第5章 直線回歸與相關(guān)

1、Design and Analysis of Experiments1999L5.1Jianguo CDesign and Analysis of Experiments1999L5.2l引言引言l第一節(jié)第一節(jié) 直線回歸直線回歸l第二節(jié)第二節(jié) 直線相關(guān)直線相關(guān)l*第三節(jié)第三節(jié) 曲線回歸曲線回歸Design and Analysis of Experiments1999L5.3l前面各章我們討論的問題，都只涉及到一個變量，如體前面各章我們討論的問題，都只涉及到一個變量，如體重、日增重或發(fā)病率。但是，由于客觀事物在發(fā)展過程重、日增重或發(fā)病率。但是，由于客觀事物在發(fā)展過程中相互聯(lián)系、相互影響，因而在

2、生物試驗(yàn)研究中常常要中相互聯(lián)系、相互影響，因而在生物試驗(yàn)研究中常常要研究兩個或兩個以上變量間的關(guān)系。研究兩個或兩個以上變量間的關(guān)系。 l變量間的關(guān)系有兩類，一類是變量間存在著完全確定性變量間的關(guān)系有兩類，一類是變量間存在著完全確定性的關(guān)系，可以用精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示，如長方形的的關(guān)系，可以用精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示，如長方形的面積（面積（S）與長（）與長（a）和寬（）和寬（b）的關(guān)系可以表達(dá)為：）的關(guān)系可以表達(dá)為：S = ab。它們之間的關(guān)系是確定性的，只要知道了其中兩個。它們之間的關(guān)系是確定性的，只要知道了其中兩個變量的值就可以精確地計算出另一個變量的值，這類變變量的值就可以精確地計算出另一

3、個變量的值，這類變量間的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。量間的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。 Design and Analysis of Experiments1999L5.4l另一類是變量間關(guān)系不存在完全的確定性關(guān)系，不能用另一類是變量間關(guān)系不存在完全的確定性關(guān)系，不能用精確的數(shù)學(xué)公式來表示，如人的身高與體重的關(guān)系；仔精確的數(shù)學(xué)公式來表示，如人的身高與體重的關(guān)系；仔豬初生重與斷奶重的關(guān)系；豬瘦肉率與背膘厚度、眼肌豬初生重與斷奶重的關(guān)系；豬瘦肉率與背膘厚度、眼肌面積、胴體長等的關(guān)系等等，這些變量間都存在著十分面積、胴體長等的關(guān)系等等，這些變量間都存在著十分密切的關(guān)系，但不能由一個或幾個變量的值精確地求出密切的關(guān)系，但

4、不能由一個或幾個變量的值精確地求出另一個變量的值。像這樣一類關(guān)系在生物界中是大量存另一個變量的值。像這樣一類關(guān)系在生物界中是大量存在的，統(tǒng)計學(xué)中把這些變量間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系，把在的，統(tǒng)計學(xué)中把這些變量間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系，把存在相關(guān)關(guān)系的變量稱為相關(guān)變量。存在相關(guān)關(guān)系的變量稱為相關(guān)變量。 Design and Analysis of Experiments1999L5.5l相關(guān)變量間的關(guān)系一般分為兩種，一種是因果關(guān)系，即相關(guān)變量間的關(guān)系一般分為兩種，一種是因果關(guān)系，即一個變量的變化受另一個或幾個變量的影響，如仔豬的一個變量的變化受另一個或幾個變量的影響，如仔豬的生長速度受遺傳、營養(yǎng)、飼養(yǎng)管理

5、等因素的影響，子女生長速度受遺傳、營養(yǎng)、飼養(yǎng)管理等因素的影響，子女的身高受父母身高的影響；另一種是平行關(guān)系，即兩個的身高受父母身高的影響；另一種是平行關(guān)系，即兩個以上變量之間共同受到另外因素的影響，如人的身高和以上變量之間共同受到另外因素的影響，如人的身高和體重之間的關(guān)系，兄弟身高之間的關(guān)系等都屬于平行關(guān)體重之間的關(guān)系，兄弟身高之間的關(guān)系等都屬于平行關(guān)系。系。 Design and Analysis of Experiments1999L5.6l統(tǒng)計學(xué)上采用回歸分析（統(tǒng)計學(xué)上采用回歸分析（regression analysis）研究呈）研究呈因果關(guān)系的相關(guān)變量間的關(guān)系。表示原因的變量稱為因果關(guān)

