概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：2-5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

1、一、離散型一、離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布2.52.5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題的提出問題的提出在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣. .42d求截面面積求截面面積 A A = = 的分布的分布. .例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d d 的分布，的分布，已知已知t=tt=t0 0 時(shí)刻噪聲電壓時(shí)刻噪聲電壓 V V的分布，的分布，求功率求功率 W=VW=V2 2/R/R ( (R R為電阻）的分布等為電阻）的分布等. .這這類類問題無論在

2、實(shí)踐中還是在理論上都是重要的問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的. .問題的一般提法問題的一般提法?)(的分布的分布變量變量的分布求得隨機(jī)的分布求得隨機(jī)量量如何根據(jù)已知的隨機(jī)變?nèi)绾胃鶕?jù)已知的隨機(jī)變XfYX . )(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 記作記作的函數(shù)的函數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量的值的值而取而取的值的值取值取值隨著隨著若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量的集合上的函數(shù)的集合上的函數(shù)的一切可能值的一切可能值是定義在隨機(jī)變量是定義在隨機(jī)變量設(shè)設(shè)一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布下面舉例說明解決辦法下面舉例說明解決辦法 設(shè)設(shè)X X是離散型隨機(jī)變量

3、，則是離散型隨機(jī)變量，則Y=g(X)Y=g(X)一般也一般也是離散型隨機(jī)變量。是離散型隨機(jī)變量。 此時(shí)，只需由此時(shí)，只需由X X分布律求得分布律求得Y Y的分布律即可。的分布律即可。Y 的可能值為的可能值為 ;2,1,0,)1(2222 即即 0, 1, 4.解解0002 XPXPYP,41 .2的分布律求XY Xp2101 41414141例例1 1 設(shè)X的分布率為)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故故Y 的分布律為的分布律為Yp410412141由此可得離散由此可得離散型隨機(jī)變量函型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求法數(shù)分布的求法離散型隨機(jī)變量

4、的函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的分布律為的分布律為若若也是離散型隨機(jī)變量也是離散型隨機(jī)變量其函數(shù)其函數(shù)是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量如果如果XXgYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律為的分布律為則則)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并應(yīng)將相應(yīng)的應(yīng)將相應(yīng)的中有值相同的中有值相同的若若kkpxgX -1 0 1 2 3 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 求求(1)Y=X-1; (2)Y= -2X2的分布律的分布律 練習(xí)練習(xí): : 設(shè)離散型隨機(jī)設(shè)離散型隨機(jī) 變量變量X X的分布律為的分布律為 解: 由X的

5、分布律可得下表 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 3X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18(1)Y=X-1的分布律為的分布律為 Y -2 -1 0 1 2 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 （2）Y= -2X2的分布律為 Y -18 -8 -2 0 P 3/10 3/10 3/10 1/10 二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 yxgXlXyYdxxfdxxflXPyFy)()()(再由FY(y)求導(dǎo)可求出Y的概率密度 )(yFyfYY 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度fx(x)，求Y=g(X) （g連續(xù)）

6、的概率密度。 因?yàn)镕Y(y)=PYy=Pg(X)y，1 1一般方法一般方法分布函數(shù)法分布函數(shù)法可先求出可先求出Y的分布函數(shù)的分布函數(shù)FY(y)：下面舉例說明此法也叫“分布函數(shù)法” 設(shè)ly=x|g(x)y則)()(yFyfyY ,2828 yyfX第二步第二步 由分布函數(shù)求概率密度由分布函數(shù)求概率密度. .d)(28 xxfyX ., 0, 4280,212881)(其其他他所所以以yyyfY ., 0,168,328其其他他yy.82., 0, 40,8)(的概率密度求隨機(jī)變量其他的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量XYxxxfXX第一步第一步 )(yYPyFY 解解例例228( ).YYXFy先求的分布函

7、數(shù)28PXy82yP X82( )dyXfxx例例3 設(shè)設(shè) X 具有概率密度具有概率密度 ,求求Y=X2的概率密度的概率密度.)(xfX)(yXyP求導(dǎo)得求導(dǎo)得0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY當(dāng)當(dāng) y0 時(shí)時(shí),)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故當(dāng)，故當(dāng) y 0時(shí)，時(shí)，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 設(shè)設(shè)Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ，)()(yFyFXX若若exxfX2221 )(x則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為：0, 00,21)(221yyyfeyyY稱稱Y Y服從自由度為服從自由度

