(nèi)含污染物A的的含量

32、降至含量降至0m以內(nèi)。以內(nèi)。例例19. 在一個石油精煉廠，一個存儲罐裝在一個石油精煉廠，一個存儲罐裝8000L的汽油，其中包含的汽油，其中包含100g的添加劑的添加劑. 為冬季準備，每升含為冬季準備，每升含2g添加劑的石油以添加劑的石油以40L/min的速度注入存儲罐的速度注入存儲罐. 充分混合的充分混合的溶液以溶液以45L/min的速度泵出的速度泵出. 在混合過程在混合過程開始后開始后20分鐘罐中的添加劑有多少？分鐘罐中的添加劑有多少？（元素法元素法）yt100)0(yt tttV5800045408000解解 令令是在時刻是在時刻. 易知易知. 在時刻在時刻罐中的溶液的罐中的溶液的添加劑流

33、出的量為添加劑流出的量為 罐中的添加劑的總量罐中的添加劑的總量總量總量因此，在因此，在【t，t+dt】時間內(nèi)時間內(nèi)添加劑流入的量為添加劑流入的量為402 g dt 4580005ydtt添加劑的改變量為：添加劑的改變量為：dy，故有，故有tydtdy580004580805800045ytdtdy45458000 58000 598016000 101600dtdtttyeedtCtC t，得到微分方程，得到微分方程 即即 于是，所求通解為于是，所求通解為dy=4540 280005ydtdtt100)0(y016000010160009C8160010C9816001600101016000

34、tty9810(20)16000 10 2020 160016001512.58y由由確定確定C，得，得 ，故初值問題的解是故初值問題的解是，所以注入開始后，所以注入開始后20分鐘時的添加劑分鐘時的添加劑總量是總量是 g.注：液體溶液中（或散布在氣體中）的一種化注：液體溶液中（或散布在氣體中）的一種化學品流入裝有液體（或氣體）的容器中，容器學品流入裝有液體（或氣體）的容器中，容器中可能還裝有一定量的溶解了的該化學品中可能還裝有一定量的溶解了的該化學品. 把把混合物攪拌均勻并以一個已知的速率流出容器混合物攪拌均勻并以一個已知的速率流出容器. 在這個過程中，知道在任何時刻容器中的該化在這個過程中，

35、知道在任何時刻容器中的該化學品的濃度往往是重要的學品的濃度往往是重要的. 描述這個過程的微分描述這個過程的微分方程用下列公式表示：方程用下列公式表示：容器中總量的變化率容器中總量的變化率=化學品進入的速率化學品進入的速率化學化學品離開的速率品離開的速率例例20（雪堆融化問題（雪堆融化問題-考研題）考研題）一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積半球面面積S成正比，比例系數(shù)成正比，比例系數(shù)k0，假設(shè)在，假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半0r徑為徑為 的雪堆在開始融化的的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)融化了小時

36、內(nèi)融化了其體積的其體積的7/8，問雪堆全部融化需要多少小時，問雪堆全部融化需要多少小時？（三）幾何物理綜合應(yīng)用題（三）幾何物理綜合應(yīng)用題32,3Vr322218SrSV解：設(shè)雪堆在時刻解：設(shè)雪堆在時刻t的體積的體積側(cè)面積：側(cè)面積：由題設(shè)知：由題設(shè)知：32333333t=000018318V=VC=3 V3=318dVkSkVVktCdtVVkt 由即雪堆全部融化需要即雪堆全部融化需要6小時（注：此題也可小時（注：此題也可直接有不定積分求解）直接有不定積分求解）30333t=3000333300313V= V=33 18k=822 1813=3V=0 t=62VVVkVVV t又由故得：，令得例

37、例21（容器倒水問題（容器倒水問題-考研題）考研題）(), (0)xyy33/ minm2/ minm有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線繞繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，容器底面圓的軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，容器底面圓的半徑為半徑為2m，根據(jù)設(shè)計要求，當以，根據(jù)設(shè)計要求，當以的速率向容器注入液體時，液面的面積將以的速率向容器注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴大（假設(shè)注入液體前）的速率均勻擴大（假設(shè)注入液體前）容器內(nèi)無液體容器內(nèi)無液體 1根據(jù)根據(jù)t時刻液面的面積寫出時刻液面的面積寫出t與與( ),(0)yy之間的關(guān)系式；之間的關(guān)系式；2.求曲線的方程求曲線的方程22( )4( )4ytty 220( )33( ) 12yu duty 2