6、系的相關(guān)變量間的關(guān)系。表示原因的變量稱為自變量，表示結(jié)果的變量稱為依變量。研究自變量，表示結(jié)果的變量稱為依變量。研究“一因一一因一果果”，即一個自變量與一個依變量的回歸分析稱為一，即一個自變量與一個依變量的回歸分析稱為一元回歸分析；研究元回歸分析；研究“多因一果多因一果”，即多個自變量與一，即多個自變量與一個依變量的回歸分析稱為多元回歸分析。個依變量的回歸分析稱為多元回歸分析。Design and Analysis of Experiments1999L5.7l一元回歸分析又分為直線回歸分析與曲線回歸分析兩一元回歸分析又分為直線回歸分析與曲線回歸分析兩種；多元回歸分析又分為多元線性回歸分析與多

7、元非種；多元回歸分析又分為多元線性回歸分析與多元非線性回歸分析兩種。回歸分析的任務(wù)是揭示出呈因果線性回歸分析兩種?；貧w分析的任務(wù)是揭示出呈因果關(guān)系的相關(guān)變量間的聯(lián)系形式，建立它們之間的回歸關(guān)系的相關(guān)變量間的聯(lián)系形式，建立它們之間的回歸方程，利用所建立的回歸方程，由自變量（原因）來方程，利用所建立的回歸方程，由自變量（原因）來預(yù)測、控制依變量（結(jié)果）。預(yù)測、控制依變量（結(jié)果）。 Design and Analysis of Experiments1999L5.8l統(tǒng)計學(xué)上采用相關(guān)分析統(tǒng)計學(xué)上采用相關(guān)分析(correlation analysis)研究呈平研究呈平行關(guān)系的相關(guān)變量之間的關(guān)系。對兩個

8、變量間的直線行關(guān)系的相關(guān)變量之間的關(guān)系。對兩個變量間的直線關(guān)系進(jìn)行相關(guān)分析稱為簡單相關(guān)分析（也叫直線相關(guān)關(guān)系進(jìn)行相關(guān)分析稱為簡單相關(guān)分析（也叫直線相關(guān)分析）；對多個變量進(jìn)行相關(guān)分析時，研究一個變量分析）；對多個變量進(jìn)行相關(guān)分析時，研究一個變量與多個變量間的線性相關(guān)稱為復(fù)相關(guān)分析；研究其余與多個變量間的線性相關(guān)稱為復(fù)相關(guān)分析；研究其余變量保持不變的情況下兩個變量間的線性相關(guān)稱為偏變量保持不變的情況下兩個變量間的線性相關(guān)稱為偏相關(guān)分析。相關(guān)分析。Design and Analysis of Experiments1999L5.9l在相關(guān)分析中，變量無自變量和依變量之分。相關(guān)分在相關(guān)分析中，變量無自

9、變量和依變量之分。相關(guān)分析只能研究兩個變量之間相關(guān)的程度和性質(zhì)或一個變析只能研究兩個變量之間相關(guān)的程度和性質(zhì)或一個變量與多個變量之間相關(guān)的程度，不能用一個或多個變量與多個變量之間相關(guān)的程度，不能用一個或多個變量去預(yù)測、控制另一個變量的變化，這是回歸分析與量去預(yù)測、控制另一個變量的變化，這是回歸分析與相關(guān)分析區(qū)別的關(guān)鍵所在。但是二者也不能截然分開相關(guān)分析區(qū)別的關(guān)鍵所在。但是二者也不能截然分開，因?yàn)橛苫貧w分析可以獲得相關(guān)的一些重要信息，由，因?yàn)橛苫貧w分析可以獲得相關(guān)的一些重要信息，由相關(guān)分析也能獲得回歸的一些重要信息。相關(guān)分析也能獲得回歸的一些重要信息。 Design and Analysis o

10、f Experiments1999L5.10 變變量量間間的的關(guān)關(guān)系系一元回歸一元回歸多元回歸多元回歸函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系相相關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)系系因因果果關(guān)關(guān)系系平平行行關(guān)關(guān)系系回回歸歸分分析析相相關(guān)關(guān)分分析析直線回歸直線回歸曲線回歸曲線回歸多元線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸多元非線性回歸簡單相關(guān)簡單相關(guān)直線相關(guān)直線相關(guān)多元相關(guān)多元相關(guān)復(fù)相關(guān)復(fù)相關(guān)偏相關(guān)偏相關(guān)Design and Analysis of Experiments1999L5.11l一、直線回歸方程的建立一、直線回歸方程的建立 l二、直線回歸的顯著性檢驗(yàn)二、直線回歸的顯著性檢驗(yàn)l三、直線回歸的區(qū)間估計三、直線回歸的區(qū)間估計Design a

