第三章_泛函分析優(yōu)化模型

1、運籌與優(yōu)化模型運籌與優(yōu)化模型第1節(jié) 泛函的極值問題（變分法）第2節(jié) 最優(yōu)價格模型第3節(jié) 生產(chǎn)計劃模型第4節(jié) 設(shè)備檢查模型第第1節(jié)：泛函的極值問題（變分法）節(jié)：泛函的極值問題（變分法）1、泛函的基本概念、泛函的基本概念2、變分的基本概念、變分的基本概念3、歐拉方程、歐拉方程120 x(t)J(xt) ttddd（1）、若）、若x(t)=t,則則1205J(tt) t6dtx(t)e212tt0eJ(ee ) t12d2x(t)t（2）、若）、若 ，則，則（3）、若）、若 ，則，則142013J(t2t ) t15df0ttJx(t)Ft,x(t),x(t) t d 例例1 最速降線問題最速降線問

2、題如圖，如圖， 一初始速度為一初始速度為零的質(zhì)點，僅受到重力零的質(zhì)點，僅受到重力的作用，沿光滑固定的的作用，沿光滑固定的曲線由定點曲線由定點A A滑行到定滑行到定點點B B( (B B低于低于A A，但不在同，但不在同一鉛直線上一鉛直線上) )為使滑為使滑行的時間最短，問該曲行的時間最短，問該曲線應(yīng)為什么形狀？線應(yīng)為什么形狀？ 通常人們會認為最速降線應(yīng)該是連接通常人們會認為最速降線應(yīng)該是連接A A和和B B的直線段的直線段 牛頓曾經(jīng)作過這個實驗：在鉛直平面內(nèi)，取同樣的兩球，牛頓曾經(jīng)作過這個實驗：在鉛直平面內(nèi)，取同樣的兩球，其中一個沿著圓弧從其中一個沿著圓弧從A A滑到滑到B B，另一個沿直線從

3、，另一個沿直線從A A滑到滑到B B，結(jié)果，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沿圓弧的球先到達發(fā)現(xiàn)沿圓弧的球先到達B B點點 2022-3-29寧德師范高等專科學(xué)校11尼古拉伯努利雅格布雅格布尼古拉約翰約翰尼古拉尼古拉丹尼爾丹尼爾約翰約翰丹尼爾雅格布 貝努利（貝努利（Jacob Bernoulli 1654-1705），著名數(shù)學(xué)家。），著名數(shù)學(xué)家。 他自學(xué)了牛頓和萊布尼茨的微積分，并從他自學(xué)了牛頓和萊布尼茨的微積分，并從16871687年開始年開始 到他去世為止任瑞士巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授。他發(fā)表了到他去世為止任瑞士巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授。他發(fā)表了無窮級數(shù)的論文、研究過許多種特殊曲線、發(fā)明了極坐標(biāo)、引入了在無窮級數(shù)的論文、研究

4、過許多種特殊曲線、發(fā)明了極坐標(biāo)、引入了在tan(tan(x) )函數(shù)的冪級數(shù)展開式中伯努利數(shù)。函數(shù)的冪級數(shù)展開式中伯努利數(shù)。雅可布在雅可布在學(xué)藝學(xué)藝上發(fā)表了一系列重要的論文，微分方程中的上發(fā)表了一系列重要的論文，微分方程中的“伯努利方程伯努利方程”就是雅可布提出的。就是雅可布提出的。16941694年他首先給出直角坐標(biāo)和極年他首先給出直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的曲率半徑公式。這也是系統(tǒng)地使用極坐標(biāo)的開始。坐標(biāo)的曲率半徑公式。這也是系統(tǒng)地使用極坐標(biāo)的開始。16901690年他提年他提出懸鏈線問題，后來雅可布又改變了問題的條件，解決復(fù)雜的懸鏈問出懸鏈線問題，后來雅可布又改變了問題的條件，解決復(fù)雜的懸鏈問題，

5、題，16941694年的論文討論了雙紐線的性質(zhì)。年的論文討論了雙紐線的性質(zhì)?！安p紐線伯努利雙紐線”由此得名。由此得名。雅可布對于對數(shù)螺線有很深入的研究，雅可布對于對數(shù)螺線有很深入的研究，他發(fā)現(xiàn)經(jīng)過各種變換之后，結(jié)他發(fā)現(xiàn)經(jīng)過各種變換之后，結(jié)果還是對數(shù)螺線。果還是對數(shù)螺線。 約翰約翰. .伯努利（伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748Johann Bernoulli 1667-1748），）， 雅可布的弟弟，原來也錯選了職業(yè)，他起先學(xué)醫(yī)，并在雅可布的弟弟，原來也錯選了職業(yè)，他起先學(xué)醫(yī)，并在 16941694年獲得巴塞爾大學(xué)博士學(xué)位，論文是關(guān)于肌肉收縮問年獲得巴塞爾大學(xué)博

6、士學(xué)位，論文是關(guān)于肌肉收縮問題的。但他也愛上了微積分，很快就掌握了它，并用它來解決幾何學(xué)、題的。但他也愛上了微積分，很快就掌握了它，并用它來解決幾何學(xué)、微分方程和力學(xué)上的許多問題。微分方程和力學(xué)上的許多問題。16951695年他任荷蘭戈羅寧根大學(xué)數(shù)學(xué)物年他任荷蘭戈羅寧根大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授，而在他的哥哥雅可布死后繼任巴塞爾大學(xué)教授。理教授，而在他的哥哥雅可布死后繼任巴塞爾大學(xué)教授。16961696年約翰年約翰向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，提出一個很艱難的問題：向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，提出一個很艱難的問題：“設(shè)在垂直平面內(nèi)有設(shè)在垂直平面內(nèi)有任意兩點，一個質(zhì)點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不任意兩點，一個

7、質(zhì)點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？”這就是著名的這就是著名的“最速降線最速降線”問題。它的難處在于和普通的極大極問題。它的難處在于和普通的極大極小值求法不同，它是要求出一個未知函數(shù)（曲線），來滿足所給的條小值求法不同，它是要求出一個未知函數(shù)（曲線），來滿足所給的條件。這問題的新穎和別出心裁引起了很大興趣，羅比塔、伯努利兄弟、件。這問題的新穎和別出心裁引起了很大興趣，羅比塔、伯努利兄弟、萊布尼茨和牛頓都得到了解答。萊布尼茨和牛頓都得到了解答。 丹尼爾丹尼爾. .伯努利（伯努利（Daniel Bernoulli

