高等代數(shù)§1.1數(shù)域

1、高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件第一章第一章 多項(xiàng)式多項(xiàng)式1.1 1.1 數(shù)域數(shù)域代數(shù)與幾何教研室1.1 數(shù)域一、數(shù)域一、數(shù)域設(shè)設(shè)P P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括數(shù)不為數(shù)不為0 0）仍是）仍是P P中的數(shù)，則稱中的數(shù)，則稱P P為一個(gè)數(shù)域?yàn)橐粋€(gè)數(shù)域0 0與與1 1，如果，如果P P中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除 例例: :復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集C C、實(shí)數(shù)集、實(shí)數(shù)集R R、有理數(shù)集、有理數(shù)集Q Q都是數(shù)域。都是數(shù)域。注：自然數(shù)集注：自然數(shù)集N N，整數(shù)集，整數(shù)集Z Z都不是數(shù)域都不是數(shù)域.DefRemark:Remark:1. 1. 若數(shù)集

2、若數(shù)集P P中任意兩個(gè)數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果仍在中任意兩個(gè)數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果仍在P P中，則說(shuō)數(shù)集中，則說(shuō)數(shù)集P P對(duì)這個(gè)運(yùn)算是對(duì)這個(gè)運(yùn)算是封閉封閉的的2. 2. 數(shù)域的等價(jià)定義：如果一個(gè)包含數(shù)域的等價(jià)定義：如果一個(gè)包含0 0，1 1在內(nèi)的數(shù)在內(nèi)的數(shù)集集P P對(duì)于加法，減法，乘法與除法（除數(shù)不為對(duì)于加法，減法，乘法與除法（除數(shù)不為0 0）是封閉的，則稱集是封閉的，則稱集P P為一個(gè)數(shù)域?yàn)橐粋€(gè)數(shù)域是一個(gè)數(shù)域是一個(gè)數(shù)域例例1 1證明：數(shù)集證明：數(shù)集 ( 2)2 | ,Qaba bQ證：證： 000 2,110 2,( 2),x yQ又對(duì)又對(duì) 2,2,xabycd設(shè)設(shè) 則有則有 (2)() 2( 2)x

3、 yacbdadbcQ0,1( 2)Q, , ,a b c dQ ()() 2( 2),xyacbdQ設(shè)設(shè)20,ab于是于是也不為也不為0 02ab 或或 0,0ab矛盾）矛盾） （否則，若（否則，若20,ab則則2,ab 2,aQb于是有于是有20.ab2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab 222222.22acbdadbcQabab為數(shù)域?yàn)閿?shù)域( 2)Q ,(1),abi aQ ibQ i 是數(shù)域是數(shù)域. .類似可證類似可證例例2 2設(shè)設(shè)P P是至少含兩個(gè)數(shù)的數(shù)集，證明：若是至少含兩個(gè)數(shù)的數(shù)集，證明：若P P中任中任意兩個(gè)數(shù)的差與商（除數(shù)意兩個(gè)數(shù)的差與商（除數(shù)0 0）仍屬于

4、）仍屬于P P，則，則P P為一為一一個(gè)數(shù)域一個(gè)數(shù)域有有證：由題設(shè)任取證：由題設(shè)任取,a bP 0,aaP1(0),bP bb(0),ababP,abP(0),aP bb所以，所以，P P是一個(gè)數(shù)域是一個(gè)數(shù)域110,bbabP時(shí)時(shí), ,00.babP時(shí)時(shí), ,二、數(shù)域的性質(zhì)二、數(shù)域的性質(zhì)定理定理: : 任意數(shù)域任意數(shù)域P P都包括有理數(shù)域都包括有理數(shù)域Q Q即，有理數(shù)域?yàn)樽钚?shù)域即，有理數(shù)域?yàn)樽钚?shù)域證明：證明： 設(shè)設(shè)P P為任意一個(gè)數(shù)域由定義可知，為任意一個(gè)數(shù)域由定義可知，于是有于是有01.， PP,111mZmP 進(jìn)而進(jìn)而 有有,mm nZPn 而任意一個(gè)有理數(shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商，而任意一

5、個(gè)有理數(shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商，.QP0.mmPnn設(shè)設(shè)P P為非空數(shù)集，若為非空數(shù)集，若則稱則稱P P為一個(gè)數(shù)環(huán)為一個(gè)數(shù)環(huán)RemarkRemark,a bPabPa bP 例如，整數(shù)集例如，整數(shù)集Z Z 就作成一個(gè)數(shù)環(huán)就作成一個(gè)數(shù)環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)環(huán): :三、數(shù)學(xué)歸納法三、數(shù)學(xué)歸納法1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)，S S成立成立第一數(shù)學(xué)歸納法第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè)設(shè)S S是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，且滿足是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，且滿足2 2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，S S成立，則成立，則0nn 0,) (kkN knn 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，S S成立。成立。 1kn 1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)，S S成立成立第二數(shù)學(xué)歸納法第二數(shù)學(xué)歸納法設(shè)設(shè)S S是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，且滿足是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，且滿足 2 2）假設(shè)）假設(shè)S S對(duì)一切大于或等于對(duì)一切大于或等于 而小于而小于 的的自然數(shù)成立，則自然數(shù)成立，則S S對(duì)對(duì) 成立。成立。0nn 則則S S對(duì)當(dāng)對(duì)當(dāng) 的一切自然數(shù)都成立。的一切自然數(shù)都成立。 0n 0nnn