11、nd Analysis of Experiments1999L5.12l對于兩個相關(guān)變量，一個變量用符號對于兩個相關(guān)變量，一個變量用符號x表示，另一個表示，另一個變量用變量用y表示，如果通過試驗(yàn)或調(diào)查獲得兩個變量的表示，如果通過試驗(yàn)或調(diào)查獲得兩個變量的成對觀測值，可表示為（成對觀測值，可表示為（x1，y1），（），（x2，y2），），（，（xn，yn）。為了直觀地看出）。為了直觀地看出x和和y間的變化趨間的變化趨勢，可將每一對觀測值在平面直角坐標(biāo)系描點(diǎn)，作出勢，可將每一對觀測值在平面直角坐標(biāo)系描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖（見圖散點(diǎn)圖（見圖5-1）。）。 Design and Analysis of Exp

12、eriments1999L5.13 圖5-1 （x，y）的散點(diǎn)圖Design and Analysis of Experiments1999L5.14l從散點(diǎn)圖（圖從散點(diǎn)圖（圖5-1）可以看出：兩個變量間關(guān)系的）可以看出：兩個變量間關(guān)系的性質(zhì)（是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)）和程度（是相關(guān)密切還性質(zhì)（是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)）和程度（是相關(guān)密切還是不密切）；兩個變量間關(guān)系的類型，是直線型還是不密切）；兩個變量間關(guān)系的類型，是直線型還是曲線型；是否有異常觀測值的干擾。散點(diǎn)圖直觀是曲線型；是否有異常觀測值的干擾。散點(diǎn)圖直觀地、定性地表示了兩個變量之間的關(guān)系。為了探討它地、定性地表示了兩個變量之間的關(guān)系。為了探討它們

13、之間的規(guī)律性，還必須根據(jù)觀測值將其內(nèi)在關(guān)系定們之間的規(guī)律性，還必須根據(jù)觀測值將其內(nèi)在關(guān)系定量地表達(dá)出來。量地表達(dá)出來。 Design and Analysis of Experiments1999L5.15l如果兩個相關(guān)變量間的關(guān)系是直線關(guān)系，根據(jù)如果兩個相關(guān)變量間的關(guān)系是直線關(guān)系，根據(jù)n對觀測值所描對觀測值所描出的散點(diǎn)圖如圖出的散點(diǎn)圖如圖5-1(a)和圖和圖5-1(d)。因此可以把變量。因此可以把變量y與與x內(nèi)在聯(lián)內(nèi)在聯(lián)系的總體直線回歸方程記為系的總體直線回歸方程記為y=x。由于依變量的實(shí)際觀測。由于依變量的實(shí)際觀測值總是帶有隨機(jī)誤差，因而實(shí)際觀測值值總是帶有隨機(jī)誤差，因而實(shí)際觀測值yi可表

14、示為：可表示為：l (i = 1, 2, , n) （5-1）l其中其中 i為相互獨(dú)立，且都服從為相互獨(dú)立，且都服從N(0，2)的隨機(jī)變量。這就是直的隨機(jī)變量。這就是直線回歸的數(shù)學(xué)模型。我們可以根據(jù)實(shí)際觀測值對線回歸的數(shù)學(xué)模型。我們可以根據(jù)實(shí)際觀測值對，以及方差以及方差2做出估計。做出估計。 iiiixxyDesign and Analysis of Experiments1999L5.16l在在x, y的直角坐標(biāo)平面上可以作出無數(shù)條直線，而回的直角坐標(biāo)平面上可以作出無數(shù)條直線，而回歸直線是指所有直線中最接近散點(diǎn)圖中全部散點(diǎn)的直歸直線是指所有直線中最接近散點(diǎn)圖中全部散點(diǎn)的直線。設(shè)樣本直線回歸方

15、程為：線。設(shè)樣本直線回歸方程為：l (5-2)l其中，其中，a是是的估計值，的估計值，b是是的估計值。的估計值。 bxayDesign and Analysis of Experiments1999L5.17l回歸直線在平面坐標(biāo)系中的位置取決于回歸直線在平面坐標(biāo)系中的位置取決于a、b的取值，的取值，為了使能最好地反應(yīng)為了使能最好地反應(yīng)y和和x兩變量間的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)兩變量間的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)最小二乘法，最小二乘法，a、b應(yīng)使回歸估計值與觀測值的偏差平應(yīng)使回歸估計值與觀測值的偏差平方和最小，即：方和最小，即： 22()()Qyyyabx最小Design and Analysis of Experi

