第四節(jié) 曲面方程

1、v 曲面方程的概念曲面方程的概念v 柱面柱面 第七章第七章 解析幾何向量代數(shù)解析幾何向量代數(shù) v 常見二次曲面常見二次曲面上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 曲面及其方程曲面及其方程v 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面在空間直角坐標系中在空間直角坐標系中, 如果曲面如果曲面 S 與方程與方程F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系有下述關(guān)系:(1) 曲面曲面 S 上任意點的坐標都滿足此方程上任意點的坐標都滿足此方程; F( x, y, z ) = 0 的圖形的圖形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的點的坐標都不滿足方程上的點的坐標都不滿足方程, 則稱則稱F( x, y, z ) = 0 為為曲面曲面

2、S 的方程的方程, 稱曲面稱曲面 S為為方程方程( , , )0F x y z Szyxo上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (1)已知動點的運動規(guī)律已知動點的運動規(guī)律, 求動點坐標滿足的方程求動點坐標滿足的方程;例例1:一動點與二定點一動點與二定點A(2,3, 2)及及B (1, 4,2)等距離等距離,求求動點的軌跡方程動點的軌跡方程.解解: :設(shè)動點坐標為設(shè)動點坐標為M(x, y, z),| |MAMB 222(2)(3)(2)xyz 222(1)(4)(2)xyz 7420 xyz平面方程平面方程故所求方程為故所求方程為0000(,)Mxyz特

3、別地特別地, ,當當球心為坐標球心為坐標原點時原點時, ,球面方程為球面方程為設(shè)球面上動點坐標為設(shè)球面上動點坐標為M(x, y, z),0,M MR 即即依題意依題意半徑為半徑為 R 的球面方程的球面方程.xyzoM0M222000()()()xxyyzzR 2222000()()()xxyyzzR 2222,xyzR 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2. 求球心為求球心為解解: :上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (2)已知曲面方程已知曲面方程F(x,y,z)=0, 求方程所表示的曲面的形狀求方程所表示的曲面的形狀.解解: :22224650 xyzxyz 曲面的曲面的形狀

4、形狀. . 所表示所表示例例3. 研究方程研究方程2(1)x 2(2)y配方得配方得: : 2(3)z9 這方程所表示的是球心在點這方程所表示的是球心在點(1, 2,3) 半徑為半徑為3的球面的球面.1.定義定義.一平面曲線一平面曲線 繞該平面上一條繞該平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. .該定直線稱為該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸. .例如例如 :上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 曲線曲線 C 00),(xzyf繞繞 o z軸軸上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周y zoCx得得 M(x,y,z) SMN), 0(11

5、zyzz 11|y 22xy 11(,)0f y z ：S從而得旋轉(zhuǎn)曲面從而得旋轉(zhuǎn)曲面S方程：方程：N點在曲線點在曲線C上上, 滿足曲線方程滿足曲線方程M,N兩點豎坐標相同兩點豎坐標相同M,N兩點到兩點到oz 軸距離相等軸距離相等22,xy(f)0z 坐標面坐標面yoz面上的曲線面上的曲線 C 00),(xzyf繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：的方程為：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22,xy(f)0z 繞繞 oy 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：的方程為：( ,f y22)0 xz 坐標面坐標面zox面上的曲線面上的曲線 C( , )00g

6、z xy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：的方程為：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22)0 xy ( ,g z繞繞 ox 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：的方程為：(g22,yz)0 x 坐標面坐標面xoy 面上的曲線面上的曲線 C( , )00h x yz 繞繞 ox 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：的方程為：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22)0yz ( ,h x繞繞 oy 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面所得旋轉(zhuǎn)曲面 的方程為：的方程為：(h22,xz )0y xOzy上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 222210

7、xyabz 繞繞 x 軸一周軸一周.例例4. 將下列各曲線繞指定將下列各曲線繞指定軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周, 求生成的旋求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程轉(zhuǎn)曲面的方程1. 雙曲線雙曲線22xa得得2221yzb axyoz上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2.上述雙曲線上述雙曲線繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周. 012222 zbyax 222xza 得得221yb z yox上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 222200zy=abx = 3. 兩條相交直線兩條相交直線繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周.22za得得當當a = b = 1時時,圓錐面為圓錐面為22.zxy 2220 xyb y22xy