8、 1700-1782Daniel Bernoulli 1700-1782），）， 起初也像他父親弟約翰起初也像他父親弟約翰. .伯努利一樣學(xué)醫(yī)，寫了一篇關(guān)于伯努利一樣學(xué)醫(yī)，寫了一篇關(guān)于 肺的作用的論文獲得醫(yī)學(xué)學(xué)位，并且也像他父親一樣馬肺的作用的論文獲得醫(yī)學(xué)學(xué)位，并且也像他父親一樣馬上放棄了醫(yī)學(xué)而改攻他天生的專長。他在概率論、偏微分方程、物理上放棄了醫(yī)學(xué)而改攻他天生的專長。他在概率論、偏微分方程、物理和流體動力學(xué)上都有貢獻。而最重要的功績是在流體動力學(xué)上，其中和流體動力學(xué)上都有貢獻。而最重要的功績是在流體動力學(xué)上，其中的的“伯努利定理伯努利定理”就是他的貢獻。他曾經(jīng)榮獲法國科學(xué)院獎金次就是他的貢

9、獻。他曾經(jīng)榮獲法國科學(xué)院獎金次之多，其中就包括那項惹他父親惱怒的獎。之多，其中就包括那項惹他父親惱怒的獎。歲的丹尼爾在彼得堡解決了黎卡提方程的解。并發(fā)表了一系歲的丹尼爾在彼得堡解決了黎卡提方程的解。并發(fā)表了一系列的科學(xué)論著。年回到巴塞爾，先后擔(dān)任巴塞爾大學(xué)的植物列的科學(xué)論著。年回到巴塞爾，先后擔(dān)任巴塞爾大學(xué)的植物學(xué)、解剖學(xué)與物理學(xué)教授。以歲高齡離開人世，許多人認為他是學(xué)、解剖學(xué)與物理學(xué)教授。以歲高齡離開人世，許多人認為他是第一位真正的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。第一位真正的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。 返回返回由弧微分由弧微分 可得可得以以s表示曲線從點表示曲線從點A A算起到算起到p( (x, ,y) )的弧長，有的弧

10、長，有 mgymv 221gyv2dtdsv dxyds2) (1gydxygydsvdsdt2) (122即即從而整個下降時間從而整個下降時間t就是就是 的積分，即確定函數(shù)的積分，即確定函數(shù)y( (x) )使使 由變分法理論知由變分法理論知(3-1-1)(3-1-1)式滿足下面的方程：式滿足下面的方程：vdsdt dxgyyxyttx1022) (1)(取極小值這是泛函中的極值問題令取極小值這是泛函中的極值問題令 gyyyyF2) (1) ,(21cFyyF(3-1-1)顯然顯然(3-1-2)(3-1-2)式還要滿足初始條件式還要滿足初始條件 0)0(y將上式化簡得將上式化簡得 即即 122

11、2) (1) (121cgyyyyygycyy1 2(3-1-2)只要解出只要解出(3-1-2)(3-1-2)式，并代入初始條件就知道了最式，并代入初始條件就知道了最速降線究竟是什么樣的曲線速降線究竟是什么樣的曲線. .無法直接用無法直接用DSolveDSolve解出解出 ，用換元法令，用換元法令 ，再由，再由 可解出可解出 ( (另一個解舍去，為什么？另一個解舍去，為什么？) )， 所以所以 ，然，然后積分得到后積分得到 ，即得到一個參數(shù)解即得到一個參數(shù)解.cyy1 2)2cos1 (21tcycyy1 21ycyx/xydtdydtdydydxdtdx)(txx 2 泛函的核泛函的核 泛函

12、通常以泛函通常以積分形式積分形式出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線落徑問題的表達式更為一般而又典型的泛函定義為落徑問題的表達式更為一般而又典型的泛函定義為 ( )( , ,)dbaJ y xF x y yx其中其中 ( , ,)F x y y)(),(,(xyxyxF稱為泛函的核稱為泛函的核 3 求泛函極值方法求泛函極值方法變分法變分法對于不同的自變量函數(shù)對于不同的自變量函數(shù) ( )y x，與此相應(yīng)的泛函，與此相應(yīng)的泛函 ( )J y x也有不同的數(shù)值找出一個確定的自變量函數(shù)也有不同的數(shù)值找出一個確定的自變量函數(shù) ( )y x，使泛函，使泛函 ( )J y x 具有極值（

13、極小或極大），這種泛函的極小值與極大具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大值統(tǒng)稱為值統(tǒng)稱為泛函的極值泛函的極值引入泛函的概念后，對于上述的最速降線落徑問題變引入泛函的概念后，對于上述的最速降線落徑問題變 ( )J y x為泛函為泛函的極小值問題物理學(xué)中常見的有光學(xué)的極小值問題物理學(xué)中常見的有光學(xué)中的中的費馬費馬(Fermat)原理原理，分析力學(xué)中的，分析力學(xué)中的哈密頓哈密頓(Hamiton)原理原理等，都是泛函的極值問題等，都是泛函的極值問題定義定義3 變分法變分法所謂的變分法所謂的變分法就是求泛函極值的方法就是求泛函極值的方法研究泛函極值問題的方法可以歸為兩類：一類叫研究泛函極值問題

14、的方法可以歸為兩類：一類叫直接法直接法， 即即直接分析所提出的問題直接分析所提出的問題；另一類叫；另一類叫間接法間接法，即把，即把問題問題轉(zhuǎn)化為求解微分方程轉(zhuǎn)化為求解微分方程為討論間接方法，先介紹變分和泛為討論間接方法，先介紹變分和泛函的變分函的變分 變分變分 定義定義4： 變分變分 如果我們將泛函取極值時的函數(shù)（或函數(shù)曲線）定義為如果我們將泛函取極值時的函數(shù)（或函數(shù)曲線）定義為 ( );y x并定義與函數(shù)曲線并定義與函數(shù)曲線 ( )y x鄰近的曲線（或略為變形的鄰近的曲線（或略為變形的曲線）作為比較曲線，記為曲線）作為比較曲線，記為( , )( )( )y xy xx( , )( )( )y