8、為1 1的的 分布。分布。2練練 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度.,0)(yFY當(dāng)當(dāng) y 0時(shí)時(shí), 當(dāng)當(dāng) y 1時(shí)時(shí), 1)(yFY10 y x0當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)故故解：注意到解：注意到,當(dāng)當(dāng)00(x)0的情況。此時(shí)的情況。此時(shí)g(x)g(x)在在(-,+ )(-,+ )嚴(yán)格單調(diào)增加，它的反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加，它的反函數(shù)h(y)h(y)存在，且在存在，且在(，)嚴(yán)格單調(diào)增加，可導(dǎo)，現(xiàn)在先來求嚴(yán)格單調(diào)增加，可導(dǎo)，現(xiàn)在先來求Y Y的分布函的分布函數(shù)數(shù)F FY Y(y)(y)。 yhXdxxf因?yàn)橐驗(yàn)閅=g(X)Y=g(X)在在(，)

9、取值，故當(dāng)取值，故當(dāng)yy時(shí)，時(shí)， F FY Y(y)=PYy=0(y)=PYy=0；此定理的證明與前面的解題思路類似此定理的證明與前面的解題思路類似. .當(dāng)當(dāng)yy時(shí)，時(shí)， F FY Y(y)=PYy=1(y)=PYy=1；當(dāng)當(dāng)yy0(x)0(或恒有或恒有g(shù) g (x)0)(x)0)，此時(shí)此時(shí) )(, )(max,)(, )(minbgagbgag 若若g g (x)0, (x)0, 同理可證同理可證 其其他他0)()()( yyhyhfyfXY證證X 的概率密度為的概率密度為.,e21)(222)( xxfxX,)(baxxgy 設(shè)設(shè),)(abyyhx 得得. 01)( ayh知知.)0(,

10、),(2也服從正態(tài)分布也服從正態(tài)分布數(shù)數(shù)的線性函的線性函試證明試證明設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 abaXYXNX例例4 ., 0, )()()(其他其他由公式由公式 yyhyhfyfXY的概率密度為的概率密度為得得baXY .),(1)( yabyfayfXY222)(e211abya .,e2122)(2)( yaaaby)( ,(2abaNbaXY 得得.,2,2,sin的概率密度的概率密度求電壓求電壓試試且有且有是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量相角相角數(shù)數(shù)是一個(gè)已知的正常是一個(gè)已知的正常其中其中設(shè)電壓設(shè)電壓VUAAV 解解上恒有上恒有在在因?yàn)橐驗(yàn)?2,2sin)(Agv, 0cos)( Ag,ar

11、csin)(Avvh 所以反函數(shù)為所以反函數(shù)為,1)(22vAvh 例例5的概率密度為的概率密度為知知又由又由U,2,2 ., 0,22,1)(其他其他f的概率密度為的概率密度為由定理得由定理得AVsin ., 0,11)(22其他其他AvAvAv?)(,)(又怎樣又怎樣是連續(xù)型的是連續(xù)型的若若也是離散型隨機(jī)變量嗎也是離散型隨機(jī)變量嗎則則是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量若若是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè)XXgYXxg 思考思考1：思考思考1，2的舉例見附錄！的舉例見附錄！ 若在上題中若在上題中在在(0(0，)上服從均勻分布，因?yàn)樯戏木鶆蚍植?，因?yàn)榇藭r(shí)此時(shí)v=g()=Asinv=g()=Asin在在

12、(0(0，)上不是單調(diào)函數(shù)，上不是單調(diào)函數(shù)，上述定理失效，此時(shí)方法如何？上述定理失效，此時(shí)方法如何？ 思考思考2：小結(jié)：小結(jié)：求隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法：求隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法：2.2. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 X X(x), y=f(x)(x), y=f(x)連續(xù)連續(xù), , 求求Y= f(X)Y= f(X)的密度函數(shù)的方法有三種：的密度函數(shù)的方法有三種：1.1. 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X X的分布律為的分布律為 PX=xPX=xi i=p=pi i，i=1,2,i=1,2,n ,n , 又又y=f(x)y=f(x)是是x x的連續(xù)函數(shù)，則