16、ments1999L5.18l根據(jù)微積分學(xué)中的極值原理，令根據(jù)微積分學(xué)中的極值原理，令 Q對對a、b的一階偏導(dǎo)的一階偏導(dǎo)數(shù)等于數(shù)等于0，即：，即：l整理得關(guān)于整理得關(guān)于a、b的正規(guī)方程組：的正規(guī)方程組： 2()02()0QyabxaQyabx xb 2anbxyaxbxxyDesign and Analysis of Experiments1999L5.19l解正規(guī)方程組，得：解正規(guī)方程組，得：l （5-3）l （5-4）l（5-3）式中的分子是自變量）式中的分子是自變量x的離均差與依變量的離均差與依變量y的離均差的的離均差的乘積和，簡稱乘積和，記作乘積和，簡稱乘積和，記作SPxy，分母是自變

17、量，分母是自變量x的離均差平的離均差平方和，記作方和，記作SSx 。 xxySSSPxxyyxxnxxnyxxyb222)()(/)(/ )(xbyaDesign and Analysis of Experiments1999L5.20la叫做樣本回歸截距，是回歸直線與叫做樣本回歸截距，是回歸直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)，當(dāng)x = 0時，時， = a；b叫做樣本回歸系數(shù)，表示叫做樣本回歸系數(shù)，表示x改改變一個單位，變一個單位，y平均改變的數(shù)量；平均改變的數(shù)量；b的符號反映了的符號反映了x影影響響y的性質(zhì)，的性質(zhì)，b的絕對值大小反映了的絕對值大小反映了x影響影響y的程度。的程度。 y

18、 Design and Analysis of Experiments1999L5.21la和和b均可取正值，也可取負(fù)值，因具體資料而異。均可取正值，也可取負(fù)值，因具體資料而異。lb 0，表示，表示y隨隨x的增加而增加；的增加而增加；lb t0.01(10)，P r0.01(24)，表明相關(guān)系數(shù)極，表明相關(guān)系數(shù)極顯著。而顯著。而r2 = 0.25，即，即x變量或變量或y變量的總變異能夠通變量的總變異能夠通過過y變量或變量或x變量以直線回歸的關(guān)系來估計的比重只占變量以直線回歸的關(guān)系來估計的比重只占25%，其余的，其余的75%的變異無法借助直線回歸來估計。的變異無法借助直線回歸來估計。 Desig

19、n and Analysis of Experiments1999L5.84l一、曲線回歸分析概述一、曲線回歸分析概述 l二、能直線化的曲線類型二、能直線化的曲線類型 Design and Analysis of Experiments1999L5.85l直線關(guān)系是兩變量間最簡單的一種關(guān)系。這種關(guān)系往往在變量直線關(guān)系是兩變量間最簡單的一種關(guān)系。這種關(guān)系往往在變量一定的取值范圍內(nèi)成立，取值范圍一擴(kuò)大，散點(diǎn)圖就明顯偏離一定的取值范圍內(nèi)成立，取值范圍一擴(kuò)大，散點(diǎn)圖就明顯偏離直線，此時兩個變量間的關(guān)系不是直線而是曲線。直線，此時兩個變量間的關(guān)系不是直線而是曲線。l例如，細(xì)菌的繁殖速率與溫度關(guān)系，畜禽在

20、生長發(fā)育過程中各例如，細(xì)菌的繁殖速率與溫度關(guān)系，畜禽在生長發(fā)育過程中各種生理指標(biāo)與年齡的關(guān)系，乳牛的泌乳量與泌乳天數(shù)的關(guān)系等種生理指標(biāo)與年齡的關(guān)系，乳牛的泌乳量與泌乳天數(shù)的關(guān)系等都屬這種類型。都屬這種類型。l可用來表示雙變量間關(guān)系的曲線種類很多，但許多曲線類型都可用來表示雙變量間關(guān)系的曲線種類很多，但許多曲線類型都可以通過變量轉(zhuǎn)換化成直線形式，先利用直線回歸的方法配合可以通過變量轉(zhuǎn)換化成直線形式，先利用直線回歸的方法配合直線回歸方程，然后再還原成曲線回歸方程。直線回歸方程，然后再還原成曲線回歸方程。 Design and Analysis of Experiments1999L5.86l曲線回