15、 xy xx其中其中 是一個小參數(shù)；是一個小參數(shù)； ( )x是一個具有二階導(dǎo)數(shù)的任意是一個具有二階導(dǎo)數(shù)的任意選定函數(shù)，規(guī)定選定函數(shù)，規(guī)定 它在一個小范圍內(nèi)變化，這限制主要保證泛它在一個小范圍內(nèi)變化，這限制主要保證泛函在極值處連續(xù)在研究泛函極值時，通常將函在極值處連續(xù)在研究泛函極值時，通常將 ( )x固定，固定，而令而令變化，這樣規(guī)定的變化，這樣規(guī)定的好處好處在于：建立了由參數(shù)在于：建立了由參數(shù) 到泛函到泛函 ( )J y x值之間的對應(yīng)關(guān)系，因此泛函值之間的對應(yīng)關(guān)系，因此泛函 ( )J y x就成為了參數(shù)就成為了參數(shù) 的普通函數(shù)原來泛函的極值問題就成為的普通函數(shù)原來泛函的極值問題就成為普通函數(shù)

16、對普通函數(shù)對 的求極值的問題同時，函數(shù)曲線的求極值的問題同時，函數(shù)曲線 ( )y x的的變分定義變分定義為為0( , )|( )dyy xx(3.1.3)因此可得因此可得 ( )dyx(3.1.4)這里這里 ,y代表對代表對x求一階導(dǎo)數(shù)求一階導(dǎo)數(shù) 所以所以 ddyyx(3.1.5)即變分和微分可以交換次序即變分和微分可以交換次序 泛函的變分泛函的變分定義定義 4 泛函的變分泛函的變分 泛函的增量泛函的增量 變分問題變分問題泛函的變分定義為泛函的變分定義為()dbaFFJyyxyy (3.1.6)在極值曲線在極值曲線 ( )y x附近，附近，泛函泛函 ( )J y x的增量的增量，定義為，定義為

17、 ( , ) ( )JJ y xJ y x(3.1.7)依照上述約定，當(dāng)依照上述約定，當(dāng) 0時，泛函增量時，泛函增量 J的線性的線性主要部分定義為主要部分定義為泛函的變分泛函的變分，記為，記為 0|dJJ (3.1.8) 在求一元或多元函數(shù)的極值時，微分起了很大的作用；在求一元或多元函數(shù)的極值時，微分起了很大的作用；同樣在研究泛函極值問題時，變分起著類似微分的作用因同樣在研究泛函極值問題時，變分起著類似微分的作用因此，通常稱泛函極值問題為此，通常稱泛函極值問題為變分問題變分問題；稱求泛函極值的稱求泛函極值的方法為變分法方法為變分法例例 3 計算泛函的變分計算泛函的變分【解解】 1721 ( )

18、()dJ y xy exyx1172711111771111111 ( )()d(2)dd 2dd2d|d 2dJ y xyexyxxy y eyxxy y xey xxy y x eyxxy y x注意：注意：最后一步利用了一般在邊界上函數(shù)變分為零的事實，即最后一步利用了一般在邊界上函數(shù)變分為零的事實，即 711|0ey二、二、 泛函的極值泛函的極值 泛函的極值問題，一般來說是比較復(fù)雜的因為它泛函的極值問題，一般來說是比較復(fù)雜的因為它與泛函包含的自變量個數(shù)，未知函數(shù)的個數(shù)以及函數(shù)導(dǎo)與泛函包含的自變量個數(shù)，未知函數(shù)的個數(shù)以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等相關(guān)另外，在求泛函極值時，有的還要加數(shù)的階數(shù)等相關(guān)另外

19、，在求泛函極值時，有的還要加約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等下面我約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等下面我們首先討論泛函的極值的們首先討論泛函的極值的必要條件必要條件 泛函的極值的必要條件泛函的極值的必要條件歐拉拉格朗日方程歐拉拉格朗日方程 設(shè)設(shè) ( )J y x的極值問題有解的極值問題有解( )yy x（3.1.9） 現(xiàn)在推導(dǎo)這個解所滿足的現(xiàn)在推導(dǎo)這個解所滿足的常微分方程常微分方程，這是用，這是用間接法間接法研究泛函極值問題的重要一環(huán)研究泛函極值問題的重要一環(huán)設(shè)想這個解有變分設(shè)想這個解有變分 ( )x則則 ( )( )J y xx可視為參數(shù)可視為參數(shù) 的函數(shù)的函數(shù) ( ) (

20、)( ).J y xx而當(dāng)而當(dāng) 0時，時， ( )( )( )y xxy x對應(yīng)于式對應(yīng)于式(17.2.1),即為即為 ( )( )J y xx取極值于是原來的泛函極值取極值于是原來的泛函極值問題，就化為一個求普通函數(shù)問題，就化為一個求普通函數(shù) ( )的極值問題由函數(shù)的極值問題由函數(shù)取取極值的必要條件極值的必要條件，有，有0d|0d即有即有 0|0J（3.1.10） 1. 泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式的積分形式泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式，泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式， 即（即（1

21、） ( )( , ,)baJ y xF x y y dx若考慮兩端固定邊界的泛函問題若考慮兩端固定邊界的泛函問題：積分是在區(qū)域內(nèi)通過兩點積分是在區(qū)域內(nèi)通過兩點 1122(,),(,)x yxy的任意曲線進行的，其中的任意曲線進行的，其中 12,xa xb泛函中泛函中 y為為( , )( )( )y xy xx由于由于兩端固定兩端固定，所以要求，所以要求 ( )0, ( )0ab，即，即 |0,|0 x ax byy由由(17.1.8)，有，有 0 ( )( )|d ( )d( )d d dbabaJ y xxJFFxxxyyFFyyxyy（3.1.11） 式式(3.1.11)的積分號下既有的積

22、分號下既有 y，又有，又有 y，對第二項，對第二項應(yīng)用分部積分法可使積分號下出現(xiàn)應(yīng)用分部積分法可使積分號下出現(xiàn)yd|()ddbbaaFFFJyy xyyxy(3.1.12)根據(jù)（根據(jù)（3.1.10）,所以所以 0|0JJd ,再根據(jù)再根據(jù)（3.1.12）故有故有d|()d0dbbaaFFFJyy xyyxy（3.1.13） 因為因為 |0,|0 x ax byy并且并且 y是任意的，所以是任意的，所以 d()0dFFyxy (3.1.14) 上式上式(3.1.14)稱為稱為歐拉（歐拉（Euler）拉格朗日（）拉格朗日（Lagrange）方程，簡稱為方程，簡稱為E-L方程方程 此即泛函取極值的必