13、的連續(xù)函數(shù)，則Y=f(X)Y=f(X)是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，其分布律為其分布律為 PY=f(xPY=f(xi i)=p)=pi i，i=1,2,i=1,2,n ,n , 若某些若某些f(xf(xi i) )相等，將它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可。相等，將它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可。（1 1）分布函數(shù)法；）分布函數(shù)法； ygygygygyXXY2211 （2 2）公式法：公式法：若若y=f(x)y=f(x)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)，則其反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)，則其反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)，此時(shí)可用公式法；嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)，此時(shí)可用公式法；* *（3 3）若若y=f(x)y=f(x)在不相重疊的區(qū)間在不相重疊的區(qū)間I1,I2,I1,I2,上

14、逐段上逐段嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)，其反函數(shù)分別為嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)，其反函數(shù)分別為g1(y), g2(y), g1(y), g2(y), , ,且且g g 1(y), g 1(y), g 2(y), 2(y), , ,均為連續(xù)函數(shù)，則均為連續(xù)函數(shù)，則Y= f(X)Y= f(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量， 其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為 在求在求Y Y= =g g( (X X) ) 分布時(shí)，分布時(shí)，關(guān)鍵步是把關(guān)鍵步是把事件事件 g g( (X X) ) y y 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為X X在一定范圍內(nèi)取值的形在一定范圍內(nèi)取值的形式式，從而可以利用，從而可以利用 X X 的分布來求的分布來求 P P g g( (X X

15、) y y . .本章小結(jié)0 -1 分 布二 項(xiàng) 分 布 B （ n ,p )泊 松 分 布 P ( )離離 散散 型型 分分 布布 律律歸 一 性分 布 函 數(shù) 與 分 布 律 的 互 變概概 率率 計(jì)計(jì) 算算分分 布布 函函 數(shù)數(shù)歸 一 性概概 率率 計(jì)計(jì) 算算單單 調(diào)調(diào) 性性正 態(tài) 分 布 的 概 率 計(jì) 算均 勻 分 布 U (a ,b )正 態(tài) 分 布 N (a , )指 數(shù) 分 布 E （ )連連 續(xù)續(xù) 型型 概概 率率 密密 度度歸歸 一一 性性概概 率率 計(jì)計(jì) 算算分 布 函 數(shù) 與 概 率 密 度 的 互 變隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布2附附 錄錄

16、 思考題思考題1，2舉例舉例思考思考1 1：例：例 設(shè)設(shè)X X在在0,0,服從均勻分布，求：服從均勻分布，求：Y=sinXY=sinX的分布函數(shù)的分布函數(shù)F FY Y(y)(y)和概率密度和概率密度. . 其他其他0), 0(1)(: xxfX （2 2）y=sinxy=sinx在在0,0,不不單調(diào)，但可分為兩單調(diào)區(qū)間單調(diào)，但可分為兩單調(diào)區(qū)間 （0,/2 0,/2 ）(/2 , )(/2 , )解：解：（1 1）（3）求：FY(y)=PYy ，當(dāng)0y1時(shí)，F(xiàn)Y(y) =PsinX y =P0 Xarcsiny +P -arcsiny X yy0 x /2 xx1=arcsinyx2=-arcs

17、iny其他求01012 )()(: )()4(2yyyFyfyfYYYyyydxdxyyarcsin2arcsin1arcsin111arcsinarcsin0 1110arcsin200)(yyyyyFY ?)(,)(又怎樣又怎樣是連續(xù)型的是連續(xù)型的若若也是離散型隨機(jī)變量嗎也是離散型隨機(jī)變量嗎則則是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量若若是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè)XXgYXxg .,.,量量不一定是連續(xù)型隨機(jī)變不一定是連續(xù)型隨機(jī)變那么那么機(jī)變量機(jī)變量是連續(xù)型隨是連續(xù)型隨若若是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量因此因此限多個(gè)限多個(gè)列無列無的取值也是有限個(gè)或可的取值也是有限個(gè)或可因此因此可列無限多個(gè)可列無限多個(gè)它的取值是有限個(gè)或它的取值是有限個(gè)或是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量若若YXYYX思考思考2 2：概率密度為概率密度為上服從均勻分布上服從均勻分布在在設(shè)設(shè),)2, 0(X ., 0, 20,21)(其他其他xxf . 21, 1, 10,)(xxxxgy又設(shè)連續(xù)函數(shù)又設(shè)連續(xù)函數(shù):)()(可以計(jì)算出來可以計(jì)算出來的分布函數(shù)