高數(shù)第一學(xué)期總復(fù)習(xí)一(第六版)

1、期期 末末 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 1 高 等 數(shù) 學(xué)高 等 數(shù) 學(xué) I 一、考試題型 1.計(jì)算題（共（共5道大題，道大題，15小題）小題） 2.證明題（共（共3道大題）道大題） 解題要有過(guò)程, 不能像做填空題(難度：中難度：中)二、復(fù)習(xí)提綱1.習(xí)題復(fù)習(xí) 平時(shí)作業(yè) 教材課后習(xí)題2. 各種問(wèn)題類型和解決方法 第一章第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)重要內(nèi)容: 極限的計(jì)算1.定義2.四則運(yùn)算性質(zhì)3.左右極限4.夾逼準(zhǔn)則5.兩個(gè)特殊極限6.等價(jià)無(wú)窮小替換7.無(wú)窮小的性質(zhì)8.洛比達(dá)法則9.冪指函數(shù)的極限10.通過(guò)函數(shù)極限算數(shù)列極限11.連續(xù)性12.定積分定義kxxx)11 (lim1lim(1) xkkxe

2、x（1） 解：原式=xxx1)1sin(lim2121)1)(1sin(lim221xxxx（2）解：原式=。練習(xí)題：兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注注: 代表相同的表達(dá)式11(3)lim (1)e-=-=30tansinlimxxxx30sin (1cos )limcosxxxxx122201lim2xxx（3） 解：原式=等價(jià)無(wú)窮小替換注意分母中余弦2. 等價(jià)無(wú)窮小替換定理,0時(shí)當(dāng) x sin tan ln(1) 1 arctan arcsinxxxxxexxcos1x,221x11nx,1xn常用等價(jià)無(wú)窮小 :乘除因子可替換，

3、 加減項(xiàng)不可替換xxxx)1212(lim2lim(1)21xxx（4）解：原式=2212122lim(1)21xxxxx1e1221lim ()2122lim(1)21xxxxxx冪指函數(shù)的極限2lim()1xxxx第(4)題這種1也可以通過(guò)另外一種方法來(lái)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。例如：類型,2223112lim(1) 1lim(1) eeexxxxxx221(1)limlim111(1)xxxxxxxxxxxxx)1212(lim2limln(1)21xxxe（4）解：原式2lim()21xxxe1e21ln()21limxxxxe還可以利用對(duì)數(shù)函數(shù)和等價(jià)無(wú)窮小處理21limln()21xxxxe

4、利用加減拆分為（1+#）形式， 化為標(biāo)準(zhǔn)形式 利用除法 利用對(duì)數(shù)，結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小替換1類型處理的三種方法( )lim ( )v xu x( )ln ( )limv xu xelim ( )lim ( )v xu xlim ( )0,lim ( )u xv x 都存在冪指函數(shù)的極限冪指函數(shù)的極限1類型不滿足條件，不能直接取極限5. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式3sin0limln(1 2 )xxxe3sin0lim2xxxe6e機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1關(guān)于無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小求和類型三種類型： 直接求和 放縮后利用夾逼準(zhǔn)則 利用定積分6 求求222111lim2nn

5、nnnn證證: 利用夾逼準(zhǔn)則 .1211222nnnnn22nnn22nn且22limnnnn1lim1nn1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由 11,1,1 ,01,0 xxxxf xxax a f x0 x 000112limlimlim111xxxxxf xxxx 01,fa f x0 x 0lim0 xf xf11,0.aa 0a f x0 x7. 設(shè)當(dāng)取何值時(shí)，在處連續(xù)。又 若在點(diǎn)連續(xù)，則必有所以當(dāng)時(shí),在處連續(xù)。解利用左右極限0sin001sin)(xxxxaxbxxxf)(lim)(lim00 xfxfxxbbxxxfxx)1sin(lim)(l

6、im001sinlim)(lim00 xxxfxx例.設(shè)函數(shù) 問(wèn)(1)ba,)(xf0 x為何值時(shí)，在處有極限存在？)(xf0 x在處有極限存在，即要成立。 因?yàn)?(2)ba,)(xf0 x為何值時(shí)，在處有連續(xù)？解1b0 xa)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxxafb)0(11 ba0 x1b)(lim)(lim00 xfxfxx所以，當(dāng)時(shí)，有成立，即時(shí)，函數(shù)在又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān),（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是 于是有，即時(shí)函數(shù)在處連續(xù)。處有極限存在，所以此時(shí)可以取任意值。20ln(1)8. limseccosxxxx119

7、. lim1lnxxxx11110. lim1ln(2)xxx求極限： 20ln(1)limseccosxxxx20lim1coscosxxxx(8)解:202lim11 coscosxxxx220lim1sinxxx(9)解: 11lim1lnxxxx1ln1lim(1)lnxxxxxx1ln1 1lim1lnxxxxx 1211lim112xxxx用兩次洛比達(dá)111lim1ln(2)xxx11111111ln(2)12limlim1(1)ln(2)ln(2)2121limlim(2)ln(2)1(2)ln(2)1111limlim.ln(2) 1 1ln122xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx (10)解: 含變上限積分的極限去掉積分的兩種方法： 洛比達(dá)法則 中值定理)sin(e2cosxx例例8. 求220(1cos )lim,xexx(cos ,1)x0limxtxtde1cos22x解解:原式0limx00 x2e21洛洛（方法一）（方法二）原式=2122201lim2xexxe120lim1nnxdxx01x1120010,11nnxdxx dxxn（9 ）.求解： 當(dāng)時(shí)，