23、要條件即泛函此即泛函取極值的必要條件即泛函 J的極值函數(shù)的極值函數(shù) ( )y x必須是滿足泛函的變分必須是滿足泛函的變分 0J的函數(shù)類的函數(shù)類 ( )y x因此，因此， 把泛函的極值問題稱為變分問題把泛函的極值問題稱為變分問題 注明注明：E-L方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件如果討論充分條件，則要計算二階變分，并考慮其正、負值如果討論充分條件，則要計算二階變分，并考慮其正、負值,但對但對于實際問題中，當(dāng)泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往于實際問題中，當(dāng)泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往間接地在問題的提法中就可以肯定，所以極值的存在

24、性是不成問間接地在問題的提法中就可以肯定，所以極值的存在性是不成問題的，只要解出題的，只要解出E-L方程，就可以得到方程，就可以得到泛函的極值泛函的極值E-L方程除了上面給出的形式方程除了上面給出的形式(3.1.14)之外之外，另外還有四種特殊情況：另外還有四種特殊情況：(1) F不顯含不顯含 x( ,),FF y y且且 0Fx因為因為ddd()()()dddFFFFFFFyyyxyxyxyyxy若若 0,y E-L方程等價于方程等價于 FFycy （3.1.15）(2) F不依賴于不依賴于 y( ,),FF x y且且 0Fy則則E-L方程化為方程化為d()0, dFFcxyy （3.1.

25、16）(3) F不依賴于不依賴于 y( , ),FF x y且且 0Fy則則E-L方程化為方程化為0Fy（3.1.17）由此可見由此可見 F僅為僅為 x的函數(shù)的函數(shù) (4) F關(guān)于關(guān)于 y是線性的：是線性的： ( , ,)( , )( , )F x y yf x yg x y y則則E-L方程化為方程化為0fgyx （3.1.18） 對于含有一個自變量，多個變量函數(shù)，以及有較高階變量對于含有一個自變量，多個變量函數(shù)，以及有較高階變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的泛函，類似上面的推導(dǎo)可得如下結(jié)論：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的泛函，類似上面的推導(dǎo)可得如下結(jié)論：2. 泛函表示為多個函數(shù)的積分形式泛函表示為多個函數(shù)的積分形式1122 (

26、)( ,)dbnnaJ y xF x y y yyyyx|0, |=0 (1,2, )ix aix byyin則與此泛函極值問題相應(yīng)的則與此泛函極值問題相應(yīng)的E-L方程為方程為d()0 (1,2, )diiFFinyxy（3.1.19）3. 泛函的積分形式中含有高階導(dǎo)數(shù)泛函的積分形式中含有高階導(dǎo)數(shù)( ) ( )( , ,)dbnaJ y xF x y y yyx(1)( )( )( )0ny ay ay a(1)( )( )( )0ny by by b與此泛函極值問題相應(yīng)的與此泛函極值問題相應(yīng)的E-L方程為方程為22( )ddd()()( 1)()0dddnnnnFFFFyxyxyxy （3.

27、1.20）4.泛函的積分形式中含有多元函數(shù)泛函的積分形式中含有多元函數(shù)( , )u x y, x y設(shè)設(shè)為為的二元函數(shù)，則的二元函數(shù)，則22111212( , , ,)d d( , )(, )( ,)( ,)0 xyxyxyJF x y u u ux yu x yu xyu x yu x y 與此泛函極值問題相應(yīng)的與此泛函極值問題相應(yīng)的E-L方程為方程為()()0 xyFFFuxuyu（3.1.21）例例17.2.1 試求解最速降線落徑問題，即變分問題試求解最速降線落徑問題，即變分問題21d02BAyxgy【解解】目前，我們只能用間接方法來求解，由于目前，我們只能用間接方法來求解，由于212y

28、Fgy不顯含不顯含 x，故其故其E-L方程為（方程為（3.1.15）0221122yyFFyygycyygy令令 02cgc，故有，故有 221(1)yyc令令 121cc，分離變量得到，分離變量得到1dd ycyxy再令再令 12sin2cy，代入上式得到，代入上式得到112dsind(1cos )d22cxc即得到即得到121(sin)2(1c o s2)cccxy此即為擺線的參數(shù)方程，積分常數(shù)可由初始位置此即為擺線的參數(shù)方程，積分常數(shù)可由初始位置 （圖（圖17.1的的A,B兩點）決定兩點）決定4 泛函的條件極值問題泛函的條件極值問題 在許多泛函的極值問題中，變量函數(shù)還受到一些附加條件在許

29、多泛函的極值問題中，變量函數(shù)還受到一些附加條件的限制，其中最常見和重要的一種是以的限制，其中最常見和重要的一種是以積分形式表示的限制積分形式表示的限制條件條件( , ,)dbaG x y yxl （3.1.22）即所謂的即所謂的等周問題等周問題：01 ( )( , ,)d , ( ), ( )( , ,)d babaJ y xF x y yxy ayy byG x y yxl (3.1.23) （注：這種問題之所以稱為等周問題，是因為在歷史上起源注：這種問題之所以稱為等周問題，是因為在歷史上起源于求一條通過兩點，長度固定為于求一條通過兩點，長度固定為l的曲線的曲線 ( ),y x使面積使面積

30、( )dbaSy xx取極大值）取極大值）其中其中 01,l yy為常數(shù)此類問題可以仿照普通函數(shù)的為常數(shù)此類問題可以仿照普通函數(shù)的條件極值問題的拉格朗日乘子法即將附加條件條件極值問題的拉格朗日乘子法即將附加條件(4.1.22)乘以乘以參數(shù)，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到參數(shù)，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到 ( ; ,)( ; ,)d0baF x y yG x y yx于是問題轉(zhuǎn)化為不帶條件的由上式所表示的變分問題于是問題轉(zhuǎn)化為不帶條件的由上式所表示的變分問題 其對應(yīng)的其對應(yīng)的E-L方程為方程為d()0dFGFGyyxyy這是通過這是通過 a和和 b兩點的兩點的 ( )y