21、歸分析（曲線回歸分析（curvilinear regression analysis）的基本任務(wù)是）的基本任務(wù)是通過兩個相關(guān)變量通過兩個相關(guān)變量x與與y的實(shí)際觀測數(shù)據(jù)建立曲線回歸方程，以的實(shí)際觀測數(shù)據(jù)建立曲線回歸方程，以揭示揭示x與與y間的曲線聯(lián)系的形式。間的曲線聯(lián)系的形式。l曲線回歸分析最困難和首要的工作是確定變量與曲線回歸分析最困難和首要的工作是確定變量與x間的曲線關(guān)間的曲線關(guān)系的類型。通常通過兩個途徑來確定：系的類型。通常通過兩個途徑來確定：1、利用生物科學(xué)的有、利用生物科學(xué)的有關(guān)專業(yè)知識，根據(jù)已知的理論規(guī)律和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。例如，細(xì)菌數(shù)關(guān)專業(yè)知識，根據(jù)已知的理論規(guī)律和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。例如，細(xì)菌數(shù)量

22、的增長常具有指數(shù)函數(shù)的形式：量的增長常具有指數(shù)函數(shù)的形式： ；幼畜體重的增；幼畜體重的增長常具有長常具有“S”型曲線的形狀，即型曲線的形狀，即Logistic曲線的形式等。曲線的形式等。2、若、若沒有已知的理論規(guī)律和經(jīng)驗(yàn)可資利用，則可用描點(diǎn)法將實(shí)測點(diǎn)沒有已知的理論規(guī)律和經(jīng)驗(yàn)可資利用，則可用描點(diǎn)法將實(shí)測點(diǎn)在直角坐標(biāo)紙上描出，觀察實(shí)測點(diǎn)的分布趨勢與哪一類已知的在直角坐標(biāo)紙上描出，觀察實(shí)測點(diǎn)的分布趨勢與哪一類已知的函數(shù)曲線最接近，然后再選用該函數(shù)關(guān)系式來擬合實(shí)測點(diǎn)。函數(shù)曲線最接近，然后再選用該函數(shù)關(guān)系式來擬合實(shí)測點(diǎn)。 bxaey Design and Analysis of Experiments1

23、999L5.87l對于可直線化的曲線函數(shù)類型，曲線回歸分析的基本過程是：對于可直線化的曲線函數(shù)類型，曲線回歸分析的基本過程是：先將先將x或或y進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換，然后對新變量進(jìn)行直線回歸分析進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換，然后對新變量進(jìn)行直線回歸分析建立直線回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)和區(qū)間估計，最后將新變建立直線回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)和區(qū)間估計，最后將新變量還原為原變量，由新變量的直線回歸方程和置信區(qū)間得出原量還原為原變量，由新變量的直線回歸方程和置信區(qū)間得出原變量的曲線回歸方程和置信區(qū)間。變量的曲線回歸方程和置信區(qū)間。l還有一情況是找不到已知的函數(shù)曲線較接近實(shí)測點(diǎn)的分布趨勢還有一情況是找不到已知的函數(shù)曲線較接近實(shí)測

24、點(diǎn)的分布趨勢，這時可利用多項(xiàng)式回歸，通過逐漸增加多項(xiàng)式的高次項(xiàng)來擬，這時可利用多項(xiàng)式回歸，通過逐漸增加多項(xiàng)式的高次項(xiàng)來擬合，直到滿意為止。該內(nèi)容將在下一章的多項(xiàng)式回歸中討論。合，直到滿意為止。該內(nèi)容將在下一章的多項(xiàng)式回歸中討論。 Design and Analysis of Experiments1999L5.88l下面是幾種常用的能直線化的曲線函數(shù)類型及其圖型下面是幾種常用的能直線化的曲線函數(shù)類型及其圖型，并將其直線化，供進(jìn)行曲線回歸分析時選用。，并將其直線化，供進(jìn)行曲線回歸分析時選用。 l1、雙曲線函數(shù)、雙曲線函數(shù) l2、冪函數(shù)、冪函數(shù) l3、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù) l4、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

25、l5、Logistic生長曲線生長曲線 Design and Analysis of Experiments1999L5.89l若令若令 ，則可將雙曲線函數(shù)直線化為：，則可將雙曲線函數(shù)直線化為：xbay/1xxyy/1,/1xbay圖圖5-5 雙曲線函數(shù)圖形（虛線為漸近線）雙曲線函數(shù)圖形（虛線為漸近線）Design and Analysis of Experiments1999L5.90l對冪函數(shù)對冪函數(shù) 兩端求自然對數(shù)，得：兩端求自然對數(shù)，得：l令令l則可將冪函數(shù)直線化為：則可將冪函數(shù)直線化為：(0)byaxabaxy xaylnlnlnxxaayyln,ln,lnxbayDesign an