8、az .oxz上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 02 xazy4. 拋物線拋物線繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周, 得得a = 1時時, 為為22.zxy yxo) 0()(222 rRryRx 圓圓繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面.上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5.z222()xzR222222222()4()xyzRrRxz 得得22yrxyz引例引例. .方程方程表示什么曲面表示什么曲面?將此直線平行于將此直線平行于 z 軸軸 沿圓沿圓C 移動所形成的曲面，移動所形成的曲面，222xyR解解: :222xyR222,xyR所以在空間所以在空間解析幾何中解析幾何中, ,

9、222xyR過此點作平行過此點作平行 z 軸的直線軸的直線 l ,則此直線則此直線 上的點的坐標都滿足方程上的點的坐標都滿足方程表示表示圓柱面圓柱面. .oC一點一點 1( , ,0),Mx yl1M上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 平面解析幾何平面解析幾何:表示表示 xOy 坐標面上的圓坐標面上的圓.空間解析幾何空間解析幾何: 在在xOy 面上的圓面上的圓C上任取上任取顯然是顯然是.即方程即方程表示的曲面表示的曲面,222xyRxyzxyzo平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 C 移動的動直線移動的動直線 l的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準線準線, l 叫做叫做

10、(直直)母線母線.表示表示2(1)2yx 2222(2)1xyab表示平行于表示平行于 z 軸的軸的.(3)0 xyC表示表示xyzoo上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 l,.一般地一般地,例例5. 畫出下列方程所表示的曲面畫出下列方程所表示的曲面:zxy = 0y2222(4)1xzab o上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 表示表示xzy0母線母線 準線準線 S表示平行于表示平行于z 軸的一張柱面軸的一張柱面上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一般地一般地,F(x,y)=0( , )00F x yz 母線母線準線準線xzy0表示母線平行于表示母線平行于x軸的柱面軸的柱面上頁上

11、頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 同理同理, F(y,z)=0( , )00F y zx 方程方程 F(z,x)=0 表示母線平行于表示母線平行于y 軸的柱面軸的柱面三元二次方程三元二次方程 下面介紹下面介紹 幾種常見的二次曲面幾種常見的二次曲面: 橢球面、拋物面、橢球面、拋物面、通過通過截痕法截痕法研究這幾類二次曲面的特性研究這幾類二次曲面的特性.前面介紹過的雙曲柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面等都是二次曲面前面介紹過的雙曲柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面等都是二次曲面.雙曲面、錐面雙曲面、錐面.表示的曲面稱為表示的曲面稱為二次曲面二次曲面. 222AxByCzDxyEyxFzx 0GxHyIzJ (二次項系數(shù)不全為二次項

12、系數(shù)不全為 0 )上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 為為正正數(shù)數(shù)2222221(, ,)xyza b cabc 標準方程標準方程:(1)范圍：范圍：,xaybzc 1. 橢球面橢球面(2) 截痕截痕截曲面截曲面, ,得得: :22221xyab 0z 用用橢圓橢圓abcy zo截曲面截曲面, ,得得: :11()zzzc 用用2222222222111()()abccxyczcz 橢圓橢圓1z越大越大,橢圓越小橢圓越小,1zc 時時,橢圓縮變?yōu)辄c橢圓縮變?yōu)辄c(0,0,)c 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 為為正正數(shù)數(shù)2222221(, ,)xyza b cabc 截曲面截曲面,

13、,得得: :22221xzac 0y 用用橢圓橢圓abcy zo截曲面截曲面, ,得得: :11()yyyb 用用2222222222111()()acbbxzbyby 橢圓橢圓1y越大越大,橢圓越小橢圓越小,1yb 時時,橢圓縮變?yōu)辄c橢圓縮變?yōu)辄c(0,0)b 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 為為正正數(shù)數(shù)2222221(, ,)xyza b cabc 截曲面截曲面, ,得得: :22221yzbc 0 x 用用橢圓橢圓abc截曲面截曲面, ,得得: :11()xxxa 用用2222222222111()()bcaayzaxax 橢圓橢圓1x越大越大,橢圓越小橢圓越小,1xa 時時,橢圓