31、 x之下使之下使泛函取極值的必要條件泛函取極值的必要條件它實際上是一個關(guān)于它實際上是一個關(guān)于 在在附加條件（附加條件（3.1.22）( )y x的二階常微分方程其通解中含有三個參數(shù)，即的二階常微分方程其通解中含有三個參數(shù)，即和兩個積分和兩個積分常數(shù)它們可由條件常數(shù)它們可由條件 01( ), ( )y ayy by（3.1.22）來確定）來確定 .和附加條件和附加條件 例例5 求求 120 ( )() dJ y xyx的極值，其中的極值，其中 y是歸一化的，即是歸一化的，即 120d1yx ，且已知，且已知 (0)0, (1)0.yy【解解】本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題本題是求泛函

32、的條件極值問題，可化為變分問題1220()d0yyx 對應(yīng)的對應(yīng)的E-L方程為方程為0yy其通解為其通解為cossin (0)yAxBx代入附加條件代入附加條件 (0)0, (1)0.yy得到得到( )sin( ) (1,2,)nnyxcn xn代入歸一化條件得到代入歸一化條件得到1220sin ( )d1ncn x x 于是得到于是得到 2nc ，故原極值問題的解為，故原極值問題的解為2sin( )nyn x 而題中要求的泛函而題中要求的泛函 120() dyx的極值為的極值為12222202 cos ( )dnn xxn當(dāng)當(dāng) 1n 時，極值函數(shù)時，極值函數(shù) 1( )2siny xx 使得泛

33、函數(shù)取得最小值使得泛函數(shù)取得最小值 2例例6 求泛函求泛函 20 (2 cos )dJ yyyxx在條件在條件 (0)0, ()0yy下的極值曲線下的極值曲線.【解解】 此時此時 xyyyyxFcos2),(2 ,則偏導(dǎo)數(shù)則偏導(dǎo)數(shù) yFxFyy2,cos2.對應(yīng)的對應(yīng)的Euler方程為方程為0cos xy其通解為其通解為 21cosCxCxy,代入邊界條件可得代入邊界條件可得 12C 12C,所以所以極值曲線為極值曲線為 2cos1yxx泛函極值問題的求解泛函極值問題的求解,通常有兩種結(jié)果：通常有兩種結(jié)果：（i）解析解）解析解 由變分法得到的由變分法得到的E-L方程求解，一般來說，是很困難的方

34、程求解，一般來說，是很困難的但在分析力學(xué)中往往還是采用這一辦法來求解因為歷史悠但在分析力學(xué)中往往還是采用這一辦法來求解因為歷史悠久，它自有一套辦法久，它自有一套辦法（ii）近似解）近似解 所謂近似解即由泛函本身出發(fā)，而不需求解所謂近似解即由泛函本身出發(fā)，而不需求解E-L方程，方程，直接求得所需要的解直接求得所需要的解極值曲線極值曲線 ( )y x因此，常常稱它為研究泛函極值問題的直接法因此，常常稱它為研究泛函極值問題的直接法 下面我們以一個典型的實例來描述泛函的極值問題在下面我們以一個典型的實例來描述泛函的極值問題在數(shù)學(xué)物理問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)物理問題中的應(yīng)用.例例7 假設(shè)大氣的光折射率假設(shè)大氣的

35、光折射率 n只依賴于高度只依賴于高度 y（1）利用費馬（）利用費馬（Fermat）原理導(dǎo)出在大氣中光線軌跡的微）原理導(dǎo)出在大氣中光線軌跡的微分方程；分方程；（2）設(shè)有一與水平成角度）設(shè)有一與水平成角度 0的方向上拋出的球，如果的方向上拋出的球，如果 2201nny，其中，其中 0n和被拋出多遠？被拋出多遠？為常數(shù)，試求此球為常數(shù)，試求此球【解解】 （1）根據(jù)費馬原理根據(jù)費馬原理：光線的實際路徑上，光程的變：光線的實際路徑上，光程的變分為零分為零21d0ttn l （3.1.23）其中其中 n為介質(zhì)中的光折射率，為介質(zhì)中的光折射率， dl元上述問題也可表示為如下元上述問題也可表示為如下泛函極值問

36、題泛函極值問題：為沿光線進行方向的路程為沿光線進行方向的路程2( )( ) 1dbaI y xn yyx（3.1.24）由于由于 ( , ,)F x y y不顯含不顯含 x，根據(jù)公式，根據(jù)公式(4.1.15)，可得首，可得首次積分次積分02( ) 1n ycy （3.1.25）其中其中 0c為常數(shù)，若為常數(shù)，若 為路徑的切線和鉛垂線所構(gòu)成為路徑的切線和鉛垂線所構(gòu)成的角度，即的角度，即 2d1cot , sind1yyxy （3.1.26）若如果折射率若如果折射率 n是位置的連續(xù)函數(shù)，這意味著是位置的連續(xù)函數(shù)，這意味著 ( )sinn y沿著路徑是一常數(shù)若應(yīng)用到分界面上，沿著路徑是一常數(shù)若應(yīng)用到

37、分界面上，就得到就得到光學(xué)中的折射定律（光學(xué)中的折射定律（Snells law）1122sinsinnn （3.1.27）在大氣中光線軌跡的微分方程，由公式在大氣中光線軌跡的微分方程，由公式(4.1.25)得到得到2200d1( )dynycxc（3.1.28）(2) 由題中條件和圖由題中條件和圖3.1.2，定義球的軌跡的最高高度為，定義球的軌跡的最高高度為 H，即，即 221101022200, ( ), ()122yn yn yHn ynH y x A B (x,y) 圖 19.1 圖圖3.1.設(shè)球拋出的距離為設(shè)球拋出的距離為 d，由公式（，由公式（17.3.6）得到）得到00202200

38、0cos2d2d2cos2( )dHcdxynyc （3.1.30）故利用公式（故利用公式（17.3.5），有），有22000cos1nnH解得解得0sinH （3.1.29） 利潤利潤= 銷售收入與生產(chǎn)成本之差銷售收入與生產(chǎn)成本之差 設(shè)每件商品的售價為設(shè)每件商品的售價為p 成本為成本為q 銷售量（也是產(chǎn)量）為銷售量（也是產(chǎn)量）為Q 銷售收入和生產(chǎn)成本分別為銷售收入和生產(chǎn)成本分別為 R = pQ , C = qQ在市場竟?fàn)幍那闆r下，銷售量在市場竟?fàn)幍那闆r下，銷售量Q自然取決于價格自然取決于價格p, 記為記為 Q = f ( p)f 稱為需求函數(shù)，它當(dāng)然是稱為需求函數(shù)，它當(dāng)然是p的降函數(shù)。這樣，