26、d Analysis of Experiments1999L5.91(0)byaxa圖5-6 冪函數(shù)（a0）圖形Design and Analysis of Experiments1999L5.92l（1）若對指數(shù)函數(shù)）若對指數(shù)函數(shù) （圖（圖5-7a）兩端求自）兩端求自然對數(shù)，得：然對數(shù)，得：l令令l則可將其直線化為：則可將其直線化為：bxaey xbaey/baxy xay lnlnaayyln,lnbxayDesign and Analysis of Experiments1999L5.93bxaey xbaey/圖圖5- 7a 指數(shù)函數(shù)圖形指數(shù)函數(shù)圖形Design and Analysi

27、s of Experiments1999L5.94l（2）若對指數(shù)函數(shù)）若對指數(shù)函數(shù) （圖（圖5-7b）兩端求自）兩端求自然對數(shù)，得：然對數(shù)，得：l令令l則可將其直線化為：則可將其直線化為：bxaey xbaey/xbaey/xbay/lnlnxxaayy/1,ln,lnxbayDesign and Analysis of Experiments1999L5.95bxaey xbaey/圖圖5-7b 指數(shù)函數(shù)圖形指數(shù)函數(shù)圖形Design and Analysis of Experiments1999L5.96l令令 ，則將其直線化為，則將其直線化為xbaylgxxlgxbay圖圖5-8 對數(shù)函

28、數(shù)對數(shù)函數(shù)圖圖Design and Analysis of Experiments1999L5.97l若將若將Logistic生長曲線兩端取倒數(shù)，得生長曲線兩端取倒數(shù)，得 ：l對兩端取自然對數(shù)，得：對兩端取自然對數(shù)，得：l令令l可將其直線化為：可將其直線化為： bxaeky1bxaeyk1bxaeyykbxayyklnlnbbaayyky,ln,lnxbayDesign and Analysis of Experiments1999L5.98bxaeky1圖圖5-9 Logistic生長曲線圖形生長曲線圖形Design and Analysis of Experiments1999L5.99l

29、【例例5.7】 測定黑龍測定黑龍江雌性鱘魚體長（江雌性鱘魚體長（cm）和體重（）和體重（kg），結(jié)果如，結(jié)果如5-4表所示表所示，試對鱘魚體重與，試對鱘魚體重與體長進(jìn)行回歸分析體長進(jìn)行回歸分析。 l表表5-4 鱘魚體長與體重數(shù)據(jù)表鱘魚體長與體重數(shù)據(jù)表 序號序號體長體長（x）體重體重（y）170.701.00298.254.853112.576.594122.489.015138.4612.346148.0015.507152.0021.258162.0022.11Design and Analysis of Experiments1999L5.100l1、根據(jù)實(shí)際觀測值在直角坐標(biāo)紙上作散點(diǎn)圖，

30、選定、根據(jù)實(shí)際觀測值在直角坐標(biāo)紙上作散點(diǎn)圖，選定曲線類型曲線類型 l此例的散點(diǎn)圖見圖此例的散點(diǎn)圖見圖5-10。 Design and Analysis of Experiments1999L5.101l圖圖5-10 鱘魚體長與體重散點(diǎn)圖及回歸曲線圖鱘魚體長與體重散點(diǎn)圖及回歸曲線圖 Design and Analysis of Experiments1999L5.102l從散點(diǎn)圖實(shí)測點(diǎn)的分布趨勢看出它比較接近冪函數(shù)曲從散點(diǎn)圖實(shí)測點(diǎn)的分布趨勢看出它比較接近冪函數(shù)曲線圖形，因而選用線圖形，因而選用 來進(jìn)行擬合。來進(jìn)行擬合。l取取l則可將其直線化為：則可將其直線化為：baxy lg ,lg ,lgxx

31、 yy aaxbayDesign and Analysis of Experiments1999L5.103l表表5-5 變換后的鱘魚體長與體重數(shù)據(jù)表變換后的鱘魚體長與體重數(shù)據(jù)表 xxlgyylgy yy1.849501.16305-0.163061.99230.68573.862060.987942.05140.81896.343460.246542.08810.95478.629090.380912.14131.091313.49604-1.156042.17031.190317.20854-1.708542.18181.327418.966372.283632.20951.344623.92790-1.81970Design and Analysis