14、縮變?yōu)辄c橢圓縮變?yōu)辄c(,0,0)a y zo上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 abcy zo(1) 當當 a, b, c 中有兩個數(shù)相同時中有兩個數(shù)相同時,(2)當當abc 時時,上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 為為正正數(shù)數(shù)2222221(, ,)xyza b cabc 標準方程標準方程:1. 橢球面橢球面注注:方程表示方程表示旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面;方程表示方程表示球面球面.xzy0同同號號22(,)22xyzp qpq (1) 橢圓拋物面橢圓拋物面 標準方程標準方程:上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 拋物面拋物面截痕截痕:( (不不妨妨設(shè)設(shè)0,0)pq 用用z =

15、0截曲面截曲面, 得點得點(0,0,0);截曲面截曲面, ,得得: :11(0)zzz 用用2211122xypzqz 橢圓橢圓1z越大越大,橢圓越大橢圓越大;xzy0同同號號22(,)22xyzp qpq (1) 橢圓拋物面橢圓拋物面 標準方程標準方程:上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 用用y = 0截曲面截曲面, 得得截曲面截曲面, ,得得: :1yy 用用拋物線拋物線22xpz 2212()2yxp zq 拋物線拋物線用用x = 0截曲面截曲面, 得得拋物線拋物線22yqz 截曲面截曲面, ,得得: :1xx 用用2212 ()2xyq zp 拋物線拋物線當當 p=q 時時,注注:

16、方程表示方程表示旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)拋物拋物面面.xzy0同同號號22(,)22xyzp qpq 截痕截痕:雙曲線雙曲線上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (2)雙曲拋物面雙曲拋物面標準方程標準方程:( (不不妨妨設(shè)設(shè)0,0)pq 用用z = 0截曲面得截曲面得,兩條相交直線兩條相交直線截曲面截曲面, ,得得: :1zz 用用2211122xypzqz 22qxpy xzy0同同號號22(,)22xyzp qpq 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (2)雙曲拋物面雙曲拋物面標準方程標準方程:拋物線拋物線截曲面截曲面, ,得得: :1yy 用用2212()2yxp zq 截曲面截曲面, ,得得:

17、:1xx 用用2212 ()2xyq zp 拋物線拋物線xzy0上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 （馬鞍面）（馬鞍面）同同號號22(,)22xyzp qpq (2)雙曲拋物面雙曲拋物面標準方程標準方程:(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面zxy為為正正數(shù)數(shù)2222221 ( , ,)xyza b cabc上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3. 雙曲面雙曲面 xyoz截痕截痕:橢圓橢圓雙曲線雙曲線雙曲線雙曲線標準方程標準方程:截曲面截曲面, ,得：得：1zz 用用22212221zxyabc 截曲面截曲面, ,得：得：1yy 用用22212221yxzacb 截曲面截曲面, ,得：得：1

18、xx 用用22212221xyzbca當當 a=b 時時,注注:方程表示方程表示單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.zxy上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 為為正正數(shù)數(shù)2222221( , ,)xyza b cabc (2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面oxyz無截痕；無截痕；截痕截痕:雙曲線雙曲線雙曲線雙曲線oxyz截曲面截曲面, ,得：得：1zz 用用22212221zxyabc時時，1|zc 兩點兩點.橢圓；橢圓；時時，1|zc 時時，1|zc 截曲面截曲面, ,得：得：1yy 用用22212221yzxcab截曲面截曲面, ,得：得：1xx 用用22212221xzycba 當當 a=b 時時

19、,注注:方程表示方程表示雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.zxy上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 為為正正數(shù)數(shù)2222220( , ,)xyza b cabc 4. 橢圓錐橢圓錐 面面oxyz截痕截痕:雙曲線雙曲線雙曲線雙曲線截曲面截曲面, ,得：得：1zz 用用2221222,zxyabc =0=0時時，1z得點得點(0,0,0);橢圓；橢圓；時時，10z 截曲面截曲面, ,得：得：1yy 用用2221222,yzxcab 截曲面截曲面, ,得：得：1xx 用用2221222xzycba 當當 a=b 時時,注注:方程表示圓錐方程表示圓錐面面.= = 時時，10y兩條相交直線；兩條相交直線；時時，1| 0y = =0 0時時，1x兩條相交直線；兩條相