39、當(dāng)?shù)慕岛瘮?shù)。這樣，當(dāng)q是常數(shù)時，是常數(shù)時，收入收入R和成本和成本C都是都是p的函數(shù)，利潤的函數(shù)，利潤U可以表示為可以表示為U ()=R ()C ()=() f ( p)顯然，使利潤顯然，使利潤U ()達到最大值的最優(yōu)價格達到最大值的最優(yōu)價格*可由可由 (3.2.1)得到，即有得到，即有 (3.2.2) 在數(shù)量經(jīng)濟學(xué)中，在數(shù)量經(jīng)濟學(xué)中，dR/dp 稱為邊際收入，它是稱為邊際收入，它是價格變動一個單位時，收入的改變量；價格變動一個單位時，收入的改變量；dC/dp稱為稱為邊際成本，它是價格變動一個單位時成本的改變量。邊際成本，它是價格變動一個單位時成本的改變量。 結(jié)論：結(jié)論： 最優(yōu)經(jīng)濟效益在邊際收入

40、等于邊際成本時達到最優(yōu)經(jīng)濟效益在邊際收入等于邊際成本時達到 -經(jīng)濟學(xué)中一條著名定律。經(jīng)濟學(xué)中一條著名定律。dUdppp*0dRdpdCdppppp*下面分三種情況，對最優(yōu)價格做進一步的分析。下面分三種情況，對最優(yōu)價格做進一步的分析。 1. 假設(shè)在整個供銷過程中，假設(shè)在整個供銷過程中，q不變，需求函數(shù)不變，需求函數(shù)為為 f ( p)=ab p （a , b 0） (3.2.3) 試制定一個不變的最優(yōu)價格。試制定一個不變的最優(yōu)價格。 將（將（2.1.3）代入（）代入（2.1.1）式，得）式，得 U ( p)=( pq)(ab p) (3.2.4)容易得到最優(yōu)價格為容易得到最優(yōu)價格為 p*= (3.

41、2.5)abqbqab222為了分析（為了分析（3.2.5）中）中p*的內(nèi)在含義，的內(nèi)在含義，需要了解需要了解a, b的含義。由的含義。由(3.2.3)式，式，a可可以解釋為以解釋為“絕對絕對”需求量需求量, 即這種產(chǎn)品免即這種產(chǎn)品免費供應(yīng)時社會的需求量。并且費供應(yīng)時社會的需求量。并且b = | dQ / dp | 表示價格上漲一個單位時，銷售量表示價格上漲一個單位時，銷售量的下降，它反映市場需求對價格的敏感的下降，它反映市場需求對價格的敏感程度。在實際工作中，程度。在實際工作中，a, b 可由統(tǒng)計數(shù)可由統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合得到。據(jù)用最小二乘法擬合得到。(3.2.5)式表式表明，最優(yōu)價格由

42、兩部分組成，一是成本明，最優(yōu)價格由兩部分組成，一是成本q的一半，另一部分與的一半，另一部分與“絕對絕對”需求量成需求量成正比，與市場對價格的敏感系數(shù)成反比。正比，與市場對價格的敏感系數(shù)成反比。 2. 在時間為在時間為T的銷售過程中，的銷售過程中，q不變，單位時間不變，單位時間的需求函數(shù)仍用的需求函數(shù)仍用(3.2.3)式表示，要求總銷售式表示，要求總銷售量為量為Q。試制訂最優(yōu)價格函數(shù)。試制訂最優(yōu)價格函數(shù)p(t)。 這種情況下的利潤為這種情況下的利潤為 (3.2.6) 并且要滿足并且要滿足 (3.2.7) 問題歸結(jié)為在問題歸結(jié)為在(4.2.7)式約束下求泛函式約束下求泛函U(pt)的極值。的極值。

43、 U p tp tq abp t dtT( ( ) ( )( )0 ( )abp t dtQT0 利用利用lagrange乘子法化為無條件極值問題，做泛函乘子法化為無條件極值問題，做泛函 J(p(t)= (3.2.8)注意到積分中不出現(xiàn)注意到積分中不出現(xiàn)p(t),其其Euler方程為方程為 (3.2.9)解得解得 (3.2.10) (3.2.10)式表明，最優(yōu)價格仍為常數(shù)。為了確定參數(shù)式表明，最優(yōu)價格仍為常數(shù)。為了確定參數(shù)，代入，代入(3.2.7)式：式： 解出解出后，代入后，代入(3.2.10)式可得式可得 (0tT) (3.2.11) ( )( )( )p tq abp tabp tdtT

44、0ddppq abpabp()()()0 pabqb()2()aabqdtQT20paTQbT將將(3.2.11)與與(3.2.5)式相比較可知，最優(yōu)價式相比較可知，最優(yōu)價格與格與a,b的關(guān)系是類似的，但是在有銷售時間的關(guān)系是類似的，但是在有銷售時間T和總售量和總售量Q的限制時，最優(yōu)價格與成本的限制時，最優(yōu)價格與成本q無無關(guān)關(guān),它應(yīng)隨著它應(yīng)隨著T的增加而提高，隨著的增加而提高，隨著Q的增加而的增加而降低。還應(yīng)該指出，為使降低。還應(yīng)該指出，為使(3.2.11)中的中的p0，必須必須aTQ，這是顯然成立的，因為，這是顯然成立的，因為aT是時間是時間T內(nèi)的內(nèi)的“絕對絕對”銷售量。銷售量。 3. 假設(shè)

45、需求函數(shù)與總銷售量仍用假設(shè)需求函數(shù)與總銷售量仍用(3.2.3)和和(3.2.7)式表示。同時由于銷售過程中存儲費、變質(zhì)損式表示。同時由于銷售過程中存儲費、變質(zhì)損失費等因素的影響，成本失費等因素的影響，成本q不再是常數(shù)，它的不再是常數(shù)，它的相對增長率是相對增長率是 (0),即設(shè)即設(shè) (3.2.12)如果如果 則可以解出則可以解出 (3.2.13)d qd tqqqt00 q tq et( ) 0 為了求解這種情況下的最優(yōu)價格函數(shù)為了求解這種情況下的最優(yōu)價格函數(shù)p(t)，只須，只須將將(4.2.13)式中的式中的q(t)代替代替(3.2.9)式中的式中的q，得，得 (3.2.14)將將(3.2.1

46、4)式代入式代入(3.2.7)式確定式確定后，可得后，可得 (3.2.15)為了更清楚地看出為了更清楚地看出(3.2.15)式表示的關(guān)系，式表示的關(guān)系，當(dāng)當(dāng)1時利用近似式時利用近似式 ，(3.2.15)式可表式可表示為示為 (3.2.16) ptab qebt( )()02p taTQ abq eb aTbqett( )()()()001p taTQbTqaTQT abqt( )()()00ett1結(jié)果表明，由于成本結(jié)果表明，由于成本q(t)隨時間不斷隨時間不斷變化，最優(yōu)價格變化，最優(yōu)價格p(t)也應(yīng)不斷上漲。在實也應(yīng)不斷上漲。在實際工作中，可用階梯函數(shù)近似代替際工作中，可用階梯函數(shù)近似代替(

47、3.2.16)式中的線性函數(shù)。式中的線性函數(shù)。 第第3 3節(jié)節(jié) 生產(chǎn)計劃模型生產(chǎn)計劃模型 考慮這樣一種實際問題，工廠與客戶簽訂了一項在時間考慮這樣一種實際問題，工廠與客戶簽訂了一項在時間T T內(nèi)提交內(nèi)提交Q Q件產(chǎn)品的合同，由于產(chǎn)品含易腐物質(zhì)，存儲量和存儲費件產(chǎn)品的合同，由于產(chǎn)品含易腐物質(zhì)，存儲量和存儲費必須考慮。試制訂生產(chǎn)計劃（產(chǎn)量與時間的函數(shù)），使總費用必須考慮。試制訂生產(chǎn)計劃（產(chǎn)量與時間的函數(shù)），使總費用（生產(chǎn)費用和存儲費用）最小。（生產(chǎn)費用和存儲費用）最小。 要解決這個問題，必須知道生產(chǎn)費存儲費與產(chǎn)量的關(guān)系，為要解決這個問題，必須知道生產(chǎn)費存儲費與產(chǎn)量的關(guān)系，為此必須提出合理的假使，這

48、里，我們不妨先考慮一個具有普遍意此必須提出合理的假使，這里，我們不妨先考慮一個具有普遍意義的模型，然后再看看需要做哪些假設(shè)。義的模型，然后再看看需要做哪些假設(shè)。 記開始生產(chǎn)的時刻是記開始生產(chǎn)的時刻是t=0,t=0,到時刻到時刻t t為止的產(chǎn)量是為止的產(chǎn)量是x(t),x(t),于是時于是時刻刻t t的生產(chǎn)率（單位時間的產(chǎn)量）是的生產(chǎn)率（單位時間的產(chǎn)量）是x(t),x(t),通常的情況是，（單通常的情況是，（單位時間的）生產(chǎn)費取決于生產(chǎn)率，記作位時間的）生產(chǎn)費取決于生產(chǎn)率，記作f(x(t),f(x(t),而（單位時間而（單位時間的）存儲費取決于產(chǎn)量，記作的）存儲費取決于產(chǎn)量，記作g(x(t) g(

49、x(t) 。所以時間。所以時間T T內(nèi)的總費用內(nèi)的總費用應(yīng)由生產(chǎn)計劃應(yīng)由生產(chǎn)計劃x(t)x(t)決定，記作決定，記作 c(x(t)= (3c(x(t)= (33 31)1) 其中，其中，x(t)x(t)應(yīng)滿足應(yīng)滿足 x(0)=0 , x(T)=Q (3x(0)=0 , x(T)=Q (33 32)2) 問題歸結(jié)為在固定端點條件問題歸結(jié)為在固定端點條件(3(33 32)2)下，求下，求(3(33 31)1)式定義的式定義的泛函泛函c(x(t)c(x(t)的極值問題，可以用變分法求解。的極值問題，可以用變分法求解。 ( )( ( )ftg x tdtT(x0為了得到函數(shù)為了得到函數(shù)f f和和g g

50、的具體形式，做如下假設(shè)：的具體形式，做如下假設(shè)： 1) 1) 單位時間內(nèi)每增產(chǎn)一件產(chǎn)品所需的成本與這時的生產(chǎn)率單位時間內(nèi)每增產(chǎn)一件產(chǎn)品所需的成本與這時的生產(chǎn)率成正比，這適合于生產(chǎn)已經(jīng)飽和、生產(chǎn)率很高的情況。成正比，這適合于生產(chǎn)已經(jīng)飽和、生產(chǎn)率很高的情況。 2)2)存儲費與存儲量（即到存儲費與存儲量（即到t t為止的產(chǎn)量）成正比。為止的產(chǎn)量）成正比。 由假設(shè)由假設(shè)1) ,1) ,若記生產(chǎn)率為若記生產(chǎn)率為r= ,r= ,則則 r , r , 于是于是 f(r) f(r) r r2 2 , , 記作記作 f(t) = kf(t) = k1 1 (3 (33 33)3) 由假設(shè)由假設(shè)2), 2), 又

51、有又有 g(x(t) = kg(x(t) = k2 2 x(t) (3.3.4) x(t) (3.3.4)這里，這里，k1k1、k2k2均為比例系數(shù)。將均為比例系數(shù)。將(3(33 33) 3) 和和(3(33 34)4)代入代入(3(33 31)1)式可得式可得 x t( )dfdrxt2( ) c(x(t) = (335)c(x(t) = (335) (335) (335)和和(332)(332)兩式確定的泛函極值問題的解可以兩式確定的泛函極值問題的解可以由由EulerEuler方程方程 (336)(336)給出。以給出。以F= k1 + k2 x(t) F= k1 + k2 x(t) 代入

52、代入(156)(156)式可得式可得 (337)(337)二階常系數(shù)微分方程二階常系數(shù)微分方程(337)(337)的通解是的通解是 （338)338)其中，其中，c1c1、c2 c2 由端點條件由端點條件(3.3.2)(3.3.2)確定：確定： c2=0 c2=0 （339339） ( )( )ktk x tdtxT1220F t x xddtF t x xxx( , , )( , , )0 xt2( )kk x t2120( )x tkktc tc( ) 212124cQTk Tk1214所以泛函極值問題的解為所以泛函極值問題的解為 (3(33 310)10)x(t)x(t)是使總費用最小的

53、生產(chǎn)計劃。是使總費用最小的生產(chǎn)計劃。 x(t)x(t)的圖形是拋物線，因為由的圖形是拋物線，因為由(3(33 37)7)式可知式可知 , ,所以所以隨著參數(shù)隨著參數(shù)k1k1、k2k2、Q Q、T T的不同，的不同， (3(33 310)10)的函數(shù)的函數(shù)x(t)x(t)可能有圖可能有圖3.3.13.3.1所示的兩種曲線形式。但是對于所示的兩種曲線形式。但是對于x(t)x(t)有明顯的附加條件：有明顯的附加條件： x(t) 0 (3x(t) 0 (33 311)11)只有第一種形式的曲線才符合只有第一種形式的曲線才符合(3(33 311)11)的要求。的要求。 x tkktQTk Tkt( )(

54、)2122144x t( ) 0 不難看出，條件不難看出，條件(3(33 311)11)等價于等價于 , , 由由(3(33 39)9)式有式有 (3(33 312)12)則僅當(dāng)則僅當(dāng)(3(33 31212）式成立時，）式成立時，(3(33 310)10)式確定的式確定的x(t)x(t)才是滿足才是滿足(3(33 311)11)式的最優(yōu)解。式的最優(yōu)解。 為了對最優(yōu)解做出解釋，考察與為了對最優(yōu)解做出解釋，考察與(3(33 310)10)式等價的式等價的(3(33 37)7)式。式。(3(33 37)7)式可以寫成式可以寫成 (3(33 313)13)其中，其中， 是單位時間增產(chǎn)一件產(chǎn)品的生產(chǎn)費，

55、是單位時間增產(chǎn)一件產(chǎn)品的生產(chǎn)費，k2k2是每件產(chǎn)是每件產(chǎn)品單位時間的存儲費，在經(jīng)濟理論中，前者稱為邊際生產(chǎn)費品單位時間的存儲費，在經(jīng)濟理論中，前者稱為邊際生產(chǎn)費（邊際成本），后者稱為邊際存儲費。（邊際成本），后者稱為邊際存儲費。(3(33 313)13)式表明，使邊際成本的改變率等于邊際存儲費的生產(chǎn)計劃是最式表明，使邊際成本的改變率等于邊際存儲費的生產(chǎn)計劃是最優(yōu)的。優(yōu)的。 QkkT2124kddtddrk r212()ddrk r()12第第4 4節(jié)節(jié) 設(shè)備檢查模型設(shè)備檢查模型 在工廠的車間里應(yīng)及時檢查各種設(shè)備的完好情況。檢查的在工廠的車間里應(yīng)及時檢查各種設(shè)備的完好情況。檢查的周期太長，故障不

56、能及時發(fā)現(xiàn)，給生產(chǎn)帶來損失；但檢查周期太周期太長，故障不能及時發(fā)現(xiàn)，給生產(chǎn)帶來損失；但檢查周期太短，又會增加檢查費用。設(shè)備出現(xiàn)故障的概率是隨機的，其規(guī)律短，又會增加檢查費用。設(shè)備出現(xiàn)故障的概率是隨機的，其規(guī)律可由統(tǒng)計數(shù)據(jù)或理論分析得到。問題是如何安排設(shè)備檢查方案，可由統(tǒng)計數(shù)據(jù)或理論分析得到。問題是如何安排設(shè)備檢查方案，使到發(fā)現(xiàn)故障為止時的總費用（損失費與檢查費）的期望值最小。使到發(fā)現(xiàn)故障為止時的總費用（損失費與檢查費）的期望值最小。 一般來講，檢查周期一般來講，檢查周期s s不一定是常數(shù)，而應(yīng)該根據(jù)故障出現(xiàn)不一定是常數(shù)，而應(yīng)該根據(jù)故障出現(xiàn)時刻的概率分布，在故障容易出現(xiàn)的時候多檢查幾次，所以我們

57、時刻的概率分布，在故障容易出現(xiàn)的時候多檢查幾次，所以我們可設(shè)檢查周期是時間可設(shè)檢查周期是時間t t的函數(shù)的函數(shù)s(t)s(t)，或者，單位時間的檢查次數(shù)，或者，單位時間的檢查次數(shù)n(t)=1/s(t)n(t)=1/s(t)。為了把檢查費和損失費表示成。為了把檢查費和損失費表示成n(t)n(t)的函數(shù)，做以的函數(shù)，做以下的假設(shè)：下的假設(shè)： 1)1)每次檢查費為每次檢查費為c0c0。因此到時刻。因此到時刻t t為止的檢查次數(shù)是為止的檢查次數(shù)是所以，如果在時刻所以，如果在時刻t t的檢查中發(fā)現(xiàn)故障，則總的檢查費為的檢查中發(fā)現(xiàn)故障，則總的檢查費為 c0c0 2) 2) 記從設(shè)備發(fā)生故障到下一次檢查發(fā)現(xiàn)故障的時間間隔為記從設(shè)備發(fā)生故障到下一次檢查發(fā)現(xiàn)故障的時間間隔為T T，當(dāng)，當(dāng)n(t)n(t)很大時，設(shè)備在兩次檢查之間出現(xiàn)故障的時刻可很大時，設(shè)備在兩次檢查之間出現(xiàn)故障的時刻可視為等可能的，所以視為等可能的，所以T T的平均值是檢查周期的平均值是檢查周期s(t)s(t)的一半，即的一半，即 3) 3) 因設(shè)備發(fā)生故障帶來的損失費是因設(shè)備發(fā)生故障帶來的損失費是T T的函數(shù)，用近似代替的函數(shù)，用近似代替T T，損失費可表示為損失費可表示為 n t dtt( )0n t dtt( )0Tn t12 ( )Ln t( )124) 4) 時刻時刻t t 設(shè)備發(fā)生故障的概率密度函數(shù)是設(shè)備發(fā)生故障的